1.5.1　極限的四則運算法則

定理1　設limf（x）=A，limg（x）=B，則

（1）lim（f（x）±g（x））=limf（x）±limg（x）=A±B；

（2）lim（f（x）·g（x））=limf（x）·limg（x）=A·B；

（3（這里要求B≠0）.

注　（1）定理中的（1）、（2）可推廣到有限個函數的情形；

（2）使用極限的四則運算法則的前提是各自的極限都存在.

推論1　設limf（x）存在，c為常數，則

lim[cf（x）]=c[limf（x）].

由推論1知，求極限時，常數可以提到極限記號外.這是因為limc=c.

推論2　設limf1（x），limf2（x），…，limfn（x）都存在，c1，c2，…，cn為常數，則

lim[c1f1（x）+c2f2（x）+…+cnfn（x）]=c1limf1（x）+c2limf2（x）+…+cnlimfn（x）.

推論3　設limf1（x），limf2（x），…，limfn（x）都存在，則

lim[f1（x）·f2（x）·…·fn（x）]=limf1（x）·limf2（x）·…·limfn（x）.

特別地，若limf（x）存在，而n為正整數，則

lim[f（x）]n=[limf（x）]n.

由推論3知

下面通過一些具體的例子來理解以上法則在極限運算中是如何應用的.

例1　求.

解　由推論1，2，3得

例2　設n次多項式函數Pn（x）=a0xn+a1xn-1+…+an，其中a0，a1，…，an為常數，且a0≠0，對任意x0∈R，證明Pn（x）=Pn（x0）.

注　求多項式函數當x→x0時的極限，只要把x0代替多項式函數中的x即可.

例3　求.

解　因為

所以

設有理分式函數

其中，Pm（x）=a0xm+a1xm-1+…+am，Pn（x）=a0xn+a1xn-1+…+an分別表示m次、n次多項式.

如果Pn（x0）≠0，則

如果Pn（x0）=0，那么關于商的極限的運算法則就不適用了，下面通過“消去零因子法”求這種情形的函數的極限.

例4　求

解　當x→1時，分子、分母的極限都是零，在這里函數商的極限的運算法則不能直接使用.因分子、分母有公因子x-1，當x→1時，x≠1，x-1≠0，可以約去這個不為零的公因子，所以

例5　求.

解　因為當時，分子、分母的極限都是零，所以先對分式進行化簡，有

當x→時，sinx-cosx=-（cosx-sinx）≠0，可以約去（cosx-sinx）這個不為零的公因子，所以

例6　求.

解　當x→-1時均趨于∞，在這里函數差的極限運算法則不能直接使用，先將差式通分，再化簡，得

因分子、分母有公因子x+1，當x→-1時，x≠-1，x+1≠0，可以約去這個不為零的公因子，所以

解　因為當x→0時，分子、分母的極限都是零，所以先對分式進行分子有理化，則

因分子、分母有公因子x，當x→0時，x≠0，可以約去這個不為零的公因子，所以

解　因為當x→4時，分子、分母的極限都是0，所以先對分式進行分子、分母有理化，再化簡，得

例9　設，求b，c.

解　當x→1時，x2-1→0，則，即

3x2+bx+c=（x-1）（3x+a）

式中，a為未知常數.

將上式代入原極限得

由此可得a=1，則，所以b=-2，c=-1.

例10　求.

解　當x→∞時，分子、分母都趨向于∞（即極限都不存在），故不能直接應用函數商的極限的運算法則.這里分子、分母同除以變化最快的一項，即最高次冪x3（“抓大頭”），得

例11　求.

解　將分子、分母同除以它們的最高次冪x3，得

例12　求.

解　應用例11的結果，當x→∞時，函數的極限為零，所以其倒數的極限應為∞，即

例10、例11、例12是下式的一般情形，即當a0≠0，b0≠0，m和n為非負整數時有

例13　已知，則a，b應為何值？

由式（1.5.1）知，分子、分母中x的最高次數應該相同，且x的最高次冪的系數應該相等，故1-a=0，b-a=1，解得a=1，b=2.

例14　求.

解　當n→∞時，分子、分母都趨向于∞，將分子、分母同除以3n+1，得

當n→∞時，均趨于0，故