2.3 平面機構的自由度

2.3.1 平面機構自由度計算公式

機構具有確定運動時所必須給定的獨立運動的數目稱為機構的自由度。由理論力學可知，一個作空間運動而不受任何約束的構件（剛體），在空間自由運動時有六個自由度，即在直角坐標系內沿著三個坐標軸的移動和繞三個坐標軸的轉動。一個作平面運動而不受任何約束的構件（剛體），具有三個自由度，如圖2.8所示，構件1在與構件2未構成運動副時，具有沿軸x及y的移動和繞與運動平面垂直的軸線轉動的三個獨立運動，即具有三個自由度。

當兩個構件構成運動副時，如圖2.9～圖2.12所示，構件的某些獨立運動受到限制，這種限制稱為約束，即運動副對構件的獨立運動所加的限制。運動副每引入一個約束，構件就失去一個自由度。圖2.9所示構件1與構件2構成轉動副，構件1沿軸x及y的移動被約束，使構件1只能相對構件2轉動；圖2.10中構件1與構件2構成移動副，構件1沿軸y的移動和繞與運動平面垂直的軸線的轉動被約束，使構件1只能相對構件2沿軸x移動；圖2.11、圖2.12中構件1與構件2構成平面高副，構件2沿法線n—n方向的移動被約束，構件2相對構件1沿切線t—t方向移動以及繞與運動平面垂直的軸線轉動。由此可見，平面低副（轉動副或移動副）將引進兩個約束，使兩構件只剩下一個相對轉動或相對移動的自由度；平面高副引進一個約束，使兩構件只剩下相對滾動和相對滑動兩個自由度。

如果一個平面機構中有n個活動構件（機架為參考坐標系），當各構件尚未通過運動副相連接時，共有3n個自由度。若各構件之間共構成PL個低副和PH個高副，則全部運動副所引入的約束數為2PL+PH。機構的自由度數等于活動構件的自由度總數減去運動副引入的約束總數，用F表示，則平面機構的自由度為

由上式可知，機構自由度F取決于活動構件的數目以及運動副的性質和數目。

例2.3 試計算如圖2.13所示機構的自由度。

解：該機構為鉸鏈四桿機構，共有3個活動構件（n=3），4個低副（轉動副，PL=4），沒有高副（PH=0），根據式（2-1），機構自由度為

F=3n—2PL—PH=3×3—2×4—0=1

例2.4 試計算如圖2.14所示機構的自由度。

解：該機構為鉸鏈五桿機構，共有4個活動構件（n=4），5個低副（轉動副，PL=5），沒有高副（PH=0），根據式（2-1），機構自由度為

F=3n—2PL—PH=3×4—2×5—0=2

2.3.2 計算平面機構自由度時的注意事項

1．復合鉸鏈

圖2.15所示機構中，構件2、構件3和構件4三個構件在B處存在兩個轉動副，由于視圖的關系，它們重疊在了一起。實際上兩個構件可以構成一個鉸鏈；三個構件可以構成兩個重疊的鉸鏈（實際情況如圖2.16（a）所示）；四個構件構成三個重疊的鉸鏈（實際情況如圖2.16（b）所示）；不難推知，m個構件可以形成m—1個鉸鏈。因此把兩個以上的構件形成的轉動副稱為復合鉸鏈，在計算機構的自由度時不要忽略復合鉸鏈的存在。

例2.5 計算圖2.17所示直線機構的自由度。

解：在此機構中，A、B、C、D四處都是由三個構件組成的復合鉸鏈，它們各具有兩個運動副，故n=7，PL=10，PH=0。由式（2-1）可得其自由度為

F=3n—2PL—PH=3×7—2×10—0=1

計算結果與實際情況相符。

2．局部自由度

圖2.18（a）所示的凸輪機構中，為了減少高副接觸處的磨損，在凸輪和從動件之間安裝了圓柱形滾子。滾子繞其自身軸線的自由轉動不影響其他構件的運動，這種與機構的其他構件運動無關的自由度，稱為局部自由度。在計算機構自由度時，局部自由度應舍棄不計。可以設想將滾子與從動件焊成一體，如圖2.18（b）所示，先排除局部自由度，然后進行計算。

例2.6 計算圖2.19所示小型壓力機的機構自由度。

解：由前面分析可知，該機構活動桿件數為8，轉動副數為7，移動副數為3，高副為2。但構件4與凸輪6之間以滾子5實現滾動接觸，故此處引入了一個局部自由度，應排除（即設想將滾子與構件4焊成一體）。這樣n=7，PL=9，PH=2，自由度為

F=3n—2PL—PH=3×7—2×9—2=1

3．虛約束

在運動副所加的約束中，有些約束所起的限制作用是重復的，這種起重復限制作用的約束稱為虛約束。如圖2.20（a）所示的平行四邊形機構中，連桿3作平移運動，其上各點的軌跡均為以AB為半徑，圓心在AD線上的圓。若在該機構中再加上一個構件5，使其與構件2、4相互平行，且長度相等，如圖2.20（b）所示。由于桿5上點M的軌跡與BC桿上點M的軌跡是相互重合的，因此加上桿5后，并不影響機構的運動，但此時若按式（2-1）計算自由度，則有

F=3n—2PL—PH=3×4—2×6—0=0

這個結果與實際情況不符，造成這個結果的原因是加入了一個構件5，同時引入了3個自由度，增加了2個轉動副，將引入F=3×1—2×2=—1的自由度，則由此多引入一個約束，而實際上此約束對機構的運動起著重復的限制作用，故為虛約束。由此可以看出，在利用式（2-1）計算機構自由度時，應將產生虛約束的構件和運動副去掉，然后再進行計算，則有

F=3n—2PL—PH=3×3—2×4—0=1

機構常見的虛約束有如下幾種情況。

（1）對同一移動構件的平行虛約束

兩個構件間形成多個移動副，并且導路方向平行，這時只有一個移動副起到約束作用，其他移動副所引入的約束都是虛約束。例如圖2.21中，構件4對構件3分別在C處和D處形成約束，而在實際的運動分析中，只考慮其中一處約束就可以了。

（2）對同一轉動構件的同軸虛約束

兩個構件彼此之間在同一軸線上構成多個轉動副，這時只有一個轉動副對運動起約束作用，其他轉動副引入的約束都是虛約束。

如圖2.22所示，構件1與2在A、B兩端各形成一個轉動副，且它們擁有同一軸線，因此其中之一屬于虛約束。即從運動學的觀點來說，這兩個轉動副對轉動構件2的約束與其中之一起到的作用一樣，所以進行自由度計算時只考慮一個轉動副。在實際機器中采用這種虛約束，是為了支撐的穩定性和受力的合理性考慮的。

（3）兩構件組成多個平面高副

兩構件組成多個平面高副，且各接觸點的公法線重合，如圖2.23所示。在接觸點B、B′的法線n—n和n′—n′重合，即從運動學的觀點來說這兩個平面高副起到的作用一樣，所以自由度計算時只考慮一個平面高副。如果各接觸處的公法線不重合，如圖2.24（a）、（b）的情況將提供兩個約束相當于兩個平面高副。

（4）等距運動副的虛約束

在機構的運動中，若處在兩構件上的兩個點之間的距離始終保持不變，這時引入一個構件將此兩點和兩個運動副相連，則由此引入的一個約束也是虛約束。

圖2.25所示機構中，和，機構在運行時，E點與F點之間的距離始終保持不變。即無論EF兩點是否用構件5連接起來，ADEF四點始終保持平行四邊形的幾何關系。附加構件5和其兩端的轉動副E、F將引入F=3×1—2×2=—1的自由度，則多引入一個約束，此約束對機構的運動實際不起約束作用，故為虛約束。在計算自由度時，先把附加構件5和其兩端的轉動副E、F去掉，再進行自由度計算。

（5）運動軌跡重合的運動副的虛約束

在機構中如果把處在兩構件上的兩點用另外一個新添加的構件相連，而新添加的這個構件上連接點所形成的運動副的軌跡又與原來構件上的點的軌跡重合，則此時引入的這個構件以及該構件與原來構件上的點相連接所形成的這兩個運動副即成為虛約束。引入的一個新構件具有3個自由度，而兩個轉動副則要限制4個自由度，自由度F=3×1—2×2=—1，綜合作用效果相當于引入一個約束，而這個約束即為虛約束。

圖2.26（a）所示為機動車輪聯動機構的平行四邊形機構，其中。這時計算機構的自由度就會得到n=4、PL=6、PH=0，則

F=3n—2PL—PH=3×4—2×6—0=0

計算結果表明機構不能運動，而實際中許多這樣的機構是可以運動的，如機動車輪聯動機構。其原因就是5桿和EF兩個運動副形成了虛約束。在圖2.26（a）中由于ABCD構成了一個平行四邊形機構，所以2桿上所有的點的軌跡都是圓心在4桿上對應點的圓。而E點軌跡的圓心恰恰是F點，無論5桿是否存在，對E點的軌跡并無干涉，所以5桿對原機構構成虛約束，對機構的運動無影響。

在計算機構自由度時，應將引入的約束構件5和其上的兩個轉動副拆去后才能得到正確的結果，即n=3、PL=4、PH=0，則F=3n—2PL—PH=3×3—2×4—0=1。當然拆除構件1或構件3，其結論也是一樣的。

如果上述機構中不滿足的條件（如圖2.26（b）所示），即5桿連接的不是E點和E點軌跡的圓心F點，而是連接2桿上的E點和4桿上的其他點（如G點），此時引入的5桿不能滿足虛約束的條件，所以計算該機構的自由度可得F=0，表明機構確實不能運動。

（6）對稱構件的虛約束

圖2.27所示的輪系中，從運動學的角度分析只要一個行星輪便能滿足運動要求，此時機構的自由度為F=3n—2PL—PH=3×3—2×3—2=1。為了受力均衡，采取三個行星輪2、2′和2″對稱布置的結構，增加了兩個行星輪2′和2″以及兩個轉動副和4個平面高副，則引入的自由度為F=3n—2PL—PH=3×2—2×2—4=—2，即引入兩個約束。兩個行星輪2′和2″與行星輪2的運動完全相同，并不影響機構的運動，所以引入的兩個約束為虛約束。

機構中的虛約束都是在一些特定幾何條件下出現的，如果這些幾何條件不能滿足，則虛約束就會成為實際有效的約束，從而使機構卡住不能運動。所以，從保證機構運動和便于加工裝配等方面考慮，應盡量減少機構的虛約束。但為了改善構件的受力，增加機構的剛度，在實際機械中虛約束又被廣泛地應用。在機械設計過程中，是否使用及如何使用虛約束，必須對現代機械裝備進行全面的分析后再確定。

2.3.3 機構具有確定運動的條件

機構的自由度是指機構具有確定運動時所必須給定的獨立運動參數的數目，即機構中各構件相對于機架所具有的獨立運動的個數。

圖2.28所示為一鉸鏈四桿機構，機構的自由度為F=1，機構具有確定運動時所必須給定的獨立運動參數的數目為1。機構的原動件一般都是用轉動副或移動副與機架相連，因此每個原動件只能輸入一個獨立運動。構件1為原動件，參變量φ1表示構件1的獨立運動，每給定一個φ1的數值，從動件2、3便有一個確定的相應位置。由此可見，自由度等于1的機構在具有一個原動件時運動是確定的。

圖2.29所示的鉸鏈五桿機構，機構的自由度F=2，如果只有構件1為原動件，即只給定原動件1的參變量φ1時，由于構件4的位置不確定，構件2和3可以處在圖示的實線位置或雙點畫線位置，也可處在其他位置，即從動件的運動是不確定的。只有給出兩個原動件，使構件1、4都處于給定位置，才能使從動件獲得確定運動。若取構件1和4為原動件，φ1和φ4分別表示構件1和4的獨立運動，每當給定一組φ1和φ4的數值，從動件2和3便有一個確定的相應位置。由此可見，自由度等于2的機構在具有兩個原動件時才有確定的相對運動。

圖2.30所示的構件組合中，n=4，PL=6，PH=0，此構件組合的自由度F=0，所以是一個靜定桁架。

圖2.31所示的構件組合中，n=3，PL=5，PH=0，此構件組合的自由度F=—1，說明它所受的約束過多，是一個超靜定的桁架。

綜上所述，機構的自由度F、機構原動件的數目與機構的運動有著密切的關系：

（1）若機構自由度F≤0，則機構不能動，變為桁架。

（2）若F＞0，且與原動件數相等，則機構各構件間的相對運動是確定的，即機構具有確定運動的條件是機構自由度必須大于零，且原動件數與其自由度相等。

（3）若F＞0，而原動件數小于F，則構件間的運動是不確定的。

（4）若F＞0，而原動件數大于F，則構件間不能運動或產生破壞。

例2.7 試計算如圖2.32所示機構的自由度，若含有復合鉸鏈、局部自由度和虛約束，請明確指出。

解：機構中點C、E有一處為虛約束，點B有一個局部自由度，點G是復合鉸鏈。去掉虛約束和局部自由度，則n=7，PL=9，PH=2。其自由度為

F=3n—2PL—PH=3×7—2×9—2=1