2.3 單利與復利

2.3.1 單利與復利的定義

單利和復利是兩種計算利率的方式，而非兩種不同的利率。

所謂單利，就是在計算存款利息時，每年的利息都以同一本金為基礎進行計算，這也就意味著當前所得利息不再參與下一期的利息計算。例如，100元的4年期銀行存款，如果按年利率10%單利方式計算利息，那么，在未來4年內，該筆存款每年計提的利息都是10元，4年內該存款的本金和利息之和為140元（即本金100元，4年內的利息之和為40元），如圖2-2所示。

注：實線對應著本金的傳遞，虛箭頭對應著利息的生成。

所謂復利，就是在計算存款的利息時，本期利息在下一期具有和本金相同的取得利息的權利，且按相同的利息率進行計算。例如，100元的4年期銀行存款，如果按年利率10%、復利方式計算利息，那么該存款在未來4年內的利息情況如圖2-3所示。

注：實線對應著本金的傳遞，虛箭頭對應著利息的生成。

2.3.2 現實中的單利與復利

1. 關于單利的實踐問題

前文中的單利定義只說明了利息的計算方式，沒有涉及利息的支付方式。事實上，即使同時單利核算利息，由于利息支付方式不一樣，所得的效果是不一樣的。

借用前文的例子，若當前存入（或借出）的100元錢，在未來4年內采取單利方式計算利息，所有利息在到期時一次交付，則本金和利息的變化情況如圖2-4所示。在到期前，似乎針對每期都會有利息計算，但是并不進行利息的支付，因此，每一期的利息都失去了在下一期獲取利息的權利，與接下來將要提到的情況相比。這種“失去”是永遠的、不可改變的。

注：實線對應著本金的傳遞，虛箭頭對應著利息的生成。

如果以單利方式計算的利息，在支付方式上發生改變：每一期末都計算利息，并實施利息支付；該利息支付后，即失去了參與下一期利息計算的機會，如圖2-5所示。由于利息在各期末被支付，不能和本金一期參與下一期的利息核算，因此這仍然屬于單利情形。但是這種情形下的收益效果與前面的方式卻有所不同。問題的關鍵在于受益人自己如何處理利息。如果受益人取得利息后，將利息取出，以現金方式持有到期，那么，該方式與上一種方式就沒有區別。如果受益人在每次取得利息后，都選擇繼續存入銀行，那么每一期的利息都在下一期取得時間價值，這種情況類似于復利方式，但是顯然不可以和復利等同。因為在復利方式下，每一期的利息和本金在取得時間價值的權利上是等同的，即所使用的利息率是一致的。而本處所舉例子中，每一期的利息在下一期進行利息核算時，所使用的利率卻可能是不一樣的。

注：實線對應著本金的傳遞，虛箭頭對應著利息的生成。

采取與上面類似的例子。假定本金100元，銀行給出的五年期單利利率為10%；未來5年內銀行的一年期定期存款利率分別為6%、7%、8%、9%、10%；對于復利的情況，考慮兩個復利利率，分別為5年期復利利率10%，和5年期復利利率6%。現在來比較一下，單利方式下兩種不同利息處理方式的收益，以及它們與復利方式下收益之間的關系。

（1）采取單利方式，利息在第五年末時一次性支付。5年后本利和為150=100+10%×5。

（2）采取單利方式，利息在每期期末支付，但是被立即存入銀行。5年后的本利和為

159.79=100×10%×（1+7%）×（1+8%）×（1+9%）×（1+10%）+100×10%×（1+8%）×（1+9%）×（1+10%）+100×10%×（1+9%）×（1+10%）+100×10%×（1+10%）+100×10%+100

（3）采取復利方式。當復利利率為10%時，5年后的本利和為161.05=100×（1+10%）5；當復利利率為6%時，5年后的本利和為133.82=100×（1+6%）5。

在利率相同的情況下，第一種單利操作方式所得的利息總量無疑是最少的。第二種單利操作方式下，利息實現了利滾利，和復利已經沒有實質性區別，不同地方有兩個：其一，它的滾利利率在各時段可能不太一樣；其二，單利情況下的滾利是否能夠實現，必須由個人到銀行去做出指令，銀行不會自動實施執行。

現實生活中，單利計息方式通常流行于一些比較偏遠的地區、鄰里熟人之間，發達金融市場中基本不會存在單利計算，因為發達金融市場中的金融工具種類齊備、交易方便，資金很難被沉淀，人們都在力爭實現所有的時間價值。但是也有一種金融資產的價值核算與單利計算及支付非常相似，那就是付息債券（后文將有詳細介紹）。該類債券按照面額發行，每單位時間支付固定的利息，利息的處理方式由受益人自主決定，發債方沒有義務為期在隨后的時段內進行復利。

2. 關于復利的實踐問題

前文中的復利定義指出，在協定的復利時間區間內，每一期的利息和本金在下一期都享有取得相同的時間價值的權利。這里需要明確的一點是，這并不意味著復利必須在每個單位時間內采取相同的利率。只要契約有明確規定，我們可以采取以下兩種復利方式進行資金的存、貸。

例如，你現在想將錢存4年，可以有兩種方式。

一種方式是選擇以（即期）長期利率進行復利，對應的利率為R0×4，如果當前本金為10 000元，那么4年后你將獲得10 000×（1+R0×4）4的本利和。以R0×4=3.5%為例，則4年后的本利和為11 519.64元。

另一種方式是選擇在契約中規定按遠期利率連續滾存（即要求存儲機構每年末自動將本利和一起轉入下一期進行復利），對應的年利率分別為R0×1，R1×2，R2×3，R3×4，如圖2-6所示。如果當前本金為10 000元，那么4年后你的本利和為10 000×（1+R0×4）×（1+R1×2）×（1+R2×3）×（1+R3×4）。假如遠期利率分別為R0×1=3.2%，R1×2=3.35%，R2×3=3.55%，R3×4=3.80%，則4年后的本利和為11 464.04元，與前一種方式相比，要少55.60元，相當于對煩瑣手續的補償。

當前采取該種方式進行復利的存款類產品尚未發現，原因是現實情況遠比上面的例子復雜：現實的未來利率和預期的遠期利率之間存在不確定的差異！因此利息的收、支雙方都存在著利率變化的風險。沿用上面的例子，協議利率仍如圖2-6所示，但是實際的利率卻變為R0×1=3.0%，R1×2=3.1%，R2×3=3.2%，R3×4=3.3%，利息的支付方將因此損失143.27元。相反地，如果未來的市場利率上升了，這種復利方式將導致利息收入方受損。