1.3.2　數列極限的定義

觀察1.3.1節(jié)的例子（1）～（5），不難發(fā)現(xiàn)，當n無限增大（記作n→∞）時，數列（1）的通項無限趨于0；數列（2）的通項無限趨于1；數列（3）的通項無限增大，其變化趨勢不是一個確定的數；數列（4）當n按奇數無限增大時，通項始終為1，當n按偶數無限增大時，通項始終為-1，因此當n無限增大時，通項沒有確定的變化趨勢；數列（5）的通項無限趨于0.

若數列{an}的通項an當n無限增大時無限趨于一個確定的常數a，則稱數列{an}收斂于a；否則稱數列{an}發(fā)散.

數列（1）、（2）、（5）是收斂數列，數列（3）、（4）是發(fā)散數列.這是憑觀察或幾何直覺得出的，是不精確的.為此，需要對數列極限的概念作更準確的說明.

為了引入數列極限的嚴格數學定義，考察數列

當n無限增大時，通項an無限趨于1，這在數軸上表現(xiàn)為動點an與定點1的距離（即an與1之差的絕對值）

可以任意小，這時稱數列{an}的極限為1.

問題：“無限接近”意味著什么？如何用數學語言刻畫它？

給定，欲使，只要當n>100時，就有，即從第101項起以后各項都能使an與1的距離小于；

給定，欲使，只要當n>1000時，就有，即從第1001項起以后各項都能使an與1的距離小于；

給定，欲使，只要當n>10000時，就有，即從第10001項起以后各項都能使an與1的距離小于

一般地，給定任意小的正數ε，欲使<ε，只要當n>時，就有|an-1|<ε，即從第+1項起以后各項都能使an與1的距離小于ε.由此得出數列極限的精確定義.

定義2　設數列{an}，如果存在常數a，對于任意給定的正數ε（不論它多么小），總存在正整數N，使得對于n>N時的一切an，不等式

|an-a|<ε

都成立，則稱常數a為數列{an}的極限，或者稱數列{an}收斂于a，記為

如果當n無限增大時，an不能無限趨于某個確定的常數，則稱當n→∞時數列{an}發(fā)散或極限不存在.

注　（1）|an-a|<ε刻畫了an與a的無限接近程度，小正數ε是任意給定的（既是任意的，又是給定的），ε用來刻畫an與a的接近程度，ε越小，an越接近a.

（2）|an-a|<ε成立的條件是n>N，正整數N與ε有關，是隨ε的給定而確定的，用來刻畫n無限增大的程度，一般地，當ε減少時，N將會相應地增大.

（3）N的選取是不唯一的，任意一個比N大的正整數都可以作為定義2中的N.

（4）數列{an}的極限為a的幾何意義：數列{an}可看作數軸上的一個點列，a看作數軸上的一個定點，不等式

|an-a|<ε?a-ε<an<a+ε；

不論區(qū)間（a-ε，a+ε）有多小，總存在正整數N，從第N+1個動點開始，所有動點an都落入區(qū)間（a-ε，a+ε）中，而只有有限個（至多只有N個）動點落在區(qū)間外，如圖1-3所示.

例1　考察下面數列當n→∞時的變化趨勢，寫出它們的極限：

解　（1）數列的通項an=2，是一個常數數列，當n→∞時，an始終為2，因此

（2）數列的通項，當n→∞時，an無限接近于0，因此

（3）數列的通項，當n→∞時，an無限接近于0，因此

（4）數列的通項，當n→∞時，an無限增大，沒有確定的變化趨勢，因此不存在.常把這種情況記為，它是極限不存在的一種特殊情況；

（5）數列的通項，當n→∞時，無限接近于0，故無限接近于2，因此

例2　已知，證明數列{an}的極限是1.

證　由于　　

對于任意給定的ε>0，要使

成立，只要n> 即可，所以可取N= +1.

對于任意給定的ε>0，存在正整數，當n>N時，恒有|an-1|<ε成立，故數列{an}的極限是1.

注　（1）應用數列極限定義只能驗證某個數是否是一個數列的極限，并不能從無到有地求出極限.

（2）在用極限定義證明極限時，只需指出N存在即可，并不需要找出最小的N，如例2中，還可以取等.