3.5　精餾塔塔板數(shù)的計算

板式精餾塔設(shè)計的一個重要內(nèi)容便是確定所需要的塔板數(shù)。要計算實際塔板數(shù)，首先要求出理論塔板數(shù)；其次根據(jù)不同類型的板式塔確定塔板效率；最后根據(jù)理論塔板數(shù)和塔板效率求取實際塔板數(shù)。

而理論塔板數(shù)的確定是交替應(yīng)用相平衡關(guān)系和物料平衡的操作線關(guān)系進(jìn)行計算的。所以要首先確定汽液相平衡關(guān)系，其次確定回流比，進(jìn)而找出操作線方程，最后再進(jìn)行塔板數(shù)的計算。

3.5.1　汽液相平衡關(guān)系

汽液相平衡是精餾塔計算的理論依據(jù)，下面簡單介紹一下汽液相平衡關(guān)系。

假設(shè)組分A和B形成理想液態(tài)混合物，組分A的平衡分壓pA由于被組分B稀釋而降低，依據(jù)拉烏爾定律，pA可用下式表示：

　　 （3-20） 　　

式中，表示純液體A的蒸氣壓；xA表示溶液中組分A的摩爾分?jǐn)?shù)。

同理，將上述關(guān)系應(yīng)用于組分B，則有：

　　 （3-21） 　　

式中，表示純液體B的蒸氣壓；xB表示溶液中組分B的摩爾分?jǐn)?shù)。

依據(jù)道爾頓分壓定律，混合液的汽相總壓可表示為：

　　 （3-22） 　　

又由于xB=1-xA，上式中若省略下標(biāo)A，液相組成用易揮發(fā)組分A的摩爾分?jǐn)?shù)x表示，式（3-22）可寫成：

　　 （3-23） 　　

式（3-23）也可整理為：

　　 （3-24） 　　

在一定的總壓p下，對于某一指定溫度t，可查得蒸氣壓數(shù)據(jù)、，則可通過式（3-24）計算液相組成x。

又由道爾頓分壓定律，易揮發(fā)組分A的汽相組成可用分壓表示如下：

y=pA/p　?。?-25）

則組分B的汽相組成也便可知。

　　 此處若引入相對揮發(fā)度的概念， 　　 　　 （3-26）

則依然由道爾頓分壓定律，式（3-26）可寫成：

　　 （3-27） 　　

又二元物系可用單一變量表示相組成，此處用易揮發(fā)組分A的組成表示汽液相組成，且省略下標(biāo)A，式（3-27）可寫成：

　　 （3-28） 　　

式（3-28）表示互成平衡的汽液兩相組成y與x的關(guān)系，稱為理想溶液的汽液平衡方程式。當(dāng)α值已知，便可由x（或y）求出平衡時的y（或x）。

圖3-10給出了苯-甲苯物系在總壓為1atm下的相平衡相圖。在精餾操作中，廣泛應(yīng)用到汽液平衡組成的相圖，又稱x-y相圖。由于汽相中易揮發(fā)組分的含量比液相中多，即y>x，所以，x-y汽液相平衡曲線與對角線相比，向上突出。x-y曲線突出得離對角線越遠(yuǎn)，說明易揮發(fā)組分的揮發(fā)度越大，越有利于在精餾過程中進(jìn)行分離。

3.5.2　物料衡算及操作線

為了計算離開各層塔板的組成，除了應(yīng)用式（3-28）進(jìn)行汽液相平衡計算以外，還需要計算自任一塔板下降的液相組成與其下層塔板上升的汽相組成之間的關(guān)系。由于在加料塔板上有物料進(jìn)入，使得精餾段與提餾段的汽、液相流量有所不同?，F(xiàn)分別就精餾段與提餾段分別進(jìn)行分析。

（1）精餾段操作線

精餾段的操作過程如圖3-11所示。

塔板序號自上而下數(shù)，離開各層塔板的汽、液相組成分別以y1，x1，y2，x2，…，yn，xn表示。自第一層塔板上升的蒸氣若全部冷凝，冷凝液的組成y1與給定的產(chǎn)品組分xD相等。基于理論塔板的概念，離開各層塔板的汽、液相達(dá)到平衡，則可根據(jù)汽液平衡關(guān)系式（3-28）計算出x1。

計算自第二層塔板上升蒸氣的組成y2，則需要尋求其他關(guān)系。精餾段上升蒸氣經(jīng)冷凝后的冷凝液一部分（D）作為產(chǎn)品流出，另一部分（L）回流至塔內(nèi)。基于恒摩爾流假定，離開各層塔板的液體流量均為L，氣體流量均為V。對圖3-11所示虛線范圍進(jìn)行物料衡算則有：

V=L+D　?。?-29）

Vy2=Lx1+DxD　?。?-30）

由以上兩式可得，

　　 （3-31） 　　

由此便可計算出上升蒸氣的組成y2。

同理，若是對整個精餾段做物料衡算，則可得

　　 （3-32） 　　

若引入回流比的概念，則式（3-32）可寫成：

　　 （3-33） 　　

式（3-32）、式（3-33）均稱為精餾段操作線方程，表示精餾段中相鄰兩層塔板之間的上升蒸汽組成yn+1與下降液體組成xn之間的關(guān)系。

精餾段操作線方程對應(yīng)的曲線稱為精餾段操作線，是一條斜率為（或）的直線。精餾段相鄰兩層塔板之間的組成點（xn，yn+1）均在精餾段操作線上，如圖3-12所示。

交替應(yīng)用相平衡關(guān)系以及精餾段操作線關(guān)系可求得精餾段各個塔板上的汽液相組成。此種計算方法被稱為逐板計算法，較為煩瑣，但對于理解精餾過程至關(guān)重要。

在圖3-12中再做出相平衡曲線，就可以用所謂的x-y圖解法求取汽、液相的組成以及理論塔板數(shù)。對于給定的塔頂產(chǎn)品含量要求xD，在操作線上選定點a（xD，xD），由于自第一層塔板上升的汽相組成為y1，對于全凝器有y1=xD，從a點向相平衡曲線作平行線交相平衡曲線于點E1（x1，y1），依據(jù)點E1可確定x1。再從點E1（x1，y1）向操作線作垂線交點為A1，由于點A1在操作線上，所以該點的坐標(biāo)應(yīng)為A1（x1，y2）。依此類推，再從點A1（x1，y2）向相平衡曲線作平等線交點為E2（x2，y2），這樣可以逐步求得離開各層塔板的汽、液相組成，直到加料板為止。

一般情況下，并不需要詳細(xì)知道離開每層塔板的汽、液相組成，而只要求達(dá)到指定的分離效果的理論板數(shù)。為此，只需要數(shù)一數(shù)平衡線上的梯級數(shù)即可確定理論板數(shù)。這種方法稱為x-y圖解法，其理論基礎(chǔ)仍然是交替應(yīng)用物料平衡與相平衡關(guān)系。

（2）提餾段操作線

提餾段的操作過程如圖3-13所示。

自m層塔板下降的液相組成與自其下層塔板上升的汽相組成仍然符合相平衡關(guān)系。而對于物料平衡，由于在加料板上有進(jìn)料的影響，使得提餾段的汽、液相流量與精餾段不同，此處假定汽、液相流量分別為L'、V'，則對圖3-13中虛線所示范圍做物料衡算有：

L'=V'+W　　（3-34）

L'xm=V'ym+1+WxW　?。?-35）

由以上兩式可得，

　　 （3-36） 　　

式（3-36）代表操作線上點（xm，ym+1）之間的關(guān)系。

省略下標(biāo)，可得提餾段操作線方程：

　　 （3-37） 　　

式中，塔底產(chǎn)品產(chǎn)量W及其組成xW已知，但塔內(nèi)的汽、液相流量V'、L'由于受進(jìn)料的影響，需要根據(jù)進(jìn)料狀況具體分析。可能的進(jìn)料狀況有以下幾種：過冷液體進(jìn)料、飽和液體進(jìn)料、飽和汽液混合物進(jìn)料、飽和蒸氣進(jìn)料以及過熱蒸氣進(jìn)料。

假設(shè)進(jìn)料中液相所占的比例為q，則汽相所占的比例為1-q。如圖3-14所示。

對加料板做物料衡算，則有：

L'=L+qF　?。?-38）

V'=V-（1-q）F　　（3-39）

聯(lián)立求解式（3-37）、式（3-33）兩條操作線方程，可以求得兩條操作線的交點d，連接點d與點（xW，xW）便是提餾段操作線。

聯(lián)立式（3-38）、式（3-39）以及式（3-2），可求得：

　　 （3-40） 　　

該方程代表了兩條操作線交點d的軌跡，從該式可以看出它完全由進(jìn)料狀況以及進(jìn)料組成決定，稱為進(jìn)料線方程。

根據(jù)精餾段操作線與提餾段操作線，利用x-y圖解法，便可求出整個精餾塔所需要的理論板數(shù)。

3.5.3　回流比的選擇與確定

（1）回流比的選擇

回流比R的選擇，關(guān)乎塔的制造費用與操作費用，選擇回流比R應(yīng)當(dāng)使總費用最小。但是對于課程設(shè)計而言，很難得到計算各項費用的準(zhǔn)確數(shù)據(jù)，故常常取一個經(jīng)驗數(shù)據(jù)，通常取回流R為最小回流比Rmin的1.1～2倍。

（2）最小回流比Rmin的確定

在設(shè)計條件下，如選用較小的回流比，兩操作線向平衡線移動，達(dá)到指定分離程度所需要的理論板數(shù)增多。當(dāng)回流比減至某一數(shù)值時，兩操作線的交點落在平衡線上，此時理論板數(shù)為無窮多，此即為指定分離程度時的最小回流比。最小回流比的計算公式為：

　　 （3-41） 　　

式中　ye——操作線與平衡線相交時的汽相組成；

xe——操作線與平衡線相交時的液相組成。

【設(shè)計分析1】當(dāng)回流比選的偏小，則所需理論板數(shù)多，在操作時能順利完成分離任務(wù)及要求，但設(shè)計出的塔板結(jié)構(gòu)對蒸汽及液體負(fù)荷的彈性則降低；若回流比偏大，設(shè)計出的塔板結(jié)構(gòu)能承擔(dān)較大的負(fù)荷，但理論板數(shù)少，在估算塔板效率時宜選偏小值來滿足分離任務(wù)及要求。一般來說，對于難分離或分離要求較高的混合物通常選用較大的回流比；而為了減少加熱蒸汽消耗量等從節(jié)能方面考慮則宜采用較小的回流比。統(tǒng)計表明，實際生產(chǎn)中的操作回流比以1.6～1.9倍最小回流比的范圍使用較多。

3.5.4　理論塔板數(shù)的計算

精餾塔理論塔板數(shù)的求取方法有多種，一般可選用逐板計算法、直角梯級圖解法、捷算法等，下面分別簡要加以介紹。

（1）逐板計算法

逐板計算法也叫解析法。根據(jù)理論塔板的概念，假定離開每層塔板的汽、液相組成達(dá)到平衡。如果采用全凝器，那么離開第一層塔板的汽相組成y1與塔頂產(chǎn)品組成xD相同，而塔頂組成往往是給定值，應(yīng)用相平衡方程，可求得離開第一層塔板的液相組成x1，再應(yīng)用操作線方程，由x1計算出由下層塔板上升的汽相組成y2。這樣依次交替應(yīng)用相平衡關(guān)系與精餾段操作線方程逐板計算每層理論塔板的汽、液相組成，直至達(dá)到進(jìn)料濃度，此處應(yīng)為進(jìn)料板。接下來，由精餾段操作線方程改為提餾段操作線方程，仍然交替應(yīng)用平衡線方程與操作線方程進(jìn)行逐板計算，直至液相組分小于塔底產(chǎn)品組分。此種計算方法概念清晰，結(jié)果準(zhǔn)確，特別適用于相對揮發(fā)度較小難以分離的物系。但是，該方法的缺點是計算較為繁雜，不過可應(yīng)用現(xiàn)代計算機(jī)技術(shù)，以幫助克服此困難。

（2）直角梯級圖解法

直角梯級圖解法本質(zhì)原理上仍然是交替地應(yīng)用相平衡關(guān)系及物料平衡關(guān)系，只是該方法是在x-y圖上交替應(yīng)用兩個平衡關(guān)系，較為直觀地繪出梯級來代表理論塔板。其具體步驟如下。

①在x-y圖中作出待分離混合物系的相平衡曲線以及對角線，如圖3-15所示。

②在x軸上分別定出x=xD、xF、xW三個點，并通過這三個點依次向?qū)蔷€作垂線分別交于點b、f、a。

③在y軸上定出yc=xD/（R+1）點c，連接ac，即為精餾段操作線。

④由進(jìn)料狀態(tài)求出q線的斜率q/（q-1），通過點f作q線。

⑤q線與ac的交點設(shè)為點d，連接bd，即為提餾段的操作線。

⑥從a點開始，在相平衡線與精餾段操作曲線之間作直角梯級。當(dāng)直角梯級跨過點d時，這個梯級就相當(dāng)于加料板。然后改為在相平衡線與提餾段操作曲線之間作直角梯級，直至梯級跨過點b為止。根據(jù)理論塔板的概念，一個直角梯級代表一塊理論塔板，所有繪制的直角梯級數(shù)即為理論塔板數(shù)，同時也確定了進(jìn)料板，最后一個直角梯級代表了再沸器。

該方法與逐板計算法相比，不太精確，為了得到較為準(zhǔn)確的結(jié)果，可以采用適當(dāng)?shù)姆糯蟊壤M(jìn)行作圖求解。盡管沒有逐板計算法精確，但由于該方法簡單直觀，仍然得到了廣泛的應(yīng)用。

（3）捷算法

通過分析理論塔板數(shù)N與回流比R之間的關(guān)系可知，當(dāng)回流比R從最小回流比Rmin增大至適當(dāng)?shù)幕亓鞅葧r，理論塔板數(shù)N隨之從無窮大減小至一個適當(dāng)?shù)闹担?dāng)全回流時，理論塔板數(shù)向某一有限值Nmin逼近。如果能夠找出R、Rmin、Nmin、N之間的定量關(guān)系，便能確定所需要的理論塔板數(shù)。依據(jù)這一想法，前人曾對多種二元和多元物系在不同的精餾條件下的數(shù)值進(jìn)行整理，得知以上四個數(shù)據(jù)之間的確實存在著近似的定量關(guān)系，用該關(guān)系作圖便被稱為吉利蘭關(guān)聯(lián)圖，如圖3-16所示。

圖中以X=（R-Rmin）/（R+1）為橫坐標(biāo)，以Y=（N-Nmin）/（N+1）為縱坐標(biāo)。應(yīng)用該圖時，可以根據(jù)已知條件求算出橫坐標(biāo)X的值，從圖上查出對應(yīng)縱坐標(biāo)Y的值，從而可以求得理論塔板數(shù)N。吉利蘭關(guān)聯(lián)圖中的曲線也可以近似用其擬合的關(guān)系式代替：

Y=0.75（1-X0.567）　?。?-42）

捷算法求解理論塔板數(shù)的步驟：

①先按設(shè)計條件求出最小回流比Rmin，并選擇操作回流比R。

②計算全回流下的最小理論板數(shù)Nmin。

③利用吉利蘭關(guān)聯(lián)圖，計算全塔理論板數(shù)N。

④用精餾段的最小理論板數(shù)Nmin1代替全塔的Nmin，確定適宜的進(jìn)料板位置。

最小理論塔板數(shù)Nmin、Nmin1可按以下兩個公式確定：

　　 （3-43） 　　

　　 （3-44） 　　

式中，a表示物系的平均相對揮發(fā)度，可用求解。式（3-43）計算所得的最小理論塔板數(shù)不包括塔底再沸器。

該方法與逐板計算法相比，較為粗略，適用于設(shè)計過程的初步估算。

3.5.5　實際塔板數(shù)的計算及塔板效率

在實際的精餾操作過程中，由于汽液相接觸時間有限、液沫夾帶等原因，汽液相通過塔板接觸進(jìn)行傳熱、傳質(zhì)后離開塔板，一般情況下不能達(dá)到理想的平衡狀態(tài)。用塔板效率來表示汽液接觸時的傳質(zhì)完善程度。

通常用全塔的總板效率來表示塔板效率?？偘逍适侵冈谝欢ǖ姆蛛x要求與回流比下所需要的理論塔板數(shù)NT與實際塔板數(shù)Np之比，即

ET=NT/Np　　（3-45）

通過上式，若得知總板效率便可求得所需要的實際塔板數(shù)。

但是，塔板效率與塔板的結(jié)構(gòu)、需要分離的物料性質(zhì)以及操作狀況等眾多因素有關(guān)。事實上，在板式塔設(shè)計中，將所有影響傳質(zhì)過程的動力學(xué)因素全部歸結(jié)到塔板效率上了，很難從理論上定量考察塔板效率，至今未獲得令人滿意的解決方法。通常基于經(jīng)驗數(shù)據(jù)來確定塔板效率，工業(yè)上測定值通常為0.3～0.7。一般有如下方法來確定塔板效率。

①參考使用過程中的同類型的塔板、物系性質(zhì)相同或相近的塔板效率的經(jīng)驗數(shù)據(jù)。

②在生產(chǎn)現(xiàn)場對同類型塔板、類似物系的塔進(jìn)行實際測定，可得出可靠的塔板效率數(shù)據(jù)。

③在沒有可靠的經(jīng)驗數(shù)據(jù)或?qū)崪y數(shù)據(jù)作參考時，可采用奧康爾的蒸餾塔效率關(guān)系圖來估算全塔效率，見圖3-17。此圖是經(jīng)過對幾十個生產(chǎn)中的泡罩塔與篩板塔實際測定的結(jié)果，實踐證明此圖也可用于浮閥塔的效率估計。圖中ET、a、μL分別表示全塔效率、平均塔溫下的相對揮發(fā)度以及進(jìn)料液在塔頂和塔底平均溫度下的黏度。圖中曲線也可以用多種關(guān)聯(lián)式表示，應(yīng)用較廣泛的關(guān)聯(lián)式包括：O'Connell關(guān)聯(lián)式ET=0.49（aμL）-0.245；Eduljee關(guān)聯(lián)式ET=51-32.5lg（aμL）以及其他眾多關(guān)系式。

【設(shè)計分析2】其他常用計算塔板效率的方法：

（1）Drickaner-Bradford方法

從大量烴類及非烴類工業(yè)裝置的精餾塔實際數(shù)據(jù)歸納而成。

ET=0.17-0.616lgμ　　（3-46）

式中　μ——塔進(jìn)料液體平均摩爾黏度，cP（1cP=1mPa·s）。

（2）O'connell方法

在32個工業(yè)塔和5個實驗塔的基礎(chǔ)上，得到計算公式：

ET=49（μα）-0.25　?。?-47）

式中　μ——塔進(jìn)料液體平均摩爾黏度，cP。