第2章　實驗數據的采集和處理

2.1　實驗數據的列表法和圖示法

實驗數據的顯示形式有兩種：數據表和數據圖。前者可以用一張簡潔明了的表格呈現復雜繁多的數據，方便后續的計算和分析，使得實驗數據變得清晰易懂；后者可以將實驗數據的內在規律直觀地呈現出來，容易觀察數據中的極值點、轉折點、周期性、變化率以及其他特性，同時還可方便后續的回歸分析。因此，正確的使用表和圖，是實驗者處理數據的基本技能之一。

2.1.1　列表法

列表法是將實驗數據列成表格，將各變量的數值按照規定的形式和順序排列起來。

實驗數據表一般由表號+表名、表頭和數據等三部分組成，如表2-1和表2-2所示。如有必要，可以在表格下方加上第四部分表注。第一部分：表號+表名，標號在前，表名在后，都放在表的上方，前者方便引用，后者用于說明表的主要內容；第二部分：表頭，通常放在第一行，也可以放在第一列，既可稱為行標題，也可叫做列標題，主要表示實驗研究的問題類別和指標名稱；第三部分：數據，是表格的主體部分，應根據表頭按規律排列；第四部分：表注，通常放在表格下方，主要內容有指標解釋、資料來源、特殊說明等。

實驗數據表一般有兩種形式：數據記錄表和結果表示表，如表2-1和表2-2所示。

（1）數據記錄表

數據記錄表是實驗記錄和實驗數據初步整理的表格。它是根據實驗內容設計的一種專門表格，表中數據包括3種：原始數據、中間數據和最終結果。實驗數據記錄表必須在實驗正式開始之前列出，目的是使實驗數據的記錄更有計劃性，不遺漏實驗數據。例如表2-1就是離心泵特性曲線測定實驗的數據記錄表。

（2）結果表示表

結果表示表反映實驗的最終結果。它應當簡潔明了，方便理解各變量之間的關系，目的是反映出實驗結果的內在規律。例如表2-2是離心泵特性曲線測定實驗的結果。

有時數據記錄表和結果表示表之間的差別并不是顯而易見的，如果實驗數據不多，原始數據與實驗結果之間的關系很明顯，可以將兩類表合二為一。

實驗數據表根據使用者的目的和實驗數據的特點不同，其形式和結構上會有較大的不同，但基本原則應該一致，主要如下。

①表格設計應內容簡潔、層次清楚，便于閱讀、計算和分析；表名應當高度概括數據表的內容和特征。

②表頭應當給出各變量的名稱、符號、單位，若表中所有數據的單位都相同，可以在表右上角統一標注單位。

③數據記錄要規范，實驗時要記錄各種實驗條件和現象，數據的有效數字位數應與實驗檢測儀器的精密度匹配；需用科學計數法表示數據時，將10±n記入表頭，注意：表中數據=測量值×10±n。

④原始數據要書寫得清晰整齊，妥善保存，不得隨意丟棄；實驗完成后立即將原始數據輸入計算機表格中，方便后續計算和分析。

2.1.2　圖示法

圖示法是將實驗數據用科學、規范的圖形表示出來，目的是為了使復雜的數據更加直觀和形象，它的優點是實驗者可以直觀地看出實驗數據變化的特征和規律，發現變量間的聯系，為數學模型的建立提供依據。根據數據作圖的步驟為：首先選擇合適的坐標系和圖形，然后確定最佳的比例尺。

（1）坐標系和圖形的選擇

大部分數據圖都是描述在一定的坐標系中。在不同的坐標系中，對同一組數據作圖，可以得到不同的圖形。作圖前，應該對實驗數據的變化規律有一個初始的判斷，然后選擇合適的坐標系，使所作圖形的規律性更突出。

實驗數據圖可以選用的坐標系有笛卡爾坐標系（又稱普通直角坐標系）、對數坐標系、半對數坐標系、概率坐標系、極坐標系、三角形坐標系等。化工實驗中常用的有：普通直角坐標系和對數坐標系，后者包括半對數坐標系和雙對數坐標系。普通直角坐標系兩個軸的分度都是均勻的；而半對數坐標系，一個軸是分度均勻的普通坐標軸，另一個軸是分度不均勻的對數坐標軸；雙對數坐標系，兩個軸都是對數坐標軸，即每個軸的刻度都是分度不均勻的對數坐標軸。

根據實驗數據（自變量x和因變量y），選用坐標系的原則如下。

①兩個變量的變化幅度都不大時，可選用普通直角坐標系；線性函數y=a+bx適合選用普通直角坐標系，化工實驗中結果的其他函數形式往往化成線性函數形式。

②兩個變量中，有一個變量的最小值與最大值之間相差幾個數量級時，可以選用半對數坐標系；指數函數y=abx適合選用半對數坐標，實驗數據進行對數轉化后：lgy=lga+xlgb，即lgy與x成線性相關，即可在普通直角坐標系做圖。

③如果兩個變量在數值上發生了幾個數量級的變化，可選用雙對數坐標系；冪函數y=axb適合選用雙對數坐標，因為實驗數據進行對數轉化后：lgy=lga+blgx，即lgy與lgx成線性相關，即可在普通直角坐標系做圖。

④如果自變量x由零開始逐漸增加，因變量y相應地發生極大變化，此時采用對數坐標系（半對數坐標系或雙對數坐標系），可使y和x的函數關系更加清晰，但是需要對半對數坐標系或雙對數坐標系進行選擇。

用于實驗數據處理的圖形種類很多，根據形狀可分為散點圖、線圖、柱形圖、條形圖、餅圖、環形圖、直方圖、面積圖等。圖形的選擇取決于實驗數據的性質，化工原理實驗的常用的圖形有散點圖和線圖。散點圖適用于表示兩個變量間的相互關系，通過它可以看出變量關系的統計規律，方便后續數學模型的擬合；線圖表示因變量隨自變量的變化情況，通過它可以看出兩個變量間的變化趨勢。更多實驗數據處理圖形的詳細介紹已經超出本書的范圍，請參考有關實驗數據處理的教材。

例2-1　已知變量x和y的數據如下表所示，試分析采用哪一種坐標系，利用何種圖形作圖，才能更好地建立x和y間的函數關系？（本例題使用Microsoft Office Excel軟件作圖）

解　①根據上表數據在普通直角坐標系中作折線圖，如圖2-1（a）所示，y和x的函數關系很難描述，原因是橫坐標的刻度和比例尺不合適。

②根據上表數據在普通直角坐標系中作散點圖，如圖2-1（b）所示，y和x成對數函數關系，但是在x初始階段，即x=10、20、40、60、80時，數據點非常密集，很難準確描述x和y的函數關系。

③根據x和lgy數據在半對數坐標系中作散點圖，如圖2-1（c）所示。注意：縱坐標為lgy，即某數據點縱坐標與原點的實際距離為該點對應數值的常用對數，但是該點刻度標注的卻是對數函數的真數。y和x的函數關系與圖2-1（b）相似，但在x初始階段，即x=10、20、40、60、80時，數據點非常密集，很難準確描述x和y的函數關系。

④根據lgx和y數據在半對數坐標系中作散點圖，如圖2-1（d）所示，y和x的函數關系很難描述。注意：橫坐標刻度為lgx，即某數據點橫坐標與原點的實際距離為該點對應數值的常用對數，但是該點刻度標注的卻是對數函數的真數。

⑤根據lgx和lgy數據在雙對數坐標系中作散點圖，如圖2-1（e）所示，縱坐標為lgy，橫坐標為lgx，y和x的函數關系非常清晰。

⑥如果不用對數坐標系，也可以在普通直角坐標系中表示lgx和lgy的關系，如圖2-1（f）所示，圖形和圖2-1（e）的一致，y和x的函數也關系非常清晰。注意：縱坐標和橫坐標的刻度表示該數據點對應數值的常用對數，不是對數函數的真數。

對數坐標軸的原點是1，如圖2-1（c）、（e）中的縱軸；而普通坐標軸的原點往往是0，如圖2-1（a）中的縱軸、圖2-1（b）中的橫軸和縱軸。根據需要，對數坐標軸的起始刻度可以不從1開始，如圖2-1（d）、（e）的橫軸，均從10開始；而普通坐標軸的起始刻度也可不從0開始，如圖2-1（a）中的橫軸從10開始，圖2-1（d）中的橫軸從1.0開始。

（2）坐標比例尺的確定

坐標比例尺即坐標軸的分度，是指每條坐標軸所能代表的物理量的大小。Excel作圖中，往往選擇默認的比例尺，但是如果默認的比例尺不合適，就會導致圖形失真，最終導致不正確的結論。因此，需要實驗者自己選擇合適的坐標比例尺。

需要注意的是，選擇坐標比例尺時不要因比例常數過小，而造成圖中數據點分布異常的假象。同時也不要因比例常數過大，而損失實驗數據的準確度。

根據實驗數據，確定坐標比例尺的方法如下。

①若誤差已知，則比例尺建議為2Δx=2Δy=2mm。

Δx和Δy是已知變量x和y的誤差，假設2Δy=2mm，則y軸的比例尺My應為：

例如，已知質量的測量誤差Δy=0.1g，若取2Δm=2mm，則

即坐標軸上的10mm代表1g。

②若誤差未知，則坐標比例常數建議為M=2×10±n。

假設變量x和y的誤差Δx、Δy未知，坐標軸的比例常數M建議是（1、2、5）×10±n（n為正整數），但3、6、7、8等常數是一定不可用。

③橫坐標和縱坐標之間的比例可以不一致，應根據實際情況選擇，最好是讓曲線的坡度處于30°～60°之間。

例2-2　已知自變量x的測量誤差Δx=0.1，因變量y的測量誤差Δy=0.01。根據下表數據，試在普通直角坐標系中畫出兩者的關系曲線，并分析x對y的影響。

解　圖2-2（a）、（b）反映了不同比例尺下x和y的關系。

從圖2-2（a）可以看出：x對y幾乎沒有什么影響，因為圖中的曲線幾乎都是水平的。而由圖2-2（b）可以看出，x對y影響顯著，當x=7.0時，y有明顯增大。這兩個截然不同的結論是否由于圖2-2（a）、（b）兩圖的比例尺不一樣導致的？

分析如下：

根據兩個變量的誤差，確定坐標系的比例尺。

設2Δx=2Δy=2mm，

因Δx=0.1，Δy=0.01，所以

橫軸的比例尺為：/單位x值

縱軸的比例尺為：/單位y值

可見圖2-2（b）的比例尺是合適的，所以正確結論應為：x對y的影響顯著，當x=7.0時，y最大。