1.3.1　進位計數(shù)制及相互轉換

1.幾種常用的進位計數(shù)制

進位計數(shù)制很多，這里主要介紹與計算機技術有關的4種常用的進位計數(shù)制。

（1）十進制

十進位計數(shù)制簡稱十進制。十進制數(shù)的特點是“逢十進一”，任意一個十進制數(shù)都可用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9這10個數(shù)字符號組成的字符串來表示，這些數(shù)字符號稱為數(shù)碼。

數(shù)碼處于不同的位置將代表不同的數(shù)值。例如：

（169.6）10=1×102+6×101+9×100+6×10-1　　　　（1）

由（1）式可歸納出，任意一個十進制數(shù)K，都可表示成如下形式：

（K）10=Kn-1×10n-1+Kn-2×10n-2+…+K1×101+K0×100+K-1×10-1+K-2×10-2+…+K-m+1×10-m+1+K-m×10-m

式中的K為數(shù)碼，取值范圍為0～9；n為整數(shù)位個數(shù)，m為小數(shù)位個數(shù)，10為基數(shù)，10n-1、10n-2、…、101、100、10-1…10-m是十進制數(shù)的位權。在計算機中，一般用十進制數(shù)作為數(shù)據(jù)的輸入和輸出。

（2）二進制

計算機內部使用的是二進制數(shù)。二進制數(shù)的特點是只有兩個數(shù)碼符號——0和1，運算規(guī)則是逢二進一。例如：

（1010.1）2=1×23+0×22+1×21+0×20+1×2-1　　（2）

將（2）式與（1）式比較，便會發(fā)現(xiàn)二進制數(shù)的基數(shù)為“2”，而不是“10”。相應的位權也發(fā)生了變化，不是104、103、102、101、100，而是24、23、22、21、20。

（3）八進制

由于二進制數(shù)太長，不便記憶，因而在計算機中還經常使用八進制數(shù)和十六進制數(shù)。八進制數(shù)的特點是逢八進一，每一個八進制數(shù)都由0～7這8個數(shù)碼來表示。

（4）十六進制

十六進制數(shù)的特點是逢十六進一，每一個十六進制數(shù)都是由0～9這10個數(shù)碼再加上A、B、C、D、E、F這6個字母來表示，A～F分別對應10～15這6個數(shù)。

計算機中常用的幾種進位計數(shù)制如表1-2所示。

2.不同進位制數(shù)間的轉換

由于計算機使用的是二、八、十六進制，而人們習慣于用十進制進行計算，因此，在計算機和人交流信息的過程中就必須進行相應的數(shù)據(jù)轉換。

（1）R進制轉換為十進制

方法：按權展開求和，即個位數(shù)字乘100，十位數(shù)字乘101，百位數(shù)字乘102……。下面分別是十六進制、八進制、二進制轉換成十進制的示例：

（354）H=（3×162+5×161+4×160）D=（768+80+4）D=（852）D

（254）O=（2×82+5×81+4×80）D=（128+40+4）D=（172）D

（11010）B=（1×24+1×23+0×22+1×21+0×20）D=（16+8+0+2+0）=（26）D

（2）十進制轉換成R進制

將一個十進制整數(shù)轉換成R進制是采用“除R逆序取余”法，即將十進制整數(shù)連續(xù)地除以R取余數(shù)，直到商為0為止，余數(shù)從下到上排列。

小數(shù)部分轉換成R進制是采用“乘R順序取整”法，即將十進制小數(shù)不斷地乘以R取整數(shù)，直到小數(shù)部分為0或達到一定精度為止，余數(shù)從上到下排列。

例如：將十進制數(shù)100.8125轉換成二進制數(shù)。轉換結果為（100.8125）D=（1100100.1101）B。

再如：將十進制數(shù)193.15轉換成八進制數(shù)。轉換結果為（193.15）D≈（301.11463）O。

（3）二進制與八進制、十六進制之間的轉換

由于二進制、八進制和十六進制之間存在特殊關系：81=23、161=24，即1位八進制數(shù)相當于3位二進制數(shù)，1位十六進制數(shù)相當于4位二進制數(shù)，因此轉換方法比較容易。

①二進制數(shù)轉換成八進制數(shù)時，整數(shù)部分是從最后一位開始向左數(shù)，三個數(shù)一組，不足用“0”補上；小數(shù)部分則是從第一位開始向右數(shù)，3個數(shù)一組，不足用“0”補上。

例如：將二進制數(shù)（10101011.110101）B轉換成八進制數(shù)。

（整數(shù)高位補0）

再如：將八進制數(shù)（2731.62）O轉換成二進制數(shù)。

（整數(shù)前的高位0可取消）

②二進制數(shù)轉換成十六進制數(shù)時，與二進制轉換為八進制類似，只不過是每4位為一組，兩頭不足4位補0即可。

例如：將二進制數(shù)（10101011.110101）B轉換成十六進制數(shù)。

（小數(shù)低位補0）

再如：將十六進制數(shù)（2D5C.74）H轉換成二進制數(shù)。

（整數(shù)前的高位0和小數(shù)后的低位0可取消）

二進制、十進制、八進制、十六進制的對應關系如表1-3所示。