2.2　展開實長與實形的求法

2.2.1　旋轉法

2.2.1.1　旋轉法求實長的原理

旋轉法就是將傾斜線環繞垂直于某投影面的軸線，旋轉到與另一投影面平行的位置，則在該投影面上的投影線段，即為傾斜線的實長。為了作圖方便，軸線一般過傾斜線的一個端點，也就是以該端點為圓心，以傾斜線為半徑進行旋轉。

圖2-24　所示是旋轉法求實長的原理圖。AB是一般位置線段，它傾斜于任一投影面。AB在V面的投影a'b'和在H面的投影ab，都比實長縮短。假設過AB的一端點A作垂直于H面的軸AO，當AB線繞AO軸線旋轉到與V面平行的位置AB1時，它在V面上的投影（圖中以虛線表示實長）反映其實長。

2.2.1.2　旋轉法求實長的作法

如圖2-25所示，是運用旋轉法求實長的作法，圖中（a）是將水平投影ab進行旋轉，使之與正面投影面相平行，得出點a1、b1，連接a1b'或a'b1，就是線段AB的實長。圖中（b）是將正面投影a'b'進行旋轉，使之與水平投影面相平行，得出a1、b1，連接a1b或ab1就是所求線段AB的實長。

2.2.2　直角三角形法

2.2.2.1　直角三角形法求實長的原理

直角三角形法求實長的原理如圖2-26所示，它實質上是輔助投影畫法的簡便做法。

從圖2-26中已知一般位置線段AB的正面投影為a'b'，水平投影為ab，用直角三角形法求AB線段的實長，一是以AB線段的水平投影ab為一個直角邊，以正面投影a'b'線段兩端點的高度差Bb為另一直角邊，作直角三角形，其斜邊Ba就是AB的實長；二是以AB線段的正面投影a'b'為一個直角邊，以水平投影ab線段兩端點的寬度差Bb'為另一直角邊，作直角三角形，其斜邊Ba就是AB的實長。

2.2.2.2　直角三角形法求實長示例

如圖2-27所示，是用直角三角形法求四棱錐棱線實長并將其展開的實例。

用直角三角形法求四棱錐棱線實長的操作步驟如下。

1）畫出工件的主視圖和俯視圖。圖2-27中ab、bc、cd、da是實長，oa、ob、oc、od四條棱線不是實長。

2）在正交投影a'b'的延長線上求oa線段的實長。方法是：以oo和oa作為直角三角形的兩個直角邊，畫出直角三角形，其斜邊oa即oa線段的實長，也是ob、oc、od線段的實長。

3）分別以ab、oa、ob，…，da、od、oa的實長作三角形，所得即四棱錐Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四個側面的展開圖。

2.2.3　直角梯形法

2.2.3.1　直角梯形法求實長的原理

圖2-28所示是直角梯形法求實長的原理圖。

圖2-28　中一般位置線段AB在V面和H面上都不能反映實長，但線段AB的兩個端點與V面之間的距離可以在H面上得到，即Aa'和Bb'。同樣，A、B兩點與H面之間的距離也可以在V面上得到，即Aa和Bb。根據這一原理，用直角梯形法，就可以求出線段AB的實長。

2.2.3.2　直角梯形法求實長的方法

（1）利用正交投影求線段AB的實長　將AB的正交投影a'b'作為直角梯形的底邊，由a'、b'兩點分別向下引垂線，截取長度為Aa'和Bb'，連接AB，即為所求。

（2）利用水平投影求線段AB的實長　將AB的水平投影ab為直角梯形的底邊，由a、b兩點分別向上引垂線，截取長度為Aa和Bb，連接AB，即為所求。

2.2.4　輔助投影面法

2.2.4.1　輔助投影面法的基本原理

如圖2-29所示，AB是一般位置線段，它不平行于任一投影面，在各視圖里的投影都比實長縮短，因此在作圖時應保持AB的位置不變，并新設置一個輔助投影面V1，使V1平行于AB且垂直于H面，這樣，AB直線在V1面上的投影a1b1就反映實長（如圖所示虛線）。

從圖2-29中可以看出，點a'、A和a1距H面的高度差是一致的。將圖攤平后得出的實長在俯視圖里，即a1b1。求AB實長時，首先在俯視圖里量取寬度差，然后連接a1b1，即為實長。

2.2.4.2　輔助投影面法求實長示例

圖2-30所示為用輔助投影面法求圓面的實形。其操作步驟如下。

1）做出主視圖和俯視圖，將俯視圖的1/2圓周進行6等分。

2）過等分點向上引垂線，得出素線在主視圖里的位置。

3）從等分點向下引垂線，與底中心線相交，即得截面各素線間的寬度。

4）過截面斜口上各素線交點向平行于截面斜口的長軸引垂線，然后按照“寬相等”的規則，把俯視圖里各等分點與底圓中心線之間的距離，依次相對應地畫到俯視圖里去，得出各點。

5）順連各點，即為截面的實形——橢圓。

2.2.5　二次換面法

2.2.5.1　二次換面法原理

當物體的傾斜部分比較復雜時，只用一次輔助投影面仍不能滿足表達實形的要求，就需要在一次輔助投影面上再加一個新的投影面，以解決求實形的問題。這種采用第二次投影面的方法，稱為二次變換投影面，簡稱二次換面法。

2.2.5.2　二次換面法應用示例

如圖2-31（a）所示，是加料斗的形狀（即由斜面組成的棱臺），它是用鋼板焊接成的。為了增強料斗接縫處的強度，常在接縫外面加焊一塊角鋼。角鋼原材料的斷面為90°。為將角鋼加工成符合α角的形狀，就需用“二次換面法”求出實際需要的角。

（1）分析　α角由兩個斜面相交而成，斜面相交處的棱線為ab，要求出實形，就須使棱線ab與投影面垂直，這樣α角的真實大小才能在視圖上反映出來，如圖2-31（b）所示。

圖2-27（a）是把棱錐臺截去角部的1/2，方便看到由△abc圍成的截面F。再選取第一個輔助投影面P1，與原來的水平投影面垂直，又與截面F平行，也與棱線ab平行。從棱錐臺角部的一端斜看過去，可以看到截面F的實形，即△a'b'c'。△a'b'c'同時也是棱錐臺角部的實形。這時，再取第二個輔助投影面P2，與棱線ab的實長a'b'相垂直，就滿足了求a角所必須具備的條件，從而做出a角的真實形狀。

（2）求實形　操作步驟如下。

1）做出棱錐臺的主視圖和俯視圖，如圖2-32所示。

2）在俯視圖里通過棱線ab的兩端點，作與ab相垂直的引線，得出d、e各點。

3）在de延長線上截取a'c'，使a'c'的長度等于棱錐臺的高度H，過點c'作a'c'的垂線，得點b'，連接a'b'，得直角△a'b'c'，完成第一次輔助投影。

4）取第二次輔助投影面P2，使之與a'b'相垂直，a'b'積聚為一點a″（b″）。取d″c″等于c″e″等于dc（ec），連接等腰三角形d″a″（b″）e″，得出α角，完成第二次輔助投影，求出α角實形。