1.1.2　函數(shù)的幾種基本性質(zhì)

1.有界性

定義2　設函數(shù)f（x）的定義域為D，數(shù)集X?D.若存在常數(shù)M>0，使得對于任意x∈X，有|f（x）|≤M成立，則稱函數(shù)f（x）在數(shù)集X上有界，否則稱無界.

函數(shù)的有界性還可以等價地表述為：如果存在常數(shù)M1，M2，使得對于任意x∈X有M1≤f（x）≤M2，那么稱函數(shù)f（x）在X上有界，M1稱為函數(shù)f（x）在X上的下界，M2稱為函數(shù)f（x）在X上的上界.

無界函數(shù)可能有上界而無下界，也可能有下界而無上界，或既無上界又無下界，函數(shù)f（x）的有界性與討論的數(shù)集X有關.

例如，函數(shù)y=sinx，因為|sinx|≤1，所以它在（-∞，+∞）內(nèi)是有界的；函數(shù)在（0，1）內(nèi)是無界的，而在（1，2）及[1，+∞）內(nèi)是有界的.

2.單調(diào)性

定義3　設函數(shù)f（x）的定義域為D，區(qū)間I?D.對于區(qū)間I上任意兩點x1及x2，當x1<x2時，

若恒有f（x1）≤f（x2），則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間I上是單調(diào)遞增函數(shù)；

若恒有f（x1）≥f（x2），則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間I上是單調(diào)遞減函數(shù).

單調(diào)遞增函數(shù)與單調(diào)遞減函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)，對應的區(qū)間I稱為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，如圖1-1所示.

例如，函數(shù)y=arcsinx在閉區(qū)間[-1，1]上是單調(diào)遞增函數(shù)，函數(shù)y=arccosx在閉區(qū)間[-1，1]上是單調(diào)遞減函數(shù).

函數(shù)的單調(diào)性是針對某個區(qū)間而言的.例如，函數(shù)y=x2在區(qū)間（-∞，0]內(nèi)是單調(diào)遞減的，在區(qū)間[0，+∞）內(nèi)是單調(diào)遞增的，而在區(qū)間（-∞，+∞）內(nèi)不是單調(diào)函數(shù).

3.奇偶性

定義4　設函數(shù)f（x）的定義域D關于原點對稱，

若對于任意x∈D，有f（-x）=f（x），則稱函數(shù)f（x）為偶函數(shù)；

若對于任意x∈D，有f（-x）=-f（x），則稱函數(shù)f（x）為奇函數(shù).

由定義知，奇函數(shù)的圖像關于原點對稱，偶函數(shù)的圖像關于y軸對稱.

例如，函數(shù)y=sinx在區(qū)間（-∞，+∞）內(nèi)是奇函數(shù)；函數(shù)y=cosx在區(qū)間（-∞，+∞）內(nèi)是偶函數(shù)；函數(shù)y=sinx+cosx在區(qū)間（-∞，+∞）內(nèi)是非奇非偶函數(shù).

例8　判斷函數(shù)在區(qū)間（-1，1）內(nèi)的奇偶性.

解　對于任意x∈（-1，1），有

所以函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）內(nèi)是奇函數(shù).

4.周期性

定義5　設函數(shù)f（x）的定義域為D.若存在一個不為零的正數(shù)T，使得對于任意x∈D，都有f（x+T）=f（x）（x±T∈D）恒成立，則稱函數(shù)f（x）為周期函數(shù)，T稱為函數(shù)f（x）的周期.

周期函數(shù)的周期通常是指其最小正周期.例如，y=sinx，y=cosx都是以2π為周期的周期函數(shù)；函數(shù)y=tanx，y=cotx，y=|sinx|都是以π為周期的周期函數(shù).

注　（1）不是所有的周期函數(shù)都有最小正周期.例如，常數(shù)函數(shù)y=C（C為常數(shù)），顯然任意正數(shù)都是其周期，而無最小正數(shù).

（2）若f（x）的最小正周期為T，則f（ωx+b），（ω≠0）的最小正周期為；

（3）周期函數(shù)的和、差、積、商若是周期函數(shù)，其最小正周期等于各個函數(shù)的最小正周期的最小公倍數(shù).