第三節　誤差處理的基本方法

一、誤差分析

由上面討論可知：緩變誤差是由于儀表內部元器件老化和檢測元件的磨蝕所致，它可以通過更換元器件，或用不斷校正的方法予以消除更正；疏忽誤差是人為造成的，可用加強責任感予以避免。而系統誤差是按一定規律變化的誤差，可以通過分析計算并加以處理，使其影響減到最小，但總難以完全消除；隨機誤差是一些人們尚未完全認識的原因或目前尚無法控制的某些因素所致，例如電子熱噪聲、間隙、摩擦等所引起。這兩種誤差就是檢測誤差的兩大來源，下面將予以分析討論。

1.系統誤差分析

系統誤差是服從一定函數規律的誤差，設檢測原理的函數轉換關系如下

y=f（x，u1，u2，…，um）　　 （1-18）

式中，y為檢測（或儀表）輸出；x為被測量；u1，u2，…，um為檢測系統（或儀表）的各種參量和外界因素。

當被測量x沒有變化（Δx=0），而各參量有Δu1，Δu2，…，Δum的變化時，則將引起檢測（或儀表）誤差Δy。且

y+Δy=f（x，u1+Δu1，u2+Δu2，…，um+Δum）　　 （1-19）

式（1-19）右端按泰勒級數展開時，取第一項略去后面的高次項得

　　 （1-20）

其相對誤差

　　 （1-21）

式（1-21）即為系統誤差的表達式。

2.隨機誤差分析

對同一參數在相同條件下進行多次測量，從每次測量結果看似乎沒有規律性，但從多次重復測量結果看，卻具有一定的規律性，對于大部分檢測系統其測量誤差的分布情況如圖1-9所示。由圖1-9可知：

（1）誤差越小出現的次數越多；誤差越大出現的次數越少；當x-l=0時，出現的次數最多。

（2）出現正誤差和出現負誤差的次數幾乎是相等的；對于同一個值的正誤差和負誤差出現的次數也幾乎相等；如果重復測量的次數越多，則圖形對稱性愈好。

（3）在同樣條件下，對同一量的測量，各次隨機誤差Δi的算術平均值m'x將隨測量次數的增多而趨于零，即

　　 （1-22）

這些性質十分符合正態分布的基本假定，故而可以認為誤差的分布是正態的，從而按正態分布理論處理如下。對于正態分布具有下列數學表達式

　　 （1-23）

式中，y為某一誤差出現的次數；Δ=x-l為隨機誤差；x為測量值；l為真值；σ為均方根誤差（或叫標準誤差）。

（4）對式（1-23）進行積分運算可得，正態分布時的隨機誤差在±σ范圍內出現的概率為68.3%；出現在±2σ范圍內的概率為95.4%；出現在±3σ范圍內的概率為99.7%。即誤差出現在3σ之外幾乎不可能，也就是說在任何測量中，正態分布的隨機誤差的極限值為±3σ，這可作為確定儀表隨機誤差的理論依據。

應當注意：在檢測過程中所出現的隨機誤差，大部分為正態分布，但還有一些為均勻分布、柯西分布、泊松分布等。

由上面分析可知：在檢測過程中正態分布的隨機誤差的最大值等于三倍均方根誤差，在實際檢測中如何求取均方根誤差？其定義如下

考慮到測量次數是有限的，常用下式

　　 （1-24）

表示。但在實際測量中，被測變量的真值l是無法知道的，故常用下式計算

　　 （1-25）

式中，=為等精度測量時一組數據的算術平均值；n為測量次數，一般在20次以上；xi為各次測量的數值。

利用式（1-25）可以很方便地求出均方根誤差σ，故隨機誤差的最大值也不難求出。從理論上說，給儀表定精度等級時，可在消除系統誤差的情況下，在儀表測量范圍內選定上、中、下三點，在規定的工作條件下作三列等精度測量，然后由式（1-25）求出σ上、σ中、σ下，再由其中最大的σ求3σ，而后再結合儀表的測量范圍求出儀表精度等級。若系統誤差不可能完全消除，在定儀表精度等級時，應考慮隨機誤差和系統誤差兩者之和。但在儀表制造廠要按照理論方法定儀表精度等級，尚有一定困難，故常采用精度較高的范型儀表作為標準表，與被校表對同一參數進行測量，比較所得結果來確定精度。該精度較高的范型儀表允許的最大絕對誤差一般應小于被校表絕對誤差的。

二、誤差處理

由上面分析可知：儀表誤差的來源主要是系統誤差和隨機誤差。對于系統誤差和隨機誤差的計算方法及其特征，上面也予以討論過，下面則就具體實例介紹如何處理儀表的系統誤差和隨機誤差。

1.系統誤差的處理

按一定規律變化的系統誤差，必須通過分析計算并加以處理，才能使最后的影響降至最小。在具體分析計算中，有兩種方法：一種是已知各環節的系統誤差分量，最終求取檢測系統或儀表的系統誤差總量，這叫誤差綜合，是用于現有儀表或檢測系統的分析；另一種方法是將檢測系統或儀表的系統誤差總量分配給各環節，這叫誤差分配，用于檢測系統或儀表的設計。

（1）系統誤差綜合

已知各環節系統誤差分量，求系統誤差總量。

【例1-2】　用圖1-10所示的電位差計測量電勢信號Ex，已知：I1=4mA，I2=2mA，R1=5Ω+0.01Ω，R2=10Ω+0.01Ω，RP=10Ω±0.005Ω。設檢流計G、上支路電流I1和下支路電流I2的誤差忽略不計；且測量時的隨機誤差暫不考慮。

求當Ex=20mV時，電位差計的測量誤差有多大？

解　首先調節滑線電阻RP的滑觸頭，當電位差計的輸出電位差與被測電勢Ex達到平衡時，則檢流計指零，此時有

I1（R1+rP）-I2R2=Ex

關系，由于R1、R2、rP（RP的一部分）存在誤差，所以在檢測過程中也將隨之產生系統誤差，利用式（1-20）可得

dEx=I1dR1+I1drP+R1dI1+rPdI1-I2dR2-R2dI2

由于RP有±0.005Ω的誤差，而滑觸頭在滑動過程中本身還有一個線間接觸誤差，故令RP的誤差全部落在rP內，則測量Ex時的絕對誤差為

dEx=4×0.01+4×（±0.005）-2×0.01

由于RP電位器的滑觸頭要經常移動位置，故誤差可能出現正或負，應取最不利的方向，則測量Ex時的最大絕對誤差為

dEx=0.04+4×0.005-0.02=0.04（mV）

而實際相對誤差

該電位差計的測量上限為I1（R1+RP）-I2R2，測量下限為I1R1-I2R2，故測量范圍=I1RP=4×10=40mV，所以該電位差計的相對百分誤差

由該例計算可知：若電位差計測量Ex的最大系統誤差為B，隨機誤差為3σ，其測量范圍為A，則該儀表的相對百分誤差為

由δ的大小即可定儀表精度等級，該儀表的誤差分布曲線如圖1-11所示。

除上面介紹的這種形式誤差綜合外，在檢測系統中，已知各環節的系統誤差，如何計算檢測系統的誤差總量，以及由儀表的基本誤差和各附加誤差求總誤差。上面介紹的系統誤差是有確定規律的，可以用數學物理的方法加以分析處理。這里所提的兩種情況可以這樣處理：當系統誤差分量的數目較少，而它們同時以最大誤差充分起作用的概率卻很大，這時應該將各誤差分量的作用代數相加。但當誤差分量數目很大時（一般大于6），這時每一誤差分量都同時以最嚴重的情況出現的概率是較小的，如果仍采用各誤差分量代數相加（常用絕對值相加），是不恰當的，而應當考慮它們的概率和統計特征。

【例1-3】　某儀表的技術說明指出：當儀表在環境溫度20℃±5℃、電源電壓220V±5%、濕度<80%、輸入信號頻率<1kHz時儀表的基本誤差（即允許的最大相對百分誤差）為2.5%。若儀表使用時環境溫度超出該范圍，則將產生±0.2%/℃誤差；電源電壓變化±10%時，將產生±2%的附加誤差；濕度>80%，也將產生1%的附加誤差；輸入信號頻率>1kHz，將產生2.5%的附加誤差。現在35℃的環境中使用該儀表，濕度>80%，電源電壓為200V，被測信號為0.5V、2kHz，該儀表量程為1V，試估計測量誤差。

解　如果每個誤差分量都取技術指標規定的極限值，則

基本誤差　　　δ基=±2.5%

溫度附加誤差　δt=（35-25）×（±0.2%）=±2%

濕度附加誤差　δφ=±1%

電源附加誤差　δv=±2%

頻率附加誤差　δf=±2.5%

這五項誤差分量如何綜合，才能最好地反映實際情況呢？

如果認為最不利的情況是五個誤差分量都同時處在最大值，則

這個數值估計顯然偏大，因為這些誤差實際上不大可能同時以最大值出現。而技術指標上給出的數值僅是一個不允許超出的極限值，每個系統誤差分量都是以某一概率落入這個極限值規定的區間，如果按概率論的觀點去處理，就會得到比較符合實際的結果。

本例的各誤差分量的統計特征值

若誤差分量數目越多，則代數相加或絕對值相加的總誤差，往往較實際可能值大得多；而各誤差分量的統計特征值比較符合實際。

由于以上種種原因，對于系統誤差的處理，應該根據系統誤差各分量的具體情況，采用數學物理分析或概率統計估計。

（2）系統誤差分配

已知規定系統誤差總量，求各環節系統誤差分量。

在設計檢測系統或儀表時，總存在著誤差合理分配問題，即組成檢測系統或儀表的各個環節的誤差應該多大，才能保證檢測系統或儀表總誤差不超出給定的數值。誤差分配原則如下。

①要從各元器件的實際情況出發，即按各元器件的技術性能，可能達到的水平，提出要求，不要提出過高的要求。

②具體分配，先給誤差容易確定的元器件分配，然后余下的按均等分配，再根據可能性作適當調整。

③誤差分配中還要考慮經濟性，即既能保證誤差要求，又要考慮經濟性。

④應該充分利用誤差正、負可以抵消的有利因素，同時也應當注意誤差影響系數大的因素。

⑤對于元器件的誤差不能知道其確切值時，一般取最大允許誤差。

【例1-4】　有一電位差計的原理電路如圖1-10所示，現假定檢流計G的誤差忽略不計，且R1=10Ω，R2=10Ω，RP=5Ω，R3=490Ω，R4=235Ω，當隨機誤差不考慮時，問各電阻的誤差如何分配，才能保證其測量誤差小于1%？

解　由圖1-10可知，電源電壓E為1V穩壓電源，則上支路電流

下支路電流

利用檢流計G調整滑線電阻RP，使電位差與被測電勢Ex達到平衡，則平衡方程式如下

Ex=I1（R1+rP）-I2R2

取Ex的全微分得

dEx=（R1+rP）dI1+I1（dR1+drP）-I2dR2-R2dI2

該電位差計的測量上限為

Ex max=I1（R1+RP）-I2R2

測量下限為

Ex min=I1R1-I2R2

其測量范圍為

ΔEx max=Ex max-Ex min=I1RP

則相對百分誤差為

為了保證測量誤差小于1%，rP取最大值RP，故上式變為

上式中各誤差分量如何分配，下面進行討論。

可以采用兩種方法，一種是定性分析，另一種為定量計算。首先進行定性分析：在的不等式中，第一項誤差系數最大，第二項次之，其余三項為1最小，故在分配誤差時，應取最小，次之，其余類推。具體分配時，可取3=，2=，這樣=3+2+--=才可能最小。但要做到=，=，也是很困難的，唯一的辦法是使與、與符號相同，然后再盡量使與、與靠近，這樣總可以抵消很大部分。各誤差分量的具體數值按它們的統計特征進行計算，即

結合上面的定性分析可知，應取最小，次之，其余則較大。現取

=0.002，=0.003

=0.002， =0.005

=0.003

則

由計算可知，上面對I1、I2、R1、R2和RP的誤差分配滿足測量精度要求。

下面進一步求出在滿足上、下支路電流精度情況下R3、R4的允許誤差。現假定穩壓電源E精度較高，由其產生的誤差可忽略不計，即、完全是由上、下支路電阻誤差所引起，根據上面的誤差分配，可得

dI1=I1=4000×0.002=±8（μA）

dI2=I2=2000×0.003=±6（μA）

dR1=R1=10×0.002=±0.02（Ω）

dR2=R2=10×0.003=±0.03（Ω）

dRP=RP=5×0.005=±0.025（Ω）

又

現按最不利情況進行計算，即各dR都取相同符號，于是得

所以

dR4≤0.45（Ω）

所以

dR3≤1.47（Ω）

故在穩壓電源E精度較高，由其產生的誤差忽略不計的情況下，各電阻誤差分配如下。

R1=10Ω±0.02Ω，R2=10Ω±0.03Ω

R3=490Ω±1.47Ω，R4=235Ω±0.45Ω

RP=5Ω±0.025Ω

2.隨機誤差的處理

在隨機誤差分析一節中，對隨機誤差的產生、表現特征等作了較詳細討論，本節將結合具體測量問題，介紹隨機誤差的處理。

對一項精密測量任務的重復測量數據的處理過程如下。

①在測量前應盡可能地消除系統誤差，在此基礎上將一列等精度測量的讀數xi按測量的先后次序列成表格，在估讀數據時最多只能估讀一位數字。

②計算算術平均值，確定的位數時，應保證剩余誤差（xi-）能有二至三位數字。

③計算剩余誤差Δi=（xi-），列表于相應的xi旁。

④檢查的條件是否滿足，若不滿足則說明計算算術平均值時有誤差，應復查。

⑤計算（xi-和均方根誤差σx，依次列表于Δi=（xi-）旁，其中σx=。

⑥檢查有無大于3σx的|Δi|值，若有，應懷疑可能是疏忽誤差，并檢查該次測量過程有無差錯，如有，應拋棄該次測量數據，并從②項重新開始；如果|xi-|>4σx，則一定舍棄，并從②項開始重新計算。

⑦計算的均方根誤差

　　 （1-26）

式中，s為N列測量的均方根誤差；σx為一列測量的均方根誤差；n為一列測量的次數。

圖1-12為一列測量數據所組成的正態分布曲線，圖1-13為N列測量數據所組成的正態分布曲線。今后在進行一次測量（即依據一個測量數據）時，認為最大的誤差為±3σ（p=0.997）；而進行一列n次測量時，則最大誤差為±3s，即

x=±3s　（p=0.997）

式中，為該列測量的平均值。

【例1-5】　某實驗室的溶液溫度測量結果的數據整理如表1-1所示。

①現對某溶液溫度測量15次，將示值列于表1-1的第2列。

②計算算術平均值===20.404℃，其結果寫在xi列末尾。

③計算剩余誤差ΔⅠi=（xi-）Ⅰ，其結果寫于（xi-）Ⅰ℃列中。

④檢查ΣΔⅠi=0：經檢查結果符合ΣΔⅠi=0。

⑤計算（xi-，其結果寫于（xi-列中。經計算Σ（xi-=0.01496，再計算均方根誤差σⅠ=?0.03269℃?0.033℃，其結果列于（xi-）Ⅰi列的末尾。

⑥檢查有無疏忽誤差：3σ=3×0.033℃=0.099℃，在查找|Δi=（xi-）Ⅰi|值大于0.099℃時，發現|x8-|=0.104℃>3σ，經檢驗該次測量過程認為讀數20.30℃中含有疏忽誤差，故決定拋棄它。由剩下的14個數據重新計算，得=20.411℃，列寫于下面。然后計算（xi-）Ⅱ，校驗ΣΔⅡi=Σ（xi-）Ⅱ=0.006℃，可以認為是零（因為=20.411428℃近似為20.411℃所致），再往下計算（xi-和Σ（xi-，接著計算

檢查：3σⅡ=3×0.016℃=0.048℃，|（xi-）Ⅱi|中沒有比0.048℃大的，因此可認為不存在疏忽誤差了。

⑦計算的均方根誤差

⑧測量結果表示式

t=20.411℃±0.048℃

三、儀表的誤差補償及線性化

上節討論的誤差處理是根據系統誤差和隨機誤差產生的規律和特點，計算誤差的大小或進行誤差的分配，就本質而言，它不能對儀表的誤差進行補償。為了提高檢測系統或儀表的精度，就必須設法進行誤差補償以便消除或減少誤差。由于疏忽誤差可通過細心工作加以消除，故只討論系統、緩變、隨機誤差的補償方法。

1.對系統誤差的補償方法

（1）恒值修正法　設某檢測系統或儀表的函數變換關系式為

y=f（x，u1，u2，…，um）

在測量中希望u1，u2，…，um保持恒定不變或在某一狹小范圍內變動，這樣u1，u2，…，um的影響基本為一定值，可用補償（或校正）方法消除，使其輸出y與輸入x有一一對應關系。

例如電功率是電壓和電流的乘積，即W=IU，當電壓U恒定時，則電功率W與電流I是一一對應的單值函數關系。若在測量W過程中，電壓U由原先的U0變為U1，此時電功率W的測量值將要產生誤差，因此必須對W進行修正（或稱補償）。現計算如下。

當電壓為U0時，W=IU0。

當U0變為U1，即U1-U0=ΔU，則W'=I（U0+ΔU）=W+ΔW。

所以ΔW即為恒定修正值。

（2）差動法　使被測量x對變換元件兩側起差動作用，而其他有影響的變量對變換元件兩側起對稱作用。其合成變換結果為變換元件兩側作用之差，這樣被測量的作用相加，影響量的作用相減，這既達到了抑制干擾，又提高了儀表的靈敏度。這種差動結構在檢測傳感器中廣為應用，是儀表的最基本結構之一。

圖1-14為差動電容變換器原理圖，其中Δx為位移被測量，Δi為輸出量，L0為電容動極板，L1、L2為電容靜極板，Δy為電容極板的上下抖動干擾，Δu、Δf為電源電壓幅值和頻率的干擾。當尚未測量時，動極板L0處于中間位置，則C10=C20，=，i10=i20，式中C10、C20為動極板處于中間位置時的左右兩邊的電容初始值，i10、i20為變換器左右兩側電流初始值，ω為電源角頻率。

測量時：設電容器極板L0隨著被測量向右移動一個Δx時，則

所以

i1=i10-Δi1

i2=i20+Δi2

故

Δi=i1-i2=-Δi1-Δi2

再考慮干擾Δu、Δf、Δy的作用，由于Δu、Δf對線圈次級兩端繞組的影響是相等的，又為差動連接，故對Δi的影響為零（次級兩端繞組是完全對稱的）；若變換器受震動而產生Δy的抖動，則對Δi的影響也為零。

綜上分析可知：差動電路對被測量x的輸出響應增加一倍；對干擾又有很強的抑制能力。是儀表結構中經常采用的一種方式。

（3）相互抵消法　除被測量x外，讓其他影響因素u1，u2，…，um同時作用在敏感元件的兩側，這樣除被測量x外的其他影響因素的作用就可以相互抵消了。

例如利用差壓變送器測量某密閉容器液位，其檢測系統如圖1-15所示，容器上部為不凝結的氣體，該測量將受環境溫度變化的影響，即容器上方的壓力p0受溫度影響。在測量過程中，由于差壓連接，所以差壓變送器中的檢測膜片兩側都接受p0的作用而相互抵消，差變的輸出僅與液面高度H有關，而消除了環境溫度的影響。

（4）濾波法　使儀表只讓含有有用信息的頻帶通過，而將噪聲信息（即外界高頻干擾信息）等無用頻帶截止。例如電位差計中的濾波電路，如圖1-16所示。

以上幾種誤差補償方法，是在檢測系統或儀表結構設計時應加以考慮的。

2.減小隨機誤差的方法

（1）從儀表的設計、結構上考慮，隨機誤差大部分是由于機件的摩擦、間隙和噪聲所引起。

例如在簡易式模擬儀表中，常用具有彈性的張絲來代替原來的轉軸、軸承和游絲；在差壓變送器中用十字簧片代替原來的支點支承，都可以明顯地減少摩擦。另外減小可動部分的重量，改善轉動部分零件的工藝質量或者采用負反饋結構的平衡測量法皆可以減小因摩擦所引起的隨機誤差。對于傳動機構中間隙所引起的誤差，可應用無間隙傳動鏈，采用負反饋的閉合回路等。

為了減小噪聲對測量帶來的誤差，在檢測系統或儀表中常采用一些防護措施：如采用各種屏蔽、接地、對稱平衡、濾波、選頻、去耦等方法。數字儀表比模擬儀表受噪聲的影響要小些，因為較小的干擾不易引起數碼脈沖的轉換。智能儀表內附微處理器，使它能有多次測量和自動求取平均值的功能，這也是減小隨機誤差的一種措施。

（2）利用隨機誤差的統計規律：由前面討論知，在對被測變量進行一次測量時，則最大隨機誤差為±3σ。而對被測變量進行一列測量（n次）時，則

x=±3s

式中，x為被測變量的準確值；為一列測量的平均值；s=，σx=。

由于元器件老化所引起的儀表靈敏度緩慢降低，這將導致緩變誤差。經過一段時間使用后，儀表的零點和滿度都將發生變化，其靜特性如圖1-17所示。儀表原特性為圖中實線1，偏移后的特性為虛線2，其零點由原來的O點變化到O'點，滿度點由原來的a點變到a'點。儀表上一般皆有調零和調靈敏度旋鈕，此時通過先調零，后調滿度，即可使儀表特性復原；但經過一段時間后，儀表特性又將產生偏移，須再次調整；當靈敏度旋鈕調到極限位置時，儀表特性仍不能復原，則需更換高度老化的元器件。

3.儀表的線性化

對于檢測儀表一般都希望是線性刻度，這樣不僅讀數方便，而且在整個測量范圍內靈敏度保持恒定。但實際上，由于大多數檢測元件或傳感器的非線性轉換關系，以及測量電路中往往存在著非線性元件等原因，使輸入儀表信號與被測變量間存在著不同程度的非線性。這不僅使儀表刻度盤制造困難，互換性差，且存在安裝調整不易，讀數不方便等缺點。所以對儀表經常采用線性化處理。

例如數字儀表的線性化處理：圖1-18為數字儀表結構框圖及變換器特性，圖（a）中T為變換器或傳感器，A/D為模數轉換器，x為被測變量，y為變換器或傳感器的輸出模擬量，N為A/D轉換器的數字輸出，通常A/D為嚴格的線性轉換，即

N=K2y

式中，K2為轉換系數，是常量。若變換器T為非線性轉換，即

y=K1x

式中，K1為變系數［如圖1-18（b）中曲線1所示］。此時

N=K1K2x=K'x

式中，K'=K1K2是變系數，故數字儀表輸出脈沖數（數字量）N與被測變量x不成線性對應關系。為使N與x有線性對應關系，應對儀表進行線性化處理，即在變換器T與A/D之間引進一個變系數環節C，如圖1-19所示。并令y=K3y'，且使K1K3為常數，則

N=K1K3K2x=Kx

式中，K=K1K3K2為常數，故可以獲得儀表的線性特性。環節C的特性示于圖1-18（b）中曲線2，由圖可知，曲線2的非線性正好補償曲線1的非線性。

線性化的另一種方法：在變換器（傳感器）設計時，選擇與被測量x具有線性關系的量作為輸出量y。

例如位移式電容變換器的敏感元件如圖1-20所示。圖中2為電容固定極板，1為可動極板，其變換函數關系為

式中，ε為介電常數；S為電容極板表面積；d為電容兩極板間距離。

若在變換器設計時，把電容量的變化ΔC作為輸出量，被測量Δd（位移）為變換器輸入量，那么ΔC與Δd為非線性關系；如果不用C作為輸出量，而選用容抗xC，則

這時輸出量xC（容抗）就與位移輸入量d為線性關系，式中ω為角頻率。

上面是從儀表的結構和設計方面考慮，對儀表進行線性化處理，因而從根本上消除或減小非線性誤差。下面就不采用線性化措施，而采用一些間接的辦法減少非線性誤差作一簡單介紹。

（1）直接刻度　在刻度上按照變換的函數關系直接進行刻度，這在刻度盤制造和使用上不方便，但卻消除了非線性誤差。

例如用熱電偶測量溫度時，熱電勢E與被測溫度t往往不是準確的線性關系，因此測溫電位差計往往是非線性刻度。

（2）縮小工作范圍　如圖1-21所示，盡管變換函數關系為非線性，但可以分段線性處理，因此可以大大減小非線性誤差，當然儀表工作范圍也隨之縮小。

（3）修正法　盡管儀表的函數轉換關系為非線性，但仍可按線性刻度，然后在各刻度值上加一修正值，即可求得較準確的值。如圖1-22所示，對應于x1的儀表刻度數為y'1，而實際數應為y1，所以修正值

Δ1=y1-y'1

故對應于x1的實際讀數（準確讀數）

y1=y'1+Δ1

圖1-22中Δ1為負數。