3.5 平面四桿機構的解析法設計

連桿機構的設計方法有圖解法、解析法和試驗法。解析法是按照給定的參數和機構類型，建立參數方程，并根據已知參數對方程式求解，從而確定機構的尺寸參數的方法。本節主要介紹解析法的設計方法。

3.5.1 按給定連桿位置設計四桿機構

圖3.53所示鉸鏈四桿機構，在機架上建立固定坐標系xOy。已知連桿平面上任意兩點M、N，分別在該坐標系中的位置坐標為Mi（xMi，yMi）、Ni（xNi，yNi）（i=1，2，…，n）。又以M為原點在連桿上建立動坐標系x′My′。

設B、C兩點在動坐標系中的位置坐標分別為B（x′B，y′B）、C（x′C，y′C），在固定坐標系中與Mi、Ni相對應的位置坐標分別為Bi（xBi，yBi）、Ci（xCi，yCi），則B、C兩點分別在動坐標系與固定坐標系的變換關系為

式（3-45）和式（3-46）中φi為x軸正向至x′軸正向沿逆時針方向的夾角，且φi的表達式為

若固定鉸鏈中心A、D在固定坐標系中的位置坐標為A（xA，yA）、D（xD，yD），在機構運動過程中兩連架桿長度保持不變，可得

將式（3-45）代入式（3-48）并整理，得

式中

當A、D位置沒有給定時，式（3-50）含有4個未知量x′B和y′B、xA和yA，共有n—1個方程，其有解的條件為n≤5，即四桿機構最多能精確實現連桿的5個給定位置。當n＜5時，可預先選定機構參數以獲得唯一解。求出x′B、y′B，xA、yA，x′C、y′C，xD、yD未知量后，利用上述關系即可求得連桿、機架及兩連架桿的長度。

當A、D位置預先給定，則四桿機構最多可精確實現連桿的三個預期位置。

3.5.2 按給定行程速比系數K設計四桿機構

若給定曲柄搖桿機構中搖桿CD的長度c、擺角ψ以及行程速比系數K，試設計此機構。

由行程速比系數K算出極位夾角θ并作外接圓η，如圖3.54所示。圓η的半徑為

固定鉸鏈中心A在圓η的兩段圓弧上有無窮多個解，但不能選在劣弧段上，否則機構將不滿足運動連續性要求。若再給定某些附加條件，則A點的位置就受到限制。不同的附加條件對應的各構件長度的求解方法也不相同。

如圖3.54所示，若以β=∠AC1C2表示A點在圓η上的位置，并引入符號系數δ，即

（1）當時，δ=+1；

（2）當時，δ=—1。

對于θ＜90°，設曲柄AB的長度為a、連桿BC的長度為b，AD的長度為d，OD的長度為g，則有

由圖可知，曲柄與連桿拉直共線和重疊共線的兩個位置為和，則

若附加條件為給定機架AD的長度d，則由式（3-60）可求得角β，將其代入式（3-58）和式（3-59）可求得曲柄AB和連桿BC的長度a和b。又若附加條件為給定最小傳動角γmin，則有

將式（3-58）～式（3-60）代入式（3-61），得未知量僅為β的方程：

采用數值方法求解式（3-62），便可確定最小傳動角為給定值時的β及A點的位置。將β值代入式（3-58）～式（3-60），即可求得a、b、d。

3.5.3 給定兩連架桿的對應位置設計四桿機構

1．鉸鏈四桿機構

如圖3.55所示的鉸鏈四桿機構中，已知兩連架桿AB和DC沿逆時針方向的對應角為φ1i和ψ1i（i=1，2，…，n），要求確定各構件的長度a、b、c、d。

以A為原點、機架AD為x軸建立直角坐標系xAy，ABCD構成封閉向量多邊形，封閉向量方程為

向量方程向x軸和y軸投影，則兩連架桿AB和CD相對于x軸的位置角之間有如下關系：

兩連架桿角位移的對應關系只與各構件的相對長度有關，因此以桿AB的長度為基準，并設

將式（3-65）代入式（3-64），得

將式（3-66）中的兩式等號兩邊平方后相加并整理得

式中：

若兩連架桿AB和DC第一位置線相對于x軸的夾角分別記為φ1和ψ1，則兩連架桿第i個位置相對于x軸的夾角分別為φ1+φ1i和ψ1+ψ1i。將式（3-67）分別用于兩連架桿的第1和第i位置，則有

式（3-69）中含有P0、P1、P2、φ1、ψ1 5個未知量，共有n個方程，其有解的條件為n＜5，即鉸鏈四桿機構最多能精確實現兩連架桿的4組對應角位移，即兩連架桿5組對應角位置。

若φ1和ψ1預先給定，則鉸鏈四桿機構最多能精確實現兩連架桿的兩組對應角位移，此時式（3-67）可寫為

由式（3-70）中的三個線性方程組可解出P0、P1和P2，并將P0、P1和P2的值代入式（3-67），即得各構件的相對長度m、n、p，再根據實際需要選定構件AB的長度a后，其他構件的長度b、c、d即可確定。

2．曲柄滑塊機構

圖3.56所示的曲柄滑塊機構中，已知曲柄與滑塊的三個對應位置φ1、xC1，φ2、xC2，φ3、xC3，試設計此曲柄滑塊機構。

設曲柄AB、連桿BC的長度分別為a、b，偏距為e。建立坐標系xAy。各構件長度在坐標軸x、y上投影得

化簡式（3-71）得

令

則式（3-72）可寫成

將曲柄與滑塊的三個對應位置φ1、xC1，φ2、xC2，φ3、xC3，代入式（3-74），得

解此方程式，求解出R1、R2、R3，再由式（3-73）即可確定曲柄AB的長度a、連桿BC的長度b、偏距e，分別如下：