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第一節 平面立體的三面投影

平面立體的表面是由若干個平面所構成。而平面可看作是由一些直線和棱線所構成,按照點、線、面的投影規律將這些線、面畫出來,即可畫出平面立體的圖形。工程上常見的平面立體有兩種:棱柱和棱錐。下面就介紹六棱柱和三棱錐的三個基本視圖的形成和畫法。

一、棱柱

1.棱柱的三面投影

如圖3-3(a)所示的正六棱柱,六棱柱是由上、下正六邊形和六個側面(矩形)所構成。將它置于三投影面體系中,使其頂面、底面均為水平面,它們的水平投影反映實形,正面和側面投影積聚為一直線。棱柱有六個側面,前后為正平面,其正面投影反映實形,水平投影及側面投影積聚為一直線。棱柱的其他四個側面均為鉛垂面,水平投影積聚為直線,正面投影和側面投影為類似形。

直棱柱的投影特點:一個投影為多邊形,反映棱柱的形狀特征,另外兩個投影是由矩形(實線和虛線)組成的矩形線框。

作圖時,先畫出對稱中心線,再畫出反映棱柱形狀特征的投影——反映頂底面的正多邊形,然后根據棱柱的高作出其他兩個投影,如圖3-3(b)所示。

圖3-3 正六棱柱的投影

2.棱柱表面上的點

在平面立體表面上的點,實質上就是平面上的點。作立體表面上點的投影時,首先確定點在平面上的位置,根據點的二面投影,求出第三面投影。在確定點的實際位置時,一定要判別點的可見性。若點所在表面的投影可見,則點的同面投影也可見;反之為不可見。正六棱柱的各個表面都處于特殊位置,因此在表面上的點可利用平面投影的積聚性來作圖。

【例3-1】 如圖3-4(a)所示,已知正六棱柱表面上點M和點N的正面投影m'、n',求這兩點的水平投影mn和側面投影m″、n″。

解:由于點M正面投影m'是可見的,因此點M必定在正六棱柱的左前側面上,而左前側面為鉛垂面,其水平投影具有積聚性,因此m必在其有積聚性的水平投影上,由m'向下引投影連線可求出m。根據m'和m,由點的投影規律可求出m″。由于點N正面投影n'是不可見的,因此點N必定在正六棱柱的后側面上,而后側面為正平面,其水平投影具有積聚性,因此n必在其有積聚性的水平投影上,由n'向下引投影連線可求出n。根據n'和n,由點的投影規律可求出n″。如圖3-4(b)所示。

注意:對不可見的點的投影,需加圓括號表示。

圖3-4 作正六棱柱表面上的點

二、棱錐

1.棱錐的三面投影

如圖3-5(a)所示為正三棱錐的三面投影。三棱錐是由底面和三個側面所圍成。按立體圖中所示的看圖方向,根據投影規律可知,底面△ABC為水平面,其水平投影反映三角形的實形,正面投影和側面投影積聚為一直線,分別為a'b'c'和a″(c″)b″。△SAC為側垂面,側面投影積聚為一直線sa″(c″),水平投影sac和正面投影s'a'c'都是類似形。△SAB和△SBC為一般位置平面,其三面投影均為類似形。棱線SB為側平線,SASC為一般位置直線,AC為側垂線,ABBC為水平線。

畫正三棱錐的三面投影時,先畫出底面△ABC的各面投影,再畫出錐頂S的各面投影,然后連接各頂點的同面投影,即為正三棱錐的三視圖,如圖3-5(b)所示。在畫圖時,要根據點的投影規律準確繪制,例如,通過作圖可知,正三棱錐的側面投影不是等腰三角形。

圖3-5 正三棱錐的投影

2.棱錐表面上的點

求作棱錐表面上點的投影和求棱柱表面上的點的投影相類似,首先要確定平面的三面投影,然后判斷點在平面中的位置,由點的二面投影,按投影規律確定第三面投影。

【例3-2】 如圖3-6(a)所示,已知正三棱錐表面上點M的正面投影m',求點M的其余兩面投影。

解法一:

由于m'是可見的,因此該點在一般位置平面——側面△SAB上,可過錐頂S和點M作一輔助線SⅠ,得其正面投影s'1',然后,作出輔助線SⅠ的水平投影s1,在s1上求出M點的水平投影m,再根據mm'求出m″。 作圖步驟如圖3-6(b)所示。

解法二:

過點M作一輔助線ⅠⅡ,使ⅠⅡ∥AB,得其正面投影1'2',然后,作出輔助線ⅠⅡ的水平投影12,在12上求出M點的水平投影m,再根據mm'求出m″。作圖步驟如圖3-6(c)所示。

圖3-6 作正三棱錐表面上的點

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