1.7.1　無(wú)窮小量

定義1　如果函數(shù)f（x）當(dāng)x→x0（或x→∞）時(shí)的極限為零，那么稱函數(shù)f（x）為當(dāng)x→x0（或x→∞）時(shí)的無(wú)窮小量，簡(jiǎn)稱無(wú)窮小.

例如，因?yàn)?img active="true" alt="" class="h-pic" src="https://epubservercos.yuewen.com/578B36/14615859905722306/epubprivate/OEBPS/Images/img00047008.jpg?sign=1752599320-h4TAnusxfzYkjqRnRbCFAa053VyTTD09-0-a48f2d5e3a0b3284a2eeaa712bdfb283">=0，所以函數(shù)sinx是當(dāng)x→0時(shí)的無(wú)窮小；因?yàn)?img active="true" alt="" class="h-pic" src="https://epubservercos.yuewen.com/578B36/14615859905722306/epubprivate/OEBPS/Images/img00047009.jpg?sign=1752599320-0e1cVqjki3pRaUfc1dcbv6BJOc3aHhCS-0-f294bd435211516d1d3cb397fb5429de">，所以函數(shù)ex是當(dāng)x→-∞時(shí)的無(wú)窮小；同理，函數(shù)是當(dāng)x→∞時(shí)的無(wú)窮小.

注　（1）定義1中的極限還包括其他類型函數(shù)的極限，例如，x→，x→+∞等；

（2）無(wú)窮小量是一個(gè)以0為極限的變量，不是一個(gè)絕對(duì)值很小的數(shù)，而0是作為無(wú)窮小量的唯一常數(shù)，它是無(wú)窮小量的一個(gè)特例；

（3）無(wú)窮小量是相對(duì)于自變量的某一具體變化過程而言的.例如，當(dāng)x→∞時(shí)，是無(wú)窮小量，但當(dāng)x→1時(shí)，就不是無(wú)窮小量了.

函數(shù)的極限與無(wú)窮小之間存在密切聯(lián)系，下面的定理說明了二者之間的關(guān)系.

定理1　成立的充分必要條件

f（x）=A+α（x）；

其中，α（x）為x→x0時(shí)的無(wú)窮小量.

證　先證必要性.

由及極限的四則運(yùn)算法則知

故函數(shù)f（x）-A是x→x0時(shí)的無(wú)窮小量.

記α（x）=f（x）-A，則α（x）為x→x0時(shí)的無(wú)窮小量，f（x）=A+α（x）.

再證充分性.

由函數(shù)f（x）=A+α（x），其中α（x）為x→x0時(shí)的無(wú)窮小量，得

故

根據(jù)極限的運(yùn)算法則和定理1，不難證明無(wú)窮小具有以下性質(zhì).

性質(zhì)1　有限個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和是無(wú)窮小.

性質(zhì)2　有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.

性質(zhì)3　常數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.

性質(zhì)4　有限個(gè)無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.

下面僅針對(duì)x→x0的情形證明性質(zhì)1和性質(zhì)2，其余的留給讀者去完成.

性質(zhì)1的證明：

考慮兩個(gè)無(wú)窮小的和.

設(shè)α（x），β（x）是x→x0時(shí)的無(wú)窮小，則.

所以

即α（x）+β（x）是x→x0時(shí)的無(wú)窮小.

有限個(gè)無(wú)窮小之和的情形也可以類似證明.

性質(zhì)2的證明：

設(shè)函數(shù)f（x）是x→x0時(shí)的有界函數(shù)，則存在正常數(shù)M，使得當(dāng)x→x0時(shí)，有

|f（x）|≤M.

設(shè)α（x）是x→x0時(shí)的無(wú)窮小，則當(dāng)x→x0時(shí)，

0≤|f（x）α（x）|≤|f（x）|·|α（x）|≤M|α（x）|.

而

由夾逼準(zhǔn)則得

所以f（x）α（x）是x→x0時(shí)的無(wú)窮小，即有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.

例1　求

解　當(dāng)x→0時(shí)，函數(shù)x為無(wú)窮小，而，即函數(shù)是有界函數(shù)，由性質(zhì)2知，是x→0時(shí)的無(wú)窮小，故

例2　求

解　當(dāng)n→∞時(shí)，式中每一項(xiàng)都是無(wú)窮小，但由于項(xiàng)數(shù)隨n增大而不斷增加，故不是有限項(xiàng)之和，而是無(wú)窮個(gè)無(wú)窮小之和，因此不能直接利用性質(zhì)1，

由于

所以

由例2知，無(wú)窮個(gè)無(wú)窮小之和不一定是無(wú)窮小.