1.2 復雜電路的分析方法與規律

1.2.1 基本概念

在分析簡單電路時，一般應用歐姆定律和電阻的串、并聯規律，但用它們來分析復雜電路就比較困難。這里的簡單電路通常是指只有一個電源的電路，而復雜電路通常是指有兩個或兩個以上電源的電路。對于復雜電路，常用到基爾霍夫定律、疊加定理和戴維南定理進行分析。在了解這些定律和定理之前先來說明幾個基本概念。

1. 支路

支路是指由一個或幾個元件首尾相接構成的一段無分支的電路。在同一支路內，流過所有元件的電流相等。在圖1-8所示電路中，它有三條支路，即bafe支路、be支路和bcde支路。其中bafe支路和bcde支路中都含有電源，這種含有電源的支路稱為有源支路。be支路沒有電源，稱為無源支路。

2. 節點

三條或三條以上支路的連接點稱為節點。圖1-8所示電路中的b點和e點都是節點。

3. 回路

電路中任意一個閉合的路徑稱為回路。圖1-8所示電路中的abefa、bcdeb、abcdefa都是回路。

4. 網孔

內部不含支路的回路稱為網孔。圖1-8所示電路中的abefa、bcdeb回路是網孔，abcdefa就不是網孔，因為它含有支路be。

1.2.2 基爾霍夫定律

基爾霍夫定律又可分為基爾霍夫第一定律（又稱基爾霍夫電流定律）和基爾霍夫第二定律（又稱基爾霍夫電壓定律）。

1. 基爾霍夫第一定律（電流定律）

基爾霍夫第一定律指出，在電路中，流入任意一個節點的電流之和等于流出該節點的電流之和。下面以圖1-9所示的電路來說明該定律。

在圖1-9所示電路中，流入A點的電流有三個，即I1、I2、I3；從A點流出的電流有兩個，即I4、I5。由基爾霍夫第一定律可得

I1+I2+I3=I4+I5

又可表示為

ΣI入=ΣI出

這里的“Σ”表示求和，可讀作“西格馬”。

如果規定流入節點的電流為正，流出節點的電流為負，那么基爾霍夫第一定律也可以這樣敘述：在電路中任意一個節點上，電流的代數和等于零，即

I1+I2+I3+（-I4）+（-I5）=0A

也可以表示成

ΣI=0A

基爾霍夫第一定律不但適合于電路中的節點，對一個封閉面也是適用的。圖1-10（a）所示示意圖中流入晶體管的電流Ib、Ic與流出的電流Ie有以下關系

Ib+Ic=Ie

在圖1-10（b）所示電路中，流入三角形負載的電流I1與流出的電流I2、I3有以下關系

I1=I2+I3

2. 基爾霍夫第二定律（電壓定律）

基爾霍夫第二定律指出，電路中任一回路內各段電壓的代數和等于零，即

ΣU=0V

在應用基爾霍夫第二定律分析電路時，需要先規定回路的繞行方向。當流過回路中某元件的電流方向與繞行方向一致時，該元件兩端的電壓取正，反之取負；電源的電動勢方向（電源的電動勢方向始終是由負極指向正極）與繞行方向一致時，電源的電動勢取負，反之取正。下面以圖1-11所示的電路來說明這個定律。

先來分析圖1-11所示電路中的BCDF回路的電壓關系。首先在這個回路中畫一個繞行方向，流過R2的電流I2和流過R3的電流I3與繞行方向一致，故I2×R2（即為U2）和I3×R3（即為U3）都取正；電源E2的電動勢方向與繞行方向一致，電源E2的電動勢取負。根據基爾霍夫第二定律可得出

I2·R2+I3·R3+（-E2）=0V

再來分析圖1-11所示電路中的ABFH回路的電壓關系。先在ABFH回路中畫一個繞行方向，流過R1的電流I1方向與繞行方向相同；I1×R1取正，流過R2的電流I2方向與繞行方向相反，I2×R2取負；電源E2的電動勢方向（負極指向正極）與繞行方向相反，E2的電動勢取正；電源E1的電動勢方向與繞行方向相同，E1的電動勢取負。根據基爾霍夫電壓定律可得出

I1·R1+（-I2·R2）+E2+（-E1）=0V

3. 基爾霍夫定律的應用——支路電流法

對于復雜電路的計算常常要用到基爾霍夫第一、第二定律，并且這兩個定律經常同時使用，下面介紹應用這兩個定律計算復雜電路的一種方法 支路電流法。

支路電流法使用時的一般步驟如下所述。

①在電路上標出各支路電流的方向，并畫出各回路的繞行方向。

②根據基爾霍夫第一、第二定律列出方程組。

③解方程組求出未知量。

下面再舉例說明支路電流法的應用。

圖1-12所示為汽車照明電路，其中E1為汽車發電機的電動勢，E1=14V；R1為發電機的內阻，R1=0.5Ω；E2為蓄電池的電動勢，E2=12V；R2為蓄電池的內阻，R2=0.2Ω，照明燈電阻R=4Ω。求各支路電流I1、I2、I和加在照明燈上的電壓UR。

解題過程如下。

第一步：在電路中標出各支路電流I1、I2、I的方向，并畫出各回路的繞行方向。

第二步：根據基爾霍夫第一、第二定律列出方程組。

節點B的電流關系為

I1+I2-I=0

回路ABEF的電壓關系為

I1R1-I2R2+E2-E1=0V

回路BCDE的電壓關系為

I2R2+IR-E2=0V

第三步：解方程組。

將E1=14V、R1=0.5Ω、E2=12V、R2=0.2Ω代入上面三個式子中，再解方程組可得

I1=3.72A，I2=?0.69A，I=3.03AA

UR=I·R=3.03×4V=12.12V

上面的I2為負值，表明I2電流實際方向與標注方向相反，即I2電流實際是流進蓄電池的，這說明發電機在為照明燈供電的同時還對蓄電池進行充電。

1.2.3 疊加定理

對于一個元件，如果它兩端的電壓與流過的電流成正比，這種元件就被稱為線性元件。線性電路是由線性元件組成的電路。電阻就是一種最常見的線性元件。疊加定理是反映線性電路基本性質的一個重要定理。

疊加定理的內容是：在線性電路中，任一支路中的電流（或電壓）等于各個電源單獨作用在此支路中所產生的電流（或電壓）的代數和。

下面以求圖1-13（a）所示電路中各支路電流I1、I2、I的大小來說明疊加定理的應用，圖中的E1=14V，R1=0.5Ω，E2=12V，R2=0.2Ω，R=4Ω。

解題過程如下。

第一步：在圖1-13（a）所示電路中標出各支路電流的方向。

第二步：畫出只有一個電源E1作用時的電路，把另一個電源當作短路，并標出這個電路各支路的電流方向，如圖1-13（b）所示；再分別求出該電路各支路的電流大小

第三步：畫出只有電源E2作用時的電路，把電源E1當作短路，并在這個電路中標出各支路電流的方向，如圖1-13（c）所示；再分別求出該電路各支路的電流大小

第四步：將每一支路的電流或電壓分別進行疊加。凡是與圖1-13（a）所示的電路中假定的電流（或電壓）方向相同的為正，反之為負。這樣可以求出各支路的電流分別如下：

I1=I1′-I1′′=（20.28-16.56）A=3.72A

I2=I2′′-I2′=（18.6-19.3）A=-0.7A

I=I′+I′′=（0.98+2.04）A=3.02A

1.2.4 戴維南定理

對于一個復雜電路，如果需要求多條支路的電流大小，可以應用基爾霍夫定律或疊加定理。如果僅需要求一條支路中的電流大小，則應用戴維南定理更為方便。

在介紹戴維南定理之前，先來說明一下二端網絡。任何具有兩個出線端的電路都可以稱為二端網絡。包含有電源的二端網絡稱為有源二端網絡，否則就稱為無源二端網絡。圖1-14（a）所示電路就是一個有源二端網絡，通常可以將它畫成圖1-14（b）所示的形式。

戴維南定理的內容是：任何一個有源二端網絡都可以用一個等效電源電動勢E0和內阻R0串聯起來的電路來代替。根據該定理可以將圖1-14（a）所示的電路簡化成圖1-14（c）所示的電路。

那么等效電源電動勢E0和內阻R0如何確定呢？戴維南定理還指出：等效電源電動勢E0是該有源二端網絡開路時的端電壓；內阻R0是指從兩個端點向有源二端網絡內看進去，并將電源均當成短路時的等效電阻。

下面以圖1-15（a）所示的電路為例來說明戴維南定理的應用。在圖1-15（a）所示的電路中，E1=14V，R1=0.5Ω，E2=12V，R2=0.2Ω，R=4Ω，求流過電阻R的電流I的大小。解題過程如下。

第一步：將電路分成待求支路和有源二端網絡，如圖1-15（a）所示。

第二步：假定待求支路斷開，求出有源二端網絡開路的端電壓，此即為等效電源電動勢E0，如圖1-15（b）所示，即

第三步：假定有源二端網絡內部的電源都短路，求出內部電阻，即為內阻值R0，如圖1-15（c）所示，即

第四步：畫出圖1-15（a）所示電路的戴維南等效電路，如圖1-15（d）所示，再求出待求支路電流的大小，即

1.2.5 最大功率傳輸定理與阻抗變換

1. 最大功率傳輸定理

在電路中，往往希望負載能從電源中獲得最大的功率，怎樣才能做到這一點呢？如圖1-16所示，E為電源，R為電源的內阻，RL為負載電阻，I為流過負載RL的電流，U為負載兩端的電壓。

負載RL獲得的功率P=UI，當增大RL的阻值時，電壓U會增大，但電流I會減小，如果減小RL的阻值，雖然電流I會增大，但電壓U會減小。什么情況下功率P的值最大呢？最大功率傳輸定理的內容是：負載要從電源獲得最大功率的條件是負載的電阻（阻抗）與電源的內阻相等。負載的電阻與電源的內阻相等又稱兩者阻抗匹配。在圖1-16所示電路中，負載RL要從電源獲得最大功率的條件是RL=R，此時RL得到的最大功率是。

如果有多個電源向一個負載供電，如圖1-17所示，負載RL怎樣才能獲得最大功率呢？這時就要先用戴維南定理求出該電路的等效內阻R0和等效電動勢E0，只要RL=R0，負載就可以獲得最大功率。

2. 阻抗變換

當負載的阻抗與電源的內阻相等時，負載才能從電源中獲得最大功率，但很多電路的負載阻抗與電源的內阻并不相等，這種情況下怎么才仍能讓負載獲得最大功率呢？解決方法是進行阻抗變換，阻抗變換通常采用變壓器。下面以圖1-18所示電路為例來說明變壓器的阻抗變換原理。

在圖1-18（a）所示電路中，要負載從電源中獲得最大功率，需讓負載的阻抗Z與電源（這里為信號源）內阻R0大小相等，即Z=R0。這里的負載可以是一個元件，也可以是一個電路，它的阻抗可以用表示。

現假設負載是圖1-18（b）所示點畫線框內由變壓器和電阻組成的電路，該負載的阻抗，變壓器的匝數比為n，電阻的阻抗為ZL，根據變壓器改變電壓的規律可得到下式，即

從上式可以看出，變壓器與電阻組成電路的總阻抗Z是電阻阻抗ZL的n2倍，即Z=n2ZL。如果讓總阻抗Z等于電源的內阻R0，變壓器和電阻組成的電路就能從電源獲得最大功率，又因為變壓器不消耗功率，所以功率全傳送給真正的負載（電阻），達到功率最大程度傳送的目的。由此可以看出：通過變壓器的阻抗變換作用，真正負載的阻抗不需與電源內阻相等，同樣能實現功率最大傳輸。

下面舉例來說明變壓器阻抗變換的應用。如圖1-19所示，音頻信號源內阻R0=72Ω，而揚聲器B的阻抗ZL=8Ω，如果將兩者按圖1-19（a）所示的方法直接連接起來，揚聲器將無法獲得最大功率，這時可以在它們之間加一個變壓器T1，如圖1-19（b）所示。至于選擇匝數比n為多少的變壓器，可用R0=n2ZL來計算，結果可得到n=3。也就是說，只要在兩者之間接一個n=3的變壓器，揚聲器B就可以從音頻信號源獲得最大功率，從而發出最大的聲音。