§2.1　命題與聯結詞

2.1.1　命題的概念

數理邏輯研究的中心問題是推理，而推理就必然包含前提和結論，前提和結論都是表達判斷的陳述句，因而表達判斷的陳述句就成為推理的基本要素.在數理邏輯中，將能夠判斷真假的陳述句稱為命題.因此命題就成為推理的基本單位.

定義2-1　能夠判斷真假的陳述句稱為命題.命題的判斷結果稱為命題的“真值”.“真值”取值為“真”的命題稱為真命題，“真值”取值為“假”的命題稱為假命題.常用T（True）或1表示真，用F（False）或0表示假.

從上述的定義可知，判定一個句子是否為命題要分為兩步：一是判定是否為陳述句，二是判定能否判定真假，二者缺一不可.

例2-1　判斷下列句子是否為命題.

（1）北京是中國的首都.

（2）請勿吸煙！

（3）雪是黑的.

（4）豬八戒是豬嗎？

（5）x+y=5.

（6）我正在說謊.

（7）如果溫度為0℃以下，則水會結成冰.

（8）3能被2整除.

（9）火星上有生命.

（10）張三是個胖子.

解　在上述的10個句子中，（2）、（4）不是陳述句；（5）、（6）、（10）雖然是陳述句，但（5）沒有確定的真值，當x=2，y=3時，x+y=5正確，當x=4，y=3時，x+y=5不正確，其真值隨x，y取值的不同而改變，（6）是悖論（即由真能推出假，由假也能推出真），（10）中的“胖子”是一個模糊的概念，不能判斷真假，因而（2）、（4）、（5）、（6）、（10）均不是命題.（1）、（3）、（7）、（8）、（9）都是命題，其中（9）雖然現在無法判斷真假，但隨著科技的進步是可以判定真假的.

根據命題的結構形式，命題分為原子命題和復合命題.

定義2-2　不能被分解為更簡單的陳述語句的命題稱為原子命題（也稱為簡單命題）.

定義2-3　由兩個或兩個以上原子命題組合而成的命題稱為復合命題.

例如，例2-1中的命題“雪是黑的”為原子命題，而命題“如果溫度為0℃以下，則水會結成冰”是復合命題，是由“溫度為0℃以下”與“水會結成冰”兩個原子命題組成的.

定義2-4　表示原子命題的符號稱為命題標識符.命題標識符依據表示命題的情況，分為命題常元和命題變元.一個有確定真值的命題的標識符稱為命題常元（或命題常項）；沒有指定具體內容的命題標識符稱為命題變元（或命題變項）.本書中用小寫字母a，b，c，…，p，q，r，…（可帶下標）等表示命題.將表示命題的符號放在該命題的前面，稱為命題的符號化.例如：

p：2是素數.

q：雪是黑的.

此時，p是真命題，q是假命題.

注　命題變元不是命題，只有當命題取一個確定的值時才是命題.例如，對于原子命題p：x=3來說，命題變元的真值情況不確定，因而命題變元不是命題，只有給命題變元p一個具體的命題取代時，p有了確定的真值，p才成為命題.