第二節　概率的定義

根據隨機事件的定義，我們知道，一個隨機事件在一次試驗中可能發生，也可能不發生，在試驗之前是無法預測的.然而，如果在相同的條件下進行大量的試驗，又會呈現出一定的規律，即有的事件發生的可能性大，有的事件發生的可能性小，那么用什么描述某一隨機事件發生的可能性大小呢？那就是概率.

概率的定義：隨機事件A發生的可能性大小的度量（數值）叫做隨機事件A發生的概率，記作P（A）.

一、頻率與概率

［定義1］　設在相同條件下重復進行n次試驗，其中事件A發生的次數為rn（A），稱rn（A）為事件A發生的頻數，而事件A發生的頻率定義為.

顯而易見，對任一事件A的頻率有如下性質：

（1）0≤fn（A）≤1，fn（?）=0，fn（Ω）=1.

（2）設A1，A2，…，An是兩兩互不相容事件，則fn（A1∪A2∪…∪An）=fn（A1）+fn（A2）+…+fn（An）

以上性質可用頻率定義驗證.

【例1-2-1】　為考察某種水稻的發芽率，分別選取5粒、15粒、50粒、100粒、200粒、400粒、600粒在相同條件下進行發芽試驗，得到的統計結果列入表1-2-1中.

這里我們把觀察一粒種子看作是一次試驗，將“種子發芽”看作是事件A.由表1-2-1可以看到，在15次隨機試驗中，事件A發生13次，因此有

f15（A）=0.867

同理有f200（A）=0.900，f600（A）=0.902等.

仔細觀察表1-2-1就會發現，當n取不同值時，fn（A）不盡相同.但當n比較大時，fn（A）在0.9這個固定數值附近擺動.因此，我們可以認為0.9反映了事件“種子發芽”發生的可能性大小.

經驗表明，當試驗在相同條件下進行多次時，事件A出現的頻率具有一定的穩定性，即事件A發生的頻率在一個固定的數值p附近擺動（例1-2-1中p=0.9），而且這種穩定性隨著試驗次數的增加而愈加明顯.頻率的這種性質在概率論中稱為頻率的穩定性.頻率具有穩定性的事實說明了刻畫隨機事件A發生的可能性大小的數即概率的客觀存在性.上述的數值p可以用來度量事件A發生的可能性大小，因此，可以把p規定為事件A發生的概率.

［定義2］　在一組不變的條件下，重復進行n次試驗.當n充分大時，若隨機事件A出現的頻率穩定地在某一個固定的數值p的附近擺動，則稱p為隨機事件A的概率，記作P（A），且P（A）=p.

這個定義稱為概率的統計定義，根據這一定義，在實際應用時，往往可用試驗次數足夠大時的頻率來估計概率的大小，且隨著試驗次數的增加，估計的精度會越來越高.

學生可用拋質地均勻的硬幣試驗驗證P（正面向上）=0.5，與由古典定義得到的結果完全相符.

由定義不難得到對任一事件A，有

0≤P（A）≤1，P（?）=0，P（Ω）=1

根據概率的統計定義，當試驗次數n足夠大時，可以用事件A發生的頻率近似地代替A的概率.即

P（A）≈fn（A）

【例1-2-2】　為了估計魚池中魚的尾數，先從池中撈出50條魚標上記號后放回魚池，經過適當的時間，讓其充分混合，再從魚池中順次撈出60條魚（每次取出后都放回），發現有兩條標有記號，問魚池中大約有多少條魚？

解：設魚池中共有n條魚，A=“從池中捉出一條有記號的魚”，由古典定義，A發生的概率

從池中順次有放回地撈取60條魚，可以看成是60次重復試驗，隨機事件A發生了兩次，即

它應與P（A）近似相等，于是

從而得

n≈1500

即池中大約有1500條魚.

二、概率的公理化定義

［定義3］　設E是隨機試驗，Ω是它的樣本空間，對于E的每一個事件A賦予一個實數，記為P（A），若P（A）滿足下列三個條件：

①非負性：對每一個事件A，有P（A）≥0；

②完備性：P（Ω）=1；

③可列可加性：設A1，A2，…，是兩兩互不相容事件，則有，則稱P（A）為事件A的概率.

三、概率的性質

由概率的公理化定義，可推出概率的一些重要性質.

①對任一事件A，有0≤P（A）≤1；

②必然事件的概率等于1，即P（Ω）=1；不可能事件的概率等于零，即P（?）=0；

注：不可能事件的概率等于零，但反之不然.

③設A、B互不相容，則有P（A+B）=P（A）+P（B）.

④對任意兩個事件A、B，有P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）

在性質④中，當AB=?時，有P（AB）=0，于是得P（A+B）=P（A）+P（B），即性質③是性質④的特殊情況.

對任意三個事件A、B、C，有

P（A+B+C）=P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）-P（BC）-P（AC）+P（ABC）

特別地，若A1，A2，…，An為完備事件組，則

P（A1∪A2∪…∪An）=P（A1）+P（A2）+…+P（An）=1

⑤

證明　設是A的逆事件，則，.

則由性質③，有

　　 從而得 　　

⑥P（A-B）=P（A）-P（AB）

特別的，若B?A，則，P（A-B）=P（A）-P（B），且P（A）≥P（B）.

【例1-2-3】　考察甲、乙兩個城市6月份的降雨情況，已知甲城出現雨天的概率是0.3，乙城出現雨天的概率是0.4，甲、乙兩城至少有一個出現雨天的概率是0.52.試計算甲、乙兩城市同時出現雨天的概率.

解：設A=“甲城出現雨天”，B=“乙城出現雨天”，則A∪B表示“甲、乙兩城至少有一個出現雨天”，AB表示“甲、乙兩城同時出現雨天”.由已知有

P（A）=0.3，P（B）=0.4，P（A∪B）=0.52

故由加法公式得

P（AB）=P（A）+P（B）-P（A∪B）=0.3+0.4-0.52=0.18

【例1-2-4】　已知，，P（B）=0.4，求：

①P（AB）；

②P（A-B）；

③P（A∪B）；

④

解：①因為，且AB與是互不相容的，故有

于是 　　

②

P（A-B）=P（A）-P（AB）=0.5-0.2=0.3

③P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（AB）=0.5+0.4-0.2=0.7

④