考點1　常用解題技巧

一、代入法

小試牛刀　1.若一直角三角形的周長與面積的數值相等，且兩直角邊長之和是14，則該三角形的面積是（　）。

A.20　B.24　C.12　D.6.2

【解析】B 本題考查幾何問題。最直接的方法即代入法。面積為24時，周長為24，則斜邊長為24-14= 10，兩直角邊長為6、8，則此時三角形面積為6×8÷2=24，符合題意。故選B。

2.小剛家住的那條街的門牌號是從1開始挨著編下去的，除小剛家外，其余各家門牌號加起來恰好等于10000。問小剛家的門牌號是多少？（　）

A.11　B.22　C.33　D.141

【解析】A 根據題意，設最后一家門牌號為x，小剛家的為y，可列方程為：（1+x）×x÷2=10000+y，采用代入法，當y=11時，x=141，只有這樣一個正整數解。故選A。

二、常識題解法

小試牛刀　1.甲、乙、丙共同編制一標書，前三天三人一起完成了全部工作量的，第四天丙沒參加，甲、乙完成了全部工作量的，第五天甲、丙沒參加，乙完成了全部工作量的，從第六天起三人一起工作直到結束，問這份標書的編制一共用了多少天？（　）

A.13　B.14　C.15　D.16

【解析】D 本題屬于工程問題。首先根據三人的效率和為可推出，三人合作需要15天完成，而實際三人并沒有天天在一起工作，根據常識可知實際時間應該大于15，滿足條件的只有D。故選D。

2.有粗細不同的兩支蠟燭，細蠟燭長度是粗蠟燭長度的2倍，點完細蠟燭需要1小時，點完粗蠟燭需要2小時。有一次停電，將這兩根蠟燭同時點燃，來電時，兩只蠟燭的長度一樣，那么，此次停電共停了多少分鐘？（　）

A.10　B.20　C.40　D.60

【解析】C 首先，如果停電60分鐘，細蠟燭已經點完，粗蠟燭還剩下一半，所以排除D；若停電30分鐘，細蠟燭還剩下一半，因為粗蠟燭長度是細蠟燭的一半，所以此時粗蠟燭不可能和細蠟燭一樣長，所以至少要停電30分鐘以上，排除A、B。故選C。

三、整除法

小試牛刀　1.某單位組織職工參加團體操表演，表演的前半段隊形為中間一組5人，其他人按8人一組在外圈，后半段隊形變為中間一組8人，其他人按5人一組圍在外圈。該單位職工人數150人，則最多可有多少人參加？（　）

A.149　B.148　C.138　D.133

【解析】D 整除特性法。根據題干條件可知：參加職工的人數減5可被8整除，減8可被5整除，代入選項，只有133符合。故選D。

2.若干學生住若干房間，如果每間住4人，則有20人沒地方住，如果每間房住8人，則有一間房只有4人住，問共有多少學生？（　）

A.30　B.34　C.40　D.44

【解析】D 根據題干條件可知：住4人20人沒地方住，可知人數是4的倍數，住8人余4人，可知人數不是8的倍數，即總人數除以8的余數為4，結合選項，只有D符合。故選D。

四、奇偶特性法

基礎：奇數±奇數=偶數；偶數±偶數=偶數；

偶數±奇數=奇數；奇數±偶數=奇數。

推論：若兩個數的和（或差）為偶數，則這兩個數同為奇數或同為偶數；若兩個數的和（或差）為奇數，則這兩個數一個是奇數一個是偶數。

小試牛刀　1.某單位有員工540人，如果男員工增加30人就是女員工的2倍，那么原來男員工比女員工多幾人？（　）

A.13　B.31　C.160　D.27

【解析】C 本題可以按常規方法列方程來解，但是比較浪費時間。用數字特征法能夠直接秒殺答案。根據題目已知該單位員工共540人，即男、女員工人數和是偶數。根據“若兩個數的和為偶數，則這兩個數的差也是偶數”可知原來男員工比女員工多偶數個人，只有C選項是偶數。故選C。

2.某年級有4個班，不算甲班其余三個班的總人數是131人;不算丁班其余三個班的總人數是l34人;乙、丙兩班的總人數比甲、丁兩班的總人數少l人，問這四個班共有多少人？（　）

A.177　B.176　C.266　D.265

【解析】A 根據題干可知乙、丙兩班的總人數減去甲、丁兩班的總人數的差是奇數，再根據“若兩個數的差為奇數，則這兩個數的和也是奇數”可推得四個班的總人數也是奇數，排除答案B和C，又因為“不算甲班其余三個班的總人數是131人；不算丁班其余三個班的總人數是l34人”可知三個班的人數都是一百多點，可推得四個班總人數應小于200人。故選A。

五、雞兔同籠法

雞兔同籠問題來源于我國古代數學著作中的一道題：“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？”這就是雞兔同籠問題。

雞兔同籠法的實質是：已知各個分量的平均值和總量的值，求總量中各個分量的值。

解題思路：方程法、假設法。

小試牛刀　1.今有雞兔同籠，上有35個頭，下有腳數為頭數的2倍多24個，則雞和兔的數量分別為（　）。

A.雞23，兔12　B.雞12，兔23　C.雞21，兔14　D.雞14，兔21

【解析】A 典型的雞兔同籠問題。2個雞腳對應1個雞頭，4個兔子腳對應1個兔頭，每只兔子比每只雞多2只腳，故兔子的數量為24÷2=12（只），則雞有35-12=23（只），故選A。

2.某服裝店進了襯衫和背心總共24件，總進價為400元。已知襯衫和背心每件的進價分別為90元和10元，問襯衫總進價比背心總進價（　）。

A.低40元　B.高40元　C.低120元　D.高120元

【解析】A 這是一道變形的雞兔同籠問題。假設都進的背心，則需要花240元，比現在要少花160元；襯衫和背心差價為80元，所以襯衫進了160÷80=2（件）。由此襯衫總進價比背心總進價低10×22-90×2=40（元）。故選A。

六、十字交叉法

十字交叉法：一個整體有且只有兩個不同的部分組成，其中整體的平均值記作C，兩個部分的平均值分別記作A、B（且A﹥B），則均值為A的個體與均值為B的個體的個數比為上述概念可以抽象為：

小試牛刀　1.某單位共有職員72人，年底考核平均分數為85分。根據考核分數，90分以上的職工評為優秀職工，已知優秀職工的平均分數為92分，其他職工的平均分數是80分，問優秀職工的人數是多少？（　）

A.12　B.24　C.30　D.42

【解析】C 平均數問題。運用十字交叉法。優秀員工平均分為92、其他職工平均分為80、總的平均分為85，根據十字交叉法可知，優秀員工與其他職工的數量之比所以優秀員工占總人數的即30人。故選C。

2.某單位依據筆試成績招錄員工，應聘者中只有被錄取，被錄取的應聘者平均分比錄取分數線高6分，沒有被錄取的應聘者平均分比錄取分數線低10分，所有應聘者的平均分是73分，問錄取分數線是多少分？（　）

A.77　B.78　C.79　D.80

【解析】C 運用十字交叉法。設錄取人員分數線為x，則錄取人員平均分為x+6，未錄取人員平均分為x-10。根據十字交叉法錄取人數與未錄取人數之比為，解得x=79。故選C。

七、選項結合法

小試牛刀　1.某公司計劃采購一批電腦，正好趕上促銷期，電腦打9折出售，同樣的預算可以比平時多買10臺電腦，問該公司的預算在平時能買多少臺電腦？（　）

A.90　B.100　C.45　D.75

【解析】A 常規解法：設平時能買m臺，每臺的售價為x，則0.9x（m+10）=mx。解得m=90。選項結合法：題目條件“比平時多買10臺電腦”說明促銷期購買量與平時購買量之差為10，觀察選項，發現A和B的數據之差恰好是10，則平時購買量很可能就是90，代入題目驗證。設平時一臺電腦100元，買90臺，共計9000元，促銷期打9折，就是90元，9000元可以買100臺，恰好多買10臺，符合題目條件。故選A。

2.有一個正方形花池，周圍用邊長25cm的方磚鋪了一條寬1.5米的小路，共用1776塊。花池的面積是多少平方米？（　）

A.111　B.289　C.400　D.10404

【解析】B（1）猜選項：由于花池周圍用方磚鋪了一條寬1.5米的小路，則小路和花池的總面積=小路的面積+花池的面積，同時花池和路合起來應該是一個正方形（其總面積為一個平方數），選項中400=111+289，400為一個平方數，說明111和289應該其中一個為路的面積，一個為花池的面積，則答案很可能在A和B之間。（2）結合題目條件確定選項：題目第一句中說“有一個正方形花池”，說明花池的面積為一個平方數，而289為一個平方數，所以289可能為花池的面積；（3）代入檢驗：若花池面積為289，則花池邊長為17。花池和路的總面積為（17+1.5×2）2=400，則路的面積應為400-289=111，而路的面積=0.25×0.25×1776=111，符合題意。故選B。