§1.1　函數的概念與性質

1.1.1　函數的概念

1.函數的定義

在研究實際問題時，所涉及的幾個變量之間往往具有某種確定的關系.如圓的面積S=πr2，當半徑r取某一正數時，圓面積S就有唯一確定的數值與之相對應.一般地，可抽象得出函數的定義.

定義1　設D是一個非空實數集合，f是一個對應法則，在此法則下，對每一個x∈D，在實數集R中都有唯一確定的實數y與之對應，則稱對應法則f為定義在實數集D上的一個函數，稱變量y是變量x的函數，記作

y=f（x），　x∈D.

其中，x稱為自變量，y稱為因變量，集合D稱為函數f的定義域，通常記作Df；因變量的取值的全體所構成的集合稱為函數的值域，通常記作Rf，即

Rf={y|y=f（x），x∈D}.

注　（1）函數概念中的f和f（x）的含義不同.f表示從自變量x到因變量y的對應法則，而f（x）表示與自變量x對應的函數值，有時也常用y=y（x）表示函數，這時右邊的y表示對應法則，左邊的y表示與x對應的函數值.

（2）在數學中，通常用小寫或大寫的拉丁字母f，g，h，…，F，G，H，…和一些希臘字母ф，φ，ψ，…來作為表示函數的記號.

（3）函數的概念反映了自變量x與因變量y之間的依賴關系，即實數集合D到實數集合R之間的對應規律.確定函數的兩個要素是定義域和對應法則.如果兩個函數的定義域和對應法則都相同，那么這兩個函數是同一函數.

例如，函數與定義域不同，所以這兩個函數不是同一函數；又如，函數y=x與y雖然定義域相同，但對于函數

可見它們的對應法則不同，所以這兩個函數不是同一函數.

（4）函數概念中要求對于任意x∈D，都有唯一確定的y值與之對應.但對于任意x∈[-1，1]，都有兩個y值與之對應，不符合函數的定義，這時也可以將其定義為一個函數，稱之為多值函數，相應地把定義1中所指的情形稱為單值函數.本書中提到的函數除特別說明都是指單值函數.

2.函數的表示法

函數常見的表示法一般有三種：解析法、列表法及圖像法.

解析法：用數學表達式表示兩個變量之間的函數關系，這種表示方法稱作解析法，這個數學表達式稱作函數的解析式.

列表法：列一個兩行多列的表格，第一行是自變量的取值，第二行是對應的函數值，這種用表格來表示兩個變量之間的函數關系的方法稱作列表法.

圖像法：以自變量x的取值為橫坐標，對應的函數值y為縱坐標，在平面直角坐標系中描出各個點，這些點的連線構成了函數的圖像，這種用圖像表示兩個變量之間函數關系的方法稱作圖像法.

函數的不同表示法具有不同的特點.解析法的特點是能簡明、全面地概括變量間的關系；圖像法的特點是直觀形象地表示出函數的變化情況；列表法的特點是便于求出函數值.三種表示法各有不同的特點，所以常常將它們結合起來使用，在中學數學中已經學習過，這里不再舉例說明.

3.幾個重要的分段函數

在實際應用中，經常遇到這樣的函數：定義域的不同部分用不同的解析式表示，這樣的函數稱為分段函數.

例1　絕對值函數

定義域Df=（-∞，+∞），值域Rf=[0，+∞）.

例2　取整函數

y=[x]

表示不超過x的最大整數，定義域Df=（-∞，+∞），值域Rf=Z，其中Z表示整數集.

例如，[2.6]=2，[-1.3]=-2.

例3　符號函數

定義域Df=（-∞，+∞），值域Rf={-1，0，1}.

例如，對于任意實數x，有x=sgnx·|x|.

例4　狄利克雷（Dirichlet）函數

定義域Df=（-∞，+∞），值域Rf={0，1}.

以上四個函數都是分段函數.分段函數是用幾個解析式合起來表示一個函數，而不是表示幾個函數.

4.隱函數

若函數y可由自變量x的某一個解析式表達，例如，

則稱這種函數為顯函數；但還有一種形式的函數，自變量x與因變量y之間的對應法則不像上面的函數表示那樣明顯，而是含于一個二元方程F（x，y）=0之中，這樣確定的函數y=f（x）稱為隱函數.

例如，由方程xy-2x+3y-1=0確定的隱函數y=f（x），這時ｙ可以用ｘ來表示，即，把一個隱函數化成顯函數，這個過程稱為隱函數的顯化；再如，由方程xy-ey=0確定的隱函數y=f（x），y無法用x的顯函數形式來表達.

由此可見，并不是所有由方程確定的隱函數都能表示成顯函數的形式.

5.函數定義域的求法

在實際問題中，函數的定義域是根據問題的實際意義確定的.若不考慮函數的實際意義，而抽象地研究用解析式表達的函數，則規定函數的定義域是使解析式有意義的一切實數構成的集合.

求函數的定義域應注意以下幾點：

（1）當函數是多項式（Pn（x）=a0xn+a1xn-1+…+an）時，定義域為（-∞，+∞）；

（2）分式函數的分母不能為零；

（3）偶次根式的被開方式必須大于等于零；

（4）對數函數的真數必須大于零；

（5）反正弦函數與反余弦函數的定義域為[-1，1]；

（6）如果函數表達式中含有上述幾種函數，則應取各部分定義域的交集；

（7）分段函數的定義域是各個表達式的定義域的并集.

例5　求下列函數的定義域：

解　（1）要使有意義，必須滿足

即

所以函數的定義域是[-2，-1）∪（-1，1）∪（1，+∞）；

（2）要使y=ln（x-1）+arcsin有意義，必須滿足

即

所以函數的定義域是{x|1<x≤2}.

例6　設函數f（x）=，求函數f（x+3）的定義域.

解　由于f（x）=

則

即

所以函數f（x+3）的定義域是[-3，-1].

例7　已知函數f（ex-1）=x3+2，求函數f（x）的定義域.

解　令t=ex-1，則x=ln（t+1），由此可得

f（t）=ln3（t+1）+2；

即

f（x）=ln3（x+1）+2.

所以函數f（x）的定義域為（-1，+∞）.