第四節(jié)　常用幾何作圖方法

機(jī)器零件的輪廓形狀一般都是由直線、圓、圓弧及其他平面曲線所組成的幾何圖形。掌握常見幾何圖形的作圖方法，有利于提高繪圖的效率和準(zhǔn)確性。

一、 等分線段

【例1-1】　三等分已知線段AB，如圖1-24所示。

①過端點(diǎn)A作任一直線AC；

②用分規(guī)以任意的長度在AC上截取三等分得1、2、3點(diǎn)；

③連接3B；

④過1、2點(diǎn)作3B的平行線交AB于1' 、2'即得三等分點(diǎn)。

二、等分圓周及作正多邊形

（1）三等分圓周和作正三角形　如圖1-25所示，先使30°三角板的一直角邊過直徑AB，用丁字尺作導(dǎo)邊，過A用三角板的斜邊畫直線交圓于1點(diǎn)，將30°三角板翻轉(zhuǎn)180°，過A用斜邊畫直線，交圓于2點(diǎn)，連接點(diǎn)1、2，則△A12即為圓內(nèi)接三邊形。

（2）六等分圓周和作圓的內(nèi)接正六邊形　作圖步驟如下（見圖1-26）：

①首先任作一個圓；

②將丁字尺水平放好，過圓的左側(cè)象限點(diǎn)Ⅰ點(diǎn)，用60°三角板畫斜邊ⅠⅡ；

③平移三角板，過右側(cè)象限點(diǎn)Ⅳ，畫斜邊ⅣⅤ；

④翻轉(zhuǎn)三角板，過圓的左側(cè)象限點(diǎn)Ⅰ點(diǎn)，用60°三角板畫斜邊ⅠⅥ；

⑤平移三角板，過右側(cè)象限點(diǎn)Ⅳ，畫斜邊ⅣⅢ；

⑥用丁字尺連接兩水平邊ⅡⅢ、ⅤⅥ，即得圓的內(nèi)接正六邊形。

用圓規(guī)作圓的內(nèi)接正三（六）邊形，作圖步驟如下（見圖1-27）：

①首先任作一個圓；

②以圓的下方象限點(diǎn)C點(diǎn)為圓心，R為半徑作弧，分別交圓周得E、F兩點(diǎn)；

③以圓的上方象限點(diǎn)A點(diǎn)為圓心、R為半徑作弧，分別交圓周得H、I兩點(diǎn)；

④依次連接A、E、F各點(diǎn)，即得到圓的內(nèi)接正三（六）邊形。

運(yùn)用同樣的方法，也可以以B、D為圓心作圓的內(nèi)接正三（六）邊形。

（3）五等分圓周和作正五邊形　作圖步驟如下（見圖1-28）：

①平分半徑OM得O1，以點(diǎn)O1為圓心，以O1 A為半徑畫弧，交ON于點(diǎn)O2；

②以O2A為弦長 ，自A點(diǎn)起在圓周依次截取得各等分點(diǎn)。

（4）任意等分圓周和作正n邊形　作圖步驟如下（如圖1-29所示正七邊形）：

①將已知直徑AK七等分。以K點(diǎn)為圓心，AK為半徑畫弧，交直徑的延長線于M、N。

②自M、N分別向AK上的各偶數(shù)點(diǎn)（或奇數(shù)點(diǎn)）作直線并延長，交于圓周上，依次連接各點(diǎn)，得正七邊形。

三、斜度和錐度

（1）斜度　斜度是指一直線或平面對另一直線或平面的傾斜程度，其大小用兩直線或平面夾角的正切來度量。在圖上標(biāo)注為1∶n。并在其前加斜度符號“∠”，且符號的方向與斜度的方向一致。

求一直線AC對另一直線AB的斜度為1∶5，如圖1-30所示。

①將AB線段5等分；

②過B點(diǎn)作AB的垂直線BC，使BC∶AB=1∶5；

③連AC，即為所求的傾斜線。

（2）錐度　錐度是指正圓錐體底圓的直徑與其高度之比或圓錐臺體兩底圓直徑之差與其高度之比。在圖樣上標(biāo)注錐度時，用1∶n的形式，并在前加錐度符號“?”，符號的方向與錐度方向一致。

已知圓錐臺的錐度為1∶3，作圓錐臺如圖1-31所示。

①自A點(diǎn)在軸線上量取AO=3個單位長度得O點(diǎn)；

②過O點(diǎn)作軸線的垂線BC，截取OC=OB=0.5個單位長度，即BC∶AO=1∶3，連接AB、AC得圓錐體，其錐度為1∶3；

③過E點(diǎn)作EM平行于AB，過點(diǎn)F作FN平行于AC。

四、圓弧連接

用一圓弧光滑地連接相鄰兩直線或圓弧的作圖方法，稱為圓弧連接。光滑連接是指線段之間連接一定是相切，問題的關(guān)鍵是求出連接弧的圓心和切點(diǎn)。

1.圓弧連接的作圖原理（見表1-5）

2.用圓弧連接銳角和鈍角的兩邊

作圖步驟如下（見圖1-32）：

①求連接圓弧的圓心。用兩個三角板配合，分別作與已知角兩邊相距為R的平行線，交點(diǎn)O即為連接弧圓心；

②求連接圓弧的切點(diǎn)。由O點(diǎn)分別向已知角兩邊作垂線，垂足T1、T2即為切點(diǎn)；

③畫連接圓弧。以O為圓心、R為半徑，在兩切點(diǎn)T1、T2之間畫連接圓弧，即完成作圖。

3.用圓弧外連接兩已知圓弧

作圖步驟如下（見圖1-33）：

①求連接圓弧的圓心。分別以O1、O2為圓心，以R1+R、R2+R為半徑，畫弧交于O，O點(diǎn)就是連接弧圓心；

②求連接圓弧切點(diǎn)。連O、O1與已知弧交于A，連O、O2與已知弧交于B，A、B就是所求的切點(diǎn)；

③畫連接圓弧。以O為圓心，R為半徑畫圓弧，連接兩已知圓弧于A、B，完成作圖。

4.用圓弧內(nèi)連接兩已知圓弧

作圖步驟如下（見圖1-34）：

①求連接圓弧的圓心。分別以O1、O2為圓心，以R-R1、R-R2為半徑，畫弧交于O，O點(diǎn)就是連接弧圓心；

②求連接圓弧切點(diǎn)。連OO1、OO2并延長，分別交于A、B兩點(diǎn)，A、B就是所求的切點(diǎn)；

③畫連接圓弧。以O為圓心，R為半徑畫圓弧，連接兩已知圓弧于A、B，完成作圖。

5.用圓弧混合連接兩已知圓弧

作圖步驟如下（見圖1-35）：

①求連接圓弧的圓心。分別以O1、O2為圓心，以R1+R、R2-R為半徑，畫弧交于O，O點(diǎn)就是連接弧圓心；

②求連接圓弧切點(diǎn)。連OO1與已知弧交于A點(diǎn)、連OO2并延長與已知弧交于B點(diǎn)，A、B就是所求的切點(diǎn)；

③畫連接圓弧。以O為圓心，R為半徑畫圓弧，連接兩已知圓弧于A、B，完成作圖。

6.用圓弧連接已知直線和圓弧（外切）

作圖步驟如下（見圖1-36）：

①求連接圓弧的圓心。作直線L2平行于直線L1，兩線的距離為R；以O1為圓心，R1+R為半徑畫弧與直線L2相交于O點(diǎn)，O點(diǎn)就是連接弧圓心；

②求連接圓弧切點(diǎn)。連接OO1與已知圓弧交于A點(diǎn)，過O點(diǎn)作OB垂直于直線L1，與直線交于B點(diǎn)，A、B就是所求的切點(diǎn)；

③畫連接圓弧。以O點(diǎn)為圓心、R為半徑畫圓弧，連接直線L1和圓弧O1于A、B，完成作圖。

五、橢圓的畫法

橢圓是常見的非圓曲線。已知橢圓長軸和短軸，可以用同心圓法或四心近似法畫出橢圓。

1.同心圓法

作圖步驟如下（見圖1-37）：

①作兩相互垂直的中心線，以中心線交點(diǎn)為圓心，分別以長軸AB、短軸CD長度為直徑（大小自定），作兩個同心圓；

②用30°三角板與丁字尺配合，將所作的圓進(jìn)行12等分，等分線與兩圓相交；

③過大圓上的等分點(diǎn)作CD的平行線，過小圓上的等分點(diǎn)作AB的平行線，每兩條對應(yīng)平行線的交點(diǎn)即橢圓上的點(diǎn)；

④用曲線板按順序光滑地連接各點(diǎn)即得橢圓。

2.四心近似法

作圖步驟如下（見圖1-38）：

①作相互垂直的兩中心線，交于點(diǎn)O，分別在水平線和垂直線上確定橢圓的長、短軸AB和CD；

②連AC；以O為圓心，OA為半徑畫弧交于DC延長線的E點(diǎn)；再以C為圓心，CE為半徑畫弧與AC交于F點(diǎn)；

③作AF的垂直平分線，與AB交于點(diǎn)3，與CD交于點(diǎn)1；量取1、3兩點(diǎn)的對稱點(diǎn)2和4（1、2、3、4點(diǎn)即圓心）；

④連接23點(diǎn)、24點(diǎn)、41點(diǎn)并延長，得到一菱形；

⑤以1、2點(diǎn)為圓心，以1C、2D為半徑畫弧，與菱形的延長線相交，即得兩條大圓弧；再以3、4點(diǎn)為圓心，3A、4B為半徑畫弧，與所畫的大圓弧連接，即得到橢圓。

六、徒手繪圖簡介

隨著計算機(jī)繪圖技術(shù)的發(fā)展，工程現(xiàn)場繪制草圖顯得更加重要，而在測繪現(xiàn)場，為了提高繪圖速度和準(zhǔn)確性，對于不用繪圖工具和儀器而按目測比例和徒手畫的情況不斷在增加。徒手繪制草圖是工程技術(shù)人員必須掌握的一項(xiàng)重要的基本技能。

1.直線的徒手畫法

徒手畫直線的基本要領(lǐng)是，筆桿垂直于紙面并略向畫線方向傾斜，眼觀直線的終點(diǎn)，手腕不動，用手臂帶動筆作水平移動或垂直移動，直線盡量要一筆畫成，做到粗細(xì)均勻，如圖1-39所示。

2.常用角度的徒手畫法

畫常用的30°、45°、60°等角度時，根據(jù)兩直角邊的比例關(guān)系，畫出端點(diǎn)然后連接，如圖1-40所示。

3.圓的徒手畫法

畫小圓時，憑目測在中心線上按半徑定出四點(diǎn)。畫大圓時，先畫中心線，目測半徑，多畫幾條過圓心的線，圖線越多，圓的精度就越高，如圖1-41所示。

4.橢圓的徒手畫法

先畫出橢圓的長短軸，目測定出其四個點(diǎn)，過這四點(diǎn)畫一矩形，然后徒手畫橢圓與矩形相切，如圖1-42所示。