1.3.3　收斂數列的基本性質

性質1（唯一性）　收斂數列的極限是唯一的.

證　假設數列{an}有兩個極限a，b，且a≠b.

由數列極限的定義，對于任意給定的ε>0，存在正整數N1，N2，使得當n>N1時，恒有|an-a|<ε；當n>N2時，恒有|an-b|<ε，取N=max{N1，N2}，則當n>N時，恒有

|a-b|=|（an-b）-（an-a）|≤|an-b|+|an-a|<ε+ε=2ε，

由于ε的任意性，上式當且僅當a=b時才成立，故收斂數列的極限是唯一的.

下面先介紹數列的有界性定義，然后給出收斂數列的有界性.

定義3　對數列{an}，若存在正數M，使得對于一切正整數n，恒有|an|≤M成立，則稱數列{an}有界，否則稱為無界.

性質2（有界性）　收斂數列必為有界數列.

證　設數列{an}收斂于a，即，由數列極限定義，對于ε=1，存在正整數N，使得當n>N時，恒有|an-a|<1成立.

于是，當n>N時，

|an|=|（an-a）+a|≤|an-a|+|a|<1+|a|.

取M=max{|a1|，|a2|，…，|aN|，1+|a|}，則對一切正整數n，皆有|an|≤M，故數列{an}有界.

注　有界性是數列收斂的必要條件.例如，數列{（-1）n}有界，但卻發散.

推論1　無界數列必定發散.

性質3（保號性）　若，且a>0（或a<0），則必存在正整數N，當n>N時，恒有an>0（或an<0）.

證　就a>0的情形證明.

由數列極限定義，對于，存在正整數N，當n>N時，恒有從而

a<0的情形可類似證明.

推論2　若數列{an}從某項起有an≥0（或an≤0），且=a，則a≥0（或a≤0）.

證　應用反證法證明.

設數列{an}從第N1+1項起，即當n>N1時有an≥0.若=a<0，則由性質3知，存在正整數N2，當n>N2時，恒有an<0.取N=max{N1，N2}，當n>N時，按假定有an≥0，按性質3有an<0，這產生矛盾，所以必有a≥0.

數列{an}從某項起an≤0的情形可類似地證明.

最后，介紹子列的概念以及關于收斂數列與其子列間關系的一個性質.

定義4　將數列{an}各項在保持原有順序的情況下，任取其中無窮多項所構成的新數列稱為數列{an}的子數列，簡稱子列.例如，

a1，a3，a5，…，a2n-1，…；

a2，a4，a6，…，a2n，…

均為數列{an}的子列.

性質4（收斂數列與其子列間的關系）　如果數列{an}收斂于a，那么它的任一子列也收斂，且極限也是a.

推論3　若數列{an}有兩個子列收斂到不同的極限，則數列{an}是發散的.

例3　考察數列{（-1）n}的斂散性.

解　數列{（-1）n}的子列{（-1）2n-1}收斂于-1，而子列{（-1）2n}收斂于1，由推論3知，數列{（-1）n}是發散的.