1.1　隨機事件及運算

1.1.1　隨機試驗與隨機事件

我們把對自然現象所進行的一次觀察或一次科學實驗統稱為試驗.如果一個試驗具有以下特征：

（1）在相同的條件下可以重復進行；

（2）所有可能出現的結果不止一個，并且事先所有的可能結果都是已知的；

（3）每次試驗究竟會出現哪個結果，試驗前是未知的.稱該試驗為隨機試驗（簡稱試驗），記為E.

可以驗證下列試驗都是隨機試驗：

（1）擲一枚質地均勻的骰子，觀察出現的點數；

（2）拋一枚硬幣，觀察哪一面向上；

（3）記錄某一個網站在一分鐘內被點擊的次數；

（4）測試某電視機的壽命（以小時計）.

隨機試驗的所有可能結果稱為隨機事件，簡稱事件，用A，B，C，…表示.試驗中不能再分或沒有必要再分的事件稱為基本事件或樣本點，用ω表示.全體樣本點的集合稱為樣本空間，記為Ω.每次試驗中都必然發生的事件稱為必然事件，顯然樣本空間Ω為必然事件；試驗中不可能發生的事件稱為不可能事件，記為.

【例1】　寫出上面隨機試驗的樣本空間.

（1）擲一枚質地均勻的骰子，觀察出現的點數，Ω=｛1，2，3，4，5，6｝；

（2）擲一枚硬幣，觀察哪一面向上，Ω=｛正面，反面｝；

（3）記錄某一個網站在一分鐘內被點擊的次數，Ω=｛0，1，2，…｝；

（4）測試某電視機的壽命（以小時計），Ω=｛t|t≥0｝.

引入樣本空間后，任一事件A都是樣本空間Ω的子集，這樣就建立了事件與集合之間的關系，以后就可以用集合的方法研究隨機事件，需要注意的是在一次試驗中有且只有一個基本事件發生.

1.1.2　隨機事件的關系及運算

進行隨機試驗，有多種事件發生，這些事件往往是相互關聯的.為了研究復雜事件的概率，需要引入事件的關系及運算.

設A，B是同一樣本空間Ω的事件，它們有以下關系及運算：

（1）包含

若事件A的發生必然導致事件B的發生，則稱B包含A，也稱A為B的子事件，記為A?B.

（2）相等

若A?B且B?A，則稱A與B相等，記為A=B.

（3）事件的交（積）

“事件A和事件B同時發生”這一事件，稱為事件A和B的交（積），記為A∩B或AB.

類似地，稱為n個事件A1，A2，…，An的交；稱為可列個事件A1，A2，…的交.

（4）事件的并（和）

“事件A或事件B至少有一個發生”這一事件，稱為A和B的并（和），記為A∪B.

類似地，稱為n個事件A1，A2，…，An的并；稱為可列個事件A1，A2，…的并.

（5）事件的差

“事件A發生而B不發生”這一事件，稱為事件A與B的差，記為A-B.

（6）相容與互斥事件

若事件A與B不能同時發生，即A∩B=，稱事件A與B互不相容（互斥），否則稱為相容.

當事件A與B互斥時，一般將A∪B記為A+B，稱為A和B的和.

（7）對立事件（逆事件）

若事件A與B不能同時發生，但又必定有一個出現，即A∩B=且A∪B=Ω，稱事件A與B互為對立事件或逆事件，記B=.

顯然，=A，Ω-A=，A-B==A-AB.

注意對立事件與互斥事件的區別：對立事件一定是互斥事件，但反過來不成立.

上述關系和運算還可以用文氏圖表示（見圖1-1～圖1-6）：

可以驗證事件的運算滿足：

（1）交換律：A∪B=B∪A，A∩B=B∩A；

（2）結合律：A∪B∪C=A∪（B∪C），A∩B∩C=A∩（B∩C）；

（3）分配律：A∪（B∩C）=（A∪B）∩（A∪C），

　　　　　　 A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C）；

（4）德·摩根律：，

事件的上述運算規律還可以推廣到事件為有限多個或可列無限個的情形.

為了更好地理解這些關系和運算，現把集合論的有關結論與概率論的相關結論的關系用表1-1表示.

【例2】　設A，B，C表示三個事件，用事件的運算表示下列事件：

（1）A發生；　　A

（2）僅A發生；　　

（3）A，B，C都發生；　　ABC

（4）A，B，C都不發生；　　

（5）A，B，C不都發生；　　

（6）A，B，C不多于一個發生；　　

（7）A，B，C恰好有兩個發生.　　

【例3】　化簡下列運算：