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第一節(jié) 平面立體的三面投影

平面立體的表面是由若干個(gè)平面所構(gòu)成。而平面可看作是由一些直線和棱線所構(gòu)成,按照點(diǎn)、線、面的投影規(guī)律將這些線、面畫出來,即可畫出平面立體的圖形。工程上常見的平面立體有兩種:棱柱和棱錐。下面就介紹六棱柱和三棱錐的三個(gè)基本視圖的形成和畫法。

一、棱柱

1.棱柱的三面投影

如圖3-3(a)所示的正六棱柱,六棱柱是由上、下正六邊形和六個(gè)側(cè)面(矩形)所構(gòu)成。將它置于三投影面體系中,使其頂面、底面均為水平面,它們的水平投影反映實(shí)形,正面和側(cè)面投影積聚為一直線。棱柱有六個(gè)側(cè)面,前后為正平面,其正面投影反映實(shí)形,水平投影及側(cè)面投影積聚為一直線。棱柱的其他四個(gè)側(cè)面均為鉛垂面,水平投影積聚為直線,正面投影和側(cè)面投影為類似形。

直棱柱的投影特點(diǎn):一個(gè)投影為多邊形,反映棱柱的形狀特征,另外兩個(gè)投影是由矩形(實(shí)線和虛線)組成的矩形線框。

作圖時(shí),先畫出對(duì)稱中心線,再畫出反映棱柱形狀特征的投影——反映頂?shù)酌娴恼噙呅危缓蟾鶕?jù)棱柱的高作出其他兩個(gè)投影,如圖3-3(b)所示。

圖3-3 正六棱柱的投影

2.棱柱表面上的點(diǎn)

在平面立體表面上的點(diǎn),實(shí)質(zhì)上就是平面上的點(diǎn)。作立體表面上點(diǎn)的投影時(shí),首先確定點(diǎn)在平面上的位置,根據(jù)點(diǎn)的二面投影,求出第三面投影。在確定點(diǎn)的實(shí)際位置時(shí),一定要判別點(diǎn)的可見性。若點(diǎn)所在表面的投影可見,則點(diǎn)的同面投影也可見;反之為不可見。正六棱柱的各個(gè)表面都處于特殊位置,因此在表面上的點(diǎn)可利用平面投影的積聚性來作圖。

【例3-1】 如圖3-4(a)所示,已知正六棱柱表面上點(diǎn)M和點(diǎn)N的正面投影m'、n',求這兩點(diǎn)的水平投影mn和側(cè)面投影m″、n″。

解:由于點(diǎn)M正面投影m'是可見的,因此點(diǎn)M必定在正六棱柱的左前側(cè)面上,而左前側(cè)面為鉛垂面,其水平投影具有積聚性,因此m必在其有積聚性的水平投影上,由m'向下引投影連線可求出m。根據(jù)m'和m,由點(diǎn)的投影規(guī)律可求出m″。由于點(diǎn)N正面投影n'是不可見的,因此點(diǎn)N必定在正六棱柱的后側(cè)面上,而后側(cè)面為正平面,其水平投影具有積聚性,因此n必在其有積聚性的水平投影上,由n'向下引投影連線可求出n。根據(jù)n'和n,由點(diǎn)的投影規(guī)律可求出n″。如圖3-4(b)所示。

注意:對(duì)不可見的點(diǎn)的投影,需加圓括號(hào)表示。

圖3-4 作正六棱柱表面上的點(diǎn)

二、棱錐

1.棱錐的三面投影

如圖3-5(a)所示為正三棱錐的三面投影。三棱錐是由底面和三個(gè)側(cè)面所圍成。按立體圖中所示的看圖方向,根據(jù)投影規(guī)律可知,底面△ABC為水平面,其水平投影反映三角形的實(shí)形,正面投影和側(cè)面投影積聚為一直線,分別為a'b'c'和a″(c″)b″。△SAC為側(cè)垂面,側(cè)面投影積聚為一直線sa″(c″),水平投影sac和正面投影s'a'c'都是類似形。△SAB和△SBC為一般位置平面,其三面投影均為類似形。棱線SB為側(cè)平線,SASC為一般位置直線,AC為側(cè)垂線,ABBC為水平線。

畫正三棱錐的三面投影時(shí),先畫出底面△ABC的各面投影,再畫出錐頂S的各面投影,然后連接各頂點(diǎn)的同面投影,即為正三棱錐的三視圖,如圖3-5(b)所示。在畫圖時(shí),要根據(jù)點(diǎn)的投影規(guī)律準(zhǔn)確繪制,例如,通過作圖可知,正三棱錐的側(cè)面投影不是等腰三角形。

圖3-5 正三棱錐的投影

2.棱錐表面上的點(diǎn)

求作棱錐表面上點(diǎn)的投影和求棱柱表面上的點(diǎn)的投影相類似,首先要確定平面的三面投影,然后判斷點(diǎn)在平面中的位置,由點(diǎn)的二面投影,按投影規(guī)律確定第三面投影。

【例3-2】 如圖3-6(a)所示,已知正三棱錐表面上點(diǎn)M的正面投影m',求點(diǎn)M的其余兩面投影。

解法一:

由于m'是可見的,因此該點(diǎn)在一般位置平面——側(cè)面△SAB上,可過錐頂S和點(diǎn)M作一輔助線SⅠ,得其正面投影s'1',然后,作出輔助線SⅠ的水平投影s1,在s1上求出M點(diǎn)的水平投影m,再根據(jù)mm'求出m″。 作圖步驟如圖3-6(b)所示。

解法二:

過點(diǎn)M作一輔助線ⅠⅡ,使ⅠⅡ∥AB,得其正面投影1'2',然后,作出輔助線ⅠⅡ的水平投影12,在12上求出M點(diǎn)的水平投影m,再根據(jù)mm'求出m″。作圖步驟如圖3-6(c)所示。

圖3-6 作正三棱錐表面上的點(diǎn)

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