4.1 平面鏡成像

平面反射鏡又稱平面鏡，是光學系統(tǒng)中唯一能成完善像的光學元件，在日常生活中并不少見，如穿衣鏡、化妝鏡等。

4.1.1 單平面鏡

如圖4.1所示，物體上任一點A發(fā)出的同心光束被平面鏡反射，光線AP沿PA方向原光路返回，光線AQ以入射角I入射，經(jīng)反射后沿QR方向出射，延長AP和RQ交于A′。由反射定律及幾何關(guān)系容易證明△PAQ≌△PA′Q，從而可得AP＝A′P, AQ＝A′Q。同樣可證明由A點發(fā)出的另一條光線AO經(jīng)反射后，其反射光線的延長線必交于A′點。這表明，由A點發(fā)出的同心光束經(jīng)平面鏡反射后，變換為以A′為中心的同心光束。因此，A′為物點A的完善像點。同樣可以證明B′點為B點的完善像點。由于物體上每點都成完善像，所以整個物體也成完善像。

1．平面鏡成像特點

1）像與物相對平面鏡對稱，物像虛物相反

由球面鏡的物像位置公式，令r＝∞可得l′＝－l，所以，物與像相對于平面鏡對稱。

由球面鏡的放大率公式可知，實物成虛像，虛物成實像。

2）平面鏡成鏡像

由于平面鏡成像的對稱性，使一個右手坐標系的物體，變換成左手坐標系的像。就像照鏡子一樣，你的右手只能與鏡中的“你”的左手重合，這種像稱為鏡像。如圖4.2所示，一個右手坐標系O-xyz，經(jīng)平面鏡M后，其像為一個左手坐標系O′-x′y′z′。當正對著物體即沿zO方向觀察物時，y軸在左邊；而當正對著像即沿z′O′方向觀察像時，y′在右邊。

3）平面鏡奇數(shù)次反射成鏡像，偶數(shù)次反射成與物一致的像

由圖4.2可知，一次反射像O′-x′y′z′若再經(jīng)過一次反射成像，將恢復成與物相同的右手坐標系。

4）當物體旋轉(zhuǎn)時，其像沿反方向旋轉(zhuǎn)相同的角度

正對著zO方向觀察時，y順時針方向轉(zhuǎn)90°至x，而y′則是逆時針方向轉(zhuǎn)90°至x′（沿z′O′方向觀察）。同樣，沿xO方向觀察，z轉(zhuǎn)向y是順時針方向，而z′轉(zhuǎn)向y′則是逆時針方向（沿x′O′方向觀察）。沿yO方向觀察的情況相同。

2．平面鏡的旋轉(zhuǎn)特點

當入射光線方向不變而轉(zhuǎn)動平面鏡時，反射光線的方向?qū)l(fā)生改變，如圖4.3所示，設平面鏡轉(zhuǎn)動α角時，反射光線轉(zhuǎn)動θ角，根據(jù)反射定律有

因此，反射光線的方向改變了2α角。

利用平面鏡轉(zhuǎn)動的這一性質(zhì)，可以測量微小角度或位移。如圖4.4所示，刻有標尺的分劃板位于準直物鏡L的物方焦平面上，標尺零位點與物方焦點F重合，發(fā)出的光束經(jīng)物鏡L后平行于光軸。若平面鏡M與光軸垂直，則平行光經(jīng)平面鏡M反射后原光路返回，重新會聚于F點。若平面鏡M轉(zhuǎn)動θ角，則平行光束經(jīng)平面鏡后與光軸成2θ角，經(jīng)物鏡L后成像于B點，設BF＝y，物鏡焦距為f′，則

式中，y可由分劃板標尺讀出，物鏡焦距f′已知，可求出平面鏡轉(zhuǎn)動的微小角度θ。

若平面鏡的轉(zhuǎn)動是由一頂桿移動引起的，設頂桿到支點距離為a，頂桿微小移動量為x，則ta nθ≈θ＝x/a，代入上式，得

式中，K＝2f′/a為光學杠桿的放大倍數(shù)。利用此式可測量頂桿的微小位移。

4.1.2 雙平面鏡成像

如圖4.5所示，設兩個平面鏡的夾角為α，光線AO1入射到雙平面鏡上，經(jīng)兩個平面鏡PQ和PR依次反射，沿O2B方向出射，出射光線與入射光線的延長線相交于M點，夾角為β。

下面看經(jīng)雙平面鏡兩次反射后的出射光線與入射光線間的關(guān)系。

由△O1O2M，有

（－I1+I″1）＝（I2－I″2）+β

根據(jù)反射定律，有

β＝2（I″1－I2）

在△O1O2N中，有

I″1＝α+I2，即α＝I″1－I2

所以有

可見，出射光線和入射光線的夾角與入射角的大小無關(guān)，只取決于雙平面鏡的夾角α。由此可以推得，如果雙面鏡的夾角不變，當入射光線方向一定時，雙面鏡繞其棱邊旋轉(zhuǎn)時，出射光線方向始終不變。利用這一性質(zhì)，光學系統(tǒng)中用雙面鏡折轉(zhuǎn)光路時，對其安裝調(diào)整特別方便。

如圖4.6所示，一右手坐標系的物體xyz，經(jīng)雙面鏡QPR的兩個反射鏡PQ、PR依次成像為x′y′z′和x″y″z″。經(jīng)PQ第一次反射的像x′y′z′為左手坐標系，經(jīng)PR第二次反射后成的像（稱為連續(xù)一次像）x″y″z″還原為右手坐標系。

由圖中幾何關(guān)系得出：連續(xù)一次像可認為是由物體繞棱邊旋轉(zhuǎn)2α角形成的，旋轉(zhuǎn)方向由第一反射鏡轉(zhuǎn)向第二反射鏡。只要雙面鏡夾角α不變，雙面鏡轉(zhuǎn)動時，連續(xù)一次像不動。

總之，雙平面鏡的成像特性可歸結(jié)為以下兩點：

（1）二次反射像的坐標系與原物坐標系相同，成一致像。

（2）連續(xù)一次像可認為是由物體繞棱邊旋轉(zhuǎn)2α角形成的，其轉(zhuǎn)向與光線在反射面的反射次序所形成的轉(zhuǎn)向一致。