5.4　高斯濾波

高斯濾波器是根據高斯函數的形狀來選擇權值的線性平滑濾波器。高斯平滑濾波器對去除服從正態分布的噪聲有很好的效果。式（5.1）和式（5.2）分別是一維零均值高斯函數和二維零均值高斯函數公式。圖5.6（a）和（b）分別是一維零均值高斯函數和二維高斯零均值函數的分布示意圖。

　　 （5.1） 　　

　　 （5.2） 　　

其中，σ是正態分布的標準偏差，決定了高斯函數的寬度。

高斯函數具有以下五個重要特性。

①二維高斯函數具有旋轉對稱性，即濾波器在各個方向上的平滑程度是相同的。一般來說，一幅圖像的邊緣方向是事先不知道的，因此，在濾波前無法確定一個方向上比另一方向上需要更多的平滑。旋轉對稱性意味著高斯平滑濾波器在后續邊緣檢測中不會偏向任一方向。

②高斯函數是單值函數。這表明，高斯濾波器用像素鄰域的加權均值來代替該點的像素值，而每一鄰域像素點權值是隨該點與中心點的距離單調增減的。這一性質很重要，因為邊緣是一種圖像局部特征，如果平滑運算對離算子中心很遠的像素點仍然有很大作用，則平滑運算會使圖像失真。

③高斯函數的傅里葉變換頻譜是單瓣的。這一性質說明高斯函數傅里葉變換等于高斯函數本身。圖像常被不希望的高頻信號所污染（噪聲和細紋理），而所希望的圖像特征（如邊緣）既含有低頻分量，又含有高頻分量。高斯函數傅里葉變換的單瓣意味著平滑圖像不會被不需要的高頻信號所污染，同時保留了大部分所需信號。

④高斯濾波器寬度（決定著平滑程度）由參數σ決定，而且σ和平滑程度的關系非常簡單。σ越大，高斯濾波器的頻帶就越寬，平滑程度就越好。通過調節參數σ可以有效地調節圖像的平滑程度。σ也被稱為平滑尺度。

⑤由于高斯函數的可分離性，可以有效地實現較大尺寸高斯濾波器的濾波處理。二維高斯函數卷積可以分兩步來進行，首先將圖像與一維高斯函數進行卷積，然后將卷積結果與方向垂直的相同一維高斯函數卷積。因此，二維高斯濾波的計算量隨濾波模板寬度成線性增長而不是成平方增長。

這些特性表明，高斯平滑濾波器無論在空間域還是在頻率域都是十分有效的低通濾波器，且在實際圖像處理中得到了工程人員的有效使用。

對于圖像處理來說，常用二維零均值離散高斯函數作平滑濾波器，在設計高斯濾波器時，為了計算方便，一般希望濾波器權值是整數。在模板的一個角點處取一個值，并選擇一個K使該角點處值為1。通過這個系數可以使濾波器整數化，由于整數化后的模板權值之和不等于1，為了保證圖像的均勻灰度區域不受影響，必須對濾波模板進行權值規范化。

以下是幾個高斯濾波器模板。

σ=1，3×3模板

σ=2，5×5模板

σ=3，7×7模板

在獲得高斯濾波器模板后，就像微分運算（見第4章）那樣，對圖像進行卷積即可獲得平滑圖像。

圖5.7是640×480像素的彩色原圖和采用上述3個高斯濾波器模板濾波后的圖像?？梢钥闯?，濾波后圖像都比原圖像顯得干凈、清亮，而且隨著平滑尺度增加，尤其是模板大小的增大，可以去掉較大的噪聲，同時圖像也變得模糊，平滑時間也越長。在實際應用中要根據實際噪聲的大小，采用不同模板大小和平滑尺度σ。通過對比發現，高斯濾波對隨機噪聲和高斯噪聲（尤其是服從正態分布的噪聲）的去除效果都比較好。