1.2.2　復合函數

客觀事物往往是錯綜復雜的，因而表示自然規律、生產規律的函數結構也是復雜的.微積分中為了便于理解、計算，需要把復雜的函數分解為幾個簡單的函數，有時也需要把兩個或兩個以上的簡單函數組合成另一函數.

例如，函數y=cos2x可以看成由函數y=u2和u=cosx組合而成的；又如，由函數y=eu，u=cosx可組合成函數y=ecosx.

在這些例子中，除自變量x和因變量y外，還出現了中間的變量u，y通過u而成為x的函數，稱y為x的復合函數.

1.復合函數的定義

定義1　設函數y=f（u），u∈Df，y∈Rf，函數u=g（x），x∈Dg，u∈Rg.若Rg?Df，則稱函數y=f（g（x））為由函數y=f（u），u=g（x）復合而成的復合函數.其中x為自變量，y為因變量，u稱為中間變量.

注　（1）不是任何兩個函數都可以構成一個復合函數，函數y=f（u），u=g（x）可以構成復合函數的條件是Rg?Df.例如，函數y=arcsinu與u=1+x2不可以構成一個復合函數.

（2）復合函數不僅可以有一個中間變量，還可以有多個中間變量，如u，v，w，t等.

（3）函數的復合一般與復合的次序有關，即f（g（x））與g（f（x））一般不是同一函數，甚至可能其中一個有意義而另一個沒有意義.

例1　設y=f（u）=1+u2，u=g（x）=ln（1+x2），判斷以上兩個函數是否能復合成y=f（g（x））.

解　由Df=R，Rg=[0，+∞）知，Rg?Df，所以函數f（u）與g（x）能夠構成復合函數，y=f（g（x））=1+g2（x）=1+ln2（1+x2）.

注　函數f（g（x））可以看作將函數g（x）代換函數y=f（u）中的u而得到的.

2.復合函數的分解

將一個復合函數分解為多個簡單函數在復合函數的求導和積分計算中起著非常重要的作用對復合函數進行分解，通常分解到各層函數是基本初等函數或簡單初等函數.

例2　將下列復合函數進行分解：

（1）y=（2x-1）2；　　（2）y=arcsin（x+1）；

解　（1）y=u2，u=2x-1；

（2）y=arcsinu，u=x+1；

（3）y=lnu，u=lnv，v=lnx；

（4）y=3u，u=arccosv，，w=2-x2