第二章 分?jǐn)?shù)

分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生

在經(jīng)過第一站的長途跋涉后，我們準(zhǔn)備進(jìn)入數(shù)的旅程第二站。在第一站，我們欣賞了自然數(shù)的風(fēng)光，在這站我們將去欣賞一下分?jǐn)?shù)的景色。

歷史上，分?jǐn)?shù)的出現(xiàn)是很早的。它的出現(xiàn)也是很自然的，作為自然數(shù)概念最早的推廣，在人們學(xué)會記數(shù)與自然數(shù)的運算后不久就知道分?jǐn)?shù)了。但對于不同的民族，分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的途徑卻并不相同。下面讓我們?nèi)タ匆幌職v史上幾種關(guān)于分?jǐn)?shù)的不同的處理方式。

先來看看古埃及吧。

古埃及很早就有了分?jǐn)?shù)的概念。不過，令現(xiàn)代人感到奇怪的是，古埃及人使用的分?jǐn)?shù)僅是單分子分?jǐn)?shù)，即分子為1的分?jǐn)?shù)。當(dāng)然，從某種角度上講，單分子分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生是很自然的。想想當(dāng)有許多人比如說10個人吧，平分一種食物時，每人就分得1/10。這種平分物品，每人取得一份的情況在當(dāng)時大概是非常常見的吧。于是，由此引出單分子分?jǐn)?shù)是自然的。不過，真正令人奇怪的是，除了個別的分?jǐn)?shù)如2/3，埃及人引入特殊的符號表示外，對于其他的不是單分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)他們都要把它化作不同的單分子分?jǐn)?shù)之和。如2/5記為3 15，意思是2/5=1/3+1/15。古埃及人為什么會用這種麻煩的方法呢？這種做法有沒有什么實用的目的呢？這些都是令數(shù)學(xué)史家困惑的，也是值得進(jìn)一步探討的問題。當(dāng)然，對此有一些猜測，但至今仍無定論。

比如，有人提到，這種方法用于解決食物分配和土地分配問題的時候，可以取得有益的結(jié)果。

例如有一個題：把7個面包分給8個人。每人應(yīng)分得多少呢？我們的解答很簡單，就是7/8。而古埃及人的解答形式為7/8=1/2+1/4+1/8。如果只是想知道每人獲取多少，兩種解答并看不出優(yōu)劣。不過，在當(dāng)時人們可能更經(jīng)常面對的是實際的操作問題，即：應(yīng)該如何分呢？

按我們通常所熟知的辦法，為了每人獲取7/8，可以把一個面包切七次，切成八塊，每人取一塊，如此進(jìn)行七次就成了。但這樣共需要切7×7=49次。

再來看看從古埃及人復(fù)雜的解答中我們可以獲得什么更簡單的分法吧。通過式子我們可以如下操作：取其中的4個面包每個切成兩份，每人取一份，這樣每人獲取1/2個面包；取其中的2個面包每個切成四份，每人取一份，這樣每人又獲取1/4個面包；最后剩下的一個面包切成8份，每人取一份，這樣每人又獲取1/8個面包。于是，每人最終獲取的面包數(shù)是1/2+1/4+1/8=7/8。然而如此操作時，卻只切了4×1+2×3+7=17次就成功地解決了問題！

在古代，這樣的問題恐怕是常常遇到的吧。尤其是當(dāng)需要分的物品是獸肉之類難以分割的東西時，這種分法的優(yōu)越性就更加明顯了。不過，如果僅是如此，使得古埃及人采用了單分子分?jǐn)?shù)的話，他們的做法就是得不償失的了。因為，這樣一點好處，遠(yuǎn)遠(yuǎn)無法抵消掉如此做所帶來的缺陷。這主要表現(xiàn)在運算方面的煩瑣上，對此下面我們會做簡單介紹。

對古巴比倫，我們只想說明幾點。其一，前面我們已經(jīng)提到，在公元前1800～公元前1600，古巴比倫人已采用六十進(jìn)制表示自然數(shù)。同樣，他們的分?jǐn)?shù)也是六十進(jìn)制的。其二，他們在分?jǐn)?shù)的表示上存在著與表示自然數(shù)同樣的困境。一個符號作為分?jǐn)?shù)可能表示21/60也可以表示20/60+1/602。這就造成他們記數(shù)法上更大的混亂。其三，對少數(shù)幾個分?jǐn)?shù)他們使用了特定記號，如1/2、1/3、2/3。這些特殊分?jǐn)?shù)雖然是從量的度量中所得出的結(jié)果，但對古巴比倫人來說，在量的度量意義上是作為“整體”看待的，而不是一的幾分之幾。這正如我們把一角錢與一元錢對比時我們可以把一角錢看作1/10元，但又可以把一角錢本身看成是一個單位，作為一個整體對待是一樣的道理。

再來看看古希臘羅馬。

希臘人特別重視分?jǐn)?shù)。從畢達(dá)哥拉斯學(xué)派那里，古希臘人相信自然界中的任何東西都可以用整數(shù)或整數(shù)的比表示。這種認(rèn)識很可能來源于音樂。正如畢達(dá)哥拉斯本人發(fā)現(xiàn)的那樣，任何振動的弦產(chǎn)生的普通音程，都與弦長度的簡單數(shù)字比相對應(yīng)。為了產(chǎn)生兩個相差八度的音，我們首先讓弦在它的全部長度上振動，然后在它的二分之一長度上振動；這樣，一個八度音就對應(yīng)于比2∶1。類似地，五度音程對應(yīng)于3∶2，四度音程對應(yīng)于4∶3……而聽起來越動聽越和諧的音程，表示它的分?jǐn)?shù)就越簡單。不和諧的音程其比更復(fù)雜，例如二度音程的比是9∶8，而半音的比是16∶15。由于音樂與數(shù)學(xué)的這種密切聯(lián)系，音樂理論在西方甚至被稱為分?jǐn)?shù)的算術(shù)，成為當(dāng)時數(shù)學(xué)的四大研究科目之一呢！此外，由于在希臘人的世界中，音樂與數(shù)學(xué)和哲學(xué)具有同等的重要性，所以希臘人在以上的事實中看到了一個跡象：整個宇宙都是根據(jù)來自分?jǐn)?shù)的音樂諧聲規(guī)律構(gòu)建的。也正是由此畢達(dá)哥拉斯學(xué)派得出了“宇宙和諧論”。在這里，我們需要指出一點，希臘人在早期是把分?jǐn)?shù)表示為兩個整數(shù)的比。也就是說，分?jǐn)?shù)在希臘來源于整數(shù)的比，而并非把分?jǐn)?shù)看作數(shù)的整體。這種觀點一直到希臘后期才有所改變。那時，人們開始把分?jǐn)?shù)當(dāng)作數(shù)的整體來看待了。如阿基米得用單詞來表示分?jǐn)?shù)，而且熟練地把比率轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)或者向相反方向轉(zhuǎn)化。這個時期的天文學(xué)家使用了巴比倫六十進(jìn)制的分?jǐn)?shù)，并采用愛奧尼亞式的字母符號來記錄。這大概是因為六十進(jìn)位制的分?jǐn)?shù)在天文計算中比較方便的緣故。

羅馬人在計算時使用的是十二進(jìn)位制分?jǐn)?shù)。這是由于在實際計算中，經(jīng)常遇到的分?jǐn)?shù)是1除以2、3、4、6所得的結(jié)果。因此這些分?jǐn)?shù)容易運用十二進(jìn)位制分?jǐn)?shù)予以表示。他們對2/12、3/12……11/12、1/24、1/36、1/48、1/96……都有專有的名稱和符號。并且每個名稱都有自己的來歷。例如，羅馬人把貨幣基本單位分成12等份，每一等份稱為“盎司”。這個名稱應(yīng)用到分?jǐn)?shù)上等于1/12阿斯。另外的分?jǐn)?shù)，部分的可以從與盎司的比值中得到自己的名稱。例如5/12盎司就稱為五盎司。這正如我們的貨幣中1/10角相當(dāng)于是一分；2/10角相當(dāng)于二分等一樣。用這種辦法的一大好處是，在計算時利用這些名稱就化為名數(shù)計算，實際上是把應(yīng)該使用分?jǐn)?shù)的運算化為了自然數(shù)運算，因此大大簡化了計算。要知道，分?jǐn)?shù)運算對于古代人來說是相當(dāng)困難的。

最后讓我們轉(zhuǎn)回來，看看我們中國對分?jǐn)?shù)的早期認(rèn)識吧。

我國是世界上使用分?jǐn)?shù)最早的民族之一。分?jǐn)?shù)在中國起源于何時，有待于進(jìn)一步詳考。不過，它的出現(xiàn)確實是很早的，甚至被認(rèn)為可以上溯到文字出現(xiàn)的初期。在春秋時期的古書上已有了關(guān)于分?jǐn)?shù)的記載。如春秋《左傳》中關(guān)于周天子封地給諸侯做了這樣的規(guī)定：“大都不過三國之一，中五之一，小九之一。”意思是，根據(jù)當(dāng)時的制度，諸侯的都城不要過大，最大的不得超過周文王國都的三分之一，中等的不超過五分之一，小的不超過九分之一。再如戰(zhàn)國時期著作《考工記》中，常用分?jǐn)?shù)表示手工業(yè)產(chǎn)品各部分尺寸的比。表示長度的單位有“十分之一謂之枚”的說法，意思是說一寸的十分之一叫做枚。這里的“枚”就是現(xiàn)在講的“分”。再如，秦始皇時期擬定一年的天數(shù)為“三百六十五，四分之一天”，即；一年的月數(shù)是“一十二，十九分之七月”，即月，這就是十九年七閏的方法。與其他古民族類似，在我國先秦典籍中對特殊的分?jǐn)?shù)如1/3、1/2、2/3等也都有特殊的名稱，分別稱為“少半”、“半”、“大（或太）半”。這些記載說明至遲在戰(zhàn)國時期，我國已經(jīng)廣泛使用了分?jǐn)?shù)。同時說明我國古人對分?jǐn)?shù)的研究一直是和社會實踐緊密聯(lián)系在一起的。

事實上，在我國，分?jǐn)?shù)概念也正是源于實際生活中對度量單位的細(xì)分。也就是說，我國分?jǐn)?shù)是在物體數(shù)量的比較中產(chǎn)生的。正如后來的劉徽所說：“物之?dāng)?shù)量，不可悉全，必以分言之。”意思是，在確定了度、量、衡或其他數(shù)量單位之后，某一物品不一定是其單位度量的整數(shù)倍，這就產(chǎn)生了分?jǐn)?shù)。實際上，不能正好得出一個整數(shù)的任何測量都會導(dǎo)致對分?jǐn)?shù)的使用。而由于人們需要分配一個整體的量時，不一定恰好量盡的情況是大量存在的，于是分?jǐn)?shù)就自然而然地被引入了。隨著分?jǐn)?shù)的大量出現(xiàn)和使用促進(jìn)了分?jǐn)?shù)概念的發(fā)展，人們慢慢地從“幾分升幾”、“幾分寸幾”等度量單位中抽象出了一般的分?jǐn)?shù)概念。

后來，中國古代還從除法運算的角度引入了分?jǐn)?shù)概念。在《九章算術(shù)》一書中說：“實如法而一。不滿法者，以法命之。”我國古代數(shù)學(xué)密切聯(lián)系實際，所分的都是實在的東西，如各種谷物、絲綢之類，故被除數(shù)稱為“實”；而用之于分的數(shù)實際上是一個標(biāo)準(zhǔn)，故除數(shù)稱為“法”。所謂“命之”即“命分”。于是，上面的話可譯為：“被除數(shù)除以除數(shù)，如果不能除盡，便定義了一個分?jǐn)?shù)。”

此外，在我國古代分?jǐn)?shù)還與比率密切結(jié)合在一起。比和比例是人類很早便接觸到的數(shù)學(xué)概念，它們在日常生活中經(jīng)常出現(xiàn)。如草藥成分的多少，物物交換中各種不同物品間的比率等等都是比和比例概念產(chǎn)生的基礎(chǔ)。事實上，比率關(guān)系是我國古代數(shù)學(xué)家所考慮的最基本的數(shù)學(xué)關(guān)系。《九章算術(shù)》中的各種演算程序都是依據(jù)比率關(guān)系構(gòu)造出來的。劉徽也是通過比率的性質(zhì)論證了分?jǐn)?shù)的性質(zhì)與四則運算。也就是說，分?jǐn)?shù)算法是以比率為理論基礎(chǔ)建立的。事實上，比率論是貫穿《九章算術(shù)》算學(xué)理論體系的一條主線，是算法之“綱紀(jì)”。需要指明的一點是，在當(dāng)時比率是具有高度概括力的，比率論是以量與量間的關(guān)系為研究對象，其量是可以按照一定規(guī)律變化的，因而中國古代這種比率理論與現(xiàn)代比例算法并不相同。

這一切都說明我國古代對分?jǐn)?shù)概念的認(rèn)識具有多重性：分?jǐn)?shù)作為測量或運算的結(jié)果，它是一個獨立的數(shù)；而在籌算的推演過程中，它實質(zhì)上是被看作法與實一對（整）數(shù)的比率。李約瑟早就注意到了這一點。他說：“在《九章算術(shù)》中，分子和分母在運算前稱作子和母，在運算中則稱作實和法。”

在大致了解了古代各民族對分?jǐn)?shù)的使用情況后，我們可以發(fā)現(xiàn)雖然各民族都很早引入了分?jǐn)?shù)概念，但是引入的方式并不相同。概括一下的話，分?jǐn)?shù)的來源大致有三條途徑：

1．實踐中度量細(xì)分的結(jié)果。

2．整數(shù)的比和比例。早期古希臘人甚至認(rèn)為分?jǐn)?shù)不是獨立的數(shù)，而只是“整數(shù)的比”。

3．整數(shù)的除法運算。

各民族對分?jǐn)?shù)的處理方式上也有所不同。大致說來有這樣幾種情況：

1．單分子分?jǐn)?shù)：這種古老的分?jǐn)?shù)形式在各民族歷史的最初階段都引入了，但后來大多民族都轉(zhuǎn)向了更廣泛的分?jǐn)?shù)概念，只有古埃及人對其情有獨鐘。

2．系統(tǒng)分?jǐn)?shù)：在科學(xué)上使用得特別多的一類分?jǐn)?shù)，也被稱為天文學(xué)分?jǐn)?shù)或物理學(xué)分?jǐn)?shù)。古巴比倫人最早引入了六十進(jìn)制的分?jǐn)?shù)。后來古希臘人在天文學(xué)中繼續(xù)使用了這種分?jǐn)?shù)。或許是這類分?jǐn)?shù)在天文學(xué)中使用比較方便的緣故，至今仍在科學(xué)中廣泛使用。小數(shù)亦可看作系統(tǒng)分?jǐn)?shù)的一種。

3．普通分?jǐn)?shù)：我們現(xiàn)在所通常使用的分?jǐn)?shù)。

可見，在不同民族的歷史上，最初分?jǐn)?shù)概念的來源與處理方式并不相同。其實，不同民族在對分?jǐn)?shù)的記法上也是互不相同的。現(xiàn)代我們所使用的分?jǐn)?shù)表示方法是經(jīng)過了長期的演變過程才形成的。下面，我們就簡單介紹一下分?jǐn)?shù)記法的演變過程。

分?jǐn)?shù)的記法

古代人記分?jǐn)?shù)的符號與方法是五花八門的。我們可以簡單介紹幾種。

古埃及人的分?jǐn)?shù)有一套專用的記法。一般是用一個卵形寫在整數(shù)上端，表明這是一個分?jǐn)?shù)。少數(shù)幾個分?jǐn)?shù)用特殊符號表示。到公元前1850年左右，埃及僧侶阿姆斯所寫的算學(xué)文獻(xiàn)中，在自然數(shù)上面加上一點，來表示分?jǐn)?shù)。另外，古埃及人把普通分?jǐn)?shù)化成單分子分?jǐn)?shù)表示的時候，把分?jǐn)?shù)并排在一起來表示加法。如7/8表示成1/21/41/8中間不用加號。這種寫法在現(xiàn)在算術(shù)中還保留著一部分，如寫帶分?jǐn)?shù)時，把整數(shù)和分?jǐn)?shù)并排地寫當(dāng)作兩數(shù)之和，不加任何聯(lián)接符號。

在古希臘愛奧尼亞記數(shù)法中，當(dāng)分子是單位1時，問題簡單一些，因為可以不必表示分子而只是在普通數(shù)字右上角加兩撇表示分母就可以了。如在愛奧尼亞記數(shù)法中γ表示普通數(shù)字3，那么γ″就表示了分?jǐn)?shù)1/3；當(dāng)而分子不是單位1時，則在普通數(shù)字右上角加一撇表示分子，而在普通數(shù)字右上角加兩撇表示分母。如愛奧尼亞記數(shù)法中ιε表示普通數(shù)字15，那么用γ′ιε″就表示了分?jǐn)?shù)3/15。

在我國，分?jǐn)?shù)記法有兩種，一種是漢字記法：“幾分之幾”。另一種是籌算記法。我們在第一章中已經(jīng)提到我國古代運算都是借助于籌進(jìn)行的。當(dāng)用算籌做除法時，如果出現(xiàn)除數(shù)大于某次余數(shù)，就停止運算。這樣余數(shù)、除數(shù)很自然地成為商的真分?jǐn)?shù)部分與整數(shù)部分，二者合在一起所形成的帶分?jǐn)?shù)就是商。正如《孫子算經(jīng)》卷上所說：“實有余者，以法命之，以法為母，實余為子。”籌算除法的結(jié)果“商在上面，余數(shù)在中間，除數(shù)在下面，這正是我國古代帶分?jǐn)?shù)的記法。根據(jù)《孫子算經(jīng)》推測，古代真分?jǐn)?shù)的記法應(yīng)記成二行，分母在下，分子在上。假分?jǐn)?shù)則記成三行。第一行是整數(shù)部分。如下（當(dāng)然我們是采用了現(xiàn)代的數(shù)字記法）

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則表示了分?jǐn)?shù)。這種記分?jǐn)?shù)的方法在我國大約公元3世紀(jì)就使用了。古印度人分?jǐn)?shù)的寫法與中國古代算籌分?jǐn)?shù)記法一樣，分子在上，分母在下，沒有分?jǐn)?shù)線；若是帶分?jǐn)?shù)，則整數(shù)部分又寫在分子之上。不過，籌算中分?jǐn)?shù)的記法并不固定這一種形式。其母與子作為比率，它們的相對位置或上下，或左右，隨宜而定。

大約在12世紀(jì)，一個叫海塞爾的阿拉伯人最早引入了分?jǐn)?shù)線。現(xiàn)在通用的分?jǐn)?shù)線就是從阿拉伯人開始沿用下來的。在歐洲最早引入分?jǐn)?shù)線的是斐波那契。15世紀(jì)以后，歐洲逐漸形成現(xiàn)代分?jǐn)?shù)算法，并漸漸采用了現(xiàn)在的分?jǐn)?shù)形式。1845年，德·摩根在一篇文章中提出用斜線“/”表示分?jǐn)?shù)線，以利于印刷排版。這樣分?jǐn)?shù)又可記為a/b。你或許早已注意到這本書中表示分?jǐn)?shù)時對這兩種記法就是混合使用的。

分?jǐn)?shù)的運算

正如前面曾指出的，分?jǐn)?shù)概念的引入是非常必要的。分?jǐn)?shù)的引入，是數(shù)系的第一次大擴(kuò)展，它使人們能夠更精確地描述客觀事物的數(shù)量關(guān)系。正如我國劉徽所指出的，數(shù)量關(guān)系不可能只用整數(shù)表示，有時也要用分?jǐn)?shù)來表示。

數(shù)擴(kuò)展到分?jǐn)?shù)后，由于實際需要又產(chǎn)生了分?jǐn)?shù)四則運算規(guī)則，這是非常自然的。如同有了自然數(shù)后，就相應(yīng)的有自然數(shù)的四則運算一樣。另一方面，分?jǐn)?shù)四則運算還有其他的重要性質(zhì)。分?jǐn)?shù)四則運算本身不僅可以直接解決許多實際問題，而且，其他許多運算要歸結(jié)到分?jǐn)?shù)運算，是其他數(shù)學(xué)方法不可少的工具。劉徽說：“法實相推，動有參差，故為術(shù)者先治諸分。”這正是我國第一部重要數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》在第一章中先講分?jǐn)?shù)的原因。

我國作為世界上最早建立分?jǐn)?shù)四則運算的國家，在戰(zhàn)國時期就已經(jīng)進(jìn)行過分?jǐn)?shù)四則運算。在秦漢時期便已成熟。成書于大約公元前1世紀(jì)的《周髀算經(jīng)》中已經(jīng)能夠在解決實際問題時熟練地進(jìn)行分?jǐn)?shù)運算了。事實上，書中的某些內(nèi)容充分顯示了我國在分?jǐn)?shù)計算方面已經(jīng)達(dá)到很高的水平，遠(yuǎn)遠(yuǎn)地超出當(dāng)時世界上其他各國。

到西漢初成書的《九章算術(shù)》更是集其大成，在世界數(shù)學(xué)史上第一次建立了完整的分?jǐn)?shù)理論。

《九章算術(shù)》中明確提出了分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)：分子、分母同乘以或同除以一不為零的數(shù)，其值不變。劉徽在注中將這一基本性質(zhì)概括為分?jǐn)?shù)的兩條變形規(guī)則：“乘以散之；約以聚之。”他在注中說：“分?jǐn)?shù)，如果講得復(fù)雜會給運算帶來麻煩，例如四分之二，說法不同，可以說是八分之四；簡單一些，也可以說是二分之一。說法不同，數(shù)值卻是不變的。”有了對分?jǐn)?shù)性質(zhì)的這一正確認(rèn)識，就可以建立分?jǐn)?shù)的通分、約分運算了。

對通分，劉徽提到其必要性，因為分?jǐn)?shù)經(jīng)過通分才能進(jìn)行加減法運算。通分的方法被劉徽概之以“齊同以通之”，齊同術(shù)最初就是通分的方法。劉徽指出，通分的理論依據(jù)在于分?jǐn)?shù)的變形規(guī)則“乘以散之”。通分運算包括兩步，一是使諸分?jǐn)?shù)的分母同一，通過群母相乘得到，稱為“同”；二是使各分?jǐn)?shù)保持不變，通過母互乘子而得，稱為“齊”。“同”是為分?jǐn)?shù)相通；齊是保證“勢不可失本數(shù)”。可見，劉徽的齊同術(shù)與與我們所學(xué)的通分方法基本一致。不過，也多少有一點不同處。現(xiàn)在我們在通分時一般要求取原分母的最小公倍數(shù)作公分母。但在《九章算術(shù)》中所出現(xiàn)的通分問題，一般是采取分母互乘的方法。后來的《張邱建算經(jīng)》一書，先是在序文說：“學(xué)算者不患乘除之難，而患通分之為難”。接著提出的通分方法也是直接取了兩分母的乘積，沒有取兩者的最小公倍數(shù)。古代人之所以這樣做，大約是因為求最小公倍數(shù)并不那么簡單，而直接取分母的乘積反而更易行些。也就是說，取最小公倍數(shù)的方法在理論上是重要的，但在運算中卻不一定實用。

約分術(shù)是《九章算術(shù)》的重要算法。書中提到約分術(shù)時說，分子、分母分別是二的倍數(shù)時，就相應(yīng)用二或五去化簡。否則就用等數(shù)約之。而等數(shù)就是指我們現(xiàn)在所說的最大公約數(shù)。我國古代求最大公約數(shù)的方法叫做更相減損術(shù)，它與有世界聲謄的歐幾里得算法是一致的。

約分、通分正如我們已經(jīng)知道的那樣，是進(jìn)行分?jǐn)?shù)四則運算的基礎(chǔ)。有了約分、通分的辦法，分?jǐn)?shù)的四則運算就是水到渠成的事情了。我國在《九章算術(shù)》成書時代對分?jǐn)?shù)四則運算已極為熟練，其分?jǐn)?shù)加、減、乘、除運算規(guī)則分別稱為合分術(shù)、減分術(shù)、乘分術(shù)、經(jīng)分術(shù)，其運算方法與現(xiàn)在我們所學(xué)習(xí)的完全一致。我們對此不再多說了。需要稍微提一下的是，古代人由于當(dāng)時對負(fù)數(shù)還缺乏認(rèn)識——對這一點，在后來的章節(jié)中我們會進(jìn)一步說明——所以對兩個分?jǐn)?shù)做減法時，要求前者大于后者才能進(jìn)行運算。當(dāng)然這要比較兩個分?jǐn)?shù)的大小，對此我國古代還提出了課分術(shù)，即比較分?jǐn)?shù)大小的方法，它與減分術(shù)基本相同。

對于我國古代在分?jǐn)?shù)運算方面所取得的成就，我們往往會低估。因為在今天，當(dāng)我們上小學(xué)四、五年級時已經(jīng)學(xué)會做分?jǐn)?shù)四則運算了。不過，當(dāng)了解到古代其他民族，邁出這一步所經(jīng)歷的漫長與曲折歷程時，你可能會對我國所取得的成就感到幾分自豪了。

分?jǐn)?shù)算術(shù)在古埃及數(shù)學(xué)中占有特別重要的地位。關(guān)于埃及分?jǐn)?shù)較完整的一份資料至今仍保存在大英博物館里。通過這份成文于約公元前1700年的“萊特草紙”，我們可以清楚了解到古埃及人處理分?jǐn)?shù)的方式。正如我們已提到的，古埃及人總是喜歡把所有分?jǐn)?shù)化為單分子分?jǐn)?shù)的和，那么他們是如何實現(xiàn)這一點的呢？在這份草紙上的一張表上，記錄著分子為2，分母為3、5、7、9………101的分?jǐn)?shù)分解成單位分?jǐn)?shù)之和的形式，只有2/3除外，沒有做這種分解。古埃及人建立的這張?zhí)厥獾谋恚蚝笕饲宄砻髁怂麄冋抢眠@樣的表，將其他任何分?jǐn)?shù)化為單分子分?jǐn)?shù)，并進(jìn)行相應(yīng)的分?jǐn)?shù)運算的。例如使用這種表有：

5/21=1/21+2/21+2/21=1/21+1/14+1/42+1/14+1/42=1/21+2/14+2/42=1/21+1/7+1/21=1/7+2/21=1/7+1/14+1/42

運算是何等復(fù)雜！而且這種運算不單單是冗長的問題，它還要求有相當(dāng)?shù)募记伞？梢娂词故怯辛诉@樣的表，進(jìn)行分?jǐn)?shù)運算時也是非常困難的。正是從運算的角度，我們才能更清楚地明白古埃及人只用單分子分?jǐn)?shù)所帶來的好處遠(yuǎn)遠(yuǎn)無法抵消掉它帶來的不足。事實上，埃及人處理分?jǐn)?shù)的這種方式給他們的數(shù)學(xué)造成了一種沉悶的性質(zhì)，妨礙了其數(shù)學(xué)的進(jìn)一步發(fā)展。它像羅馬計數(shù)法一樣，嚴(yán)重地遲滯了古埃及人數(shù)學(xué)的進(jìn)步。后人推測，他們之所以未能把算術(shù)和代數(shù)發(fā)展到高水平，其分?jǐn)?shù)運算之繁難恐怕是原因之一。

除了古埃及外，在古代許多其他民族，分?jǐn)?shù)運算也都是令人深感頭痛的事。公元7世紀(jì)，俄國亞美尼亞地方著名數(shù)學(xué)家阿那尼在他的《算術(shù)習(xí)題課本》中，給出八個分?jǐn)?shù)相加的習(xí)題，就被人們認(rèn)為他的知識達(dá)到最高水平。當(dāng)時歐洲最有學(xué)問的英國修士倍達(dá)說：“世界上有很多難做的事，但是，沒有比算術(shù)四則再難的了。”歐洲到15、16世紀(jì)還感到困惑。例如意大利學(xué)者帕西沃里對分?jǐn)?shù)相乘有時乘積會小于被乘數(shù)覺得大惑不解。而英國人唐士陶取材帕西沃里《算學(xué)大成》，用拉丁文編成的算術(shù)，還是當(dāng)時牛津、劍橋大學(xué)的教科書呢。直到1570年英國還有人作打油詩表達(dá)對數(shù)學(xué)運算的厭惡：

“乘法原可惱，

除法尤不便；

比例之法更艱澀，

習(xí)之真使人發(fā)狂。”

到16、17世紀(jì)，歐洲人才總結(jié)出類似于我國《九章算術(shù)》的分?jǐn)?shù)四則運算法則以及有關(guān)的文字題。甚至直到18世紀(jì)，歐洲人對分?jǐn)?shù)運算仍心有余悸。1735年，英國一本算術(shù)教科書的作者曾講了這樣一段話：“為了照顧學(xué)生們……我們把通常稱為分?jǐn)?shù)的破碎數(shù)的運算規(guī)則單獨敘述，部分學(xué)生在看到這些分?jǐn)?shù)時，灰心到就此停止學(xué)習(xí)，他們?nèi)侣曊f：‘不要再往下了！'”可見歷史上人們對分?jǐn)?shù)運算厭煩、畏懼到何等程度。那時精通四則運算就可算作學(xué)者了，至于分?jǐn)?shù)，簡直難于上青天！德國諺語形容一個人已陷入絕境，束手待斃，就說他已“掉到分?jǐn)?shù)里去”。

這并不奇怪，今天我們課堂上一、二個小時或幾分鐘就可掌握的知識，在科學(xué)史上往往要花費幾年、幾十年，甚至上百、上千年的時間。前面已經(jīng)提到過的位值制與零的引入，不也是很好的例證嗎？