第二章 分?jǐn)?shù)

分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生

在經(jīng)過(guò)第一站的長(zhǎng)途跋涉后，我們準(zhǔn)備進(jìn)入數(shù)的旅程第二站。在第一站，我們欣賞了自然數(shù)的風(fēng)光，在這站我們將去欣賞一下分?jǐn)?shù)的景色。

歷史上，分?jǐn)?shù)的出現(xiàn)是很早的。它的出現(xiàn)也是很自然的，作為自然數(shù)概念最早的推廣，在人們學(xué)會(huì)記數(shù)與自然數(shù)的運(yùn)算后不久就知道分?jǐn)?shù)了。但對(duì)于不同的民族，分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的途徑卻并不相同。下面讓我們?nèi)タ匆幌職v史上幾種關(guān)于分?jǐn)?shù)的不同的處理方式。

先來(lái)看看古埃及吧。

古埃及很早就有了分?jǐn)?shù)的概念。不過(guò)，令現(xiàn)代人感到奇怪的是，古埃及人使用的分?jǐn)?shù)僅是單分子分?jǐn)?shù)，即分子為1的分?jǐn)?shù)。當(dāng)然，從某種角度上講，單分子分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生是很自然的。想想當(dāng)有許多人比如說(shuō)10個(gè)人吧，平分一種食物時(shí)，每人就分得1/10。這種平分物品，每人取得一份的情況在當(dāng)時(shí)大概是非常常見(jiàn)的吧。于是，由此引出單分子分?jǐn)?shù)是自然的。不過(guò)，真正令人奇怪的是，除了個(gè)別的分?jǐn)?shù)如2/3，埃及人引入特殊的符號(hào)表示外，對(duì)于其他的不是單分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)他們都要把它化作不同的單分子分?jǐn)?shù)之和。如2/5記為3 15，意思是2/5=1/3+1/15。古埃及人為什么會(huì)用這種麻煩的方法呢？這種做法有沒(méi)有什么實(shí)用的目的呢？這些都是令數(shù)學(xué)史家困惑的，也是值得進(jìn)一步探討的問(wèn)題。當(dāng)然，對(duì)此有一些猜測(cè)，但至今仍無(wú)定論。

比如，有人提到，這種方法用于解決食物分配和土地分配問(wèn)題的時(shí)候，可以取得有益的結(jié)果。

例如有一個(gè)題：把7個(gè)面包分給8個(gè)人。每人應(yīng)分得多少呢？我們的解答很簡(jiǎn)單，就是7/8。而古埃及人的解答形式為7/8=1/2+1/4+1/8。如果只是想知道每人獲取多少，兩種解答并看不出優(yōu)劣。不過(guò)，在當(dāng)時(shí)人們可能更經(jīng)常面對(duì)的是實(shí)際的操作問(wèn)題，即：應(yīng)該如何分呢？

按我們通常所熟知的辦法，為了每人獲取7/8，可以把一個(gè)面包切七次，切成八塊，每人取一塊，如此進(jìn)行七次就成了。但這樣共需要切7×7=49次。

再來(lái)看看從古埃及人復(fù)雜的解答中我們可以獲得什么更簡(jiǎn)單的分法吧。通過(guò)式子我們可以如下操作：取其中的4個(gè)面包每個(gè)切成兩份，每人取一份，這樣每人獲取1/2個(gè)面包；取其中的2個(gè)面包每個(gè)切成四份，每人取一份，這樣每人又獲取1/4個(gè)面包；最后剩下的一個(gè)面包切成8份，每人取一份，這樣每人又獲取1/8個(gè)面包。于是，每人最終獲取的面包數(shù)是1/2+1/4+1/8=7/8。然而如此操作時(shí)，卻只切了4×1+2×3+7=17次就成功地解決了問(wèn)題！

在古代，這樣的問(wèn)題恐怕是常常遇到的吧。尤其是當(dāng)需要分的物品是獸肉之類(lèi)難以分割的東西時(shí)，這種分法的優(yōu)越性就更加明顯了。不過(guò)，如果僅是如此，使得古埃及人采用了單分子分?jǐn)?shù)的話，他們的做法就是得不償失的了。因?yàn)椋@樣一點(diǎn)好處，遠(yuǎn)遠(yuǎn)無(wú)法抵消掉如此做所帶來(lái)的缺陷。這主要表現(xiàn)在運(yùn)算方面的煩瑣上，對(duì)此下面我們會(huì)做簡(jiǎn)單介紹。

對(duì)古巴比倫，我們只想說(shuō)明幾點(diǎn)。其一，前面我們已經(jīng)提到，在公元前1800～公元前1600，古巴比倫人已采用六十進(jìn)制表示自然數(shù)。同樣，他們的分?jǐn)?shù)也是六十進(jìn)制的。其二，他們?cè)诜謹(jǐn)?shù)的表示上存在著與表示自然數(shù)同樣的困境。一個(gè)符號(hào)作為分?jǐn)?shù)可能表示21/60也可以表示20/60+1/602。這就造成他們記數(shù)法上更大的混亂。其三，對(duì)少數(shù)幾個(gè)分?jǐn)?shù)他們使用了特定記號(hào)，如1/2、1/3、2/3。這些特殊分?jǐn)?shù)雖然是從量的度量中所得出的結(jié)果，但對(duì)古巴比倫人來(lái)說(shuō)，在量的度量意義上是作為“整體”看待的，而不是一的幾分之幾。這正如我們把一角錢(qián)與一元錢(qián)對(duì)比時(shí)我們可以把一角錢(qián)看作1/10元，但又可以把一角錢(qián)本身看成是一個(gè)單位，作為一個(gè)整體對(duì)待是一樣的道理。

再來(lái)看看古希臘羅馬。

希臘人特別重視分?jǐn)?shù)。從畢達(dá)哥拉斯學(xué)派那里，古希臘人相信自然界中的任何東西都可以用整數(shù)或整數(shù)的比表示。這種認(rèn)識(shí)很可能來(lái)源于音樂(lè)。正如畢達(dá)哥拉斯本人發(fā)現(xiàn)的那樣，任何振動(dòng)的弦產(chǎn)生的普通音程，都與弦長(zhǎng)度的簡(jiǎn)單數(shù)字比相對(duì)應(yīng)。為了產(chǎn)生兩個(gè)相差八度的音，我們首先讓弦在它的全部長(zhǎng)度上振動(dòng)，然后在它的二分之一長(zhǎng)度上振動(dòng)；這樣，一個(gè)八度音就對(duì)應(yīng)于比2∶1。類(lèi)似地，五度音程對(duì)應(yīng)于3∶2，四度音程對(duì)應(yīng)于4∶3……而聽(tīng)起來(lái)越動(dòng)聽(tīng)越和諧的音程，表示它的分?jǐn)?shù)就越簡(jiǎn)單。不和諧的音程其比更復(fù)雜，例如二度音程的比是9∶8，而半音的比是16∶15。由于音樂(lè)與數(shù)學(xué)的這種密切聯(lián)系，音樂(lè)理論在西方甚至被稱(chēng)為分?jǐn)?shù)的算術(shù)，成為當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)的四大研究科目之一呢！此外，由于在希臘人的世界中，音樂(lè)與數(shù)學(xué)和哲學(xué)具有同等的重要性，所以希臘人在以上的事實(shí)中看到了一個(gè)跡象：整個(gè)宇宙都是根據(jù)來(lái)自分?jǐn)?shù)的音樂(lè)諧聲規(guī)律構(gòu)建的。也正是由此畢達(dá)哥拉斯學(xué)派得出了“宇宙和諧論”。在這里，我們需要指出一點(diǎn)，希臘人在早期是把分?jǐn)?shù)表示為兩個(gè)整數(shù)的比。也就是說(shuō)，分?jǐn)?shù)在希臘來(lái)源于整數(shù)的比，而并非把分?jǐn)?shù)看作數(shù)的整體。這種觀點(diǎn)一直到希臘后期才有所改變。那時(shí)，人們開(kāi)始把分?jǐn)?shù)當(dāng)作數(shù)的整體來(lái)看待了。如阿基米得用單詞來(lái)表示分?jǐn)?shù)，而且熟練地把比率轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)或者向相反方向轉(zhuǎn)化。這個(gè)時(shí)期的天文學(xué)家使用了巴比倫六十進(jìn)制的分?jǐn)?shù)，并采用愛(ài)奧尼亞式的字母符號(hào)來(lái)記錄。這大概是因?yàn)榱M(jìn)位制的分?jǐn)?shù)在天文計(jì)算中比較方便的緣故。

羅馬人在計(jì)算時(shí)使用的是十二進(jìn)位制分?jǐn)?shù)。這是由于在實(shí)際計(jì)算中，經(jīng)常遇到的分?jǐn)?shù)是1除以2、3、4、6所得的結(jié)果。因此這些分?jǐn)?shù)容易運(yùn)用十二進(jìn)位制分?jǐn)?shù)予以表示。他們對(duì)2/12、3/12……11/12、1/24、1/36、1/48、1/96……都有專(zhuān)有的名稱(chēng)和符號(hào)。并且每個(gè)名稱(chēng)都有自己的來(lái)歷。例如，羅馬人把貨幣基本單位分成12等份，每一等份稱(chēng)為“盎司”。這個(gè)名稱(chēng)應(yīng)用到分?jǐn)?shù)上等于1/12阿斯。另外的分?jǐn)?shù)，部分的可以從與盎司的比值中得到自己的名稱(chēng)。例如5/12盎司就稱(chēng)為五盎司。這正如我們的貨幣中1/10角相當(dāng)于是一分；2/10角相當(dāng)于二分等一樣。用這種辦法的一大好處是，在計(jì)算時(shí)利用這些名稱(chēng)就化為名數(shù)計(jì)算，實(shí)際上是把應(yīng)該使用分?jǐn)?shù)的運(yùn)算化為了自然數(shù)運(yùn)算，因此大大簡(jiǎn)化了計(jì)算。要知道，分?jǐn)?shù)運(yùn)算對(duì)于古代人來(lái)說(shuō)是相當(dāng)困難的。

最后讓我們轉(zhuǎn)回來(lái)，看看我們中國(guó)對(duì)分?jǐn)?shù)的早期認(rèn)識(shí)吧。

我國(guó)是世界上使用分?jǐn)?shù)最早的民族之一。分?jǐn)?shù)在中國(guó)起源于何時(shí)，有待于進(jìn)一步詳考。不過(guò)，它的出現(xiàn)確實(shí)是很早的，甚至被認(rèn)為可以上溯到文字出現(xiàn)的初期。在春秋時(shí)期的古書(shū)上已有了關(guān)于分?jǐn)?shù)的記載。如春秋《左傳》中關(guān)于周天子封地給諸侯做了這樣的規(guī)定：“大都不過(guò)三國(guó)之一，中五之一，小九之一。”意思是，根據(jù)當(dāng)時(shí)的制度，諸侯的都城不要過(guò)大，最大的不得超過(guò)周文王國(guó)都的三分之一，中等的不超過(guò)五分之一，小的不超過(guò)九分之一。再如戰(zhàn)國(guó)時(shí)期著作《考工記》中，常用分?jǐn)?shù)表示手工業(yè)產(chǎn)品各部分尺寸的比。表示長(zhǎng)度的單位有“十分之一謂之枚”的說(shuō)法，意思是說(shuō)一寸的十分之一叫做枚。這里的“枚”就是現(xiàn)在講的“分”。再如，秦始皇時(shí)期擬定一年的天數(shù)為“三百六十五，四分之一天”，即；一年的月數(shù)是“一十二，十九分之七月”，即月，這就是十九年七閏的方法。與其他古民族類(lèi)似，在我國(guó)先秦典籍中對(duì)特殊的分?jǐn)?shù)如1/3、1/2、2/3等也都有特殊的名稱(chēng)，分別稱(chēng)為“少半”、“半”、“大（或太）半”。這些記載說(shuō)明至遲在戰(zhàn)國(guó)時(shí)期，我國(guó)已經(jīng)廣泛使用了分?jǐn)?shù)。同時(shí)說(shuō)明我國(guó)古人對(duì)分?jǐn)?shù)的研究一直是和社會(huì)實(shí)踐緊密聯(lián)系在一起的。

事實(shí)上，在我國(guó)，分?jǐn)?shù)概念也正是源于實(shí)際生活中對(duì)度量單位的細(xì)分。也就是說(shuō)，我國(guó)分?jǐn)?shù)是在物體數(shù)量的比較中產(chǎn)生的。正如后來(lái)的劉徽所說(shuō)：“物之?dāng)?shù)量，不可悉全，必以分言之。”意思是，在確定了度、量、衡或其他數(shù)量單位之后，某一物品不一定是其單位度量的整數(shù)倍，這就產(chǎn)生了分?jǐn)?shù)。實(shí)際上，不能正好得出一個(gè)整數(shù)的任何測(cè)量都會(huì)導(dǎo)致對(duì)分?jǐn)?shù)的使用。而由于人們需要分配一個(gè)整體的量時(shí)，不一定恰好量盡的情況是大量存在的，于是分?jǐn)?shù)就自然而然地被引入了。隨著分?jǐn)?shù)的大量出現(xiàn)和使用促進(jìn)了分?jǐn)?shù)概念的發(fā)展，人們慢慢地從“幾分升幾”、“幾分寸幾”等度量單位中抽象出了一般的分?jǐn)?shù)概念。

后來(lái)，中國(guó)古代還從除法運(yùn)算的角度引入了分?jǐn)?shù)概念。在《九章算術(shù)》一書(shū)中說(shuō)：“實(shí)如法而一。不滿(mǎn)法者，以法命之。”我國(guó)古代數(shù)學(xué)密切聯(lián)系實(shí)際，所分的都是實(shí)在的東西，如各種谷物、絲綢之類(lèi)，故被除數(shù)稱(chēng)為“實(shí)”；而用之于分的數(shù)實(shí)際上是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，故除數(shù)稱(chēng)為“法”。所謂“命之”即“命分”。于是，上面的話可譯為：“被除數(shù)除以除數(shù)，如果不能除盡，便定義了一個(gè)分?jǐn)?shù)。”

此外，在我國(guó)古代分?jǐn)?shù)還與比率密切結(jié)合在一起。比和比例是人類(lèi)很早便接觸到的數(shù)學(xué)概念，它們?cè)谌粘Ｉ钪薪?jīng)常出現(xiàn)。如草藥成分的多少，物物交換中各種不同物品間的比率等等都是比和比例概念產(chǎn)生的基礎(chǔ)。事實(shí)上，比率關(guān)系是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家所考慮的最基本的數(shù)學(xué)關(guān)系。《九章算術(shù)》中的各種演算程序都是依據(jù)比率關(guān)系構(gòu)造出來(lái)的。劉徽也是通過(guò)比率的性質(zhì)論證了分?jǐn)?shù)的性質(zhì)與四則運(yùn)算。也就是說(shuō)，分?jǐn)?shù)算法是以比率為理論基礎(chǔ)建立的。事實(shí)上，比率論是貫穿《九章算術(shù)》算學(xué)理論體系的一條主線，是算法之“綱紀(jì)”。需要指明的一點(diǎn)是，在當(dāng)時(shí)比率是具有高度概括力的，比率論是以量與量間的關(guān)系為研究對(duì)象，其量是可以按照一定規(guī)律變化的，因而中國(guó)古代這種比率理論與現(xiàn)代比例算法并不相同。

這一切都說(shuō)明我國(guó)古代對(duì)分?jǐn)?shù)概念的認(rèn)識(shí)具有多重性：分?jǐn)?shù)作為測(cè)量或運(yùn)算的結(jié)果，它是一個(gè)獨(dú)立的數(shù)；而在籌算的推演過(guò)程中，它實(shí)質(zhì)上是被看作法與實(shí)一對(duì)（整）數(shù)的比率。李約瑟早就注意到了這一點(diǎn)。他說(shuō)：“在《九章算術(shù)》中，分子和分母在運(yùn)算前稱(chēng)作子和母，在運(yùn)算中則稱(chēng)作實(shí)和法。”

在大致了解了古代各民族對(duì)分?jǐn)?shù)的使用情況后，我們可以發(fā)現(xiàn)雖然各民族都很早引入了分?jǐn)?shù)概念，但是引入的方式并不相同。概括一下的話，分?jǐn)?shù)的來(lái)源大致有三條途徑：

1．實(shí)踐中度量細(xì)分的結(jié)果。

2．整數(shù)的比和比例。早期古希臘人甚至認(rèn)為分?jǐn)?shù)不是獨(dú)立的數(shù)，而只是“整數(shù)的比”。

3．整數(shù)的除法運(yùn)算。

各民族對(duì)分?jǐn)?shù)的處理方式上也有所不同。大致說(shuō)來(lái)有這樣幾種情況：

1．單分子分?jǐn)?shù)：這種古老的分?jǐn)?shù)形式在各民族歷史的最初階段都引入了，但后來(lái)大多民族都轉(zhuǎn)向了更廣泛的分?jǐn)?shù)概念，只有古埃及人對(duì)其情有獨(dú)鐘。

2．系統(tǒng)分?jǐn)?shù)：在科學(xué)上使用得特別多的一類(lèi)分?jǐn)?shù)，也被稱(chēng)為天文學(xué)分?jǐn)?shù)或物理學(xué)分?jǐn)?shù)。古巴比倫人最早引入了六十進(jìn)制的分?jǐn)?shù)。后來(lái)古希臘人在天文學(xué)中繼續(xù)使用了這種分?jǐn)?shù)。或許是這類(lèi)分?jǐn)?shù)在天文學(xué)中使用比較方便的緣故，至今仍在科學(xué)中廣泛使用。小數(shù)亦可看作系統(tǒng)分?jǐn)?shù)的一種。

3．普通分?jǐn)?shù)：我們現(xiàn)在所通常使用的分?jǐn)?shù)。

可見(jiàn)，在不同民族的歷史上，最初分?jǐn)?shù)概念的來(lái)源與處理方式并不相同。其實(shí)，不同民族在對(duì)分?jǐn)?shù)的記法上也是互不相同的。現(xiàn)代我們所使用的分?jǐn)?shù)表示方法是經(jīng)過(guò)了長(zhǎng)期的演變過(guò)程才形成的。下面，我們就簡(jiǎn)單介紹一下分?jǐn)?shù)記法的演變過(guò)程。

分?jǐn)?shù)的記法

古代人記分?jǐn)?shù)的符號(hào)與方法是五花八門(mén)的。我們可以簡(jiǎn)單介紹幾種。

古埃及人的分?jǐn)?shù)有一套專(zhuān)用的記法。一般是用一個(gè)卵形寫(xiě)在整數(shù)上端，表明這是一個(gè)分?jǐn)?shù)。少數(shù)幾個(gè)分?jǐn)?shù)用特殊符號(hào)表示。到公元前1850年左右，埃及僧侶阿姆斯所寫(xiě)的算學(xué)文獻(xiàn)中，在自然數(shù)上面加上一點(diǎn)，來(lái)表示分?jǐn)?shù)。另外，古埃及人把普通分?jǐn)?shù)化成單分子分?jǐn)?shù)表示的時(shí)候，把分?jǐn)?shù)并排在一起來(lái)表示加法。如7/8表示成1/21/41/8中間不用加號(hào)。這種寫(xiě)法在現(xiàn)在算術(shù)中還保留著一部分，如寫(xiě)帶分?jǐn)?shù)時(shí)，把整數(shù)和分?jǐn)?shù)并排地寫(xiě)當(dāng)作兩數(shù)之和，不加任何聯(lián)接符號(hào)。

在古希臘愛(ài)奧尼亞記數(shù)法中，當(dāng)分子是單位1時(shí)，問(wèn)題簡(jiǎn)單一些，因?yàn)榭梢圆槐乇硎痉肿佣皇窃谄胀〝?shù)字右上角加兩撇表示分母就可以了。如在愛(ài)奧尼亞記數(shù)法中γ表示普通數(shù)字3，那么γ″就表示了分?jǐn)?shù)1/3；當(dāng)而分子不是單位1時(shí)，則在普通數(shù)字右上角加一撇表示分子，而在普通數(shù)字右上角加兩撇表示分母。如愛(ài)奧尼亞記數(shù)法中ιε表示普通數(shù)字15，那么用γ′ιε″就表示了分?jǐn)?shù)3/15。

在我國(guó)，分?jǐn)?shù)記法有兩種，一種是漢字記法：“幾分之幾”。另一種是籌算記法。我們?cè)诘谝徽轮幸呀?jīng)提到我國(guó)古代運(yùn)算都是借助于籌進(jìn)行的。當(dāng)用算籌做除法時(shí)，如果出現(xiàn)除數(shù)大于某次余數(shù)，就停止運(yùn)算。這樣余數(shù)、除數(shù)很自然地成為商的真分?jǐn)?shù)部分與整數(shù)部分，二者合在一起所形成的帶分?jǐn)?shù)就是商。正如《孫子算經(jīng)》卷上所說(shuō)：“實(shí)有余者，以法命之，以法為母，實(shí)余為子。”籌算除法的結(jié)果“商在上面，余數(shù)在中間，除數(shù)在下面，這正是我國(guó)古代帶分?jǐn)?shù)的記法。根據(jù)《孫子算經(jīng)》推測(cè)，古代真分?jǐn)?shù)的記法應(yīng)記成二行，分母在下，分子在上。假分?jǐn)?shù)則記成三行。第一行是整數(shù)部分。如下（當(dāng)然我們是采用了現(xiàn)代的數(shù)字記法）

6

3

5

則表示了分?jǐn)?shù)。這種記分?jǐn)?shù)的方法在我國(guó)大約公元3世紀(jì)就使用了。古印度人分?jǐn)?shù)的寫(xiě)法與中國(guó)古代算籌分?jǐn)?shù)記法一樣，分子在上，分母在下，沒(méi)有分?jǐn)?shù)線；若是帶分?jǐn)?shù)，則整數(shù)部分又寫(xiě)在分子之上。不過(guò)，籌算中分?jǐn)?shù)的記法并不固定這一種形式。其母與子作為比率，它們的相對(duì)位置或上下，或左右，隨宜而定。

大約在12世紀(jì)，一個(gè)叫海塞爾的阿拉伯人最早引入了分?jǐn)?shù)線。現(xiàn)在通用的分?jǐn)?shù)線就是從阿拉伯人開(kāi)始沿用下來(lái)的。在歐洲最早引入分?jǐn)?shù)線的是斐波那契。15世紀(jì)以后，歐洲逐漸形成現(xiàn)代分?jǐn)?shù)算法，并漸漸采用了現(xiàn)在的分?jǐn)?shù)形式。1845年，德·摩根在一篇文章中提出用斜線“/”表示分?jǐn)?shù)線，以利于印刷排版。這樣分?jǐn)?shù)又可記為a/b。你或許早已注意到這本書(shū)中表示分?jǐn)?shù)時(shí)對(duì)這兩種記法就是混合使用的。

分?jǐn)?shù)的運(yùn)算

正如前面曾指出的，分?jǐn)?shù)概念的引入是非常必要的。分?jǐn)?shù)的引入，是數(shù)系的第一次大擴(kuò)展，它使人們能夠更精確地描述客觀事物的數(shù)量關(guān)系。正如我國(guó)劉徽所指出的，數(shù)量關(guān)系不可能只用整數(shù)表示，有時(shí)也要用分?jǐn)?shù)來(lái)表示。

數(shù)擴(kuò)展到分?jǐn)?shù)后，由于實(shí)際需要又產(chǎn)生了分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算規(guī)則，這是非常自然的。如同有了自然數(shù)后，就相應(yīng)的有自然數(shù)的四則運(yùn)算一樣。另一方面，分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算還有其他的重要性質(zhì)。分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算本身不僅可以直接解決許多實(shí)際問(wèn)題，而且，其他許多運(yùn)算要?dú)w結(jié)到分?jǐn)?shù)運(yùn)算，是其他數(shù)學(xué)方法不可少的工具。劉徽說(shuō)：“法實(shí)相推，動(dòng)有參差，故為術(shù)者先治諸分。”這正是我國(guó)第一部重要數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》在第一章中先講分?jǐn)?shù)的原因。

我國(guó)作為世界上最早建立分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算的國(guó)家，在戰(zhàn)國(guó)時(shí)期就已經(jīng)進(jìn)行過(guò)分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算。在秦漢時(shí)期便已成熟。成書(shū)于大約公元前1世紀(jì)的《周髀算經(jīng)》中已經(jīng)能夠在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)熟練地進(jìn)行分?jǐn)?shù)運(yùn)算了。事實(shí)上，書(shū)中的某些內(nèi)容充分顯示了我國(guó)在分?jǐn)?shù)計(jì)算方面已經(jīng)達(dá)到很高的水平，遠(yuǎn)遠(yuǎn)地超出當(dāng)時(shí)世界上其他各國(guó)。

到西漢初成書(shū)的《九章算術(shù)》更是集其大成，在世界數(shù)學(xué)史上第一次建立了完整的分?jǐn)?shù)理論。

《九章算術(shù)》中明確提出了分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)：分子、分母同乘以或同除以一不為零的數(shù)，其值不變。劉徽在注中將這一基本性質(zhì)概括為分?jǐn)?shù)的兩條變形規(guī)則：“乘以散之；約以聚之。”他在注中說(shuō)：“分?jǐn)?shù)，如果講得復(fù)雜會(huì)給運(yùn)算帶來(lái)麻煩，例如四分之二，說(shuō)法不同，可以說(shuō)是八分之四；簡(jiǎn)單一些，也可以說(shuō)是二分之一。說(shuō)法不同，數(shù)值卻是不變的。”有了對(duì)分?jǐn)?shù)性質(zhì)的這一正確認(rèn)識(shí)，就可以建立分?jǐn)?shù)的通分、約分運(yùn)算了。

對(duì)通分，劉徽提到其必要性，因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)經(jīng)過(guò)通分才能進(jìn)行加減法運(yùn)算。通分的方法被劉徽概之以“齊同以通之”，齊同術(shù)最初就是通分的方法。劉徽指出，通分的理論依據(jù)在于分?jǐn)?shù)的變形規(guī)則“乘以散之”。通分運(yùn)算包括兩步，一是使諸分?jǐn)?shù)的分母同一，通過(guò)群母相乘得到，稱(chēng)為“同”；二是使各分?jǐn)?shù)保持不變，通過(guò)母互乘子而得，稱(chēng)為“齊”。“同”是為分?jǐn)?shù)相通；齊是保證“勢(shì)不可失本數(shù)”。可見(jiàn)，劉徽的齊同術(shù)與與我們所學(xué)的通分方法基本一致。不過(guò)，也多少有一點(diǎn)不同處。現(xiàn)在我們?cè)谕ǚ謺r(shí)一般要求取原分母的最小公倍數(shù)作公分母。但在《九章算術(shù)》中所出現(xiàn)的通分問(wèn)題，一般是采取分母互乘的方法。后來(lái)的《張邱建算經(jīng)》一書(shū)，先是在序文說(shuō)：“學(xué)算者不患乘除之難，而患通分之為難”。接著提出的通分方法也是直接取了兩分母的乘積，沒(méi)有取兩者的最小公倍數(shù)。古代人之所以這樣做，大約是因?yàn)榍笞钚」稊?shù)并不那么簡(jiǎn)單，而直接取分母的乘積反而更易行些。也就是說(shuō)，取最小公倍數(shù)的方法在理論上是重要的，但在運(yùn)算中卻不一定實(shí)用。

約分術(shù)是《九章算術(shù)》的重要算法。書(shū)中提到約分術(shù)時(shí)說(shuō)，分子、分母分別是二的倍數(shù)時(shí)，就相應(yīng)用二或五去化簡(jiǎn)。否則就用等數(shù)約之。而等數(shù)就是指我們現(xiàn)在所說(shuō)的最大公約數(shù)。我國(guó)古代求最大公約數(shù)的方法叫做更相減損術(shù)，它與有世界聲謄的歐幾里得算法是一致的。

約分、通分正如我們已經(jīng)知道的那樣，是進(jìn)行分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算的基礎(chǔ)。有了約分、通分的辦法，分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算就是水到渠成的事情了。我國(guó)在《九章算術(shù)》成書(shū)時(shí)代對(duì)分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算已極為熟練，其分?jǐn)?shù)加、減、乘、除運(yùn)算規(guī)則分別稱(chēng)為合分術(shù)、減分術(shù)、乘分術(shù)、經(jīng)分術(shù)，其運(yùn)算方法與現(xiàn)在我們所學(xué)習(xí)的完全一致。我們對(duì)此不再多說(shuō)了。需要稍微提一下的是，古代人由于當(dāng)時(shí)對(duì)負(fù)數(shù)還缺乏認(rèn)識(shí)——對(duì)這一點(diǎn)，在后來(lái)的章節(jié)中我們會(huì)進(jìn)一步說(shuō)明——所以對(duì)兩個(gè)分?jǐn)?shù)做減法時(shí)，要求前者大于后者才能進(jìn)行運(yùn)算。當(dāng)然這要比較兩個(gè)分?jǐn)?shù)的大小，對(duì)此我國(guó)古代還提出了課分術(shù)，即比較分?jǐn)?shù)大小的方法，它與減分術(shù)基本相同。

對(duì)于我國(guó)古代在分?jǐn)?shù)運(yùn)算方面所取得的成就，我們往往會(huì)低估。因?yàn)樵诮裉欤?dāng)我們上小學(xué)四、五年級(jí)時(shí)已經(jīng)學(xué)會(huì)做分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算了。不過(guò)，當(dāng)了解到古代其他民族，邁出這一步所經(jīng)歷的漫長(zhǎng)與曲折歷程時(shí)，你可能會(huì)對(duì)我國(guó)所取得的成就感到幾分自豪了。

分?jǐn)?shù)算術(shù)在古埃及數(shù)學(xué)中占有特別重要的地位。關(guān)于埃及分?jǐn)?shù)較完整的一份資料至今仍保存在大英博物館里。通過(guò)這份成文于約公元前1700年的“萊特草紙”，我們可以清楚了解到古埃及人處理分?jǐn)?shù)的方式。正如我們已提到的，古埃及人總是喜歡把所有分?jǐn)?shù)化為單分子分?jǐn)?shù)的和，那么他們是如何實(shí)現(xiàn)這一點(diǎn)的呢？在這份草紙上的一張表上，記錄著分子為2，分母為3、5、7、9………101的分?jǐn)?shù)分解成單位分?jǐn)?shù)之和的形式，只有2/3除外，沒(méi)有做這種分解。古埃及人建立的這張?zhí)厥獾谋恚蚝笕饲宄砻髁怂麄冋抢眠@樣的表，將其他任何分?jǐn)?shù)化為單分子分?jǐn)?shù)，并進(jìn)行相應(yīng)的分?jǐn)?shù)運(yùn)算的。例如使用這種表有：

5/21=1/21+2/21+2/21=1/21+1/14+1/42+1/14+1/42=1/21+2/14+2/42=1/21+1/7+1/21=1/7+2/21=1/7+1/14+1/42

運(yùn)算是何等復(fù)雜！而且這種運(yùn)算不單單是冗長(zhǎng)的問(wèn)題，它還要求有相當(dāng)?shù)募记伞？梢?jiàn)即使是有了這樣的表，進(jìn)行分?jǐn)?shù)運(yùn)算時(shí)也是非常困難的。正是從運(yùn)算的角度，我們才能更清楚地明白古埃及人只用單分子分?jǐn)?shù)所帶來(lái)的好處遠(yuǎn)遠(yuǎn)無(wú)法抵消掉它帶來(lái)的不足。事實(shí)上，埃及人處理分?jǐn)?shù)的這種方式給他們的數(shù)學(xué)造成了一種沉悶的性質(zhì)，妨礙了其數(shù)學(xué)的進(jìn)一步發(fā)展。它像羅馬計(jì)數(shù)法一樣，嚴(yán)重地遲滯了古埃及人數(shù)學(xué)的進(jìn)步。后人推測(cè)，他們之所以未能把算術(shù)和代數(shù)發(fā)展到高水平，其分?jǐn)?shù)運(yùn)算之繁難恐怕是原因之一。

除了古埃及外，在古代許多其他民族，分?jǐn)?shù)運(yùn)算也都是令人深感頭痛的事。公元7世紀(jì)，俄國(guó)亞美尼亞地方著名數(shù)學(xué)家阿那尼在他的《算術(shù)習(xí)題課本》中，給出八個(gè)分?jǐn)?shù)相加的習(xí)題，就被人們認(rèn)為他的知識(shí)達(dá)到最高水平。當(dāng)時(shí)歐洲最有學(xué)問(wèn)的英國(guó)修士倍達(dá)說(shuō)：“世界上有很多難做的事，但是，沒(méi)有比算術(shù)四則再難的了。”歐洲到15、16世紀(jì)還感到困惑。例如意大利學(xué)者帕西沃里對(duì)分?jǐn)?shù)相乘有時(shí)乘積會(huì)小于被乘數(shù)覺(jué)得大惑不解。而英國(guó)人唐士陶取材帕西沃里《算學(xué)大成》，用拉丁文編成的算術(shù)，還是當(dāng)時(shí)牛津、劍橋大學(xué)的教科書(shū)呢。直到1570年英國(guó)還有人作打油詩(shī)表達(dá)對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算的厭惡：

“乘法原可惱，

除法尤不便；

比例之法更艱澀，

習(xí)之真使人發(fā)狂。”

到16、17世紀(jì)，歐洲人才總結(jié)出類(lèi)似于我國(guó)《九章算術(shù)》的分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算法則以及有關(guān)的文字題。甚至直到18世紀(jì)，歐洲人對(duì)分?jǐn)?shù)運(yùn)算仍心有余悸。1735年，英國(guó)一本算術(shù)教科書(shū)的作者曾講了這樣一段話：“為了照顧學(xué)生們……我們把通常稱(chēng)為分?jǐn)?shù)的破碎數(shù)的運(yùn)算規(guī)則單獨(dú)敘述，部分學(xué)生在看到這些分?jǐn)?shù)時(shí)，灰心到就此停止學(xué)習(xí)，他們?nèi)侣曊f(shuō)：‘不要再往下了！'”可見(jiàn)歷史上人們對(duì)分?jǐn)?shù)運(yùn)算厭煩、畏懼到何等程度。那時(shí)精通四則運(yùn)算就可算作學(xué)者了，至于分?jǐn)?shù)，簡(jiǎn)直難于上青天！德國(guó)諺語(yǔ)形容一個(gè)人已陷入絕境，束手待斃，就說(shuō)他已“掉到分?jǐn)?shù)里去”。

這并不奇怪，今天我們課堂上一、二個(gè)小時(shí)或幾分鐘就可掌握的知識(shí)，在科學(xué)史上往往要花費(fèi)幾年、幾十年，甚至上百、上千年的時(shí)間。前面已經(jīng)提到過(guò)的位值制與零的引入，不也是很好的例證嗎？