1.4.1　函數極限的定義

設函數f（x）的定義域為D，考察函數f（x）的極限就是考察自變量x在其定義域D內變化時，相應的函數值f（x）的變化趨勢.考慮到函數的定義域的各種形式，自變量x的變化趨勢有些復雜，本節主要研究以下兩種情形：

（1）自變量x任意趨于x0，且x≠x0，簡記為x→x0.它有兩種特殊情形：

①自變量x從x0的右側趨于x0即x>x0，簡記為

②自變量x從x0的左側趨于x0即x<x0，簡記為

（2）自變量x的絕對值|x|無限增大，稱作x趨向于無窮大，簡記為x→∞.它也有兩種特殊情形：

①自變量x沿數軸正方向趨于無窮大，簡記為x→+∞；

②自變量x沿數軸負方向趨于無窮大，簡記為x→-∞；

本小節分別從以上兩種情形研究函數f（x）的極限.

1.當x→x0時函數f（x）的極限

所謂“當x→x0時函數f（x）的極限”，就是研究當自變量x無限趨于x0時，函數f（x）的變化趨勢.先看下面兩個例子.

例1　考察函數當x→2時的變化趨勢.

解　函數的定義域為（-∞，+∞），圖1-4表示的是函數的幾何描述.也可用數據描述，如表1-2所示.

從表1-2可以看出，無論x從2的左側還是右側無限趨于2時，函數都無限趨于3，這時，稱3為函數當x→2時的極限.

例2　考察函數時的變化趨勢.

解　函數的定義域為（-∞，1）∪（1，+∞），幾何描述如圖1-5所示，數據描述如表1-3所示.

從表1-3可以看出，當x無論從1的左側還是右側無限趨于1時，函數f（x）=無限趨于2，稱2為函數時的極限.

從例1、例2不難看出，當自變量x無限趨于某一個定值x0時，函數f（x）的值無限趨于某一確定常數A，稱常數A為函數f（x）當x→x0時的極限.

為了給出函數極限嚴格的數學定義，先介紹鄰域的概念.

定義1　（1）設a與δ是兩個實數，且δ>0，數集{x||x-a|<δ}稱為點a的δ鄰域，記作U（a，δ），點a稱為鄰域中心，δ稱為鄰域半徑，有

U（a，δ）={x|a-δ<x<a+δ}.

所以U（a，δ）就是開區間（a-δ，a+δ），如圖1-6所示.

（2）在U（a，δ）中去掉鄰域中心a后得到的數集{x|0<|x-a|<δ}稱為點a的去心δ鄰域，記作（a，δ），有

（a，δ）=（a-δ，a）∪（a，a+δ），

所以 就是兩個開區間的并集，如圖1-7所示.

（3）開區間（a-δ，a）稱為點a的左δ鄰域，開區間（a，a+δ）稱為點a的右δ鄰域.

下面給出函數極限的嚴格的數學定義.

定義2　設函數f（x）在點x0的某一去心鄰域內有定義.如果存在常數A，對于任意給定的正數ε（無論它多么小），總存在正數δ，使得當x滿足不等式0<|x-x0|<δ時，對應的函數值f（x）都滿足不等式

|f（x）-A|<ε；

則稱常數A為函數f（x）當x→x0時的極限，記作

注　（1）函數f（x）在x0處的極限刻畫了當自變量x趨于x0時函數f（x）的變化趨勢，與函數f（x）在x0處是否有定義無關，因此只要求函數f（x）在點x0的某一去心鄰域內有定義即可，不需要考慮函數f（x）在x0處是否有定義.而條件0<|x-x0|<δ則表示自變量x落入x0的去心δ鄰域內.

（2）ε刻畫函數f（x）與常數A的接近程度，δ刻畫x與x0的接近程度，ε是任意給定的，δ相當于數列極限定義中的N，它依賴于ε，一般來說，ε越小，δ也相應地要小.

（3）函數f（x）在x0處的極限的幾何意義：對于任給ε>0，坐標平面上以y=A為中心線，寬為2ε的窄帶，可以找到δ>0，使得x∈（a，δ）時，曲線段y=f（x）落在窄帶內，如圖1-8所示.

例3　證明.

證　由于|f（x）-A|=|x-x0|；對于任意給定的ε>0，要使

|f（x）-A|=|x-x0|<ε；

取δ=ε.

當0<|x-x0|<δ時，有|f（x）-A|=|x-x0|<ε，所以.

例4　證明.

證　由于　　|f（x）-A|==

因為x→1，不妨限制x屬于0<|x-1|<1，即0<x<2，且x≠1，則有

對于任意給定的ε>0，要使

只要

這里取δ=min{2ε，1}.

則當0<|x-1|<δ時，便有 ，所以 .

由定義2不難得出下列函數的極限：

（1）=C（C為常數）；　　（2）x=0；

（3）x=1；　　（4）=1，=1　（a>0且a≠1）.

在x→x0時函數f（x）的極限定義中，x既是從x0的左側也是從x0的右側趨于x0的，但有時只能或只需考慮x僅從x0的左側趨于x0（即）的情形，或x僅從x0的右側趨于x0（即）的情形，這時只要將的定義作適當改變即可.

定義3　設函數f（x）在x0的某一右鄰域內有定義.如果存在常數A，對于任意給定的正數ε（無論它多么小），總存在正數δ，使得當x滿足不等式0<x-x0<δ時，對應的函數值f（x）都滿足不等式

|f（x）-A|<ε；

則稱常數A為函數f（x）當x→x0時的右極限，記作

定義4　設函數f（x）在x0的某一左鄰域內有定義.如果存在常數A，對于任意給定的正數ε（無論它多么小），總存在正數δ，使得當x滿足不等式-δ<x-x0<0時，對應的函數值f（x）都滿足不等式

|f（x）-A|<ε；

則稱常數A為函數f（x）當x→x0時的左極限，記作

左極限和右極限統稱為單側極限.容易看到，單側極限只是極限的特殊情形，如果當x→x0時函數f（x）的極限是A，則它的左右極限也應該是A，反之也成立.

定理1　 成立的充分必要條件是

由定理1知，如果函數f（x）在x0處左極限和右極限中至少有一個不存在或都存在但不相等，那么函數f（x）在x0處的極限是不存在的.

例5　設函數，求極限f（x），f（x），f（x）.

解　當x>0時，|x|=x，則

當x<0時，|x|=-x，則

因為，由定理1得不存在，如圖1-9所示.

例6　討論函數

當x→0時f（x）的極限.

解　當x<0時，f（x）=x-1，則函數f（x）的左極限

當x>0時，f（x）=x+1，則函數f（x）的右極限

因為左極限和右極限存在但不相等，所以當x→0時f（x）的極限不存在，如圖1-10所示.

2.當x→∞時函數的極限

數列是自變量取自正整數的函數，即an=f（n），數列的極限就是研究函數f（x）當自變量x跳躍式地按1，2，3，…，n，…的順序無限變大時函數值f（x）的變化趨勢.下面將這種特殊函數的極限形式推廣到自變量x取實數時的一般函數f（x）.

例7　考察函數當x→∞時的變化趨勢.

解　函數的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），當x無限增大時，即在x→+∞及x→-∞的這兩個過程中，都有對應函數值無限趨于常數0，如圖1-11所示.

從例7不難看出，當自變量x趨于無窮大時，函數f（x）的值無限接近于某一確定常數A，則稱常數A為函數f（x）當x→∞時的極限.

定義5　設函數f（x）當|x|大于某一正數時有定義.如果存在常數A，對于任意給定的正數ε（無論它多么小），總存在正數X，使得當x滿足不等式|x|>X時，對應的函數值f（x）都滿足不等式

|f（x）-A|<ε；

則稱常數A為函數f（x）當x→∞時的極限，記作

注　函數f（x）在x→∞時的極限的幾何意義：對于任給ε>0，坐標平面上以y=A為中心線，寬為2ε的窄帶，可以找到X>0，使得|x|>X時曲線段y=f（x）落在窄帶內，如圖1-12所示.

在定義5中，x→∞的方式是任意的，|x|既可沿x軸負方向無限增大，又可沿x軸正方向無限增大.類似左、右極限，有下述定義.

定義6　設函數f（x）當x大于某一正數時有定義，如果存在常數A，對于任意給定的正數ε（無論它多么小），總存在正數X，使得當x滿足不等式x>X時，對應的函數值f（x）都滿足不等式

|f（x）-A|<ε；

則稱常數A為函數f（x）當x→+∞時的極限，記作

或f（x）→A（當x→+∞）.

定義7　設函數f（x）當-x大于某一正數時有定義，如果存在常數A，對于任意給定的正數ε（無論它多么小），總存在正數X，使得當x滿足不等式-x>X時，對應的函數值f（x）都滿足不等式

|f（x）-A|<ε；

則稱常數A為函數f（x）當x→-∞時的極限，記作

或f（x）→A（當x→-∞）.

例8　證明：.

證　由于　　

對于任意給定的ε>0，要使

即

取 .

當|x|>X時，，所以

是三個不同的極限概念，也有與定理1類似的結論.

定理2　成立的充分必要條件是

例9　討論極限是否存在.

解　由函數f（x）=arctanx的圖形（如圖1-13所示）知

由于極限 都存在，但不相等，由定理2知，極限 不存在.

直線是函數f（x）=arctanx的水平漸近線.

一般地說，如果，則稱直線y=C是函數y=f（x）的圖形的水平漸近線.