形形色色的數(shù)的問題

算術(shù)：數(shù)的計(jì)算

隨著生產(chǎn)力的提高，在生產(chǎn)生活中都需要或多或少復(fù)雜的計(jì)算，這種計(jì)算不再是數(shù)數(shù)手指就行的了，它們超出了屈指技術(shù)的范圍。于是，如何進(jìn)行自然數(shù)的運(yùn)算成為數(shù)的運(yùn)用中的首要問題。

加減法對各古代民族來說都不是困難的事。做加法時，只需把相同的符號合到一起，當(dāng)同一數(shù)量級的數(shù)字達(dá)到進(jìn)位的基數(shù)后，便放到下一個更高的數(shù)量級上，并用一個新的符號來表示，如此進(jìn)行下去就可以了。而當(dāng)做減法時，只需從被減數(shù)中去掉一些相同的符號，當(dāng)出現(xiàn)某一數(shù)量級上的符號不夠用時，就從上一個數(shù)量級上取一個基數(shù)，并換成低一級的符號，進(jìn)行上面的過程就可以了。

然而，乘除法運(yùn)算就困難得多了。實(shí)際上，當(dāng)時大多數(shù)民族所施行的乘法和除法與現(xiàn)代所用的乘法和除法，簡直很少有相同之處。

想想，我們現(xiàn)在學(xué)習(xí)做乘法是如何進(jìn)行的呢？首先要背九九歌訣，也就是通常所說的“小九九”。我們先順便解釋一下為什么乘法口訣叫九九表。我們都知道現(xiàn)在的口訣是從“一一如一”起到“九九八十一”止。而最早的九九歌是倒過來的，從“九九八十一”起到“二二如四”止，后來擴(kuò)充至“一一如一”。由于開頭兩個字是“九九”，所以乘法口訣就簡稱為“九九表”了。再多說一句，利用口訣來加速計(jì)算，是中國數(shù)學(xué)的一大特色。我國是世界上采用小九九最早的國家。西漢一個叫韓嬰的人在《韓詩外傳》中記載了一個故事：公元前7世紀(jì)齊桓公在宮廷設(shè)烽火招賢，過了一年沒有人應(yīng)征。東郊有一個人以九九表自薦，齊桓公取笑他：九九表可以作為一技之長嗎？這人說：只會九九表這樣淺薄技能的人大王如果也能重用，那么有才干的人就會來應(yīng)聘了。齊桓公就從優(yōu)接待了他。一個月后，有識之士就從四面八方紛紛投奔齊國。故事說明，最遲到西漢時期，九九表就已在我國十分普及，而懂得九九歌訣根本就不再是什么希罕的事情了。據(jù)考查，九九歌在我國上古時期（公元前2500年）就已經(jīng)產(chǎn)生了。

除法運(yùn)算，作為乘法運(yùn)算的逆運(yùn)算，要稍微復(fù)雜一些。但是只要有了“九九表”也并非什么難事。由于我國古代很早就有了“九九表”，因而也很早就掌握了與現(xiàn)代沒有多大差別的除法計(jì)算的方法。提到這一點(diǎn)，也許你覺得實(shí)在沒有什么了不起的，但如果回頭去看看，其他古代民族是如何進(jìn)行乘除法運(yùn)算的，就不但是一件有趣的事，而且通過這種對比，更能清楚認(rèn)識到我國古代數(shù)學(xué)所取得的不同尋常的成就。

比如說，計(jì)算12×12，埃及人的做法如下：

把其中一個因子逐次倍乘，并且把標(biāo)有星號的部分乘積相加得出結(jié)果。把＊號的兩個式子相加，即48+96=144，這就是12×12的結(jié)果。這種把運(yùn)算歸結(jié)為倍乘和相加兩步的別具一格的乘法被稱為乘法運(yùn)算的雙倍法。

同樣，除法也可歸為折中法，就是把一個數(shù)“對半分”。這種做除法的算法倒是怪有意思的。讓我們通過一個例子來看一下。例如，古埃及人做19除以8的算法如下：

于是解答為2+1/4+1/8。

為了容易搞明白，帶括號的一行是我多加上的。即使如此，你有沒有看明白他們是如何求解的？實(shí)際上，在做上述除法時，應(yīng)用的是連續(xù)對分的辦法。左邊一列由上到下都依次對分，然后對右邊一列數(shù)選取部分?jǐn)?shù)，使之合并成19。這樣，就得到帶星號的三行，并且有：16+2+1=19；于是，與之對應(yīng)的左邊之和就是兩數(shù)相除后所得的結(jié)果。你看，除法對埃及人真是不容易呃。實(shí)際上，在他們那里可以找到許許多多的方法。例如，有時要把求數(shù)的2/3或者1/10作為過渡運(yùn)算等等。這就使得除法運(yùn)算變得非常困難。

古巴比倫人，解決的方式是把除法轉(zhuǎn)化為乘法。道理倒是很簡單：因?yàn)槌砸粋€整數(shù)a就是乘以其倒數(shù)1/a，但這卻牽涉到分?jǐn)?shù)運(yùn)算。于是，他們把倒數(shù)化成六十進(jìn)制的“小數(shù)”（如果是無限小數(shù)就取近似值），他們完全靠倒數(shù)表示作計(jì)算。這種運(yùn)算方法也不簡單。

在歐洲又如何呢？中世紀(jì)算法的實(shí)際情形可以通過下面一個我們覺得非常簡單的例子體現(xiàn)出來。如果要計(jì)算235×4，他們是這樣算的。

先把235寫成CCXXX Ⅴ，乘上4（Ⅳ）。第一步是將CC, XXX, Ⅴ分別重復(fù)地寫四遍：

第一行共有8個C，將5個C縮寫成D（500），第二行10個X縮寫成C（100），第三行4個V縮寫成XX（20），于是簡寫成

再進(jìn)一步合并，得到結(jié)果DCCCCXL（XL=40）

這種運(yùn)算方法，實(shí)際上是把乘法轉(zhuǎn)化成了加法運(yùn)算。但是，你已經(jīng)看到了，乘以一位數(shù)就這么冗長，如果是多位數(shù)乘以多位數(shù)，其復(fù)雜程度真是不敢想啊！不難想象，用這種記數(shù)法做更復(fù)雜的運(yùn)算，會是一項(xiàng)何等驚人和艱巨的任務(wù)，將會令人感到何等的頭疼了！

為了應(yīng)付這些困難，古代人還曾設(shè)計(jì)了計(jì)數(shù)盤或算盤來幫助計(jì)算。如在歐洲早期所設(shè)的算術(shù)課中，按計(jì)算方法就曾分成兩個長期爭論的派別：算盤派和算法派。算盤派使用羅馬人的十二進(jìn)制，在一個類似棋盤的盤子上放上藍(lán)色的沙土進(jìn)行寫算。算盤上劃上30縱行，每三行為一組記上百位、十位與個位的記號，最后留三行給分?jǐn)?shù)用。整個計(jì)算很是煩瑣，而且一點(diǎn)也不簡單。尤其是那時歐洲人還沒有商的概念，除法要轉(zhuǎn)化成乘法和加法來代替，稱作“補(bǔ)足除法”，繁難之極，很少人能學(xué)會。算法派使用未成型的印度數(shù)字和阿拉伯的六十進(jìn)制，在紙上計(jì)算。在改變這一紛爭狀態(tài)中起關(guān)鍵作用的就是前面提到的斐波那契。在他的《算盤書》一書中，他不但向歐洲人介紹了印度-阿拉伯十進(jìn)制系統(tǒng)，還向歐洲介紹了使用阿拉伯?dāng)?shù)字的計(jì)算方法。特別當(dāng)阿拉伯人的除法被介紹到歐洲后，歐洲人稱之為“金除法”，而稱原來的除法為“鐵除法”。實(shí)際上，主要是由于印度-阿拉伯?dāng)?shù)字在計(jì)算方面的優(yōu)越性才使其在歐洲得以流傳。不過，正如前面已提到的，即便如此，算盤派與算法派的爭論也不是一下子就能停止的。算法派的勝利與印度-阿拉伯?dāng)?shù)字地位的最終確立是16世紀(jì)的事了。在此之前，歐洲人還要在煩瑣的計(jì)算中煎熬一段時間。甚至當(dāng)中世紀(jì)的歐洲商業(yè)逐漸發(fā)達(dá)，商人及其子弟迫切需要學(xué)習(xí)數(shù)的計(jì)算的時侯，他們的算術(shù)水平仍大多限于會加法，而乘法則需要到學(xué)校請專家教授。要知道，當(dāng)時歐洲人精通四則運(yùn)算就可以算作學(xué)者了。有一個關(guān)于15世紀(jì)一位德國商人的故事，雖然不能證明確有其事，可是它把當(dāng)時的情形表現(xiàn)得太真切了，我們這里引述一下。

一位商人有一個兒子，他想使兒子學(xué)些高深的商業(yè)教育。于是他去求教一位大學(xué)里的名教授，該把兒子送到哪兒去念書。教授回答說：如果這位青年的數(shù)學(xué)課程將只限于加和減，他可以進(jìn)國內(nèi)的大學(xué)學(xué)習(xí)這些功課；至于乘和除的學(xué)問，他說，還是意大利先進(jìn)，他認(rèn)為，只有到那里去才能得到那種高等的教育。

現(xiàn)在在小學(xué)就可以輕松解決的問題，在當(dāng)時卻需要通過高等教育才能完成。現(xiàn)在一個小孩子能進(jìn)行的計(jì)算，在那時卻得用上一位專家才行。這種如此強(qiáng)烈的計(jì)算煩瑣與簡單間的對比，又是如何造成的呢？實(shí)際上，原因就在于采用的記數(shù)方法的不同。由于古代許多民族未能采用位值制，而是用堆砌數(shù)字的方法。死板而又不實(shí)用的記數(shù)法，實(shí)在不足以應(yīng)付運(yùn)算的需要。而這種冗長笨拙的記數(shù)法在12世紀(jì)的歐洲仍然盛行。甚至到16世紀(jì)，有的歐洲國家還在使用這種笨拙的記數(shù)法呢。因而，我們就不必對歐洲當(dāng)時在數(shù)學(xué)上的成就之少而感到特別的驚異了。由于死板的記數(shù)法太原始了，使得進(jìn)步幾乎是不可能的。西方人對阿拉伯?dāng)?shù)字評價特別高，這可能正是與阿拉伯?dāng)?shù)字曾經(jīng)在歐洲數(shù)學(xué)復(fù)興過程中起過關(guān)鍵作用的緣故吧。

由此，我們可以意識到，記數(shù)法并非只是一種簡明的記法。遠(yuǎn)比這重要的是：這種數(shù)制是否適用于算術(shù)運(yùn)算以及它能否對計(jì)算提供什么方便。正是從反差極大的對比中，你或許可以再一次領(lǐng)略到位值制記數(shù)法的優(yōu)越之所在。在這方面，我們可以發(fā)現(xiàn)如果不采用現(xiàn)代的位值制記數(shù)法，就不可能創(chuàng)造出一種普通人所能應(yīng)用的算術(shù)來。從這種觀點(diǎn)看來，位值制原則實(shí)在是一件有世界意義的大事。這個原則不但是方法上的根本變革，而且現(xiàn)在我們知道，若是沒有它，算術(shù)上的任何進(jìn)步都是不可能的。它所解決的不但是記數(shù)問題，還解決了數(shù)的計(jì)算問題。

正是現(xiàn)代位值制記數(shù)法的發(fā)明，根除了運(yùn)算過程中的眾多障礙，使算術(shù)成為小學(xué)生就能學(xué)會的東西了。但這并不能成為人類智力增長的證據(jù)。正如我們所看到的，事情的真相是：當(dāng)時遭到的困難，來自所用的記數(shù)法，是笨拙的記數(shù)法不易采納簡單清晰的法則，這才導(dǎo)致了算術(shù)不能為大眾所掌握。

數(shù)論

自然數(shù)一出現(xiàn)，人們就面對著兩種性質(zhì)截然不同的問題。一類是上面提到的數(shù)的應(yīng)用即計(jì)算問題，也就是運(yùn)用加減乘除運(yùn)算得出結(jié)果，解決實(shí)際問題；另一類是數(shù)的理論問題，也就是研究數(shù)的性質(zhì)及數(shù)與數(shù)之間的特殊關(guān)系。對前者，由于與實(shí)際問題緊密相關(guān)，受到多數(shù)古代民族的重視并獲得了發(fā)展。但對后者的研究，卻主要是古希臘人的貢獻(xiàn)，他們脫離數(shù)量的個別性質(zhì)去考查數(shù)的一般規(guī)律，由研究個別的抽象的數(shù)過渡到研究任何可能的數(shù)，從而產(chǎn)生出一個獨(dú)立的、稱為數(shù)論的分支。

數(shù)論萌芽

古希臘數(shù)論的雛型，最早是在畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的工作中奠定的。這一學(xué)派提出了許多獨(dú)特而有趣的數(shù)論問題。先讓我們了解一下他們把數(shù)與圖形的關(guān)系聯(lián)結(jié)在一起的一種特殊的方式。他們把單位1想象為一個點(diǎn)，不同的數(shù)看作不同數(shù)目的點(diǎn)。而由點(diǎn)的各種不同的排列可以組合成各種圖形，各種不同的圖形就與相應(yīng)的數(shù)學(xué)相對應(yīng)。這樣一來，由數(shù)可以想到它所對應(yīng)的圖形，由圖形也可以找到它們對應(yīng)的數(shù)，這種數(shù)形聯(lián)系的原始形式成為畢達(dá)哥拉斯學(xué)派進(jìn)行推理的基本出發(fā)點(diǎn)。通過用圖形表示數(shù)，他們最早把數(shù)和形這兩個數(shù)學(xué)最原始的對象聯(lián)系在一起。這實(shí)際上也是數(shù)形結(jié)合思想的萌芽。

比如說，他們研究了如下的圖形數(shù)：

點(diǎn)數(shù)1,3,6,10……叫做三角數(shù)。

點(diǎn)數(shù)1,4,9,16, ……叫做平方數(shù)。

他們得到三角數(shù)的通項(xiàng)，又發(fā)現(xiàn)三角數(shù)是包括奇數(shù)與偶數(shù)在內(nèi)的所有相繼自然數(shù)的和，于是他們推出了：。

他們清楚平方數(shù)的通項(xiàng)，又發(fā)現(xiàn)平方數(shù)都等于相繼奇數(shù)的和，于是他們推出：

1+3+5+…+（2n-1）=n2。

此外，他們還排出并研究過五角數(shù)，六角數(shù)等。

這類可以表示成簡單而規(guī)則圖形的有趣的數(shù)，也引起了后人濃厚的研究興趣。這類圖形數(shù)，特別是三角數(shù)，在文藝復(fù)興后期的數(shù)的研究中是十分普遍的。后來人們還提出許多與這類數(shù)有關(guān)的重要數(shù)論猜想。比如：任何正整數(shù)均可以表為至多四個正方形數(shù)（即平方數(shù)）之和。這就是四平方和問題。它是加法數(shù)論中最古老的猜想，到1770年由拉格朗日完全證明。后來近代數(shù)論之父費(fèi)馬又提出費(fèi)馬小猜想。即：任何正整數(shù)都可以表為n個n角形數(shù)之和。除了四平方和定理外，先是高斯在1796年證明每個正整數(shù)都可以表示為三個三角形數(shù)之和，然后柯西在1815年證明了一般情形。

除圖形數(shù)外，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派還對自然數(shù)的可除性問題進(jìn)行過深入的研究。通過研究，他們把自然數(shù)劃分為若干類，如我們并不陌生的奇數(shù)與偶數(shù)的劃分；素?cái)?shù)、合數(shù)的劃分。此外，他們還做出過更為奇特的劃分，并從中發(fā)現(xiàn)了一些有趣的數(shù)，如完全數(shù)與親和數(shù)。鑒于它們的趣味性，下面讓我們停下我們的腳步去看一下吧。

完全數(shù)

畢達(dá)哥拉斯學(xué)派在研究中發(fā)現(xiàn)有些數(shù)比其所有真因子之和要大，如4這個數(shù)的真因子有1、2，其和是3。他們把這樣的數(shù)叫做盈數(shù)。而另有一些數(shù)比其所有真因子之和要小。如12這個數(shù)的真因子有1、2、3、4、6，其和是16。他們稱這樣的數(shù)為虧數(shù)。于是，一個非常自然的疑問是：有沒有既不盈余，又不虧欠的數(shù)呢？既有沒有恰恰等于它自己的所有真因子之和的數(shù)呢？有。這樣的數(shù)就叫做完全數(shù)。最小的一個完全數(shù)是6，下一個是28，這兩個完全數(shù)早在公元前6世紀(jì)的畢達(dá)哥拉斯就已知道了。并且他曾說：“6象征著完滿的婚姻以及健康和美麗，因?yàn)樗牟糠质峭暾模⑶移浜偷扔谧陨怼！?/p>

完全數(shù)誕生后，以其特有的魅力吸引著各式各樣的人們。

某些《圣經(jīng)》注釋家認(rèn)為6和28是上帝創(chuàng)造世界時所用的基本數(shù)字，他們指出，創(chuàng)造世界花了六天，二十八天則是月亮繞地球一周的日數(shù)。

而圣·奧古斯丁說：

“6這個數(shù)本身就是完全的，并不因?yàn)樯系墼煳镉昧肆欤皇聦?shí)恰恰相反，因?yàn)檫@個數(shù)是一個完全數(shù)，所以上帝在六天之內(nèi)把一切事物都造好了，即使沒有創(chuàng)造世界這種事，6仍舊不失其為完全數(shù)。”

對于更多的數(shù)學(xué)業(yè)余愛好者來說，他們的興趣在于像淘金一樣沒完沒了地尋找出更多的完全數(shù)。甚至一些數(shù)學(xué)家也加入了這一行列。

不過，完全數(shù)在自然數(shù)的海洋中是非常稀少的。正如后來的笛卡爾曾生動比喻地那樣“完全數(shù)是不會多的，好比人類一樣，要找一個完人亦非易事。”

接下去的兩個完全數(shù)看來是公元1世紀(jì)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派成員尼克馬修斯發(fā)現(xiàn)的，他在其《數(shù)論》一書中有一段話如下：

“也許是這樣：正如美的、卓絕的東西是罕有的，是容易計(jì)數(shù)的，而丑的、壞的東西卻滋蔓不已；是以盈數(shù)和虧數(shù)非常之多，雜亂無章，它們的發(fā)現(xiàn)也毫無系統(tǒng)。但是完全數(shù)則易于計(jì)數(shù)，而且又順理成章：因?yàn)樵趥€位數(shù)里只有一個6；十位數(shù)里也只有一個28；第三個在百位數(shù)的深處，是496；第四個卻在千位數(shù)的尾巴上，接近一萬，是8128。它們具有一致的特性：尾數(shù)都是6或8，而且永遠(yuǎn)是偶數(shù)。”

第五個完全數(shù)要大得多，是33550336，它的尋求之路也艱難得多，直到15世紀(jì)才由一位無名氏給出。事實(shí)上，從完全數(shù)誕生后，這一尋找完全數(shù)的努力從來沒有停止過。電子計(jì)算機(jī)問世后，人們借助這一有力的工具繼續(xù)探索。至今已得出的最大完全數(shù)是：257885161（257885161 -1）。這是一個真正大的不可思議的數(shù)。不過，這并不意味著人們的好奇心能夠至此為止。尋找更大完全數(shù)仍是很多人奮斗的目標(biāo)呢。

然而，對于數(shù)學(xué)家來說，有關(guān)完全數(shù)的性質(zhì)是更為重要的問題。

公元前300年，歐幾里得在《幾何原本》中給出并證明了一個漂亮的結(jié)論：如果2n -1是一個素?cái)?shù)，那么自然數(shù)2n-1（2n -1）一定是完全數(shù)。

兩千多年后，歐拉證明了歐幾里得結(jié)論的逆命題是正確的，即：每一個偶完全數(shù)都具有歐幾里得給出的形式。即如果一個數(shù)是偶完全數(shù)，則它一定可以表示成2n-1（2n -1），其中n與2n -1都是素?cái)?shù)。

于是，經(jīng)過歐幾里得與歐拉合手，偶完全數(shù)之謎已經(jīng)被完全解開了。

不過，奇怪的是，時至今日，人們一直沒有發(fā)現(xiàn)奇完全數(shù)的存在。目前，只知道即便有，這個數(shù)也是非常之大，并且需要滿足一系列苛刻的條件。于是是否存在奇完全數(shù)就成為數(shù)論中的一大難題。

親和數(shù)

前面我們已經(jīng)提到畢達(dá)哥拉斯學(xué)派有一個著名論斷：“萬物皆數(shù)”。意思是說一切都可以歸結(jié)為數(shù)。

有一次，一位學(xué)者詰問畢達(dá)哥拉斯：“難道在我與我的朋友之間也存在著數(shù)的關(guān)系不成？”

畢達(dá)哥拉斯回答說：“朋友是你靈魂的倩影，要像220與284一樣親密”。

望著一頭霧水、摸不著頭腦的學(xué)者，畢達(dá)哥拉斯提示道：“你算一下220的所有真因子之和吧”。

學(xué)者運(yùn)算了一下：1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284。算完結(jié)果，學(xué)者想：這又有什么呢？

看到學(xué)者還不能完全明白其中的奧秘，畢達(dá)哥拉斯又笑著說：“那么你再算一下284的所有真因子之和吧！”

學(xué)者繼續(xù)進(jìn)行運(yùn)算：1+2+4+71+142，咦，怎么會恰好等于220呢？不會這么巧吧？學(xué)者略帶懷疑地又重新運(yùn)算了一遍。當(dāng)發(fā)現(xiàn)自己運(yùn)算并沒有出錯時，學(xué)者驚訝了。原來在220與284兩個數(shù)之間竟然存在著如此奇妙的關(guān)系：220的所有真因子之和恰好等于284；反過來，284的所有真因子之和又恰好等于220。220和284之間“你中有我，我中有你”的關(guān)系多像一對形影不離、心心相印的好朋友啊！學(xué)者被畢達(dá)哥拉斯的發(fā)現(xiàn)與妙喻折服了。

這就是親和數(shù)發(fā)現(xiàn)的歷史。220與284是人類發(fā)現(xiàn)的第一對“親和數(shù)”。人們驚嘆于這兩個數(shù)之間親如手足般的微妙關(guān)系，從而把它們作為純潔友誼的象征。正如畢達(dá)哥拉斯成員所宣稱的：誰是我的朋友，這就是像數(shù)220和284一樣。兩個要好的朋友會分別在隨身佩帶的護(hù)身符上寫上這兩個數(shù)，人們認(rèn)為這會使友誼越來越深厚。西方還曾有過一種習(xí)俗，就是在一只水果上刻下220這個數(shù)，在另一個水果上刻下284，然后將第一只吃下，將第二只送給所愛的人吃。人們認(rèn)為這樣可以促進(jìn)愛情呢！

自從第一對親和數(shù)發(fā)現(xiàn)后，人們懷著極大的興趣，像大海探寶一樣，繼續(xù)尋找著親和數(shù)。兩千余年過去了，直到14世紀(jì)，阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家班納才發(fā)現(xiàn)了另一對親和數(shù)：17296和18416，不過他的成果并沒有獲得廣泛傳播。三百多年后，1636年法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬重新找到了這一對親和數(shù)。僅過了兩年，數(shù)學(xué)家笛卡爾又找出了一對親和數(shù)：9363584和9437056。一百多年后，1747年至1750年，瑞士數(shù)學(xué)大師歐拉一舉找到了60對親和數(shù)，震動了數(shù)學(xué)家界。然而頗具戲劇性的是，第二對親和數(shù)1184和1210，竟然逃過了眾多數(shù)學(xué)家們的火眼金睛，被一位年僅16歲的意大利男孩帕格尼尼于1866年所發(fā)現(xiàn)！到2007年，人們找到的親和數(shù)已有大約12000000對，親和數(shù)的家族真是“人丁旺盛”啊！但是人們對親和數(shù)的性質(zhì)卻知之甚少。比如人們發(fā)現(xiàn)當(dāng)親和數(shù)愈來愈大時，這對數(shù)之比愈來愈接近于1。還可發(fā)現(xiàn)，兩個數(shù)可以都是偶數(shù)，也可以都是奇數(shù)，卻沒有發(fā)現(xiàn)一個是奇數(shù)，而另一個是偶數(shù)的情形。但對這些都還沒有得到證明或者舉出什么反例。

此外，20世紀(jì)，數(shù)學(xué)家們在親和數(shù)的啟發(fā)下，還發(fā)現(xiàn)了多環(huán)親和數(shù)鏈：鏈中每一個數(shù)的真因子之和等于下一個數(shù)，而最后一個數(shù)的真因子之和等于第一個數(shù)。這就是關(guān)系更加微妙的高階親和數(shù)：聯(lián)誼數(shù)。例如，三元數(shù)組（1945330728960;2324196638720;2615631953920）中，第一個數(shù)的真因子加起來等于第二個數(shù)，第二個數(shù)的真因子加起來等于第三個數(shù)，而第三個數(shù)的真因子加起來又恰好等于第一個數(shù)。瞧它們的親密勁，像不像桃園三結(jié)義的劉關(guān)張？有位數(shù)學(xué)家甚至發(fā)現(xiàn)了一個以14316開頭的龐大的28環(huán)親和數(shù)鏈！這樣的友誼大家庭夠不夠酷？

完全數(shù)或親和數(shù)固然很有趣，并且至今仍吸引著人們的注意。但它們畢竟太特殊了些。除此之外，古希臘人還深入研究了數(shù)論中乃至數(shù)學(xué)中一類更為重要、絕對不可忽視的數(shù)：素?cái)?shù)。關(guān)于素?cái)?shù)的問題很多，如素?cái)?shù)有多少？素?cái)?shù)是如何分布的？如何判定一個數(shù)是否素?cái)?shù)？素?cái)?shù)的表示與刻畫等等。至今尚未解決的一些著名問題，如哥德巴赫猜想、孿生素?cái)?shù)對猜想等都與素?cái)?shù)相關(guān)。

公元前4世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在他的《幾何原本》中在把自然數(shù)劃分為：1、素?cái)?shù)與合數(shù)后，證明了：每個合數(shù)都可以唯一地表成素?cái)?shù)的乘積。這一結(jié)論刻畫了自然數(shù)的基本規(guī)律，被稱為算術(shù)基本定理。此外，書中還研究了素?cái)?shù)的個數(shù)問題，對素?cái)?shù)有無窮多，歐幾里得給出了一個美妙證明。古希臘人在數(shù)論方面的成果除上述提到的以外，還有一些，這里不再例舉了。正是由于古希臘人所做出的這眾多的杰出成果，使得他們成為數(shù)論這門分支的當(dāng)之無愧的奠基者。

當(dāng)然，數(shù)論作為最古老的數(shù)學(xué)分支之一，除古希臘之外其他很多民族包括我國在內(nèi)很早也有了部分?jǐn)?shù)論知識。如對勾股數(shù)的研究。這屬于不定方程問題，是數(shù)論中的一大課題。此外，我國《孫子算經(jīng)》中給出的“物不知數(shù)”問題也是這類問題中的一個著名例子。到公元13世紀(jì)，我國數(shù)學(xué)家秦九韶系統(tǒng)地解決了這一問題，是古代世界數(shù)論研究的一大杰出成果。作為我國對世界數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)，他的這一成果至今仍被稱為“中國剩余定理”。但相比而言，古希臘人對數(shù)論所做出的那些獨(dú)特研究尤其是關(guān)于素?cái)?shù)的探討在其他民族都沒有受到應(yīng)有的重視。

近代與現(xiàn)代數(shù)論

上面已提到，數(shù)論這門主要研究整數(shù)性質(zhì)的數(shù)學(xué)分支，早在遙遠(yuǎn)的古代就已經(jīng)埋下了種子。后來的數(shù)學(xué)家如歐幾里得、丟番圖等對其發(fā)展又做出過一些貢獻(xiàn)。但直到17世紀(jì)，偉大的業(yè)余數(shù)學(xué)家費(fèi)馬出現(xiàn)后，數(shù)論的研究才進(jìn)入了一個新的時期。費(fèi)馬作為業(yè)余數(shù)學(xué)家之王，在數(shù)學(xué)的多個領(lǐng)域內(nèi)都做出過杰出的貢獻(xiàn)，但他最重要的成果卻是發(fā)展了數(shù)論。可以說，近代數(shù)論是從費(fèi)馬真正開始的，是他提出了某些解決數(shù)論問題的方法，并提出了眾多的數(shù)論問題，包括舉世聞名的費(fèi)馬大定理，從而奠定了近代數(shù)論的基礎(chǔ)，因而他被當(dāng)之無愧地稱之為“近代數(shù)論之父”。其后偉大的數(shù)學(xué)家歐拉、高斯等都被吸引到這一美妙的領(lǐng)域中。一些新的數(shù)論問題被提出來了。于是有了新的研究方向，并產(chǎn)生出代數(shù)數(shù)論、幾何數(shù)論、超越數(shù)論等不同的數(shù)論分支。與此同時，為了有效地解決數(shù)論問題，一些新的方法被創(chuàng)造出來并被廣泛使用。這就產(chǎn)生了解析數(shù)論這一新的分支，而以前通過算術(shù)推導(dǎo)方法來論證數(shù)論命題的分支就被稱為初等數(shù)論了。

經(jīng)過眾多偉大數(shù)學(xué)家的培植，數(shù)論慢慢成為數(shù)學(xué)園地里最美麗的一枝花朵。對于眾多的數(shù)學(xué)家來說，它如同“數(shù)學(xué)王子”高斯所說的是數(shù)學(xué)王國的“數(shù)學(xué)皇后”。這一整個數(shù)學(xué)中最美的分支，包含的深奧東西，讓最出色的數(shù)學(xué)家為之流連忘返。長期以來，它受到專家與門外漢的格外青睞與偏愛，數(shù)不盡的人為它傾注了精力。

究竟是什么原因，使得數(shù)論成為“數(shù)學(xué)的皇后”，又是什么魅力能引無數(shù)極富才智的人為之如醉如癡呢？

首先，這一迷人的數(shù)學(xué)領(lǐng)域產(chǎn)生了許多富于刺激性的難題，豐富而輝煌，堪稱數(shù)學(xué)家的金礦。正如，希爾伯特所說：“只要一個科學(xué)分支能提出大量的問題，它就充滿著生命力；而問題缺乏則預(yù)示著獨(dú)立發(fā)展的衰亡或中止。”數(shù)論就是一個包含著大量尚未解決的問題的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，向一代一代的數(shù)學(xué)家提出了挑戰(zhàn)。高斯曾把數(shù)論描繪成“一座倉庫，貯藏著用之不盡的，能引起人們興趣的真理”。

其次，它的一個真正誘惑是這些問題簡單得甚至連小學(xué)生都能看懂。然而，卻使一代又一代世界一流數(shù)學(xué)家為它付出了艱苦的努力。如著名的費(fèi)馬大定理就曾困惑了世間智者360余年，到1995年才最終獲得解決。而這類至今尚未解決的問題在數(shù)論中比比皆是，如哥德巴赫猜想、奇完全數(shù)存在性、孿生素?cái)?shù)對問題等等。問題表述的簡單與解答的極端復(fù)雜，作為這一數(shù)學(xué)分支看似反常的特點(diǎn)吸引著無數(shù)的專家與業(yè)余愛好者。

再次，人們?yōu)榱私鉀Q這些問題使用了很多極其復(fù)雜的手段。在現(xiàn)今的數(shù)論進(jìn)展中，代數(shù)、實(shí)與復(fù)分析、幾何，甚至概率論的方法，都作出了至關(guān)重要的貢獻(xiàn)。這些不同數(shù)學(xué)方法的深刻的相互影響，使人們清楚地看到了一個驚人的事實(shí)，從而也讓我們幾乎不可避免地會產(chǎn)生一種玄秘的感覺。有些結(jié)論的陳述，僅僅牽涉到一些關(guān)于自然數(shù)的最簡單的概念如素?cái)?shù)，然而要證明它們，卻非得用到分析、代數(shù)幾何之類的復(fù)雜工具不可，盡管光看假設(shè)條件或結(jié)論是怎么也想不到會要這樣大動干戈的。哥德巴赫猜想就是一個極好的例證。國內(nèi)著名的數(shù)論專家曾形容那些試圖僅用初等數(shù)學(xué)或簡單的微積分知識就能解決這一猜想的努力是“蹬著自行車上月球”“好比拿著鋸、刨子造一架航天飛機(jī)”，因?yàn)樗麄兊墓ぞ咛剂耍谑窃俣嗟呐Χ际前踪M(fèi)。而要解決這一猜想，需要全新的觀念與更先進(jìn)的工具才行。話說回來，人們的確很難解釋，人的認(rèn)知機(jī)制為什么非要這么七彎八轉(zhuǎn)兜上一個大圈子，才能在一個假設(shè)條件和另一個看上去跟它那么相近的結(jié)論之間建立起聯(lián)系來。不過，這種定理陳述的簡單性，所用方法的深奧性，卻以極其明顯的形式體現(xiàn)了數(shù)學(xué)內(nèi)部深刻的和諧一致性，從而使數(shù)論深深地吸引了世世代代的數(shù)學(xué)家。希爾伯特把數(shù)論看成“一幢出奇地美麗而又和諧的大廈”“它有簡單的基本定律，它有直接了當(dāng)?shù)母拍睿屑冋恼胬怼薄?/p>

還有一部分?jǐn)?shù)學(xué)家是因?yàn)樗拿撾x實(shí)用的“純正潔白”而著迷。數(shù)論的研究課題并不馬上招致對科學(xué)的應(yīng)用。如同1896年鮑爾所說：“這門學(xué)科本身是一個特別引人、特別雅致的學(xué)科，但它的結(jié)論沒什么實(shí)際意義。”確實(shí)，如果按通常分法把數(shù)學(xué)分為“純粹”數(shù)學(xué)與“應(yīng)用”數(shù)學(xué)的話，數(shù)論或許是數(shù)學(xué)中所能達(dá)到的最純粹的了。費(fèi)馬、歐拉、拉格朗日、勒讓達(dá)、高斯等都是因?yàn)閿?shù)論內(nèi)在的趣味及其特有的美而研究人類知識的這一領(lǐng)域的，他們確實(shí)毫不在乎他們那些優(yōu)美的定理是否會有什么“有用的”應(yīng)用。高斯認(rèn)為皇后不愿弄臟她那潔白的雙手。而英國數(shù)論專家哈代曾為自己所研究的數(shù)論問題無用而干杯。盡管數(shù)論居于數(shù)學(xué)中最美妙的思想之列，但在哈代以前卻從未被用于任何非常實(shí)際的目的。不過，這一現(xiàn)象現(xiàn)在已被改變。如大素?cái)?shù)分解問題已與密碼破譯緊密聯(lián)系在一起了。在簡單介紹了數(shù)論具有的極為獨(dú)特的風(fēng)格與包羅萬象、深淺不一的內(nèi)容后，你大約能夠明白為何它能高居“數(shù)學(xué)皇后”寶座的原因了吧。

數(shù)的神秘意義與數(shù)字的迷信

通過前面的介紹我們已經(jīng)了解到，人類是在經(jīng)過了極其漫長的歷程后才獲得了關(guān)于數(shù)的概念的。1、2、3……這些具體的數(shù)字作為一種抽象化的概念，它們的產(chǎn)生是人類文明史上的一個創(chuàng)舉。在它產(chǎn)生后人們慢慢地發(fā)現(xiàn)它具有無比的威力。人們意識到任何事物都與數(shù)有著某種聯(lián)系，世界上的一切事物都逃不出數(shù)的限定。于是在中國有了“萬物莫逃乎數(shù)”的說法，在西方產(chǎn)生了古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的“萬物皆數(shù)”的觀念。這反映了人們對“一切事物都有著量的規(guī)定性”這一點(diǎn)的正確認(rèn)識，也反映了人們對抽象的數(shù)概念認(rèn)識的加深。然而，與此同時，數(shù)，這一人類的發(fā)現(xiàn)物，漸漸地具有了君臨人類之上的地位。在古人的眼中，數(shù)成了一個“先天地而已存，后天地而已立”的自在之物，人們對于它的掌握是一個領(lǐng)悟的過程，而不是發(fā)明創(chuàng)造的過程。在中國相傳遠(yuǎn)古時代，圣人伏羲氏在推演八卦的時候，產(chǎn)生了數(shù)的概念，后來經(jīng)過黃帝、堯、舜等先帝的再認(rèn)識，才使之達(dá)到完備。這正是通過神化的方法強(qiáng)調(diào)數(shù)的自在性。就這樣，數(shù)慢慢地成為人類心目中的神。人們開始相信，數(shù)除了描述一個特定的量之外，還具有運(yùn)氣或其他的力量。于是，數(shù)的神秘化傾向產(chǎn)生了。事實(shí)上，數(shù)字作為思維和符號結(jié)合的產(chǎn)物，從它被抽象出來的那一天開始就被神秘的氣氛所環(huán)繞了。

在我國，數(shù)字的神秘化首先在《易經(jīng)》中得到了集中體現(xiàn)。在這本書中，一到十被分為奇數(shù)和偶數(shù)，奇數(shù)象征天和陽性事物，偶數(shù)象征地及陰性事物。在所有的數(shù)字中，3為天數(shù)，是天的象征，4為地?cái)?shù)，是地的象征，而兩個3的乘積9是天數(shù)的極數(shù)，其象征意義在中國歷時彌久，影響極大。兩個4的和8是地?cái)?shù)的極數(shù)，而9×8=72，這一天地極數(shù)的乘積72，成為我國古代人心目中最崇拜的與最神秘莫測的數(shù)。《西游記》中為了表明孫悟空的神通廣大，也說他會“七十二種變化”呢。象征的使用使得本來并不神秘的數(shù)有了神秘的意義。另一方面，數(shù)字的類比、附會、滲透在中國的數(shù)字文化中亦占有相當(dāng)大的比重，并使數(shù)字的神秘性得以傳播。舉一個典型的例子，我們常說73、84是“坎兒年”，是老人的兩道坎。而這無非是通過兩大古圣人孔子死于73，孟子死于84類比而來的。在古代，做出這種類比與附會尚情有可源。令人感到困惑與不解的是，這種現(xiàn)象竟然在現(xiàn)在仍能大行其道。如關(guān)于毛主席與數(shù)字“8341”的所謂聯(lián)系就在社會上被廣泛傳播著。這就真令人對科普現(xiàn)狀油然而生可悲與可嘆之感慨了。

在西方，數(shù)字的神秘性在公元前6世紀(jì)的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的哲學(xué)中得到最高的表現(xiàn)。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為數(shù)本身就是世界的秩序，數(shù)是神秘的。他們認(rèn)為偶數(shù)是可分解的、從而也是容易消失的、陰性的、屬于地上的；而奇數(shù)則是不可分解的、陽性的、屬于天上的。每一個數(shù)目都與人的某種性質(zhì)相合。例如：1表示理性，因?yàn)槔硇允遣蛔兊模?是第一個偶數(shù)，而偶數(shù)是陰性的，因此2代表變化多端的見解；3是第一個陽性的數(shù)，它是1和2構(gòu)成的，代表單一和多變所構(gòu)成的調(diào)和；4代表公正，因?yàn)樗堑谝粋€平方數(shù)；5表示婚姻，因?yàn)樗堑谝粋€陰性數(shù)2和第一個陽性數(shù)3的結(jié)合（一不作奇數(shù)算，而是一切數(shù)的源）。

實(shí)際上，不難發(fā)現(xiàn)，他們也是借助了象征的方式。將某數(shù)具有的某特征向外引申，從而使此數(shù)具有某種象征意義。上面我們已提到的，他們用親和數(shù)象征友誼，完全數(shù)象征美好也都是用了同樣的方式。

數(shù)具有神秘意義的觀念，在古代各民族都產(chǎn)生過。與此同時，對數(shù)字的崇拜也相伴而生了。有的數(shù)被人崇拜，有的數(shù)被人忌諱，有的數(shù)人們對它偏愛有加，而有的數(shù)人們對它厭惡之極。人們對不同數(shù)的不同態(tài)度正是由于不同的數(shù)被賦予不同的意義的緣故。或者反過來說，由于不同的數(shù)被賦予了不同的意義，因此人們對不同的數(shù)就有了不同的態(tài)度。事實(shí)上，數(shù)的神秘化與數(shù)的崇拜是相輔相成的。如古巴比倫人，當(dāng)他們崇拜三個天體（太陽、月亮、金星）時，數(shù)3就被神秘化并被賦以“神秘的”意義，被看作是“幸福的”。晚一些時候，當(dāng)他們崇拜七個天體時，數(shù)7就被賦以“幸福的”這一神秘意義了。

事實(shí)上，我們還可以舉出許多人們對數(shù)喜愛或厭惡的例子。

在西方，3為人們所偏愛。早期基督教徒曾把三角形奉為永恒的象征。而5則不討人喜歡。星期五這個日子被視為兇日，據(jù)說，夏娃偷吃禁果，亞當(dāng)、夏娃被逐出伊甸園，該隱殺害胞弟，耶穌被釘死，都發(fā)生在星期五。

7是一個非常神奇的數(shù)字，一周有七天，日、月與金、木、水、火、土五星叫做七曜。在《圣經(jīng)》中，特別是在舊約中，數(shù)7起著特殊的作用。基督教的神學(xué)把七承繼下來，例如：七種死罪、七德、上帝的七靈等等。在中國把喜、怒、憂、思、悲、恐、驚稱為七情。更有陰歷七月七鵲橋相會的故事。

在古老的德國民間傳說中，數(shù)3與數(shù)9經(jīng)常重復(fù)出現(xiàn)；在信奉印度教的印度人，在其神話中特別偏愛數(shù)10。

究竟哪一個數(shù)會受到特別的偏愛呢？實(shí)際上，這要隨地區(qū)的不同而不同。有一些數(shù)如：3、7、10、40和60等似乎曾特別受寵，不過，幾乎其他每一個數(shù)在某一地方或某一時期也都被賦以神秘的意義而受寵或被冷落。在另一方面，對于同一數(shù)字，不同的民族卻有著往往不同的甚至截然相反的態(tài)度。在某一地區(qū)受偏愛的數(shù)，在其他地區(qū)就可能避之猶恐不及。在西方特受忌諱的數(shù)13，對于我們來說就不是什么大不了的數(shù)。我們中國人忌諱的數(shù)4，在西方就不覺得有什么。再如在我國受人們喜愛的666，我們馬上將要提到在西方卻是一個可怕的數(shù)。在這種不同文化對不同數(shù)的態(tài)度的對照中，你應(yīng)該能夠清楚地意識到對某些數(shù)的崇拜或避諱是多么荒誕的事情了。

不過，更為荒誕的卻是由數(shù)的崇拜、數(shù)的神秘化發(fā)展到后來所出現(xiàn)的數(shù)的迷信。

在中國，“萬物莫逃乎數(shù)”的表述后來轉(zhuǎn)化為一種神秘化的“定數(shù)”觀念，由此產(chǎn)生的典型的宿命論思想，正是以定數(shù)的形式表現(xiàn)出來的。定數(shù)的產(chǎn)生又被看作是天帝或神靈的安排。人類的吉兇禍福都在神的控制之下，神用數(shù)來表達(dá)它的意志。正所謂“神雖非數(shù)，因數(shù)而顯”。所以數(shù)有了神圣的性質(zhì)，人們可以通過它透視神的意志。“天數(shù)已定”、“命數(shù)難逃”之類的俗語，所反映的正是這一點(diǎn)。由此在我國出現(xiàn)了古老而神秘的數(shù)術(shù)，它是古人運(yùn)用一些數(shù)理機(jī)制推斷人事吉兇、解說自然現(xiàn)象、測定國運(yùn)興衰等活動的思想觀念和方法，它對我國古代政治、軍事、文化、科學(xué)技術(shù)曾經(jīng)產(chǎn)生了廣泛的影響。至于算命先生通過占卜算卦而預(yù)知個人的生死、富貴等等，則是數(shù)術(shù)之末技，是更等而下之的把戲了。

在古代西方，人們同樣認(rèn)為數(shù)本身有神秘特性并可用之于預(yù)卜未來。前面我們已經(jīng)提到過，許多西方民族曾用字母來表示數(shù)。這樣，一個字母就兼有了雙層意義：一是音，一是數(shù)。希伯萊的的測字術(shù)就是根據(jù)這一事實(shí)而來的。他們認(rèn)為一字中各字母的數(shù)的總和就是這個字的數(shù)。這樣由字母組成的每個字都具有一個數(shù)值，從字?jǐn)?shù)術(shù)的觀點(diǎn)來看，如果兩個字的字母值之和相同，那就表明這兩個字所代表的兩種概念、兩個人或兩件事之間有重要的聯(lián)系。于是，在西方有了最荒誕不經(jīng)卻又普遍流行的是所謂字?jǐn)?shù)術(shù)。在各種希臘文集中，可以找到許多字?jǐn)?shù)術(shù)的例子。基督教的神學(xué)也特別青睞于用字?jǐn)?shù)術(shù)來解釋過去及預(yù)測未來。如《圣經(jīng)·新約》的《啟示錄》第13章第11節(jié)、第18節(jié)中記錄著：“我看見另有一個獸從地中上來，有兩角如同羊羔，說話好像龍。”“在這里有智慧。凡有聰明的，可以算計(jì)獸的數(shù)目，因?yàn)檫@是人的數(shù)目，它的數(shù)目是六百六十六。”于是，666作為獸數(shù)具有了特別的意義。對于這個隱語，基督學(xué)者曾作過多種猜測和解釋。一些考證家根據(jù)字?jǐn)?shù)術(shù)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)時的羅馬帝國皇帝尼祿名字的各字母，按希伯萊字母順序的數(shù)碼相加的總和，恰是666。所以認(rèn)為獸數(shù)666是隱射對基督教徒進(jìn)行第一次大迫害的尼祿。托爾斯泰在《戰(zhàn)爭與和平》的第三卷第一部第19章中告訴人們，怎樣從拿破侖皇帝的法文姓氏推導(dǎo)出666的妙法。而如果將字母a代之以100, b代之以101, ……依此類推，那就能從希特勒（Hitler）這個名字中妙不可言地得出野獸數(shù)。H:107; I:108;T:119; L:111; E:104; R:117。它們的和是666。

對此，你有沒有覺得：“呃，還真神呢！你看希特勒、拿破侖都恰好與獸數(shù)對應(yīng)，還不神嗎？”

讓我們再看一個例證。

16世紀(jì)有位數(shù)學(xué)家為了指摘教皇利奧十世的品性也玩過這樣的把戲。他把“十”拼成DECIM US（拉丁文“第十”），按羅馬人習(xí)慣把U改成V，再從LEO DECIM VS中挑出為羅馬數(shù)字的字母：L, D, C, I, M, V，作為額外增添而從Leo X中加進(jìn)X，最后計(jì)算出該名字的數(shù)值：

L（50）+D（500）+C（100）+I（1）+M（1000）+V（5）+X（10）=1666

多了整整1000，怎么辦？他靈機(jī)一動，指出數(shù)值為1000的M一定是代表mysterium（神秘），除去“神秘”正好得出666。

對此，你又有何評價呢？是覺得更神呢？還是由此領(lǐng)悟到這不過是人們有意的拼湊呢？更何況，這個在西方國家是被人重視的“洋迷信”，人們對之畏之如虎的666，在我國卻表示大順呢。可見，一個數(shù)是吉還是兇，要取決于它所處的社會氛圍。數(shù)字的吉兇性是飄忽不定的。僅憑這一點(diǎn)，就可以證實(shí)數(shù)字迷信的不可信了。

在人們廣泛使用數(shù)字的時候，一些觀念又反作用于數(shù)字，使它們有了許多附加的文化內(nèi)涵。前面已提到的老子《道德經(jīng)》中說：道生一、一生二、二生三，三生萬物。這就是把數(shù)字附加上文化內(nèi)涵的典型例證。這一傳統(tǒng)在后來又進(jìn)一步得到引申。像《說文》中對一些具體的數(shù)字定義道：

一，惟初太始，道立于一，造分天地，化成萬物。

二，地之?dāng)?shù)也。

三，天、地、人之道也。

四，陰數(shù)也。

五，五行也。

六，《易》之?dāng)?shù)也。

……

其中對“一”的定義只是老子說法的翻版。而老子有這種說法，正如前面已提到的，很可能是“一”在自然數(shù)中可以作為生成元的重要特性啟發(fā)了他。而對“三”、“五”、“六”的定義，顯得更加奇特。僅僅因?yàn)椤疤臁⒌亍⑷恕庇腥N事物構(gòu)成，于是就成了對數(shù)字“三”的定義。本來人們是從具體的各種代表集合中抽象出了數(shù)字“三”，即是說上述代表集合不過是數(shù)字“三”的一個例子而已。但現(xiàn)在一個具體的例子竟然又反過來，成為數(shù)字“三”的定義。這實(shí)在可以說是抽象的概念向具體的一種回歸了。但為什么不選取“劉、關(guān)、張”或“香蕉、桔子、蘋果”來作為數(shù)字“三”的定義呢？它們不也恰好有三種事物構(gòu)成嗎？原因在于：由于“象征”是數(shù)字神秘化最普遍、影響最深的一種表現(xiàn)，而“天、地、人”這樣的代表集合顯然有著更大的涵蓋性與象征性。依照這一道理，如果把數(shù)字“二”定義為“陰、陽之?dāng)?shù)”恐怕也是非常合適的吧。由此，我們可以明白，這實(shí)在可以看作是一種數(shù)字文化，這種對數(shù)的定義方式只能在數(shù)字文化的角度才講得通。它與數(shù)學(xué)本身已經(jīng)沒有什么聯(lián)系了。

從開始接觸數(shù)，到認(rèn)識到數(shù)的抽象性，到覺得數(shù)很神秘，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為數(shù)的崇拜、數(shù)的迷信，同時形成一種數(shù)字文化。這一過程在古代各個民族中都出現(xiàn)了。如果我們從古人角度看問題，就可以明白由數(shù)字的神秘性產(chǎn)生的數(shù)字文化也好，數(shù)字迷信也好，在古代都有其產(chǎn)生的必然性，是一種非常自然的過程，也是情有可原的。但如果在現(xiàn)代科技發(fā)展一日千里的時候，我們?nèi)匀话炎约旱臄?shù)字文化當(dāng)作一種智慧作為自炫的資本，或以數(shù)字迷信自欺或欺人，就實(shí)在是太可憐與可悲了。