第六節(jié) 債券價格的利率敏感性

在之前的部分中我們提到過，債券的收益率和價格的關(guān)系比較復(fù)雜，并不像普通的線性關(guān)系那樣容易計算，這種復(fù)雜性給債券投資者帶來了很大的困擾。因為利率風(fēng)險是債券市場上最重要的風(fēng)險，但投資者在市場中買入和賣出債券時，價格的高低才是最直接的因素。因此，我們需要對利率和債券價格的變化關(guān)系做出更精確和更便捷的描述。在本節(jié)中我們將介紹債券的基點價值、久期和凸性三個概念以及它們的聯(lián)系和使用方法，并在最后簡述其中的數(shù)學(xué)原理。

一、基點價值

基點價值是指收益率變化一個基點（萬分之一）時，債券價格的變動值。它代表債券價格的絕對變動，單位為元。下面我們可以通過一個債券來說明基點價值，該債券的各項參數(shù)如表4-2所示。

現(xiàn)在假設(shè)市場收益率發(fā)生了一個基點的變動，債券M的價格會發(fā)生怎樣的變化呢？如果收益率變成了5.01%，通過債券的定價公式，我們可以求出債券價格變?yōu)?9.923元，按定義可以得到基點價值為0.077元。同樣地，如果收益率變成了4.99%，可以得到債券價格為100.077元，基點價值為0.077元。在這里收益率上升和下降一個基點時的變動近似相等，是因為一個基點的變化幅度很小。如果收益率發(fā)生大幅變化，兩者就會有較大差異，這是由非線性關(guān)系決定的。例如當(dāng)收益率變動10個基點時，按5.1%計算該債券價格為99.232元，變動0.768元。而按4.9%計算，則該債券價格為100.776元，變動0.776元，這樣在同一個收益率上就會出現(xiàn)兩個不同的基點價值。

所以在計算基點價值時我們一般采用利率上升和下降變動的均值，在上述例子中也即（0.768+0.776）/2=0.772元。從更一般的角度出發(fā)，令ΔP和ΔY分別代表價格和利率的變化，用基點來表示的利率變化就是10000×ΔY，我們可以列出如下公式：

DV01是基點價值（Dollar Value Of an 01）的縮寫。從公式中的負號我們可以看出，DV01在一般情況下是正的，因為利率水平和債券價格呈負相關(guān)，兩者反向變動，如圖4-4所示。

圖4-4中給出的是債券價格P和收益率Y的函數(shù)關(guān)系。為了力求精確，我們可以把收益率的變動Δy再縮小，使其無限逼近于0，這時求出的就是圖中切線的斜率值。在數(shù)學(xué)上，我們把該值叫作函數(shù)在該點的導(dǎo)數(shù)，寫作。按數(shù)學(xué)上的寫法，原公式可寫為

從圖4-4上可以看出，該斜率值（導(dǎo)數(shù)）會隨著收益率的變化而不斷變化。因此，債券的基點價值并非固定不變，而是和收益率直接相關(guān)。當(dāng)然我們可以近似認為基點價值在一定范圍內(nèi)保持不變，但讀者要清楚在這里可能引入的誤差。

在誤差允許的范圍內(nèi)，通過基點價值我們可以快速地求得利率變動后債券價格的變化。如果目前債券價格為102元，到期收益率是3%，基點價值為0.8，則收益率上升至3.02%時債券的價格應(yīng)為

二、久期

基點價值用于衡量收益率變化時債券價格的絕對變動。另外還有一個衡量債券對利率敏感程度的參數(shù)——久期。久期指的是收益率變動單位百分比時債券價格的變動比例。1938年，麥考利（F.R.Macaulay）最先提出了久期的概念，可以用數(shù)學(xué)公式表示為

該久期又稱麥考利久期。麥考利久期還可以看作債券到期時間的加權(quán)平均，下面我們來做一個簡單的推導(dǎo)。首先，按債券的定價公式：

CFt是各期的現(xiàn)金流，接著將債券價格對收益率求導(dǎo)可得

再將其代入久期公式，則

由此，我們得出麥考利久期是債券各現(xiàn)金流支付時間的加權(quán)平均值，權(quán)重是未來現(xiàn)金流現(xiàn)值占總現(xiàn)金流現(xiàn)值（債券價格）的比例。也就是說，麥考利久期衡量的是該債券投資的平均回收時間。久期越大，說明現(xiàn)金流回收需要的時間就越長，因而利率風(fēng)險就越大，債券價格受利率變動的影響也就越大。

在實際的債券分析中，投資者衡量債券價格變動的比例和利率直接變動的關(guān)系會更加便捷一些，所以就產(chǎn)生了修正久期這一概念。如果用D*表示修正久期，則有

我們可以發(fā)現(xiàn)修正久期和麥考利久期之間的關(guān)系是D*×（1+Y）=D。按照定義，如果某債券的修正久期為7，收益率變動1個基點時，債券價格將變動0.07%。修正久期越大，債券價格對收益率的變動就會越敏感。因為當(dāng)利率發(fā)生同樣的變動時，修正久期較大的債券會有更大的價格變動幅度。

此外為了方便計算，人們還引入了有效久期的概念。有效久期和修正久期一樣，都代表了債券價格對利率的敏感程度。不過修正久期是從收益率曲線上求導(dǎo)得出，而有效久期則通過債券價格變動來計算。如果目前的收益率為Y，債券價格為P，假設(shè)收益率向上和向下發(fā)生一個微小的變動ΔY，對應(yīng)的債券價格分別為P1和P2，則有效久期為

作為債券對利率變動敏感性的指標(biāo)，久期和基點價值最主要的不同在于，基點價值度量的是利率變化引起債券價格變化的絕對值，而久期度量的是利率變化引起債券價格變化的相對比例。舉例來說，如果一個債券組合的修正久期為7，債券價值10億元，那么，如果收益率變動1個基點，則該債券組合價值變動0.07%。從基點價值DV01的角度來講，這個債券組合的DV01為70萬元，那么收益率變動1個基點時，該債券組合價值就會變動70萬元。實際上兩者的本質(zhì)是一致的，在使用時并沒有優(yōu)劣之分。這兩種度量方式可以讓不同資產(chǎn)規(guī)模的投資者更加全面地衡量自身的利率風(fēng)險。如果資產(chǎn)規(guī)模較大，從久期的角度來講，較小的比例變動都會帶來很大的資產(chǎn)損益。而如果資產(chǎn)規(guī)模較小，從基點價值的角度看，較小的絕對變動仍然可能對應(yīng)很大比例的盈虧，讀者使用時需要注意兩者的不同側(cè)重點。

三、凸性

前面我們介紹了衡量債券對利率變化敏感程度的兩個參數(shù)——基點價值和久期，并給出了它們的數(shù)學(xué)表述。從公式中我們可以看到兩者都和利率Y直接相關(guān)，會隨著收益率的變化而變化。也就是說，債券對利率的敏感程度本身也是在不斷改變的。為了量化這種敏感程度的改變，我們引入凸性的概念。定義凸性的公式如下：

其中C為凸性，是債券價格對收益率的二階導(dǎo)數(shù)。對比久期的公式我們可以發(fā)現(xiàn)，債券價格對收益率的一階導(dǎo)數(shù)可以衡量債券對收益率變化的敏感度，二階導(dǎo)數(shù)則衡量該敏感度對收益率變化的敏感度，這也和數(shù)學(xué)上對導(dǎo)數(shù)的定義吻合。嚴(yán)格地講，凸性是指債券收益率變動引起的債券價格變動幅度的變動程度。因此如果我們已知債券的表達式，就可以直接求導(dǎo)計算出債券在各個收益率下的凸性，如果表達式未知，那么就要從市場的收益率和債券價格數(shù)據(jù)出發(fā)，進行數(shù)值計算。表4-3列示了某債券的價格和收益率數(shù)據(jù)。

表4-3中顯示了某債券的價格和收益率數(shù)據(jù)，我們接下來給讀者演示如何通過市場數(shù)據(jù)來計算債券的凸性。

以收益率在3.97%時的凸性為例。首先，計算出收益率在3.95%和3.97%之間債券價格對收益率的一階導(dǎo)數(shù)，即在收益率為3.96%時：

然后計算收益率在3.97%和3.99%之間的一階導(dǎo)數(shù)，即在收益率為3.98%時，用和上面相同的方法得到導(dǎo)數(shù)為-775。接下來根據(jù)已經(jīng)求出的一階導(dǎo)數(shù)求出債券價格對收益率的二階導(dǎo)數(shù)，即在利率為3.97%時：

最后我們根據(jù)公式，代入利率為3.97%時的債券價格求出凸性，即得到

其他收益率下的凸性也可以按此方法逐一求出。在本例中，債券的二階導(dǎo)數(shù)是正值，所以凸性也是正值。在這種狀況下我們認為該債券有正凸性。正凸性在數(shù)學(xué)上表示以收益率為自變量的債券價格函數(shù)P（Y）是凸函數(shù)，在函數(shù)圖像上表現(xiàn)為偏離線性向內(nèi)彎曲的特性。從敏感性變化的角度來說，該債券的基點價值和久期隨著收益率的增加而逐漸下降。

實際上絕大多數(shù)的債券都整體呈現(xiàn)正凸性，即當(dāng)利率下降時，債券價格將加速上升；當(dāng)利率上升時，債券價格將減速下降。但如果債券條約中存在一些能改變收益結(jié)構(gòu)的因素時（比如期權(quán)），就可能會導(dǎo)致整體出現(xiàn)負的凸性，或是正負凸性并存的情況。當(dāng)然，這里我們僅以債券為例，凸性的概念同樣被廣泛應(yīng)用于各類金融衍生品的定價中。國債期貨就同時存在正凸性和負凸性，其正凸性部分源自債券，負凸性部分源自最便宜可交割券的轉(zhuǎn)換，具體的內(nèi)容我們會在后面的章節(jié)中詳述。

四、債券敏感性的數(shù)學(xué)原理

以上我們介紹了衡量債券價格受利率變動敏感性的三個指標(biāo)，它們都是近似描述這種敏感性的手段。實際上債券價格受利率變化的影響是可以準(zhǔn)確度量的，從數(shù)學(xué)上我們可以計算出各個量的精確解。當(dāng)然在交易中，我們沒有必要按數(shù)學(xué)方法去嚴(yán)格地計算債券的變動。對于投資者來說更重要的是去理解其中的原理，并通過已有的手段（基點價值、久期、凸性）去快速地進行估計和近似計算。在本章的末尾，我們從數(shù)學(xué)的角度給讀者簡單講解債券價格和收益率的關(guān)系。

首先，把債券價格函數(shù)P（Y）進行泰勒展開到二階項。則收益率變動一個很小的單位ΔY時，可以得到如下近似：

從該方程中可以衍生出很多有用的結(jié)果，我們可以同時在兩邊減去債券價格P，從而得到債券價格變動的近似：

在兩邊再同時除以P可以得到債券價格變化百分比的近似：

最后，代入之前介紹過的債券久期和凸性的方程，可以得到

舉一個例子，如果已知收益率為4%時某債券的價格和利率敏感度數(shù)據(jù)，那么在收益率為3%時該債券的價格應(yīng)該是多少呢？假設(shè)該債券現(xiàn)價為95.150, DV01為0.077，凸性是268.000。那么該債券的一階導(dǎo)數(shù)為DV01乘以-10000，二階導(dǎo)數(shù)是凸性乘以它的價格95.150，代入第一個公式中可得

考慮到債券的報價方式，保留三位小數(shù)，也即該債券在收益率為3%的情況下的價格可近似為104.128元。

從上述計算中我們可以看到，該債券價格展開后的一階項結(jié)果為7.700，而二階項的結(jié)果為1.278。從數(shù)值上看一階項（對應(yīng)久期）要遠遠大于二階項（對應(yīng)凸性）。該結(jié)論具有普適性，因為對于各類債券來說，雖然凸性的絕對數(shù)值一般大于久期，但是利率變化的平方項太小導(dǎo)致相乘后的二階項遠遠小于一階項。因此，對于債券價格來說久期的影響更具有決定作用。實際上在精確度要求不高的情況下，我們計算債券價格時忽略凸性帶來的影響也是可行的。在忽略包含凸性的二階項后，原來的公式可簡化為