第四節(jié)　條件概率

一、條件概率的概念

引例　如果同時(shí)擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，共有四種可能的情況，于是我們可得

Ω={（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}

設(shè)A=“兩個(gè)都是正面向上”，B=“至少有一個(gè)正面向上”，則由古典定義有

假如我們事先知道結(jié)果至少有一個(gè)正面向上，那么這種條件下兩個(gè)都是正面向上的概率就是，記為，這就是事件B已經(jīng)發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的條件概率.它與不同，原因在于，事件B的發(fā)生改變了樣本空間，由于B的發(fā)生，原基本事件（反，反）已被排除在外，新的樣本空間應(yīng)該是ΩB={（正，正），（正，反），（反，正）}，在這個(gè)樣本空間里，事件A再發(fā)生的概率就是了.

從上例可知，條件概率P（A｜B）實(shí)質(zhì)就是縮減了基本空間，把原有的基本空間Ω縮減為ΩB，在Ω中計(jì)算事件A的概率就是P（A），而在ΩB中計(jì)算事件A的概率就是P（A｜B）.

假如我們每次都用基本空間的縮減來計(jì)算條件概率，那就太麻煩了，某些場(chǎng)合下甚至是不可能的.為此我們?cè)谠怕士臻gΩ中給出條件概率的一般定義方式.

首先我們還是從古典概型入手來分析我們應(yīng)該怎樣定義條件概率.設(shè)Ω的基本事件總數(shù)為n，事件A、B與AB中的基本事件個(gè)數(shù)為nA，nB和nAB，則P（A｜B）可用B已經(jīng)發(fā)生的條件下A發(fā)生的相對(duì)比例來表達(dá)，即P（A｜B）=nAB/nB，而

所以

在幾何概型中（以平面區(qū)域情形為例），對(duì)于在平面區(qū)域S內(nèi)等可能投點(diǎn)（見圖1-4-1），若已知A發(fā)生，則B發(fā)生的概率為

可見，在古典概型與幾何概型這兩類“等可能”概率模型中總有

于是有條件概率的一般定義如下.

［定義］　設(shè)A、B為隨機(jī)試驗(yàn)下的兩個(gè)隨機(jī)事件，且P（B）≠0，則稱

為在事件B已經(jīng)發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的條件概率.

同理，當(dāng)P（A）≠0時(shí)

因?yàn)闂l件概率是概率，故條件概率也具有下列性質(zhì)：

設(shè)A是一事件，且P（A）>0，則

①對(duì)任一事件B，0≤P（B｜A）≤1；

②P（Ω｜A）=1；

③設(shè)A1，A2，…，An互不相容，則P（A1∪A2∪…∪An｜A）=P（A1｜A）+…+P（An｜A）.此外，前面所證概率的性質(zhì)都適用于條件概率.

【例1-4-1】　20個(gè)乒乓球的顏色等級(jí)如表1-4-1所示.

（1）從中任取一球，求取得一等品的概率；

（2）從黃球中任取一球，求取得一等品的概率.

解：設(shè)A=“從中任取一球?yàn)橐坏绕贰保?/p>

B=“從中任取一球?yàn)辄S球”，則

（1）

（2）

如果設(shè)C=“從中任取一球?yàn)榘浊颉保瑒t同理得

【例1-4-2】　某種動(dòng)物出生后，能活到30歲的概率是0.8，活到35歲的概率為0.4，現(xiàn)有一只30歲的這種動(dòng)物，求它能活到35歲的概率是多少？

解：設(shè)A=“活到35歲”，B=“活到30歲”，則所求概率為P（A｜B），因A?B，故AB=A，又P（A）=0.4，P（B）=0.8，P（AB）=P（A）=0.4，于是

【例1-4-3】　一袋中裝有10個(gè)球，其中3個(gè)黑球、7個(gè)白球，先后兩次從袋中各取一球（不放回），求：

（1）已知第一次取出的是黑球，求第二次取出的仍是黑球的概率.

（2）已知第二次取出的是黑球，求第一次取出的也是黑球的概率.

解：記Ai為事件“第i次取到的是黑球”（i=1，2）

（1）在已知A1發(fā)生，即第一次取到的是黑球的條件下，第二次取球就在剩下的9個(gè)球中任取一個(gè)，根據(jù)古典概率計(jì)算取到黑球的概率為，即有

（2）在已知A2發(fā)生，即第二次取到的是黑球的條件下，求第一次取到黑球的概率.

由于第一次取球發(fā)生在第二次取球之前，故問題的結(jié)構(gòu)不像（1）那么直觀，我們可以利用條件概率公式計(jì)算P（A1｜A2）.

　　 由 　　

可得

二、乘法公式

由條件概率的定義可得

P（AB）=P（B）P（A｜B）　　［P（B）≠0］

或　P（AB）=P（A）P（B｜A）　　［P（A）≠0］

即兩個(gè)事件乘積的概率等于其中一個(gè)事件的概率乘以該事件發(fā)生的條件下另一個(gè)事件發(fā)生的條件概率，稱上式為概率的乘法公式.

乘法公式可推廣到有限多個(gè)事件，如

P（A1A2A3）=P（A1）P（A2｜A1）P（A3｜A1A2）

P（A1A2…An）=P（A1）P（A2｜A1）…P（An｜A1A2…An-1），［P（An｜A1A2…An-1）>0］

【例1-4-4】　一批零件共100個(gè)，次品率為10％，順次從這批零件中任取兩個(gè)，第一次取出零件后不放回，求第二次才取到正品的概率.

解：設(shè)A=“第一次取到正品”，B=“第二次取到正品”，則要求的是.由乘法公式得

【例1-4-5】　50件商品中有3件次品，其余都是正品，現(xiàn)每次取1件，無放回地從中抽取3件，試求：

（1）3件商品中都是正品的概率；（2）第三次才抽到正品的概率.

解：設(shè)Ai=“第i次取到正品”，i=1，2，3，則

　　

　　

三、全概公式與貝葉斯公式

1.全概公式

在概率的計(jì)算中，要計(jì)算一個(gè)復(fù)雜的隨機(jī)事件的概率，經(jīng)常把該事件分解成若干互不相容的簡(jiǎn)單事件的并事件，然后利用加法公式和乘法公式分別計(jì)算這些簡(jiǎn)單事件的概率.這里全概率公式起著很重要的作用.

設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的基本空間為Ω，其中A1，A2，…，An滿足：

①A1∪A2∪…∪An=Ω；②A1，A2，…，An兩兩互不相容，即AiAj=?（i≠j），則稱A1，A2，…，An組成Ω的一個(gè)分割（或稱A1，A2，…，An是Ω的一個(gè)完備事件組）.

定理1　設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的基本空間為Ω，事件組A1，A2，…，An構(gòu)成Ω的一個(gè)完備事件組，且P（Ai）>0，則對(duì)任意事件B，有

　　證明　　

【例1-4-6】　某工廠有三個(gè)車間，生產(chǎn)同一產(chǎn)品，第一車間生產(chǎn)全部產(chǎn)品的，第二車間生產(chǎn)全部產(chǎn)品的，第三車間生產(chǎn)全部產(chǎn)品的，各車間的不合格品率分別是0.02、0.03和0.04，任抽一件產(chǎn)品，試求抽到不合格品的概率.

解：設(shè)Ai=“抽到第i個(gè)車間的產(chǎn)品”（i=1，2，3），B=“抽到不合格品”.

可以看出，事件A1，A2，A3是該試驗(yàn)的基本空間的一個(gè)分割.已知

P（B｜A1）=0.02，P（B｜A2）=0.03，P（B｜A3）=0.04

所以由全概公式有

故任取一件為不合格品的概率是0.027.

使用全概公式計(jì)算概率的關(guān)鍵是要找到基本空間的一個(gè)合適的分割A1，A2，…，An，這里“合適”的含義是指P（Ai）及P（B｜Ai）易于計(jì)算.從以上例子可以看出，如果要計(jì)算事件B的概率，則應(yīng)考慮把所能引起B發(fā)生的各種條件（或原因）作為基本空間的一個(gè)分割.用全概公式計(jì)算概率可概括為由因?qū)Ч?

【例1-4-7】　在第三節(jié)的例1-3-3中，A1和組成基本空間的一個(gè)分割，且

所以

可見每個(gè)人中獎(jiǎng)的概率都是，與抽獎(jiǎng)的順序無關(guān).當(dāng)然，若已知第一個(gè)人中獎(jiǎng)，則第二人中獎(jiǎng)的概率就是，這是條件概率問題.

【例1-4-8】　有三個(gè)袋子，1號(hào)裝有2紅1黑共三個(gè)球，2號(hào)裝有3紅1黑共4個(gè)球，3號(hào)裝有2紅2黑4個(gè)球.某人從中任取一袋，再?gòu)闹腥稳∫磺颍笕〉眉t球的概率.

解：記Ai={球取自i號(hào)袋}，i=1，2，3；B={取得紅球}.

A1，A2，A3是樣本空間的一個(gè)完備事件組，由全概公式得

依題意得

代入數(shù)據(jù)計(jì)算得

P（B）≈0.639

2.貝葉斯公式

利用全概公式可通過綜合分析一事件發(fā)生的不同原因或情況及其可能性求得該事件發(fā)生的概率.下面給出的貝葉斯公式則考慮與之完全相反的問題，即一事件已經(jīng)發(fā)生，要考察引發(fā)該事件發(fā)生的各種原因或情況的可能性大小.

引例　在例1-4-8中，某人從三箱中任取一袋，再?gòu)闹腥我饷鲆磺颍l(fā)現(xiàn)是紅球，求該球是取自1號(hào)袋的概率.

解：仍然用例1-4-8的記號(hào)，要求P（B1｜A），由全概公式得

代入數(shù)據(jù)得　　P（B1｜A）≈0.348

這一類問題是“已知結(jié)果求原因”在實(shí)際中更為常見，它所求的是條件概率，是已知某結(jié)果發(fā)生條件下，探求各原因發(fā)生可能性大小.接下來我們介紹為解決這類問題而引出的貝葉斯公式.

該公式于1763年由貝葉斯（Bayes）給出，它是在觀察到事件B已發(fā)生的條件下，尋找導(dǎo)致事件B發(fā)生的每個(gè)原因的概率.

定理2　設(shè)A1，A2，…，An是一完備事件組，則對(duì)任一事件B，P（B）>0，有

上述公式稱為貝葉斯公式.

【例1-4-9】　某一地區(qū)患有癌癥的人占0.005，癌癥患者對(duì)一種試驗(yàn)反應(yīng)是陽性的概率為0.95，正常人對(duì)這種試驗(yàn)反應(yīng)是陽性的概率為0.04，現(xiàn)抽查了一個(gè)人，試驗(yàn)反應(yīng)是陽性，問此人是癌癥患者的概率有多大？

解：設(shè)B={試驗(yàn)結(jié)果是陽性}，A={抽查的人患有癌癥}，

則由已知得

則所求為P（A｜B）.

由貝葉斯公式，可得

代入數(shù)據(jù)計(jì)算得　P（A｜B）=0.1066