0.4　有效數字

0.4.1　有效數字及位數

有效數字是指在分析工作中實際可以測量到的或代表一定物理意義的數字。它包括確定的數字和最后一位估計的不確定的數字。它不僅能表示測量值的大小，還能表示測量值的精度。例如用萬分之一的分析天平稱得的坩堝的質量為18.4285g，則表示該坩堝的質量為18.4284～18.4286g。因為分析天平有±0.0001g的誤差。18.4285有6位有效數字。前五位是確定的，最后一位“5”是不確定的可疑的數字。如將此坩堝放在百分之一天平上稱量，其質量應為（18.42±0.01）g。因為百分之一天平的稱量精度為±0.01g。18.42為四位有效數字。再如，用刻度為0.1mL的滴定管測量溶液的體積為24.00mL，表示可能有±0.01mL的誤差。“24.00”的數字中，前三位是準確的，后一位“0”是估計的、可疑的，但它們都是實際測得的，四位都是有效數字。

有效數字的位數可以用下列幾個數據說明：

　　　　1.2104　　　25.315　　　　五位有效數字

　　　　0.1000　　　24.13　　　　　四位有效數字

　　　　0.0120　　　1.65×10-6　　三位有效數字

　　　　0.0030　　　5.0　　　　　兩位有效數字

　　　　0.001　　　　0.3　　　　　一位有效數字

數字“0”在有效數字中有兩種作用，當用來表示與測量精度有關的數值時，是有效數字；當用來指示小數點的位置，只起定位作用，與測量精度無關時，則不是有效數字。在上列數據中，數字之間的“0”和數字末尾的“0”均為有效數字，而數字前面的“0”只起定位作用，不是有效數字。如，0.0120g是三位有效數字，若以毫克為單位表示時則為12.0mg，數字前面的“0”消失，仍是三位有效數字。

以“0”結尾的正整數，有效數字位數不確定，最好用指數形式來表示。例如450這個數，可能是兩位或三位有效數字，有效數字的位數取決于測量的精度。如只精確到兩位數字，那么，它是兩位有效數字，應寫成4.5×102；如精確到三位數字，應寫成4.50×102。對于含有對數的有效數字位數的確定，如pH值，其位數僅取決于小數部分數字的位數，因整數部分只說明這個數的方次。如pH=11.20和pH=0.03是兩位有效數字。

分析化學中常遇到倍數或分數的關系，包括定義中的單位體積或質量（如1L或1kg溶液中），它們為非測量所得，可視為有無限多位有效數字。

0.4.2　有效數字的運算規則

（1）有效數字的修約規則

有效數字的位數確定后，多余的位數應舍棄。舍棄的方法一般采用“四舍六入，五后有數就進一，五后沒數看單雙”的規則進行修約。即當尾數≤4時，棄去；尾數≥6時進位；尾數等于5時，5后有數就進位，若5后無數或為零時，則尾數5之前一位為偶數就棄去，若為奇數就進位。

例0-1　將下列數據修約為四位有效數字。

3.2724、5.3766、4.282502、4.2815、4.2825、4.28150、2.86250

解：3.2724→3.272；5.3766→5.377；4.282502→4.283；4.2815→4.282；

4.2825→4.282；4.28150→4.282；2.86250→2.862

（2）加減運算

幾個數字相加或相減時，它們的和或差的有效數字的保留應以小數點后位數最少（即絕對誤差最大）的數為準，將多余的數字修約后再進行加減運算。

例0-2　計算0.0121+25.64+1.05782的結果。

解：0.0121+25.64+1.05782=0.01+25.64+1.06=26.71

上面相加的三個數據中，25.64的小數點后位數最少，絕對誤差最大。因此應以25.64為準，保留有效數字位數到小數點后第二位。

（3）乘除運算

幾個數相乘或相除時，它們的積或商的有效數字的保留應以有效數字位數最少（相對誤差最大）的數為準，將多余的數字修約后再進行乘除。

例0-3　計算0.0121×25.64×1.05782的結果。

解：0.0121×25.64×1.05782=0.0121×25.6×1.06=0.328

三個數的相對誤差分別為：

可見，0.0121的相對誤差最大，故應以此數為準，將其他各數修約為三位，然后再相乘。

對于含有對數和開方的運算，運算結果的有效數字位數不變。如，c（H+）=6.3×10-12mol·L-1，pH=-lg（6.3×10-12）=11.20，。

若幾個數相乘或相除時，位數最少的首位數是8或9，則有效數字可多保留一位。例如，0.9×1.18，可將0.9看成2位有效數字，因為0.9與1.0的相對誤差相近，因此，0.9×1.18=1.1。

0.4.3　有效數字的應用

（1）數據記錄

記錄測定結果時，只保留一位可疑數據。如在萬分之一的分析天平上稱得某物體重0.2500g，只能記錄為0.2500g，不能記成0.250g或0.25000g。又如從滴定管上讀取溶液的體積為24.00mL時，不能記為24mL或24.0mL，只能記為24.00mL。

（2）儀器選用

有效數字的大小不僅體現了數據的大小，也體現了所使用儀器的精度。因此，根據有效數字的大小和位數，可以選擇符合實驗要求的儀器。如要求稱取約3.0g的樣品時，就不需要用萬分之一的分析天平，用一般的臺秤稱量即可。

（3）結果的表示

分析煤樣品中含硫量時，若稱樣量為3.5g。兩次測定結果為0.042％和0.041％，不能表示為0.04200％和0.04100％。

（4）分析結果的評價

定量分析結果的好壞常用相對誤差、相對平均偏差、相對標準偏差等數據來評價。在修約這些數據時，一般保留不超過2位有效數字。

目前，計算器的使用已很普及，使用計算器作連續運算時，不必對每一步的計算結果都進行修約，但最后的計算結果應按要求保留有效數字的位數。