第三節　圖像的階調分布與階調層次處理

一、圖像的階調分布

圖像的階調分布是指各個明暗等級在圖像中所占據的面積比例。對數字圖像，可以通過統計圖像各明暗等級在圖像中的像素數，并分別除以圖像總像素數，從而獲得圖像的階調分布。

如果圖像的總像素數為N，總共有M個灰度等級（0，1，…，M-1），則可以按灰度等級對N個像素進行判別和統計，得到M個灰度等級在圖像中的像素數n0，n1，…，nM-1，求出M個灰度等級的像素數占整個圖像像素數的比例，即

將各灰度等級在圖像中的像素數ni或所占比例pi繪制在坐標系中，稱為“階調分布直方圖（histogram of tone distribution）”。圖3-7展示了高調、普通調、低調三種階調分布不同的圖像[圖3-7（a）、（c）、（e）]及其分布直方圖[圖3-7（b）、（d）、（f）]。從圖中可知，圖像階調分布體現了圖像中各個層次等級所占據的像素數或比例，階調分布狀況不同的圖像，給人的視覺印象是有差異的。

二、圖像階調分布與階調層次曲線

采用不同的階調層次曲線對圖像進行處理，會改變圖像的階調分布，圖像的外觀也會隨之發生變化。圖3-8顯示了一幅圖像在進行層次曲線調節前后，階調分布發生的變化（白線為參考直線，暗調層次拉開且變亮，亮中調層次壓縮）。

從圖3-8中可以看出，層次曲線在暗調段中的斜率提高，整體提亮。這些變化在處理后的圖像上可以反映出來。對應地，在階調分布直方圖上，分布的峰值向亮度高的方向移動，而且原來的中間調和暗調層次范圍被拓寬，這部分層次的差別被拉大。

通過階調層次曲線改變圖像的階調分布，使其達到希望的結果，是一種圖像處理常用的方法。下面就對階調分布與階調層次曲線的關系予以分析。

不妨用g表示圖像的階調數值，原圖像的階調數值為g0，經層次曲線處理后圖像的階調數值為g1。為了簡化，將階調數值歸一化，即

假定g0和g1都是連續變量。原圖像具有某種階調分布密度函數p（g0）。若要獲取某種階調轉換關系g1=T（g0），使階調轉換處理后的階調數值g1具有的分布為p（g1）。假設p（g1）如圖3-9左側所示，處理后的圖像具有均勻的階調分布p（g1）=1。

在階調數值g∈[0，1]的范圍內，階調轉換關系T（g）是單調遞增函數，且T（g）∈[0，1]。考慮到圖像階調變換不影響像素的位置，也不會增加像素的數量，則

用矩形法近似求面積，有

p（g0）Δg0≈p（g1）Δg1

在Δg0→0時，Δg1→0，可得p（g0）dg0=p（g1）dg1，即

按階調轉換函數g1=T（g0），有

　　（3-8）

從式（3-8）可以看出，階調轉換函數（曲線）T（g）與原稿和處理后圖像階調分布p（g0）和p（g1）的關系十分緊密，原稿圖像具有某種階調分布，通過某種階調轉換函數的處理，就能夠獲得相應階調分布的圖像。反之，如果在已知原稿階調分布的情況下，又規定（或設置）處理后圖像的階調分布，則可以求得階調轉換函數曲線。

特別地，如果規定處理后圖像的階調分布p（g1）是均一一致的，即p（g1）=1，稱為“直方圖均衡化”（histogram equalization）處理，按式（3-8），此時的階調轉換函數為

　　（3-9）

圖3-10為對一幅夜景圖像進行“直方圖均衡化”處理前后的效果，從圖3-10中可以看出，由于階調分布范圍擴展，被均勻化，原稿中幾乎難以分辨的暗調層次被清晰地展現出來，但其亮調層次有較多損失。

在當今的數字圖像處理技術中，圖像處理軟件對階調/層次的轉換功能較多，如“曲線調節”“色階變換”“亮度/對比度調整”等，歸結起來，其核心都與階調轉換函數緊密相關。通過軟件界面設置階調轉換函數，就可以將圖像的階調層次處理到需要的狀態。

復習思考題

1. 解釋圖像“階調”與“層次”的相同點和差異。

2.在某種圖像處理軟件中，對一幅圖像進行曲線轉換，觀察曲線狀態與圖像層次的對應關系。

3.在拉開亮調層次的時候，為什么圖像一般會變暗些？

4.一幅1000個像素的灰度模式數字圖像，共有8個灰度等級（i=0，1，…，7），灰度級與L*

成線性關系，第7號灰度級對應L*=100。各個灰度級的像素數見下表。繪出該圖像的亮度分布直方圖（關系），該圖像屬于何種階調分布類型？如果對此圖像進行直方圖均衡化處理，求出（離散的）灰度轉換曲線。