2.2　實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理

實(shí)驗(yàn)中測量得到的許多數(shù)據(jù)需要處理后才能表示測量的最終結(jié)果。對實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行記錄、整理、計算、分析、擬合等，從中獲得實(shí)驗(yàn)結(jié)果和尋找物理量變化規(guī)律或經(jīng)驗(yàn)公式的過程就是數(shù)據(jù)處理。它是實(shí)驗(yàn)方法的一個重要組成部分，是實(shí)驗(yàn)課的基本訓(xùn)練內(nèi)容。本章主要介紹列表法、作圖法、圖解法、逐差法和最小二乘法。

2.2.1　列表法

列表法就是將一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和計算的中間數(shù)據(jù)依據(jù)一定的形式和順序列成表格。列表法可以簡單明確地表示出物理量之間的對應(yīng)關(guān)系，便于分析和發(fā)現(xiàn)資料的規(guī)律性，也有助于檢查和發(fā)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)中的問題，這就是列表法的優(yōu)點(diǎn)。設(shè)計記錄表格時要做到：

①表格設(shè)計要合理，以利于記錄、檢查、運(yùn)算和分析。

②表格中涉及的各物理量，其符號、單位及量值的數(shù)量級均要表示清楚，但不要把單位寫在數(shù)字后。

③表中數(shù)據(jù)要正確反映測量結(jié)果的有效數(shù)字和不確定度。列入表中的除原始數(shù)據(jù)外，計算過程中的一些中間結(jié)果和最后結(jié)果也可以列入表中。

④表格要加上必要的說明。實(shí)驗(yàn)室所給的數(shù)據(jù)或查得的單項數(shù)據(jù)應(yīng)列在表格的上部，說明寫在表格的下部。

2.2.2　作圖法

作圖法是在坐標(biāo)紙上用圖線表示物理量之間的關(guān)系，揭示物理量之間的聯(lián)系。作圖法有簡明、形象、直觀、便于比較研究實(shí)驗(yàn)結(jié)果等優(yōu)點(diǎn)，它是一種最常用的數(shù)據(jù)處理方法。

作圖法的基本規(guī)則是：

①根據(jù)函數(shù)關(guān)系選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)紙（如直角坐標(biāo)紙，單對數(shù)坐標(biāo)紙，雙對數(shù)坐標(biāo)紙，極坐標(biāo)紙等）和比例，畫出坐標(biāo)軸，標(biāo)明物理量符號、單位和刻度值，并寫明測試條件。

②坐標(biāo)的原點(diǎn)不一定是變量的零點(diǎn)，可根據(jù)測試范圍加以選擇。坐標(biāo)分格最好使最低數(shù)字的一個單位可靠數(shù)與坐標(biāo)最小分度相當(dāng)。縱橫坐標(biāo)比例要恰當(dāng)，以使圖線居中。

③描點(diǎn)和連線。根據(jù)測量數(shù)據(jù)，用直尺和筆尖使其函數(shù)對應(yīng)的實(shí)驗(yàn)點(diǎn)準(zhǔn)確地落在相應(yīng)的位置。一張圖紙上畫幾條實(shí)驗(yàn)曲線時，每條線應(yīng)用不同的標(biāo)記如“+”、“×”、“·”、“Δ”等符號標(biāo)出，以免混淆。連線時，要顧及數(shù)據(jù)點(diǎn)，使曲線呈光滑曲線（含直線），并使數(shù)據(jù)點(diǎn)均勻分布在曲線（直線）的兩側(cè)，且盡量貼近曲線。個別偏離過大的點(diǎn)要重新審核，屬過失誤差的應(yīng)剔去。

④標(biāo)明圖名，即做好實(shí)驗(yàn)圖線后，應(yīng)在圖紙下方或空白的明顯位置處，寫上圖的名稱、作者和作圖日期，有時還要附上簡單的說明，如實(shí)驗(yàn)條件等，使讀者一目了然。作圖時，一般將縱軸代表的物理量寫在前面，橫軸代表的物理量寫在后面，中間用“～”連接。

⑤最后將圖紙貼在實(shí)驗(yàn)報告的適當(dāng)位置，便于教師批閱實(shí)驗(yàn)報告。

2.2.3　圖解法

在實(shí)驗(yàn)中，實(shí)驗(yàn)圖線做出以后，可以由圖線求出經(jīng)驗(yàn)公式。圖解法就是根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)做好的圖線，用解析法找出相應(yīng)的函數(shù)形式。實(shí)驗(yàn)中經(jīng)常遇到的圖線是直線、拋物線、雙曲線、指數(shù)曲線、對數(shù)曲線等。特別是當(dāng)圖線是直線時，采用此方法更為方便。

（1）由實(shí)驗(yàn)圖線建立經(jīng)驗(yàn)公式的一般步驟

①根據(jù)解析幾何知識判斷圖線的類型。

②由圖線的類型判斷公式的可能特點(diǎn)。

③利用半對數(shù)、對數(shù)或倒數(shù)坐標(biāo)紙，把原曲線改為直線。

④確定常數(shù)，建立起經(jīng)驗(yàn)公式的形式，并用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來檢驗(yàn)所得公式的準(zhǔn)確程度。

（2）用直線圖解法求直線方程

如果做出的實(shí)驗(yàn)圖線是一條直線，則經(jīng)驗(yàn)公式應(yīng)為直線方程

　?。?-43）

要建立此方程，必須由實(shí)驗(yàn)直接求出k和b，下面介紹斜率截距法。

在圖線上選取兩點(diǎn)P1（x1，y1）和P2（x2，y2），注意不得用原始數(shù)據(jù)點(diǎn)，而應(yīng)從圖線上直接讀取，其坐標(biāo)值最好是整數(shù)值。所取的兩點(diǎn)在實(shí)驗(yàn)范圍內(nèi)應(yīng)盡量彼此分開一些，以減小誤差。由解析幾何知，上述直線方程中，k為直線的斜率，b為直線的截距。k可以根據(jù)兩點(diǎn)的坐標(biāo)求出。則斜率為

　?。?-44）

其截距b為x=0時的y值；若原實(shí)驗(yàn)中所繪制的圖形并未給出x=0段直線，可將直線用虛線延長交y軸，則可量出截距。如果起點(diǎn)不為零，也可以由式

　?。?-45）

求出截距，將斜率和截距的數(shù)值代入方程中就可以得到經(jīng)驗(yàn)公式。

（3）曲線改直，曲線方程的建立

在許多情況下，函數(shù)關(guān)系是非線性的，但可通過適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)變換化成線性關(guān)系，在作圖法中用直線表示，這種方法叫作曲線改直。做這樣的變換不僅是由于直線容易描繪，更重要的是直線的斜率和截距所包含的物理內(nèi)涵是我們所需要的。例如：

①y=axb，式中a、b為常量，可變換成lgy=blgx+lga，lgy為lgx的線性函數(shù)，斜率為b，截距為lga。

②y=abx，式中a、b為常量，可變換成lgy=（lgb）x+lga，lgy為x的線性函數(shù)，斜率為lgb，截距為lga。

③PV=C，式中C為常量，要變換成P=C（1/V），P是1/V的線性函數(shù)，斜率為C。

④y2=2px，式中p為常量，，y是x1/2的線性函數(shù)，斜率為。

⑤y=x/（a+bx），式中a、b為常量，可變換成1/y=a（1/x）+b，1/y為1/x的線性函數(shù)，斜率為a，截距為b。

⑥s=v0t+at2/2，式中v0、a為常量，可變換成s/t=（a/2）t+v0，s/t為t的線性函數(shù)，斜率為a/2，截距為v0。

［舉例1］　在恒定溫度下，一定質(zhì)量氣體的壓強(qiáng)P隨容積V而變，畫P-V圖，如圖2-5所示。

用坐標(biāo)軸1/V置換坐標(biāo)軸V，則P-1/V圖為一直線，如圖2-6所示。直線的斜率為C，即?！R定律。

［舉例2］　單擺的周期T隨擺長L而變，繪出T-L實(shí)驗(yàn)曲線為拋物線形如圖2-7所示。若作T 2-L圖則為一直線型，如圖2-8所示。斜率：

　?。?-46）

由此可寫出單擺的周期公式：

　　（2-47）

2.2.4　逐差法

對隨等間距變化的物理量x進(jìn)行測量和函數(shù)可以寫成x的多項式時，可用逐差法進(jìn)行數(shù)據(jù)處理。

例如：一空載長為x0的彈簧，逐次在其下端加掛質(zhì)量為m的砝碼，測出對應(yīng)的長度x1，x2，…，x5，為求每加一單位質(zhì)量的砝碼的伸長量，可將數(shù)據(jù)按順序?qū)Π敕殖蓛山M，使兩組對應(yīng)項相減有：

　?。?-48）

這種對應(yīng)項相減，即逐項求差法簡稱逐差法，是實(shí)驗(yàn)中常用的數(shù)據(jù)處理方法之一。

注意：逐差法與作圖法一樣，都是一種粗略處理數(shù)據(jù)的方法，在化工實(shí)驗(yàn)中，經(jīng)常要用到這兩種基本的方法。在使用逐差法時要注意以下兩個問題：

①在驗(yàn)證函數(shù)表達(dá)式的形式時，要用逐項逐差，不用隔項逐差。這樣可以檢驗(yàn)每個數(shù)據(jù)點(diǎn)之間的變化是否符合規(guī)律。

②在求某一物理量的平均值時，不可用逐項逐差，而要用隔項逐差；否則中間項數(shù)據(jù)會相互消去，而只能用首尾項，白白浪費(fèi)許多數(shù)據(jù)。

如上例，若采用逐項逐差法（相鄰兩項相減的方法）求伸長量，則有

　?。?-49）

可見只有x0、x5兩個數(shù)據(jù)起作用，沒有充分利用整個數(shù)據(jù)組，失去了多次測量以減小誤差的意義，是不合理的。

2.2.5　用最小二乘法作直線擬合

作圖法雖然在數(shù)據(jù)處理中是一個很便利的方法，但在圖線的繪制上往往會引入附加誤差，尤其在圖線確定常數(shù)時，這種誤差有時很明顯。為了克服這一缺點(diǎn)，在數(shù)理統(tǒng)計中研究了直線擬合問題（或稱一元線性回歸問題），常用一種以最小二乘法為基礎(chǔ)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理方法。由于某些曲線的函數(shù)可以通過數(shù)學(xué)變換改寫為直線，例如對函數(shù)y=ae-bx取對數(shù)得lny=lna-bx，lny與x的函數(shù)關(guān)系就變成直線型了。因此這一方法也適用于某些曲線型的規(guī)律。下面就數(shù)據(jù)處理問題中的最小二乘法原則做一簡單介紹。

設(shè)某一實(shí)驗(yàn)中，可控制的物理量取x1，x2，…，xn值時，對應(yīng)的物理量依次取y1，y2，…， yn值。我們假定對xi值的觀測誤差很小，而主要誤差都出現(xiàn)在yi的觀測上。顯然如果從（xi， yi）中任取兩組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)就可得出一條直線，只不過這條直線的誤差有可能很大。直線擬合的任務(wù)就是用數(shù)學(xué)分析的方法從這些觀測到的數(shù)據(jù)中求出一個誤差最小的最佳經(jīng)驗(yàn)式y=a+bx。按這一最佳經(jīng)驗(yàn)公式做出的圖線雖不一定能通過每一個實(shí)驗(yàn)點(diǎn)，但是它以最接近這些實(shí)驗(yàn)點(diǎn)的方式平滑地穿過它們。很明顯，對應(yīng)于每一個xi值，觀測值yi和最佳經(jīng)驗(yàn)式的y值之間存在一偏差，我們稱它為觀測值yi的偏差，即

=yi-y=yi-（a+bxi）（i=1，2，3，…，n）　?。?-50）

最小二乘法的原理：如各觀測值yi的誤差互相獨(dú)立且服從同一正態(tài)分布，當(dāng)yi的偏差的平方和為最小時，得到最佳經(jīng)驗(yàn)式。根據(jù)這一原則可求出常數(shù)a和b。

設(shè)以S表示的平方和，它應(yīng)滿足：

　　（2-51）

式（2-51）中的各yi和xi是測量值，都是已知量，而a和b是待求的，因此S實(shí)際是a和b的函數(shù)。令S對a和b的偏導(dǎo)數(shù)為零，即可解出滿足式（2-51）的a、b值。

　?。?-52）

即

　　（2-53）

其解為

　　（2-54）

將得出的a和b代入直線方程，即得到最佳的經(jīng)驗(yàn)公式y=a+bx。

上面介紹了用最小二乘法求經(jīng)驗(yàn)公式中的常數(shù)a和b，是一種直線擬合法。它在科學(xué)實(shí)驗(yàn)中的運(yùn)用很廣泛，特別是有了計算器后，計算工作量大大減小，計算精度也能保證，因此它是很有用又很方便的方法。用這種方法計算的常數(shù)值a和b是“最佳的”，但并不是沒有誤差，它們的誤差估算比較復(fù)雜。一般地說，一列測量值的大（即實(shí)驗(yàn)點(diǎn)對直線的偏離大），那么由這列數(shù)據(jù)求出的a、b值的誤差也大，由此定出的經(jīng)驗(yàn)公式可靠程度就低；如果一列測量值的?。磳?shí)驗(yàn)點(diǎn)對直線的偏離?。?，那么由這列數(shù)據(jù)求出的a、b值的誤差就小，由此定出的經(jīng)驗(yàn)公式可靠程度就高。

為了檢查實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的函數(shù)關(guān)系與得到的擬合直線符合的程度，數(shù)學(xué)上引入了線性相關(guān)系數(shù)r。r定義為

　　（2-55）

式中。r的取值范圍為-1≤r≤1。從相關(guān)系數(shù)的這一特性可以判斷實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)是否符合線性。如果r很接近于1，則各實(shí)驗(yàn)點(diǎn)均在一條直線上。實(shí)驗(yàn)中r如達(dá)到0.999，就表示實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的線性關(guān)系良好，各實(shí)驗(yàn)點(diǎn)聚集在一條直線附近。相反，相關(guān)系數(shù)r=0或趨近于零，說明實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)很分散，無線性關(guān)系。因此用直線擬合法處理數(shù)據(jù)時要算相關(guān)系數(shù)。具有二維統(tǒng)計功能的計算器有直接計算r及a、b的功能。