2.2.2　反函數(shù)的求導(dǎo)法則

定理2　如果函數(shù)x=f（y）在區(qū)間Iy內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)且f′（y）≠0，則它的反函數(shù)y=f-1（x）在區(qū)間Ix={x|x=f（y），y∈Iy}內(nèi)也可導(dǎo)，且

證　由于x=f（y）在區(qū)間Iy內(nèi)單調(diào)，故其反函數(shù)y=f-1（x）在區(qū)間Ix存在、單調(diào)且連續(xù)，因此，對(duì)于任何x∈Ix，當(dāng)Δx≠0時(shí)，

Δy=f-1（x+Δx）-f-1（x）≠0，

從而

由于x=f（y）與y=f-1（x）的連續(xù)性，即Δx→0時(shí)，Δy→0，因此

例7　求y=arcsinx的導(dǎo)數(shù).

解　設(shè)x=siny，，其反函數(shù)為y=arcsinx，由公式

又由于，因此

類似可得

例8　求y=arctanx的導(dǎo)數(shù).

解　設(shè)x=tany，，其反函數(shù)為y=arctanx，由公式

又由于sec2y=1+tan2y=1+x2，因此

類似可得

例9　求y=logax的導(dǎo)數(shù).

解　x=ay與y=logax互為反函數(shù)，因此