第一節　隨機事件

一、隨機試驗與隨機事件

1.隨機現象

客觀世界中存在著兩類現象，一類是確定性現象，另一類是隨機現象.

例如，“任意三角形的內角和是多少度”；“從裝有10個白球的袋中摸出一個球是什么顏色”，很顯然我們用不著去度量內角再計算其和，就能斷定任意三角形的內角和必然是180°；同樣在從袋中摸球之前，就可以斷定所摸到的球是白色.這類在給定條件下，某一結果一定會出現的現象，稱為確定性現象.

但是，“隨意投擲一枚硬幣，落地時哪一面朝上”；“在冰上騎自行車是否會滑倒”；“袋中有兩個白球，四個黑球，三個紅球，隨意摸出一個會是什么顏色”.這三個問題的答案不是唯一確定的，硬幣落地時可能是“正面”（有幣值的一面）向上，也可能是“反面”（無幣值的一面）向上；在冰上騎車可能會滑倒，也可能不會滑倒；從袋中摸一個球，摸到的球可能是白色，可能是黑色，也可能是紅色.這類在一定條件下，有多種可能的結果且無法預知哪一個結果將會出現的現象叫做隨機現象.

對于隨機現象進行一次或少數幾次觀察，其可能結果中出現哪一個是具有偶然性的；但是大量觀察時，會發現所出現的結果具有一定的規律性.這是隨機現象的兩個顯著特點.我們把依據大量觀察得到的規律性稱為統計規律性.本章的主要任務就是要發現并研究蘊含在隨機現象里的規律性中的數量關系.

2.隨機試驗

由于隨機現象的結果事先不能預知，初看似乎沒有任何規律.然而，人們發現同一隨機現象大量重復出現時，其每種可能的結果出現的頻率具有穩定性，從而表明，隨機現象也有其固有的規律性.要研究隨機現象，找出隨機現象的內在規律，就離不開大量的、重復性的隨機試驗，一次試驗如果滿足下列條件：

①可重復性：試驗可以在相同的條件下重復進行；

②可觀察性：試驗的所有可能的結果是已知的，并且不止一個；

③不確定性：每次試驗出現這些可能結果中的一個，但在一次試驗前，不能肯定出現哪一個結果.

這樣的試驗叫做一次隨機試驗（簡稱試驗），記為E.隨機試驗是研究隨機現象的手段，如上面例子中“擲一枚硬幣，觀察正反面出現的情況”；“觀察在冰上騎自行車可否滑倒”；從一個有白色球、黑色球、紅色球的袋中摸一個觀察其顏色都是隨機試驗.

下面再舉幾個隨機試驗的例子：“為了解潮汐現象，每天同一時間測量同一河段的水位高低”；“為掌握假期的客運量，對每天乘車的人數進行統計”；“為了解男女嬰兒出生比例，對某醫院出生的嬰兒性別進行觀察”.這些試驗都具備隨機試驗的三個特征.

歷史上，研究隨機現象統計規律性最著名的實驗是拋擲硬幣的試驗.表1-1-1是歷史上拋擲硬幣試驗的記錄.

試驗表明，雖然每次拋擲硬幣事先無法準確預知出現正面還是反面，但大量重復試驗時，發現出現正面和反面的次數大致相等，即各占總試驗次數的比例大致為0.5，且隨著試驗次數的增加，這一比例更加穩定地趨于0.5.這說明雖然隨機現象在少數幾次試驗或觀察中其結果沒有什么規律性，但通過長期的觀察或大量重復的試驗可以看出，試驗的結果是有規律可循的，這種規律是隨機實驗的結果自身所具有的特征.

3.樣本空間

盡管一個隨機試驗將要出現的結果是不確定的，但其試驗的全部可能結果是在試驗前就明確的；或者雖不能確切知道試驗的全部可能結果，但可知道它不超過某個范圍.

一般地，把隨機試驗的每一種可能的結果稱為一個樣本點，稱所有樣本點的全體為該試驗的樣本空間，記為S（或Ω）.

例如：①將一枚硬幣拋擲兩次，觀察正面H、反面T出現的情況，則其樣本點有四個，即正正、正反、反正和反反，樣本空間S={（H，H），（H，T），（T，H），（T，T）}.

②將一枚硬幣拋擲兩次，觀察正面出現的次數，則樣本空間S={0，1，2}.

③在一批燈泡中任意抽取一個測試其使用壽命，則樣本點有無窮多個，且不可數，由于不能確知壽命的上界，所以可以認為任一非負實數都是一個可能結果，樣本空間S={t：t≥0}.

④觀察某交換臺在一天內收到的呼喚次數，其樣本點有可數無窮多個，樣本空間可簡記為S={0，1，2，3，…}.

⑤調查城市居民（以戶為單位）煙、酒的年支出，結果可以用（x，y）表示，x，y分別是煙、酒年支出的元數，這時，樣本空間由坐標平面第一象限內一定區域內一切點構成.另外，也可以按某種標準把支出分為高、中、低三檔，這時，樣本點有（高，高），（高，中），…，（低，低）等9種，樣本空間就由這9個樣本點構成.

由以上例子可見，樣本空間的元素是由試驗目的所確定的.

4.隨機事件

在隨機試驗中，人們除了關心試驗的結果本身外，往往還關心試驗的結果是否具備某一指定的可觀察的特征.在概率論中，把具有某一可觀察特征的隨機試驗的結果稱為事件.事件可分為以下三類.

（1）隨機事件

指在試驗中可能發生也可能不發生的事件.隨機事件通常用字母A、B、C等表示.

例如，擲一顆質地均勻的骰子，它一共可以有六種不同的結果，即分別擲到的點數是1，2，3，4，5和6，我們用相應的數字代表每一個結果，并將這六個結果組成的集合即概率空間記為Ω：

Ω={1，2，3，4，5，6}

那么，在此例里Ω中有六個基本點，“而擲到奇數點”就是擲到1，3，5點，我們可用Ω的子集{1，3，5}來代表，記為“擲到奇數點”={1，3，5}.類似地，“擲到偶數點”={2，4，6}，“擲到2點”={2}，“擲到6點”={6}，“擲到大于3的點”={4，5，6}.所有這些都是擲一顆質地均勻的骰子這個隨機試驗出現的各種事件，通常我們稱每一個這種事件為一個隨機事件（簡稱事件），用大寫的英文字母A、B、C等表示.

（2）必然事件

指在每次試驗中都必然發生的事件.通常用S（或Ω）表示.樣本空間Ω作為它自己的一個子集是一個特殊的事件，無論試驗結果是什么，它總是一定會發生的，所以，我們又稱樣本空間Ω為必然事件.例如，在上述試驗中，“點數小于7”是一個必然事件.

（3）不可能事件

指在任何一次試驗中都不可能發生的事件.用空集符號?表示.因為無論出現什么試驗結果，它都不會在空集中，即不可能事件一定不會發生.例如，在上述試驗中，“點數大于8”是一個不可能事件.

顯然，必然事件和不可能事件都是確定性事件，今后為研究問題方便，把必然事件和不可能事件都當成特殊的隨機事件，并將隨機事件簡稱為事件.

【例1-1-1】　從標有號碼1，2，3，…，10的10套題簽中抽取一套進行考試（題簽用后放回），每次抽得題簽的標號可能是1，2，3，…，10中的某一個數，即

試驗：從裝有標號為1至10的試題簽中抽取一個題簽.

可能結果：抽到標號1至10號的某一套題簽.

于是，“抽得4號題簽”為一個隨機事件，“抽得標號小于3的題簽”也是一個隨機事件.

樣本空間：Ω={1，2，3，…，10}.

【例1-1-2】　在適宜的條件下，播種代號分別為a、b的兩粒玉米種子，觀察出苗情況，則可能結果為：“a、b都出苗”——記為A1，“a出b不出”——記為A2，“a不出b出”——記為A3，“a、b都不出”——記為A4，共四種情況，即

試驗：觀察記錄兩粒種子的出苗情況.

可能結果：A1，A2，A3，A4.

樣本空間：Ω={A1，A2，A3，A4}

此例中至少有一粒出苗={A1，A2，A3}，僅有一粒出苗={A2，A3}，沒有一粒出苗={A4}等均為隨機事件.

5.事件的集合表示

樣本空間S是隨機試驗的所有可能結果（樣本點）的集合，每一個樣本點是該集合的一個元素.一個事件是由具有該事件所要求的特征的那些可能結果所構成的，所以，一個事件是對應于S中具有相應特征的樣本點所構成的集合，它是S的一個子集合.于是，任何一個事件都可以用S的某個子集來表示.

例如，在擲一顆質地均勻的骰子的試驗中，A=“擲到奇數點”就可以用A={1，3，5}來表示.

一般地，在一個隨機試驗得到結果后，如果事件A（A是Ω的子集）中包含這個結果，我們就稱在這次隨機試驗中事件A發生了，否則事件A沒有發生.

從數學的角度看，與試驗有關的每一件“事情”均可描述成樣本空間Ω的一個子集，反之亦然.在一次試驗中，倘若我們得到一個結果a∈Ω，那么，如果a∈A，則我們就稱事件A發生了，否則就說事件A沒有發生.

我們稱僅含一個樣本點的事件為基本事件；含有兩個或兩個以上樣本點的事件為復合事件.

二、隨機事件的關系與運算

1.隨機事件的關系

同一試驗的不同事件之間往往存在著一定的聯系，在實際問題中，隨機事件又往往有簡單和復雜之分.在研究隨機事件發生的規律性時，需要了解事件間的關系，以及事件的合成與分解的數學結構.為此，對事件之間的各種關系及運算有必要作明確規定.

由于隨機事件是基本空間的子集，下面就按照集合論中集合的關系和運算給出事件的關系和運算的含義.

（1）包含關系　如果事件A發生必然導致事件B發生，則稱事件A包含于事件B，記作A?B，或稱事件B包含事件A，記作B?A，即A中的基本事件都在B中.

（2）相等關系　如果事件A和事件B互相包含，即A?B，B?A則稱A與B相等，記作A=B，即A與B中的基本事件完全相同.

在例1-1-1中，A=“抽到標號為3的題簽”，B=“抽到標號小于5的題簽”，C=“抽到標號不超過4的題簽”，則A?B，B=C.

（3）和事件　“事件A與事件B至少有一個發生”的事件稱為事件A與事件B的和事件（又叫并事件），記作A+B（或A∪B）.它是由屬于A或B的所有基本事件構成的.在某次試驗中事件A∪B發生，則意味著在該次試驗中事件A與事件B至少有一個發生.顯然A?A∪B，B?A∪B.

在例1-1-1中，設A=“抽到標號不超過3的題簽”，B=“抽到標號超過2不超過5的題簽”，則

A∪B=“抽到標號不超過5的題簽”

和事件可以推廣到更多的事件，即

表示“事件A1，A2，…，An中至少有一個發生”這一事件.

在例1-1-1中，設Ak=“抽到k號題簽”，（k=1，2，…，10，）則A1∪A2∪A3∪A4表示“抽到號數不超過4的題簽”.

（4）積事件　“事件A與事件B同時發生”的事件稱為事件A與事件B的積事件（又叫交事件），記作AB（或A∩B）.它是由既屬于A又屬于B的所有基本事件組成的.在某次試驗中事件A∩B發生則意味著在該次試驗中事件A與B同時發生.

在例1-1-2中，設A=“至少有一粒種子出苗”，B=“至多有一粒種子出苗”，則

A∩B=“恰有一粒種子出苗”

積事件也可以推廣到更多的事件上去，即

表示“事件A1，A2，…，An同時發生”.

（5）互斥事件　在一次試驗中，不能同時發生的兩個事件A與B稱為互斥事件（或叫互不相容事件）.事件A與B互斥，說明A與B沒有相同的基本事件，即A∩B=?，這也是兩個事件A與B互斥的充要條件.

例如，在例1-1-2中，設A=“沒有一粒種子出苗”，B=“恰有一粒種子出苗”，則A與B是互不相容的兩個事件.

如果對A1，A2，…，An，有AiAj=?（i≠j），則稱事件A1，A2，…，An兩兩互不相容.

（6）差事件　“事件A發生而事件B不發生”的事件為A與B的差事件，記作A-B.它是由屬于A但不屬于B的基本事件構成的.

例如，在例1-1-1中，A=“抽到標號為3的題簽”，B=“抽到標號小于5，大于2的題簽”，則B-A=“抽到標號為4的題簽”.

（7）對立事件　在一次試驗中的兩個事件A與B，若A∪B=Ω，且A∩B=?，則稱A與B為相互對立的事件（又叫互逆事件）.A的對立事件記作，也就是說，包含了樣本空間Ω中不屬于A的全部基本事件.若A=“A發生”，則“A不發生”.顯然=Ω，，，.

注：兩個互為對立的事件一定是互斥事件，反之，互斥事件不一定是對立事件，而且，互斥的概念適用于多個事件，但是對立概念只適用于兩個事件.

（8）完備事件組　設A1，A2，…，An，…，是有限或可數個事件，若其滿足：

①Ai∩Aj=?，i≠j，i，j=1，2，…，；

②

則稱A1，A2，…，An，…，是一個完備事件組，也稱A1，A2，…，An，…，是樣本空間Ω的一個劃分.

從上面的討論可以看出，事件之間的各種關系、運算與集合論中集合之間的相應關系、運算是一致的.因此，事件之間的關系和運算可以用直觀示意圖表示，如圖1-1-1.

（9）事件運算的性質

①A?A∪B，B?A∪B；A∩B?A，A∩B?B；

②A∩（A∪B）=A，B∩（A∪B）=B；

③A∪A=A，A∩A=A；

④若B?A，則AB=A，A∪B=B.

2.事件的運算規律

①交換律　A∪B=B∪A，A∩B=B∩A.

②結合律　（A∪B）∪C=A∪（B∪C），（A∩B）∩C=A∩（B∩C）.

③分配律　（A∪B）∩C=（A∩C）∪（B∩C），（A∩B）∪C=（A∪C）∩（B∪C）.

④摩根律　，.

可推廣到多個事件：

【例1-1-3】　甲、乙、丙三人各射擊1次靶，設A=“甲擊中靶”，B=“乙擊中靶”，C=“丙擊中靶”.試用A、B、C的運算表示下列事件：①“甲未中”；②“甲中乙未中”；③三人中只有丙未中；④三人中恰有一人中；⑤三人中至少一人中；⑥三人中至少一人未中；⑦三人中恰有兩人中；⑧三人中至少兩人中；⑨三人均未中；⑩三人均中；三人中至多一人中；三人中至多兩人中.

解：①“甲未中”：

②“甲中乙未中”：

③三人中只有丙未中：

④三人中恰有一人中：

⑤三人中至少一人中：A+B+C

⑥三人中至少一人未中：

⑦三人中恰有兩人中：

⑧三人中至少兩人中：AB+BC+AC

⑨三人均未中：

⑩三人均中：ABC

三人中至多一人中：

三人中至多兩人中：