2.3　實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差分析

化工實(shí)驗(yàn)測(cè)量獲得的數(shù)據(jù)是實(shí)驗(yàn)的初步結(jié)果，由于測(cè)量?jī)x器和工程設(shè)備等客觀因素和實(shí)驗(yàn)人員等主觀原因，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)在客觀上存在誤差，并且具有普遍性。因此，化工實(shí)驗(yàn)要研究誤差的來(lái)源和規(guī)律性，盡可能減小誤差，得到比較準(zhǔn)確的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，為解決工程問(wèn)題提供依據(jù)。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)處理需要學(xué)習(xí)概率論和統(tǒng)計(jì)學(xué)的相關(guān)知識(shí)，本章僅從應(yīng)用的角度，簡(jiǎn)要介紹實(shí)驗(yàn)誤差的基本概念和計(jì)算方法。

2.3.1　真值和平均值

真值是在某一時(shí)刻和某一狀態(tài)下，某物理量的客觀值或?qū)嶋H值。一般來(lái)說(shuō)，真值是未知的，通常還無(wú)法測(cè)量；相對(duì)來(lái)說(shuō)，真值又是已知的，如理論真值：平面三角形三內(nèi)角之和為180°，國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)樣品的標(biāo)稱值；相對(duì)真值：國(guó)際上公認(rèn)的計(jì)量值，高精度儀器所測(cè)之值；近似真值；多次試驗(yàn)值的平均值等。

平均值是根據(jù)有限次實(shí)驗(yàn)結(jié)果計(jì)算得到的值，只能近似等于真值，或者叫真值的近似值。平均值種類很多，實(shí)驗(yàn)中常見(jiàn)的有5種：算術(shù)平均值、加權(quán)平均值、對(duì)數(shù)平均值、幾何平均值和均方根平均值等。不同平均值都有各自的適用條件，主要取決于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)本身的特點(diǎn)。

①算術(shù)平均值，用表示，xi表示單個(gè)實(shí)驗(yàn)值。

　　 （2-1） 　　

②加權(quán)平均值，用表示，wi表示權(quán)重，適用于不同試驗(yàn)值的精度或可靠性不一致的情況。

　　 （2-2） 　　

③對(duì)數(shù)平均值，用表示，設(shè)兩個(gè)數(shù)：x1>0，x2>0，則：

　　 （2-3） 　　

若實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的分布具有對(duì)數(shù)特性，則宜使用對(duì)數(shù)平均值。對(duì)數(shù)平均值≤算術(shù)平均值；如果1/2≤x1/x2≤2時(shí)，可用算術(shù)平均值代替對(duì)數(shù)平均值，相對(duì)誤差≤4.4％。

④幾何平均值，用表示。當(dāng)一組試驗(yàn)值取對(duì)數(shù)后所得數(shù)據(jù)的分布曲線更加對(duì)稱時(shí)，宜采用幾何平均值。幾何平均值=算術(shù)平均值。

　　 （2-4） 　　

⑤均方根平均值，用表示。

　　 （2-5） 　　

2.3.2　最可信賴值的計(jì)算

在具有等精度的測(cè)量值中，最可信賴值是指能使各測(cè)量值的誤差的平方和為最小時(shí)所表示的那個(gè)值。對(duì)未知量x進(jìn)行n次重復(fù)測(cè)量，得到一組等精度的測(cè)量結(jié)果x1，x2，…，xi，…，xn，應(yīng)用最小二乘法原理，可以確定未知量x的最可信賴值。

由于真值xt未知，所以用一組測(cè)量值的最可信賴值a代替。對(duì)應(yīng)的殘差Δ為

Δ1=x1-a，Δ2=x2-a，…，Δn=xn-a

依據(jù)高斯定律，具有誤差為Δ1，Δ2，…，Δn的觀測(cè)值出現(xiàn)的概率分別為

因各次測(cè)量值是獨(dú)立事件，所以誤差Δ1，Δ2，…，Δn同時(shí)出現(xiàn)的概率為各個(gè)概率的乘積。即：

由于可信賴值是概率P最大時(shí)所求的那個(gè)值，從指數(shù)關(guān)系可知，當(dāng)P最大時(shí)，（x1-a）2+（x2-a）2+…+（xn-a）2應(yīng)為最小，即在一組測(cè)量中各誤差的平方和最小。

設(shè)：Q=（x1-a）2+（x2-a）2+…+（xn-a）2

Q最小的條件為：

對(duì)上式進(jìn)行微分，并取為零，則得：-2（x1-a）-2（x2-a）-…-2（xn-a）=0

na=x1+x2+…+xn

　　 即 　　 　　 （2-6）

上述分析表明：在等精度（相同）的條件下，最可信賴值就是n次測(cè)量值的算術(shù)平均值x，此時(shí)各測(cè)量值與算術(shù)平均值的偏差的平方和為最小。

2.3.3　絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差

（1）絕對(duì)誤差

絕對(duì)誤差=實(shí)驗(yàn)值-真值　　（2-7）

絕對(duì)誤差Δx反映了實(shí)驗(yàn)值偏離真值的大小，這個(gè)偏差可正可負(fù)。通常實(shí)驗(yàn)測(cè)量所說(shuō)的誤差一般指絕對(duì)誤差。

Δx=x-xt　　（2-8）

所以有

xt=x±｜Δx｜　　（2-9）

測(cè)量中通常取儀器的最小刻度值作為最大絕對(duì)誤差，而取其最小刻度的1/2作為絕對(duì)誤差的計(jì)算值。化工實(shí)驗(yàn)中，如果對(duì)某量只進(jìn)行一次測(cè)量，一般可將測(cè)量?jī)x器上標(biāo)注的精度等級(jí)或儀器的最小刻度，作為單次測(cè)量誤差的計(jì)算依據(jù)。

例2-3　某壓力表標(biāo)注精度為1.5級(jí)，最大量程為0.8MPa，求該壓力表的最大絕對(duì)誤差。

解　精度為1.5級(jí)，表明該壓力表的絕對(duì)誤差為最大量程的1.5％，則該壓力表的最大絕對(duì)誤差Δx為：0.8×1.5％=0.012MPa。

（2）相對(duì)誤差

　　 （2-10） 　　

如果用ER表示相對(duì)誤差，則有

　　 （2-11） 　　

或者

　　 （2-12） 　　

顯然，相對(duì)誤差｜ER｜小，實(shí)驗(yàn)值的精度較高。

例2-4　某樣品的質(zhì)量稱量結(jié)果為58.7g±0.2g，求其相對(duì)誤差。

解　或0.3％

（3）絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差的關(guān)系

n次測(cè)量值的算術(shù)平均值x的絕對(duì)誤差如下：

　　 （2-13） 　　

絕對(duì)誤差Δx的大小與標(biāo)準(zhǔn)偏差σ成正比，與測(cè)量次數(shù)n的平方根成反比，即：標(biāo)準(zhǔn)誤差σ越小，測(cè)量次數(shù)n越多，絕對(duì)誤差Δx越小。

算術(shù)平均值x的相對(duì)誤差為

　　 （2-14） 　　

以算術(shù)平均值作為測(cè)量結(jié)果的最可信賴值，可以通過(guò)增加測(cè)量次數(shù)來(lái)減小隨機(jī)誤差。

2.3.4　標(biāo)準(zhǔn)偏差和相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)偏差

（1）標(biāo)準(zhǔn)偏差

標(biāo)準(zhǔn)偏差σ也稱作均方根誤差、標(biāo)準(zhǔn)誤差，或簡(jiǎn)稱為標(biāo)準(zhǔn)差。當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)n無(wú)窮大時(shí)，稱為總體的標(biāo)準(zhǔn)差，其定義為

　　 （2-15） 　　

實(shí)際工作中，實(shí)驗(yàn)次數(shù)一般為有限次，于是又有樣本標(biāo)準(zhǔn)差s，其定義為

　　 （2-16） 　　

標(biāo)準(zhǔn)差s不但與一組實(shí)驗(yàn)值中的每一個(gè)數(shù)據(jù)有關(guān)，而且對(duì)其中較大或較小的誤差敏感性很強(qiáng)，能明顯地反映出較大的個(gè)別誤差。它常用來(lái)表示實(shí)驗(yàn)值的精密度，標(biāo)準(zhǔn)差越小，則實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)精密度越好。

（2）相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)偏差

相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)偏差RSD，也叫變異系數(shù)CV，定義是標(biāo)準(zhǔn)偏差除以算術(shù)平均值，它反映了實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的離散程度。計(jì)算式如下，

　　 （2-17） 　　

例2-5　某實(shí)驗(yàn)得到下列兩組數(shù)據(jù)，計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)偏差和相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)偏差，分析兩組數(shù)據(jù)的精密度。

A：2.2，2.3，2.4，2.5，2.6

B：2.1，2.4，2.7，2.4，2.7

解　根據(jù)式（2-1），A組和B組的算術(shù)平均值為；

根據(jù)式（2-16），A組和B組的標(biāo)準(zhǔn)誤差為SA=0.16，SB=0.25；

根據(jù)式（2-17），A組和B組的相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)誤差為RSDA=6.73％，RSDB=10.46％。

分析：A組和B組的算術(shù)平均值相差不多，但是標(biāo)準(zhǔn)偏差和相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)偏差相差較大，反映出2組數(shù)據(jù)的離散程度不同，對(duì)比B組的結(jié)果，A組的精密度較好。

2.3.5　隨機(jī)誤差、系統(tǒng)誤差和過(guò)失誤差

（1）隨機(jī)誤差

隨機(jī)誤差是指在一定實(shí)驗(yàn)條件下，以不可預(yù)知的規(guī)律變化著的誤差，可以用絕對(duì)誤差描述。它符合統(tǒng)計(jì)規(guī)律：多次測(cè)量值的絕對(duì)誤差時(shí)正時(shí)負(fù)，其絕對(duì)值或大或小；大多服從正態(tài)分布，即絕對(duì)值小的誤差比絕對(duì)值大的誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)多，而且絕對(duì)值相等的正、負(fù)誤差出現(xiàn)的次數(shù)近似相等。因此當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)足夠多時(shí)，由于正、負(fù)誤差相互抵消，絕對(duì)誤差的平均值趨向于零。因?yàn)樗阈g(shù)平均值的隨機(jī)誤差比單個(gè)實(shí)驗(yàn)值的隨機(jī)誤差小，因此可以通過(guò)增加實(shí)驗(yàn)次數(shù)的方法減小隨機(jī)誤差。

實(shí)驗(yàn)中的隨機(jī)誤差一般是無(wú)法避免的，因?yàn)樗菍?shí)驗(yàn)過(guò)程中一系列偶然因素造成的，例如溫度的微小變動(dòng)、儀器的輕微振動(dòng)、電壓的微小波動(dòng)等，而這些偶然因素是實(shí)驗(yàn)者無(wú)法嚴(yán)格控制的。

（2）系統(tǒng)誤差

系統(tǒng)誤差是指在一定實(shí)驗(yàn)條件下，由某個(gè)或某些因素按照某一確定的規(guī)律起作用而形成的誤差。它的規(guī)律是：一旦實(shí)驗(yàn)條件確定，系統(tǒng)誤差就是一個(gè)客觀上的恒定值，其大小和正負(fù)符號(hào)是恒定的，它不能通過(guò)多次實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，也不能通過(guò)增加實(shí)驗(yàn)次數(shù)而減小。

實(shí)驗(yàn)中的系統(tǒng)誤差可以校正或消除，前提是充分認(rèn)識(shí)系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的原因。產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的原因是多方面的，可能來(lái)自儀器的刻度不均勻，可能來(lái)自實(shí)驗(yàn)者的操作不當(dāng)，也可來(lái)自實(shí)驗(yàn)方法本身的不完善等。

（3）過(guò)失誤差

過(guò)失誤差是一種明顯與事實(shí)不符的誤差。它沒(méi)有規(guī)律，主要是由于實(shí)驗(yàn)人員主觀上粗心大意造成，比如讀數(shù)錯(cuò)誤、記錄錯(cuò)誤或操作失誤等。

過(guò)失誤差是可以完全避免的，前提是實(shí)驗(yàn)者態(tài)度端正、責(zé)任心強(qiáng)。