1.7.3　無窮小量的比較

由無窮小的性質可知，兩個無窮小的和、差、積仍為無窮小，但是對于兩個無窮小的商，必須具體分析，不可一概而論.例如，當x→0時，函數x，x2，sinx都是無窮小，但是.

兩個無窮小之比的極限的各種不同情形反映了不同的無窮小趨于零的“快慢程度”.當x→0時，觀察函數x，x2，sinx趨于零的快慢程度，如表1-4所示.

顯然，x2→0比x→0“快些”，而sinx→0比x2→0“慢些”，x→0與sinx→0“快慢相仿”.

為了比較無窮小趨于零的快慢程度，引入無窮小的階的概念.

定義3　設α，β是自變量在同一變化過程中的兩個無窮小量，且α≠0，

（1）若，則稱β是比α高階的無窮小，記作β=o（α）；

（2）若，則稱β是比α低階的無窮小；

（3）若，則稱β與α是同階無窮小；

（4）若，則稱β與α是等價無窮小，記作β～α；

（5）若，k>0，則稱β是關于α的k階無窮小.

顯然，等價無窮小是同階無窮小的特例，即c=1的情形.

由上面的討論可知，當x→0時，sinx與x是等價無窮小，x2是比x高階的無窮小，而x是比x2低階的無窮小.

關于等價無窮小，有一個非常重要的性質，即等價無窮小可以互相代換，通常把這個性質稱為無窮小代換原理.

定理3（無窮小代換原理）　設α～α′，β～β′，且極限存在，則

證　

例4　求.

解　當x→0時，sin3x～3x，tan5x～5x，所以

顯然，利用無窮小代換原理求極限，可以大大簡化計算，下面給出常見的等價無窮小.

當x→0時，

x～sinx～tanx～arcsinx～arctanx～ln（1+x）～ex-1；

ax-1～xlna（a>0且a≠1）；

當x→1時，lnx～x-1.

例5　求.

解　當x→0時，ex-1～x，所以

例6　.

解　

當x→0時，sinx～x，tanx～x，，所以

在上述求極限過程中，使用了等價無窮小代換，但應注意，如果不是乘或除的情況，不能代換，否則可能會得出錯誤的結果，如

例7　證明：當x→0時，，n∈N+.

證　由于　　

當x→0時， ，ex-1～x，則

所以，當x→0時， .

例8　求

解　當x→0時，，所以

關于等價無窮小，還有一個重要的定理.

定理4　α與β是等價無窮小的充分必要條件是

α=β+o（β）.

推論　設β是無窮小，則β～β+o（β）.

例9　求.

解　當x→0時，sin2x～2x，而x3=o（x），由推論1得，x+x3～x，所以