二、數據處理

合理的實驗設計只是實驗成功的充分條件，如果沒有實驗數據的分析計算，就不可能對所研究的問題有一個明確的認識，也不可能從實驗數據中尋找到規律性的信息，所以實驗設計都是與一定的數據處理方法相對應的。實驗數據處理在科學實驗中的作用主要體現為如下幾點：

（1）通過誤差分析，可以評判實驗數據的可靠性；

（2）確定影響實驗結果的因素主次，從而可以抓住主要矛盾，提高實驗效率；

（3）確定實驗因素與實驗結果之間存在的近似函數關系，并能對實驗結果進行預測和優化；

（4）獲得實驗因素對實驗結果的影響規律，為控制實驗提供思路；

（5）確定最優的實驗方案或配方。

（一）誤差分析

1.誤差來源

實驗過程中，誤差是不可避免的。引起誤差的原因很多，主要有以下幾種。

（1）模型誤差　數學模型只是對實際問題的一種近似描述，因而它與實際問題之間必然存在誤差。

（2）實驗誤差　數學模型中總包含一些變量，它們的值往往是由實驗觀測得到的。實驗觀測是不可能絕對準確的，由此產生的誤差為實驗誤差。

（3）截斷誤差　一般數學問題常常難以求出精確解，需要簡化為較易求解的問題，以簡化問題的解作為原問題的近似解，這樣由于簡化問題所引起的誤差稱為方法誤差或截斷誤差。

（4）舍入誤差　在計算過程中往往要對數字進行舍入，無窮小數和位數很多的數必須舍入成一定的位數，由此產生的誤差稱為舍入誤差。

2.誤差的分類

實驗誤差根據其性質和來源不同，可分為三類：系統誤差、隨機誤差和過失誤差。

（1）系統誤差是由儀器誤差、方法誤差和環境誤差構成的誤差，即儀器性能欠佳、使用不當、操作不規范，以及環境條件的變化引起的誤差。系統誤差是實驗中潛在的弊端，若已知其來源，應設法消除。若無法在實驗中消除，則應事先測出其數值的大小和規律，以便在數據處理時加以修正。

（2）隨機誤差是實驗中普遍存在的誤差，這種誤差從統計學的角度看，具有有界性、對稱性和抵償性，即誤差僅在一定范圍內波動，不會發散，當實驗次數足夠大時，正、負誤差將相互抵消，數據的算術平均值將趨于真值。因此，不易也不必去刻意地消除它。

（3）過失誤差是由于實驗者的操作失誤造成的顯著誤差。這種誤差通常造成實驗結果的扭曲。在原因清楚的情況下，應及時消除。若原因不明，應根據統計學的準則進行判別和取舍。

3.誤差的表達

在誤差表達中所涉及的幾個概念是數據的真值、絕對誤差、相對誤差、算術均差和標準誤差。

（1）數據的真值　實驗測量值的誤差是相對于數據的真值而言的。嚴格地講，真值應是某量的客觀實際值。然而，在通常情況下，絕對的真值是未知的，只能用相對的真值來近似。在化工專業實驗中，常采用三種相對真值，即標準真值、統計真值和引用真值。

①標準真值就是用高精度儀表測量值的平均值作為真值。要求高精度儀表的測量精度必須是低精度儀表的5 倍以上。

②統計真值就是用多次重復實驗測量的平均值作為真值。重復實驗次數越多，統計真值越趨近于實際真值，由于趨近速度是先快后慢，故重復實驗的次數取3～5。

③引用真值就是引用文獻或手冊上那些已被前人的實驗證實，并得到公認的數據作為真值。

（2）絕對誤差與相對誤差　絕對誤差與相對誤差在數據處理中被用來表示物理量的某次測定值與其真值之間的誤差。

絕對誤差的表達式為

相對誤差的表達式為

式中，xi為第i次測定值；X為真值。

（3）算術均差和標準誤差　算術均差和標準誤差在數據處理中被用來表示一組測量值的平均誤差。其中，算術均差的表達式為

式中，n為測量次數；xi為第i次測定值；為n次測得值的算術均值。

算術均差和標準誤差是實驗研究中常用的精度表示方法，其中因為標準誤差對一組數據中的較大誤差或較小誤差比較敏感，能夠更好地反映實驗數據的離散程度，因而在化工專業實驗中被廣泛采用。

（二）誤差的傳遞

在實際過程中，被測物理量不能直接測定，需要通過間接測定得到。一般先對精密度較高而又容易測定的物理量進行直接測定，然后借助已知函數進行推算。

（1）誤差傳遞的基本關系式　若y是直接測定量x的函數，即y=f（x1，x2，…，xn），由于誤差相對于測定量而言是較小的量，因此可將上式按照泰勒級數展開，略去二階導數以上的項，可得函數y的絕對誤差Δy的表達式：

式中，Δxi為直接測量值的絕對誤差；為誤差傳遞系數。

（2）函數誤差傳遞的關系式　函數誤差Δy不僅與各測量值的誤差Δxi有關，而且與相應的誤差傳遞系數有關。不考慮各測量值誤差實際上相互抵消的可能性，函數的最大絕對誤差和相對誤差為

根據誤差傳遞的基本公式，求取不同函數形式的誤差及其精度，以對實驗結果做出正確的判斷。

（三）數值計算中應注意的問題

在實驗數據處理和模型計算過程中，需要注意以下問題。

（1）在數據處理過程中的四舍五入問題：

①大于5時進1；

②小于5時舍去；

③等于5時，雙數舍去，單數進1。

（2）由于誤差的影響，計算過程中可能出現一些現象，需要避免如下幾點：

①避免兩個相近的數相減；

②避免大數“吃”小數的現象；

③避免除數的絕對值遠小于被除數的絕對值；

④簡化計算，減少運算次數，提高效率；

⑤選用數值穩定性好的算法。