數(shù)的起源

人類究竟在何時(shí)和怎樣才產(chǎn)生出數(shù)的概念的？如果要講述這個(gè)關(guān)于數(shù)的起源的故事，那么“在很久很久很久以前……”這樣的開頭對(duì)于我們要講的故事來(lái)說(shuō)是再恰當(dāng)不過(guò)的了。數(shù)的產(chǎn)生，是從離開我們極其遙遠(yuǎn)的人類生存時(shí)期開始的。那個(gè)時(shí)期未曾留下任何書面的文獻(xiàn)，因?yàn)閿?shù)的概念在人類發(fā)明文字——這一記錄人類自己思想的符號(hào)——之前很早就產(chǎn)生了。數(shù)學(xué)史家一般都從以下幾個(gè)方面考察數(shù)學(xué)的起源和早期發(fā)展：

1．考古工作中挖掘的古代人類的遺物，如勞動(dòng)工具，建筑，生活用具等；

2．現(xiàn)存的原始部落的日常生活、語(yǔ)言；

3．各民族語(yǔ)言發(fā)展的歷史和它們之間的比較研究。

借助于此，對(duì)數(shù)的概念的起源，我們就能形成一個(gè)大致的輪廓了。對(duì)于大多數(shù)讀者來(lái)說(shuō)，了解這樣一個(gè)大概也就可以了。下面我們做的就是去了解人類是怎樣逐漸一步步地獲得了數(shù)的最初知識(shí)的。

數(shù)覺(jué)

人類之所以能夠產(chǎn)生數(shù)的觀念，首先，是由于人類即使在最古老的年代，也已經(jīng)有了某種對(duì)數(shù)的朦朧意識(shí)。比如說(shuō)人能夠區(qū)分有與沒(méi)有的差別；此外當(dāng)在一個(gè)小的集合中，增添或者去掉東西時(shí)，人能夠覺(jué)察到其中有所變化，會(huì)意識(shí)到是“多了”或是“少了”。這種覺(jué)察數(shù)之有無(wú)與數(shù)之多少的能力，被數(shù)學(xué)史家稱為“數(shù)覺(jué)”。可以相信，早在進(jìn)化的蒙昧?xí)r期，人類就已經(jīng)具有這種能力了。

其實(shí)，有實(shí)例表明若干種動(dòng)物看來(lái)也具有一種與人類相類似的原始數(shù)覺(jué)。如，在有些鳥類的鳥巢中若是有四個(gè)蛋，那么你可以放心地拿去一個(gè)，鳥沒(méi)有覺(jué)察；但是如果拿掉兩個(gè)，這鳥通常就要逃走了。鳥會(huì)用某種奇怪的方法來(lái)辨別二和三。

下面這一則有趣的故事能夠更好地說(shuō)明鳥所具有的這種本領(lǐng)。

有個(gè)田主決心要打死一只在他莊園的望樓里筑巢的烏鴉。他試了好多次想驚動(dòng)它，始終沒(méi)有成功：因?yàn)槿艘蛔呓瑸貘f就離開了巢，飛走了。它會(huì)棲在遠(yuǎn)遠(yuǎn)的樹上守著，等到人離開了望樓，才肯飛回巢去。有一天，這田主定下了一個(gè)計(jì)策：兩個(gè)人走進(jìn)望樓，一個(gè)留著，一個(gè)出來(lái)走開了。但是烏鴉并不上當(dāng)：它老等著，直到留在望樓里的人也走了出來(lái)才作罷。這個(gè)試驗(yàn)一連作了幾天：兩個(gè)人，三個(gè)人，四個(gè)人，都沒(méi)有成功。末了，用了五個(gè)人：也像以前一樣，先都進(jìn)了望樓，留一個(gè)在里面，其他四人走出來(lái)，離開了。這次烏鴉卻數(shù)不清了；它不能辨別四與五，馬上就飛回巢里去了。

至于這只烏鴉的結(jié)局如何可就不言而喻了。

現(xiàn)在我們所要說(shuō)的是，我們的遠(yuǎn)祖是具有這種數(shù)覺(jué)的智力水平的。不過(guò)辨別數(shù)目時(shí)，如果僅靠數(shù)覺(jué)，其范圍是十分有限的。一個(gè)論據(jù)是：許多語(yǔ)言幾乎都帶有這種早期局限性的痕跡。如英文的thrice和拉丁文的ter，都同樣的有雙重意義：三倍和許多。而我們古漢語(yǔ)中的“三”不也常泛指多嗎？其實(shí)，我們現(xiàn)代人在數(shù)覺(jué)方面也不過(guò)如此，并無(wú)明顯進(jìn)步。有精密的實(shí)驗(yàn)結(jié)果證實(shí)：普通文明人的直接視覺(jué)數(shù)覺(jué)，很少能超過(guò)四，至于觸覺(jué)數(shù)覺(jué)，范圍甚至還要小些。

說(shuō)到這里，你或許已開始覺(jué)得這種數(shù)覺(jué)有些幼稚的可笑，而具有這種數(shù)覺(jué)的能力也實(shí)在不是一件什么大不了的事情。確實(shí)，這在現(xiàn)代人看來(lái)，是那么的微不足道。可是，這畢竟是一個(gè)好的起點(diǎn)。在沒(méi)有數(shù)的概念之前，人的這種朦朦朧朧的數(shù)覺(jué)或數(shù)的意識(shí)，是認(rèn)識(shí)的第一步。正是這種比鳥類高明不了多少的原始數(shù)覺(jué)，奠定了人類產(chǎn)生數(shù)這一概念的基礎(chǔ)。如果沒(méi)有這種基本的數(shù)覺(jué)，會(huì)怎么樣呢？答案很簡(jiǎn)單：如果沒(méi)有這種簡(jiǎn)單的數(shù)覺(jué)，那么人類就根本不可能產(chǎn)生出后來(lái)的數(shù)的概念。當(dāng)然了，如果人類只有這種數(shù)覺(jué)的話，在對(duì)數(shù)的概念的認(rèn)識(shí)上，也就不會(huì)比鳥類有什么進(jìn)步了。

讓我們現(xiàn)代人感到慶幸的是，在一連串內(nèi)在的與外在的特殊條件影響下，人類在數(shù)覺(jué)之外，學(xué)會(huì)了另一種技巧，這種技巧注定了使他們未來(lái)的生活受到巨大的影響。這技巧就是計(jì)數(shù)，并且，正是由于有了計(jì)數(shù)，我們贏得了用數(shù)來(lái)表達(dá)我們的宇宙的驚人成就。下面我們所要敘述的就是這種技巧的形成。

邁出第一步：計(jì)數(shù)

在了解人類邁出的第一步之前，先讓我們簡(jiǎn)單看一下當(dāng)時(shí)我們的遠(yuǎn)祖已經(jīng)具備了哪些有利的條件。

先看內(nèi)在條件。前面我們已經(jīng)提到過(guò)人類的數(shù)覺(jué)能力，這當(dāng)然是人產(chǎn)生數(shù)概念的第一個(gè)基本條件。另外，這種時(shí)候人類已經(jīng)能夠直立行走。可不要小瞧這一點(diǎn)，后面我們將會(huì)看到在數(shù)的概念形成中，直立行走，從而解放出雙手是人類能夠產(chǎn)生出數(shù)的概念的一個(gè)重要方面。

在外在的條件方面。人類社會(huì)正處于原始社會(huì)。在早期生產(chǎn)力非常低下。人們每天外出狩獵以維持生存。很可能經(jīng)常空手而回不足果腹。但隨著生產(chǎn)力的提高，帶回的食物可能會(huì)多少有了點(diǎn)富余，也就慢慢地出現(xiàn)了剩余物。

在生活中這種數(shù)與量的變化的影響下，人類借助于原始的數(shù)覺(jué)，開始逐漸形成“無(wú)”與“有”的區(qū)別。這是人類最早形成的數(shù)學(xué)概念。當(dāng)“有”經(jīng)常出現(xiàn)時(shí)，人類認(rèn)識(shí)到不同數(shù)量的差別，于是有了“多”與“少”的數(shù)學(xué)概念。在認(rèn)識(shí)“多”與“少”的差別的過(guò)程中，人類邁出的第一步大概是知道了“一”和“多”的不同。從多中，首先分出“一”，很可能是經(jīng)過(guò)了非常困難的階段才作出的。而這一過(guò)程究竟發(fā)生在人類何種階段，恐怕也不是一個(gè)容易回答的問(wèn)題了。曾有人把這種分出解釋為，人通常總用一只手拿一件物品，這便把一從多中分了出來(lái)。事情是否真得如此不是我們這本書中所要闡述的了。我們需要了解的是任何概念的產(chǎn)生都有賴于在朦朧中劃一條界限。沒(méi)有1的概念就沒(méi)有數(shù)的概念，把1從混沌一片中解放出來(lái)，這是數(shù)的認(rèn)識(shí)的開端。不過(guò)，這時(shí)除1之外的那些數(shù)還是一個(gè)模糊的“多”，或者可看成是一個(gè)簡(jiǎn)單的否定——非一。也就是說(shuō)，在計(jì)數(shù)的開端首先建立了一和不確定的多（或非一）這兩個(gè)概念。大概又經(jīng)過(guò)了很長(zhǎng)的時(shí)間，原始民族才又從多中區(qū)別出2、3等不同的數(shù)。對(duì)于很多原始民族來(lái)說(shuō)，對(duì)“多”所做出的區(qū)分到很小的數(shù)就停止了，他們從所謂的“多”中區(qū)分中的無(wú)非是前面幾個(gè)數(shù)而已，大概多于三個(gè)的時(shí)候就不算多吧。如南非布須曼族，只知1、2、多；澳大利亞土人有的可以數(shù)到4；再好些的到5、6。剩下的就進(jìn)入不加區(qū)分的混沌一片了。實(shí)際上，許多原始民族用于數(shù)的單獨(dú)的名稱只有1和2，間或也有3，超過(guò)這幾個(gè)數(shù)時(shí)，便說(shuō)“許多，很多，太多”。

但是，對(duì)于另外一些民族來(lái)說(shuō)，隨著其生產(chǎn)力水平的提高，較大的數(shù)目在生產(chǎn)、生活中越來(lái)越多的出現(xiàn)。在這種背景下，這些民族開始形成一種新的技巧：計(jì)數(shù)。

一種計(jì)量數(shù)多少的辦法

事實(shí)上，人們?cè)谙氤鰯?shù)之前很久就已經(jīng)以艱難而辛苦的方法進(jìn)行著計(jì)數(shù)了。因?yàn)檎f(shuō)來(lái)可能有些奇怪，人們根本不用數(shù)字也能夠計(jì)數(shù)。許多古代的計(jì)數(shù)趣聞?wù)梢苑从吵鲞@一點(diǎn)。

在大約公元前9至前8世紀(jì)，著名的《荷馬史詩(shī)》中記載著一個(gè)故事：俄底修斯刺瞎了獨(dú)眼巨人波呂斐摩斯并離開了庫(kù)克羅普斯國(guó)，不幸的盲目巨人每天坐在山洞口照料他的羊群。早晨羊兒外出吃草，每出來(lái)一只，他就在一堆石子中撿起一粒石子。晚上羊兒返回山洞，每進(jìn)去一只，他就扔掉一粒石子。當(dāng)他把早晨撿起的石子都扔光時(shí)，他就確信所有的羊全返回了山洞。

在人類的計(jì)數(shù)史上，“巨人數(shù)羊”現(xiàn)在看來(lái)是趣聞的故事，在當(dāng)時(shí)，卻是人類智慧的結(jié)晶呢。這里所用的辦法被稱為一一對(duì)應(yīng)的方法。其方法是將一個(gè)集合中的每一事物和另一個(gè)集合中的每一事物相對(duì)應(yīng)，一個(gè)對(duì)一個(gè)，直到某一集合或兩個(gè)集合中的事物同時(shí)配完為止。通過(guò)這種方法能夠讓我們甚至在不知道事物的具體數(shù)目的情況下，明了兩類事物的多少關(guān)系。如果某一集合的事物先配完，那么說(shuō)明它的數(shù)目少于另一個(gè)集合的數(shù)目；如果兩個(gè)集合的事物同時(shí)配完，那么說(shuō)明兩個(gè)集合有著相同的元素。

其實(shí)，這種辦法在現(xiàn)在我們也在經(jīng)常使用著。

比如，設(shè)想我們現(xiàn)在走進(jìn)一個(gè)教室。在我們面前有兩個(gè)集合：一個(gè)是座位，一個(gè)是人。我們不用計(jì)數(shù)，就可以知道這兩個(gè)集合是否相等，如果不相等，哪個(gè)多些。因?yàn)橐撬械淖欢甲鴿M了人，同時(shí)沒(méi)有人站著，我們不用計(jì)數(shù)就知道兩個(gè)集合相等。要是座位已經(jīng)滿了，而仍有人站著，我們不用計(jì)數(shù)就知道人多而座位少了。

古代人最早大概就是采用這種方法來(lái)計(jì)數(shù)的。當(dāng)他們獵取到比如說(shuō)一些野兔，他們就近取材，發(fā)現(xiàn)這些野兔的數(shù)目恰好可以與一個(gè)人的耳朵一一對(duì)應(yīng)起來(lái)。于是，他們就可以用“有像我的耳朵那么多”這樣的話來(lái)說(shuō)明野兔的數(shù)目。如果下一次獵取的野豬也恰有這么多，他們同樣可以用“有像我的耳朵那么多”這樣的話來(lái)表示野豬的數(shù)目。慢慢地，“有像我的耳朵那么多”這樣的話可能被簡(jiǎn)略成“人的耳朵”這樣的說(shuō)法。進(jìn)一步，“人的耳朵”后來(lái)就成了一個(gè)可以代表某一數(shù)目的代表性集合。只要一些物品的數(shù)目恰好是我們所熟知的2，那么原始人就可以說(shuō)有“人的耳朵”那么多。當(dāng)然，物品的數(shù)目不可能總是2，當(dāng)出現(xiàn)其他數(shù)目的物品時(shí)，他們只需要采用同樣的方法，找其他的一個(gè)代表集合就是了，用不同的代表集合來(lái)代表不同的數(shù)目。比如說(shuō)表示數(shù)四時(shí)，就說(shuō)“像牲口的腳那么多”。這樣，對(duì)不同的數(shù)目找到不同的代表集合，較少數(shù)目的計(jì)數(shù)問(wèn)題就解決了。原始人類恐怕就是這樣做的吧。他們先是用人和動(dòng)物的身體部分作為對(duì)一些物品的口頭表達(dá)。而慢慢地，這些敘述的語(yǔ)句又被相應(yīng)的簡(jiǎn)稱所代替。就這樣，代表集合的語(yǔ)句以及其簡(jiǎn)稱被用來(lái)稱呼數(shù)的數(shù)目，如說(shuō)“有耳朵一樣多”，或者簡(jiǎn)單說(shuō)“耳朵”。再往后，這些名稱便作為數(shù)字的稱呼而鞏固下來(lái)。于是，人們開始用詞“耳朵”或“手”或“翅膀”等表示我們更熟悉的數(shù)字2；用“獸足”表示我們熟悉的數(shù)字4，或者“手指”來(lái)表示數(shù)字5等等。到后來(lái)，這種讀音固定下來(lái)，就成為抽象數(shù)的讀音。這大概正是部分?jǐn)?shù)字讀音的由來(lái)吧。這種推測(cè)，可以從語(yǔ)言學(xué)中得到部分證實(shí)。據(jù)研究，漢語(yǔ)中“二”的讀音就源于“耳”，意思是像耳朵一樣多。藏語(yǔ)中的“二”源于“翼”，意思是像鳥的翅膀一樣多。

在這一時(shí)期，原始人有了許多不同的代表集合來(lái)表示不同的數(shù)目。等到人們要算某一事物的個(gè)數(shù)時(shí)，只需要在這些代表集合中，把能和它匹配的那一個(gè)代表集合找出來(lái)并用相應(yīng)的語(yǔ)句或其簡(jiǎn)稱來(lái)表達(dá)就行了。

運(yùn)用這種方法，原始人就能夠（當(dāng)然是在小的范圍內(nèi)）回答“物體有多少個(gè)”這一問(wèn)題了。不過(guò)，這種回答并不如同我們現(xiàn)在的回答方式，如說(shuō)某物有2個(gè)、5個(gè)等等。因?yàn)槟菚r(shí)人們對(duì)數(shù)的理解還沒(méi)有達(dá)到這一步。在他們的意識(shí)中數(shù)是十分具體、十分形象的，它既不能同量分開，也不能同形分開，也就是說(shuō)，只有同量和形結(jié)合在一起，必須依附著所指的物體，他們才能懂得數(shù)。在這一時(shí)期當(dāng)提及二、五時(shí)，人們腦海中浮現(xiàn)出的是與之對(duì)照的實(shí)物：人的耳朵、手指之類。這種時(shí)候人們對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)還是非常具體的，是與實(shí)物相聯(lián)系的。

用一些代表集合來(lái)表示數(shù)目，是原始人計(jì)數(shù)史上的一大進(jìn)步。這意味著人類在形成數(shù)的概念上完成了第一次抽象。不過(guò)，用這種方法畢竟存在著一些不足：首先，這種辦法并不要求數(shù)目按照從小到大的次序排列，因而這些用來(lái)表示數(shù)目的代表集合完全可能是亂七八糟堆放在一起，毫無(wú)次序的；其次，由于代表集合是如此具體與混雜，利用這種辦法，想抽象出數(shù)的概念是不可能的；再次，當(dāng)需要計(jì)的數(shù)目比較大時(shí)，這種辦法即使不說(shuō)失效，也可以說(shuō)顯得極其笨拙。而恰恰隨著生產(chǎn)、生活的需要，較大的數(shù)目越來(lái)越多的出現(xiàn)。于是，建立在同樣原則上的一種解決問(wèn)題的辦法被原始人類使用了。

這種方案有著同樣的簡(jiǎn)單性，就是選取代表集合時(shí)，不再用沒(méi)有關(guān)聯(lián)的不同實(shí)物來(lái)表示，而是用同一種事物的不同數(shù)目來(lái)表示。如一塊石頭來(lái)作為數(shù)目1的代表集合；兩塊石頭來(lái)作為數(shù)目2的代表集合；三塊石頭作為數(shù)目3的代表集合等等。這種事物也可以取其他的東西來(lái)替代，人們習(xí)慣上是就近取材的。石子、竹片、樹枝、貝殼之類都曾被不同的民族用來(lái)作為計(jì)數(shù)的實(shí)物。

用這種辦法計(jì)數(shù)，可以找到一些實(shí)例。如在馬來(lái)亞語(yǔ)和阿茲特克語(yǔ)中，數(shù)詞“一”、“二”、“三”在字面上指的是“一塊石頭”、“兩塊石頭”、“三塊石頭”；在南太平洋紐埃島人的語(yǔ)言中，這三個(gè)數(shù)詞在字面上的意思則是“一個(gè)果子”、“兩個(gè)果子”、“三個(gè)果子”；而爪哇語(yǔ)中這三個(gè)詞的意思則是“一顆谷粒”、“兩顆谷粒”、“三顆谷粒。”

用石頭、貝殼之類東西計(jì)數(shù)的好處是容易找到。但是也存在一些問(wèn)題：其一是這些東西容易散亂；其二是無(wú)法長(zhǎng)久地保留。為了解決這類缺點(diǎn)，后來(lái)人們開始采取結(jié)繩的方式來(lái)計(jì)數(shù)。這就是歷史上的結(jié)繩計(jì)數(shù)。所謂結(jié)繩就是在一條繩上打上結(jié)，在這種計(jì)數(shù)方式的完善中，人們又曾用不種顏色的結(jié)來(lái)表示出不同的事物。

在沒(méi)有書寫記錄的年代，結(jié)繩法擔(dān)負(fù)了記載歷史的作用。在古人心目中，數(shù)，就是用手打成的“繩結(jié)”。結(jié)繩方法實(shí)際上曾遍及世界各地。無(wú)論東方還是西方，都是有過(guò)結(jié)繩計(jì)數(shù)的歷史的。如中國(guó)、希臘、波斯、羅馬、巴勒斯坦以及伊斯蘭國(guó)家都有記載或?qū)嵨飿?biāo)本。有一則傳說(shuō)可以引來(lái)作為佐證：古波斯王在一次戰(zhàn)爭(zhēng)中，命令將士們守一座橋，要守60天。為了把這個(gè)數(shù)準(zhǔn)確地表示出來(lái)，波斯王用了一根長(zhǎng)長(zhǎng)的皮條，在上面系了60個(gè)扣。他對(duì)將士們說(shuō)：“我走后一天解一個(gè)扣，什么時(shí)候解完了，你們的任務(wù)就完成了，也就可以回家了。”

甚至至今，還有個(gè)別的少數(shù)民族在用結(jié)繩的方法呢。如在我國(guó)新疆巴里坤草原的牧民現(xiàn)在仍用羊毛結(jié)繩記數(shù)；日本琉球群島的某些小島上人們也還沒(méi)有放棄這種結(jié)繩計(jì)數(shù)的古老辦法。

然而，這一方法保存的信息的存在時(shí)間仍過(guò)于短促，因此人們就用在木棒、龜甲、竹筒或骨頭上刻出痕跡的辦法來(lái)構(gòu)成一些記錄，稱為“符契杖”，這就是歷史上的刻痕記數(shù)。其中最古老的例子是，1937年，人們?cè)诮菘怂孤宸タ税l(fā)現(xiàn)了一根大約三萬(wàn)年前的狼撓骨，這根長(zhǎng)為18厘米的骨頭上，深深地刻著55個(gè)痕跡。還有一件引人注目的刻痕計(jì)數(shù)實(shí)物是“伊尚戈骨頭”，據(jù)鑒定，確認(rèn)為公元前8500年的遺物。在我國(guó)北京郊區(qū)周口店的山頂洞人遺址中，考古學(xué)家發(fā)掘出了四根帶有磨刻痕跡的骨管，發(fā)現(xiàn)它們已有一萬(wàn)多年的歷史了。這些都證實(shí)了刻痕計(jì)數(shù)法在人類歷史上曾被廣泛地使用。在我國(guó)古書《易經(jīng)》中就記載著：“上古結(jié)繩而治，后世圣人易之以書契。”據(jù)調(diào)查，云南有的少數(shù)民族50年代仍沿習(xí)結(jié)繩、木刻記數(shù)呢！

在沒(méi)有文字以前，用繩結(jié)和書契（刻木、刻骨等）兩種方法計(jì)數(shù)，是世界絕大多數(shù)民族歷史上經(jīng)歷過(guò)的階段。實(shí)際上可以說(shuō)，這兩種“非文字記數(shù)法”曾遍及世界各地，這是人類進(jìn)行艱難而辛苦計(jì)數(shù)的開端。

在這一計(jì)數(shù)的開端，人類所使用的是“一一對(duì)應(yīng)”的辦法。用這種辦法計(jì)數(shù)，除了上述提到的證據(jù)外，我們還可以提到一些其他的實(shí)例。

如：一些美洲的印第安人，通過(guò)收集每個(gè)被殺者的頭皮來(lái)計(jì)數(shù)他們殺敵的數(shù)目。還有一些非洲的原始獵人，通過(guò)積累野豬的牙齒來(lái)計(jì)數(shù)他們殺死野豬的數(shù)目。

最后我們還可以舉出一種奇特而有趣的，由居住在大洋洲島嶼上的土著人采用的關(guān)節(jié)計(jì)數(shù)。他們用：左手小指表示1，依次用左手無(wú)名指表示2………左手大拇指表示5；接著，左手腕表示6，左手肘表示7，左腋表示8，左肩表示9，左側(cè)鎖骨表示10，咽喉表示11；再接著對(duì)稱地向右數(shù)下去，到右手小指表示21。《數(shù)學(xué)天方夜譚》一書中敘述了古代土著人做買賣的情景：

“一個(gè)漁夫正在用捕撈來(lái)的魚跟農(nóng)夫換取蔬菜。他試探性地伸出左手的大拇指。然而農(nóng)夫堅(jiān)決地?fù)u了搖頭，使勁地用右手肘撞擊左手掌。漁夫遲疑了一下，用手點(diǎn)了點(diǎn)自己的左肩，農(nóng)夫卻用手指著右側(cè)鎖骨。最后漁夫指著自己的咽喉，農(nóng)夫終于點(diǎn)頭答應(yīng)，買賣成交了。”

你能看懂這段啞謎嗎？讓我們一起把它翻譯出來(lái)——

“我用5條魚換你的這些蔬菜，行嗎？”漁夫問(wèn)。

“不行。得15條！”農(nóng)夫不肯。

“那么，9條可以吧？”漁夫又添了四條。

“出條12，你就拿去。”農(nóng)夫也做了讓步。

“11條，再多一條也不換了。”

“好吧，我吃點(diǎn)虧——實(shí)在便宜你了。”

你看，用石子、貝殼、關(guān)節(jié)、繩結(jié)、樹痕，雖然可以幫助人們計(jì)數(shù)，但多么不方便啊！

原始人利用一一對(duì)應(yīng)的方法得到的這種數(shù)的概念在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中稱為基數(shù)。基數(shù)所根據(jù)的是對(duì)應(yīng)原則。也許你會(huì)覺(jué)得這種辦法實(shí)在是有些笨拙，然而它卻自有其美妙處，我們后面還要用到它，在那里你可以體味到它的好處。我們?cè)谶@里順便指出的是：一一對(duì)應(yīng)的思想方法滲透并支配著整個(gè)數(shù)學(xué)，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本思想方法，是數(shù)學(xué)家最有效的常備武器之一。

另一種計(jì)數(shù)的辦法

上面我們介紹了一種古代人采用的計(jì)數(shù)方法。這種方法是利用一一對(duì)應(yīng)的原則來(lái)實(shí)現(xiàn)的。由此得到的基數(shù)概念解答了物體“有多少個(gè)”的問(wèn)題。在此，我們可以想象一下原始人是如何完成這一點(diǎn)的。

比如說(shuō)獵取了一些野兔。到底有多少只呢？利用一一對(duì)應(yīng)的方法是這樣進(jìn)行的：取一只野兔，就在一旁放上一塊石子，或在繩子上打一個(gè)結(jié)，或者刻上一道痕。

重復(fù)這種機(jī)械的對(duì)應(yīng)過(guò)程，直到野兔取完為止。這樣，人們就知道一共有與石子或繩結(jié)或刻痕相同數(shù)目的野兔了。

可以發(fā)現(xiàn)，這與我們現(xiàn)代人的做法并不相同。我們是通過(guò)從一開始數(shù)數(shù)，一、二、三……而最后得出答案的。也就是說(shuō)，當(dāng)原始人最初采用一一對(duì)應(yīng)來(lái)計(jì)數(shù)的時(shí)候，他們還沒(méi)有形成自然數(shù)按次序由小到大排列這一觀念。單憑匹配本身不足以創(chuàng)造出我們現(xiàn)在所使用的有序的自然數(shù)的概念。設(shè)若不是我們能夠?qū)⑹挛锱帕谐捎许樞虻拇蔚冢M(jìn)步就是不大可能的。那么，人類又是如何實(shí)現(xiàn)這一步的轉(zhuǎn)化的呢？

一種可靠的推測(cè)是：這一轉(zhuǎn)變是從人類領(lǐng)悟到自己的手指是最方便的天然計(jì)算器開始的。

直立行走使人空出了雙手，這雙手不僅僅用來(lái)拿東西，后來(lái)人類認(rèn)識(shí)到它還是人的最自然的計(jì)數(shù)工具。想想借助于自己的手指人類可以如何計(jì)數(shù)吧。當(dāng)想了解捕了多少魚或是野果或是野獸時(shí)，就可以把物品從一邊移到另一邊。每移動(dòng)一件，就彎下一個(gè)手指。在這個(gè)彎下手指的過(guò)程中，人類認(rèn)識(shí)到自然數(shù)可以從1到大排成一個(gè)序列。即是說(shuō)那些代表集合可以由小到大排成有前后次序的序列，最后當(dāng)人們將前幾個(gè)數(shù)字，按照有順序的次第記住，并制定一個(gè)語(yǔ)音系統(tǒng)，使得能從任何一個(gè)數(shù)讀出它的后面的較大數(shù)時(shí)，一種數(shù)制就這樣被發(fā)明出來(lái)了。正如我們小時(shí)候?qū)W數(shù)數(shù)時(shí)所做的那樣，數(shù)數(shù)是從“一”開始的，隨后我們需要數(shù)出它的后面數(shù)“二”，再后是“三”……至于這些數(shù)的讀音由于不同的民族制定了不同的語(yǔ)音系統(tǒng)，所以是不同的。但這是無(wú)關(guān)緊要的。

數(shù)制一旦有了，計(jì)數(shù)某一集合的事物，就等于將集合中每個(gè)成員分別和有順序的次第的自然序列中的每一項(xiàng)相對(duì)應(yīng)，一直到整個(gè)集合對(duì)應(yīng)完了為止。對(duì)應(yīng)于集合中的最后一個(gè)成員的自然序列的項(xiàng)，就稱為這個(gè)集合的序數(shù)。有了序數(shù)，如果要確定某一集合的事物的多少，即它的基數(shù)，我們不用再找一個(gè)代表集合麻煩地來(lái)作一一匹配了——我們只消將它加以計(jì)數(shù)就成了。數(shù)學(xué)的發(fā)展實(shí)在應(yīng)當(dāng)歸功于人類知道了數(shù)的這兩個(gè)方面的統(tǒng)一性。在實(shí)用上，我們雖然覺(jué)得基數(shù)很有用，但它不能創(chuàng)造出算術(shù)來(lái)。算術(shù)的運(yùn)用就是依據(jù)我們總是可以由一個(gè)數(shù)數(shù)到它的后繼數(shù)這一默認(rèn)的假定出發(fā)的，而這個(gè)假定正是序數(shù)概念的本質(zhì)。

可見，手指對(duì)人類計(jì)數(shù)的發(fā)展起著至關(guān)重要的作用，對(duì)于它在何環(huán)節(jié)上起到的作用我們不能判斷，但是這種作用的重要性是無(wú)可懷疑的。我們可以說(shuō)，人類在計(jì)算方面之所以成功，應(yīng)當(dāng)歸功于十指分明。大概正是屈指計(jì)數(shù)使人們不自覺(jué)地從基數(shù)轉(zhuǎn)到了序數(shù)吧。正是這些手指，才教會(huì)人類計(jì)數(shù)，從而把數(shù)的范圍無(wú)限地?cái)U(kuò)大開來(lái)。如果沒(méi)有這套裝置，人類對(duì)于數(shù)的技巧就不會(huì)比原始的數(shù)覺(jué)高出多少。因此，我們不無(wú)理由地說(shuō)，要是沒(méi)有手指，那么數(shù)的發(fā)展，以及隨之而來(lái)的我們精神上的和物質(zhì)上的進(jìn)步所依據(jù)的精確科學(xué)的發(fā)展，也將毫無(wú)希望地處于低下的階段。

在現(xiàn)代，除了小孩子初學(xué)計(jì)數(shù)的時(shí)候還用手指，屈指計(jì)數(shù)的技術(shù)已經(jīng)被淘汰了。文字書寫的出現(xiàn)，簡(jiǎn)便的計(jì)算方法，以及教育的普及，使得這個(gè)技能成為陳舊和多余的了。在這種情形之下，我們自然容易低估屈指計(jì)數(shù)在計(jì)算史中曾經(jīng)起過(guò)的重要作用。不過(guò)在幾百年以前，屈指計(jì)數(shù)在西歐還是如此風(fēng)行，以致一本算術(shù)課本如果不包含屈指計(jì)數(shù)的方法，它便不能算是完全的。在當(dāng)時(shí)，用手指計(jì)數(shù)和用手指演算簡(jiǎn)單的算題，都被看作是受過(guò)教育的人的一種能力呢。

在轉(zhuǎn)入下一部分的論述之前，我覺(jué)得有必要對(duì)基數(shù)與序數(shù)的區(qū)別再重復(fù)一下。

回想一下，我們小時(shí)候，如果父母拿了四個(gè)蘋果，問(wèn)我們一共有幾個(gè)，我們是如何做的吧。

我們習(xí)慣性地掰著手指，口中念念有詞：一個(gè)、兩個(gè)、三個(gè)、四個(gè)。這種有次序的將數(shù)目數(shù)出來(lái)的方式，就是采用了序數(shù)制。而當(dāng)我們一次性地伸出四個(gè)手指說(shuō)有四個(gè)時(shí)，我們就是使用了基數(shù)制。

我們可以再舉一個(gè)例子。比如我問(wèn)你“這本書共有多少頁(yè)？”你回答說(shuō)：180頁(yè)。這種回答所使用的就是基數(shù)。而如果我問(wèn)你“這本書的后記在哪一頁(yè)上？”你回答說(shuō)：第180頁(yè)上。這種回答所使用的就是序數(shù)了。另外，你還可以聯(lián)想一下你所學(xué)過(guò)的英語(yǔ)。在英語(yǔ)中數(shù)詞是分基數(shù)與序數(shù)的。one、two、three、four……被稱為基數(shù)；而first、second、third、fourth……則被稱為序數(shù)。當(dāng)你區(qū)分開這些英文的差別時(shí)，你也就明白了人們關(guān)于自然數(shù)理解中的這兩種不同的觀念。后面我們還要提到，正是在此基礎(chǔ)之上，形成了建立自然數(shù)理論的兩種方式：自然數(shù)的基數(shù)理論與自然數(shù)的序數(shù)理論。

但不管怎么說(shuō)，事實(shí)上，由于這兩者對(duì)于我們現(xiàn)代人來(lái)說(shuō)已經(jīng)融為一體了，以致于當(dāng)把它們分開來(lái)時(shí)我們往往不太適應(yīng)。數(shù)數(shù)在我們的習(xí)慣中已經(jīng)根深蒂固，我們確實(shí)很難將兩者分割開了。但是在遙遠(yuǎn)的古代，兩者的出現(xiàn)卻可能會(huì)有著先后。那么，何者為先呢？我們可以在小孩子那里找到基數(shù)先于序數(shù)存在的一個(gè)證據(jù)。比如，我們教一個(gè)小點(diǎn)兒的孩子數(shù)數(shù)。伸出一個(gè)手指，教他數(shù)1；伸出兩個(gè)手指，教他數(shù)2; ……伸出五個(gè)手指教他數(shù)5；伸出一個(gè)手指的大拇指與小拇指，教他數(shù)6。教過(guò)多遍后，孩子好像學(xué)會(huì)了，只要你伸出某種手指，孩子就會(huì)說(shuō)出相應(yīng)的數(shù)目。不過(guò)，一個(gè)小小的實(shí)驗(yàn)，就能夠證實(shí)這時(shí)孩子所學(xué)會(huì)的還只是基數(shù)。實(shí)驗(yàn)很簡(jiǎn)單：在依次伸出一至五個(gè)手指后，伸出一個(gè)手的五個(gè)手指與另一個(gè)手的一個(gè)手指，問(wèn)孩子這是多少。剛才還對(duì)答如流的孩子，這次恐怕就傻了眼。這說(shuō)明，他還只是把手指的樣子當(dāng)作代表集合與相應(yīng)的數(shù)目聯(lián)系在一起。他還不會(huì)真正地?cái)?shù)數(shù)。他還不明白數(shù)6不過(guò)是數(shù)5的下一個(gè)數(shù)而已，即他還沒(méi)有真正的序數(shù)概念。

如果可以拿個(gè)體的早期與人類的原始期作類比的話，那么我們可以認(rèn)為原始人最早所掌握的也將是基數(shù)的概念，而對(duì)序數(shù)的認(rèn)識(shí)就要晚一些。這只是我的一種推測(cè)，讀者朋友大概會(huì)有自己的高論吧。

抽象數(shù)概念的初步形成

具體的東西總是在抽象的東西之先。任何抽象都來(lái)自于具體。各民族早期表達(dá)數(shù)的語(yǔ)言，都是非常具體的，是與實(shí)物相聯(lián)系的。這種早期數(shù)概念的極端具體性，可以舉出不列顛哥倫比亞的辛姆珊族的語(yǔ)言作為一個(gè)明顯的例子。這種語(yǔ)言共有七種不同的數(shù)字：一種用于走獸和扁平的物體；一種用于時(shí)間和圓形的物體；一種是用來(lái)數(shù)人的；一種是用于樹木和長(zhǎng)形物體的；一種是用于小艇的；一種是用來(lái)測(cè)量的；還有一種是在沒(méi)有特定對(duì)象時(shí)計(jì)數(shù)用的。最后一種大概是后來(lái)才發(fā)展起來(lái)的。前幾種必定是這族人還沒(méi)有學(xué)會(huì)計(jì)數(shù)之前的早期遺物。

離開具體實(shí)物的抽象數(shù)的產(chǎn)生是一件不容易的事情，具體的、不同質(zhì)的表達(dá)多少的概念結(jié)合為統(tǒng)一的抽象的數(shù)概念，需要經(jīng)過(guò)多次的抽象過(guò)程。

前面我們已經(jīng)提到人類曾經(jīng)用到兩種方法進(jìn)行計(jì)數(shù)。在這種計(jì)數(shù)過(guò)程中，人類已經(jīng)從具體到抽象邁出了重要的幾步。其中，給不同的數(shù)起名字，是抽象數(shù)形成過(guò)程中重要的一環(huán)。

在發(fā)展計(jì)數(shù)的最初級(jí)階段，人們恐怕還不會(huì)想到使用數(shù)的名稱。需要表達(dá)數(shù)時(shí)，或者用實(shí)際拿在手上或放在腳邊的被數(shù)物品，或者靠相應(yīng)的身體動(dòng)作和手勢(shì)就行了。這或許是由于早期還缺乏對(duì)數(shù)命名的必要。因?yàn)樵谠缙谟捎谌藗冎幌抻诎盐锲愤M(jìn)行分配，分配后沒(méi)有必要再記住出現(xiàn)的數(shù)，所以也就不需要數(shù)的名稱，而只要借助于相應(yīng)的手勢(shì)就可以了。事實(shí)上，用手勢(shì)表示數(shù)像遺跡一樣，長(zhǎng)期保存在許多沒(méi)有產(chǎn)生口頭讀數(shù)的民族里。但是越到后來(lái)，單純依靠手勢(shì)之類的方式就越行不通了。尤其是，當(dāng)農(nóng)業(yè)成為生產(chǎn)的主要方式時(shí)，人們不僅需要對(duì)屬于自己的財(cái)產(chǎn)計(jì)數(shù)，而且還要記住它們的數(shù)目。大概正是由于這類實(shí)際的需要，促使人類走上了創(chuàng)造數(shù)的名稱的道路。

至于原始人類是如何對(duì)數(shù)進(jìn)行命名的，在前面我們已經(jīng)簡(jiǎn)單地涉及過(guò)了。比如我們提到了漢語(yǔ)中“二”的名稱的由來(lái)。通過(guò)這一例子，我們明白在久遠(yuǎn)的年代，人類對(duì)數(shù)的命名是與某些代表集合相聯(lián)系的。或者可以說(shuō)數(shù)的名稱是一些代表集合或其簡(jiǎn)稱轉(zhuǎn)化而來(lái)的。

不過(guò)，愿意思考并有著懷疑精神的讀者可能會(huì)問(wèn)：可是現(xiàn)在從多數(shù)數(shù)字的讀音中我們都已經(jīng)找不到這種聯(lián)系的痕跡了，為什么？這或許說(shuō)明對(duì)數(shù)的命名發(fā)生在較早的時(shí)期吧。數(shù)字產(chǎn)生的確切時(shí)代，雖然無(wú)從稽考，但有確鑿的證據(jù)表明，它的產(chǎn)生比有文字記載的歷史還要早好幾千年。于是，一種可信的推測(cè)是語(yǔ)言的演變歪曲了一些數(shù)名的本來(lái)面目。

在文字產(chǎn)生之前，人類就已經(jīng)形成了數(shù)的概念。等到表示數(shù)的字一經(jīng)造成并且采用之后，就和它原來(lái)所表示的物體一樣地可以作為代表了。到后來(lái)，因?yàn)閿?shù)的記號(hào)和它所假借的物名之間需要有所區(qū)別，這樣有一方的讀音就要改變。在這一變化中，數(shù)字的讀音沒(méi)有發(fā)生變化，而它所借的實(shí)物的名稱卻不得不發(fā)生改變。最終是“鳩占鵲巢”。由于數(shù)字所假借的實(shí)物的名字，幾歷滄桑，備經(jīng)變化。于是在經(jīng)歷了長(zhǎng)年累月之后，二者間的聯(lián)系就被忘卻了，以致于我們現(xiàn)在早已無(wú)法明白數(shù)字現(xiàn)在的讀音所代表的實(shí)物究竟是什么了。當(dāng)人類愈來(lái)愈依賴語(yǔ)言時(shí)，聲音就代替了所表示的東西，原來(lái)的具體的代表集合便以數(shù)字的抽象形式而出現(xiàn)了。

最后一句話似乎有點(diǎn)深?yuàn)W。讓我們舉一個(gè)例子再解釋一下。比如前面提到的“耳（朵）”原來(lái)是一個(gè)具體的代表集合，即“像人的耳朵一樣多”。到后來(lái)，“耳”的聲音代替了這個(gè)具體的集合，慢慢地成了數(shù)字“二”的稱呼。你看，就這樣，原來(lái)的具體的代表集合后來(lái)開始以數(shù)字的抽象形式而出現(xiàn)了。

另一方面，人類對(duì)數(shù)進(jìn)行命名的早期，大概還只能限于極少量的數(shù)目。對(duì)于這些不多的數(shù)，大多情況下，不同民族的人們都會(huì)按上面所說(shuō)的方式給它們?nèi)』ゲ魂P(guān)聯(lián)的名字。當(dāng)后來(lái)數(shù)目稍微增加時(shí)，人們很可能采用了重復(fù)已有的簡(jiǎn)單數(shù)詞的辦法。如在早期人類用于數(shù)的單獨(dú)的名稱只有1和2，超過(guò)這幾個(gè)數(shù)時(shí)，便說(shuō)3是2和1,4是2和2,5是2和2和1等等。在澳洲的一些部落的語(yǔ)言中，我們就可以看到這種說(shuō)法的例證。他們對(duì)數(shù)的命名使用了十分有趣的名稱，1是破掛子，2是帆船，3是帆船 -破掛子，4是帆船-帆船。你看，只有1與2的名稱，卻也表示出了1到4或再稍多點(diǎn)的數(shù)呢。當(dāng)數(shù)的范圍擴(kuò)大時(shí)，人類出于經(jīng)濟(jì)的原則并沒(méi)有對(duì)每個(gè)新的數(shù)都起一個(gè)新的名稱，而是非常自然地借助于前面已有的數(shù)來(lái)表示出后面的數(shù)。事實(shí)上，當(dāng)原始人如此做的時(shí)候，他們已經(jīng)不自覺(jué)地使用了一種重要的觀念。這就是后面我們還要介紹的“進(jìn)位制”。用現(xiàn)在的話來(lái)說(shuō)，就是“滿幾進(jìn)一”。在當(dāng)時(shí)，就是只對(duì)少數(shù)幾個(gè)數(shù)命名，而對(duì)稍微多的數(shù)就用重復(fù)前面幾個(gè)數(shù)的方式來(lái)表達(dá)。最早的時(shí)候，命名的數(shù)可能只限于1與2，也就是說(shuō)，那時(shí)人類使用的是二進(jìn)制。到后來(lái)，人類慢慢地發(fā)展到了使用手指計(jì)數(shù)。開始很可能只限于一只手，于是，人們對(duì)數(shù)的命名范圍發(fā)生了改變，擴(kuò)展到了前面五個(gè)數(shù)。在這種情況下，就可以用：“另一只手上的一個(gè)手指”，或“第二個(gè)五個(gè)手指中的一個(gè)”，或“五與一”，來(lái)表示數(shù)六。同樣用“另一只手上的二個(gè)手指”或“五與二”等表示數(shù)七，等等。在這里，五就成了高一級(jí)的單位。而人類也就進(jìn)入了五進(jìn)制階段。在這一階段，數(shù)6、7等還不必使用另外的命名。再到后來(lái)，手指計(jì)數(shù)開始進(jìn)到兩只手了。于是，前面十個(gè)數(shù)也就慢慢地都有了自己的名稱。而對(duì)十以上的就借助前面十個(gè)數(shù)來(lái)表示。例如，可以用“兩只手上的十個(gè)手指和一只腳上的二個(gè)腳趾”或“兩個(gè)手指還剩下一個(gè)”來(lái)表示11；為了表示數(shù)十二，就可以說(shuō)“兩只手上的十個(gè)手指和一只腳上的二個(gè)腳趾”或“兩個(gè)手指還剩下二個(gè)”，等等。再到后來(lái)，人類又很自然地想法使數(shù)的口頭表達(dá)簡(jiǎn)單化。如數(shù)11簡(jiǎn)化成“腳的一趾”或“還剩下一個(gè)”，數(shù)12簡(jiǎn)化成“腳的二趾”或“還剩下二個(gè)”等等。在這里，十成了高一級(jí)的單位。而人類也就進(jìn)入了十進(jìn)制階段。當(dāng)然，人類還可以引入更高的數(shù)作為高一級(jí)的單位。如引入20。這時(shí)，數(shù)二十三就說(shuō)“兩只手上的十個(gè)手指，兩只腳上的十個(gè)腳趾和別人的三個(gè)手指”，或進(jìn)一步簡(jiǎn)單說(shuō)成“別人的三個(gè)手指”，等等。

就這樣，數(shù)的命名與手指、腳、人等天然計(jì)數(shù)工具聯(lián)系在一起了。而可以表示五的手，表示十的雙手，表示十五的一只腳，表示二十的雙手與雙腳或人也就都很自然地被原始人所使用，以表示更高一級(jí)的單位了。讓我們從語(yǔ)言學(xué)的角度對(duì)此證實(shí)一下。

據(jù)語(yǔ)言學(xué)的研究，英文eleven原意是：還剩下一個(gè)。tw elve原意是還剩下二個(gè)。英文的digit一詞含有手指與數(shù)字的雙重意義。在俄語(yǔ)中5與掌骨有著相似的讀音。南美的卡馬尤拉部落人把“中指”一詞作為數(shù)詞“三”，他們把“三天”說(shuō)成“中指天”。新幾內(nèi)亞?wèn)|南部的巴希亞部落人，把“九十九”說(shuō)成“四個(gè)人死去了，兩只手廢棄了，一只腳壞掉了，還有四。”

其實(shí)，數(shù)的命名過(guò)程要比上面所述復(fù)雜得多。對(duì)于更多的細(xì)節(jié)，我想，我們還是交給這方面的專家解決吧。我們只要了解，在計(jì)數(shù)的有聲時(shí)期的較早階段，各種有聲的聲音被發(fā)展起來(lái)了，并且人們利用不同的聲音（字）來(lái)表示不同的數(shù)。例如，三頭羊和三個(gè)人，“三”這個(gè)一般性質(zhì)的抽象，經(jīng)過(guò)長(zhǎng)時(shí)間后，由具有某種具體聯(lián)系的某個(gè)獨(dú)立的聲音來(lái)表示了。此外，我們需要了解的是，數(shù)的命名為形成數(shù)的抽象概念提供了巨大的幫助。當(dāng)把不同類但具有相同數(shù)目的一些東西都用一個(gè)名稱來(lái)代替的時(shí)候，隨著人們對(duì)這種名稱的重復(fù)，人們會(huì)逐漸認(rèn)識(shí)到數(shù)所具有的獨(dú)特性：即數(shù)是獨(dú)立于具體事物之外的。比如說(shuō)人們慢慢地發(fā)現(xiàn)兩只兔子、兩只野豬或兩個(gè)果子，雖然在具體物上有著極其大的區(qū)別，但是在這種不同之外卻有著某種共同的東西。

讓我們來(lái)設(shè)想這樣的過(guò)程。

一個(gè)原始人問(wèn)另一個(gè)原始人：“今天打了幾只兔子？”

另一個(gè)回答說(shuō)：兩只。

又一次，問(wèn)題變成：今天打了幾只野豬？

回答是：兩只。

再一次，問(wèn)題變成：今天采到了幾個(gè)果子？

回答是：兩個(gè)。

……

這樣問(wèn)答的重復(fù)，一定會(huì)使得原始人感到非常奇怪：對(duì)于完全不同的事物怎么會(huì)有相同的回答呢？即使智力水平還不高的原始人也會(huì)慢慢地意識(shí)到這其中有著某種相同的東西。現(xiàn)在我們已無(wú)法推測(cè)原始人是從何時(shí)開始意識(shí)到這一點(diǎn)的了。或許當(dāng)意識(shí)到這一點(diǎn)時(shí)，他們會(huì)感到非常震驚吧！回想一下：當(dāng)我們小時(shí)候剛開始考慮學(xué)數(shù)的時(shí)候，在三個(gè)蘋果、三位叔伯、三朵花等不同的事物間忽然領(lǐng)悟到其中有某種共同的東西存在時(shí)，我們有什么感受？當(dāng)然，很可能這種感受由于過(guò)于久遠(yuǎn)，已經(jīng)從我們的記憶中消失了。確實(shí)，由于我們通常很早就與數(shù)打交道，以致于對(duì)自己領(lǐng)悟到“數(shù)可以離開具體事物而獨(dú)立存在”時(shí)的驚訝美妙感覺(jué)已經(jīng)遺忘了，對(duì)數(shù)這一概念的極端抽象性似乎也因?yàn)槭煲暉o(wú)睹而沒(méi)有什么感覺(jué)了。

數(shù)，實(shí)際上是一個(gè)極其抽象的概念。“三個(gè)”的抽象導(dǎo)致了數(shù)3這一概念的形成，這一過(guò)程不可思議之處在于世界上并沒(méi)有任何東西是數(shù)字3，它是一個(gè)純粹抽象的概念！當(dāng)我們說(shuō)到數(shù)3或任何其他數(shù)的時(shí)候，我們并沒(méi)有不舒適的感覺(jué)，這只是因?yàn)槲覀円呀?jīng)熟悉了它。當(dāng)你試圖不用詞來(lái)解釋數(shù)3是什么時(shí)，你就會(huì)認(rèn)識(shí)到這個(gè)概念是多么的抽象。由此可見，數(shù)的概念與其他概念的不同在于數(shù)的概念必須要經(jīng)過(guò)多次抽象才能得出。一般人常說(shuō)，數(shù)學(xué)太抽象，實(shí)際上正是如此。抽象數(shù)的概念的初步形成就花費(fèi)了人類何等漫長(zhǎng)的時(shí)間啊！正如羅素生動(dòng)描述的那樣：“不知道要經(jīng)過(guò)多少年，人類才發(fā)現(xiàn)一對(duì)錦雞和兩天同是數(shù)字2的例子。”

但不管怎么說(shuō)，經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期艱苦的努力后，原始人畢竟初步形成了抽象數(shù)的概念。不過(guò)，抽象數(shù)概念的最終確立還有一步要走，這就是記數(shù)符號(hào)的使用。這正是我們要經(jīng)過(guò)的下一站。

數(shù)字記數(shù)法

早期記數(shù)符號(hào)的出現(xiàn)

前面我們已經(jīng)提到，在人類剛開始產(chǎn)生數(shù)的概念的時(shí)候，在人類歷史上最早出現(xiàn)的是實(shí)物記數(shù)法，是“非文字記數(shù)法”，那時(shí)人類所認(rèn)識(shí)的是與實(shí)物相聯(lián)系的數(shù)。原始社會(huì)末期，私有制和貨物交換產(chǎn)生以后，數(shù)的概念有了進(jìn)一步的發(fā)展。人們開始用文字符號(hào)取代結(jié)繩與刻痕記數(shù)，這樣，與實(shí)物相脫離的真正抽象的數(shù)才被最終確定下來(lái)。當(dāng)人們不必依賴具體的實(shí)物，而是用抽象的數(shù)字符號(hào)來(lái)表示數(shù)字時(shí)，數(shù)字才完成了它的起源過(guò)程。作為記數(shù)符號(hào)的數(shù)字的發(fā)明，意味著自然數(shù)的出現(xiàn)，標(biāo)志著數(shù)學(xué)開始邁出它的第一步。為此，人類曾經(jīng)歷了一個(gè)多么漫長(zhǎng)的歲月啊！

人類創(chuàng)造文字，大約有5000年的歷史了。當(dāng)文字出現(xiàn)后，如何將數(shù)目用文字記錄下來(lái)就成為一件重要的事情。但是這種符號(hào)不是很快就能建立起來(lái)的。迄今知道的最古老的埃及和巴比倫記數(shù)法的出現(xiàn)也是公元前四千年代和公元前三千年代的事了。

在人類剛形成數(shù)的概念并開始在較小范圍內(nèi)記數(shù)時(shí)，不約而同地采用了劃?rùn)M或豎杠的方式。即數(shù)目是幾，就劃幾道杠。然而當(dāng)面對(duì)較大的數(shù)目時(shí)，這種最原始的解決辦法還是否可行呢？有一則讀者可能在剛學(xué)習(xí)數(shù)的時(shí)候就已經(jīng)熟悉的笑話：“一個(gè)學(xué)生剛從先生那里學(xué)會(huì)寫一、二、三，便認(rèn)為自己已經(jīng)學(xué)會(huì)識(shí)字了。于是，有些吝嗇的孩子的父親高高興興地辭掉了先生。不久家里請(qǐng)一位姓萬(wàn)的客人，需要這位 ‘聰明’的學(xué)生寫個(gè)請(qǐng)柬，于是他一劃一劃忙了起來(lái)，忙了大半天，還沒(méi)有寫出這個(gè)萬(wàn)字，最后當(dāng)父親急急火火地問(wèn)他怎么還沒(méi)有寫完時(shí)，他抱怨說(shuō)：‘這人真怪，為什么偏要姓萬(wàn)呢？’他以為萬(wàn)字就是一定要?jiǎng)澇鲆蝗f(wàn)道橫杠來(lái)。”

可見，這種解決方案在數(shù)目較小時(shí)雖然略顯笨拙，卻還是可行的，但是當(dāng)面對(duì)大的數(shù)目時(shí)，就根本行不通了。然而隨著生產(chǎn)力進(jìn)一步提高，實(shí)際生活中恰恰越來(lái)越多地要用到大的數(shù)目。如果我們不采用被我們嘲笑過(guò)的這個(gè)傻學(xué)生的辦法，去劃一萬(wàn)道橫杠，那么用什么辦法才能完滿地解決這個(gè)問(wèn)題呢？對(duì)每一個(gè)數(shù)目都引進(jìn)一個(gè)新的符號(hào)，行不行呢？想想看，如果這樣，那么一萬(wàn)內(nèi)的數(shù)目就需要我們采用一萬(wàn)個(gè)數(shù)的符號(hào)了。更何況自然數(shù)是無(wú)限的呢？這可一點(diǎn)也不見得比傻學(xué)生的解決方案聰明多少呃。

符號(hào)的簡(jiǎn)化：進(jìn)位制的使用

記數(shù)符號(hào)的引入，使人們可以表示出一些較小的數(shù)。但是當(dāng)數(shù)較大時(shí)，無(wú)論是采用“對(duì)每一個(gè)數(shù)都引進(jìn)一個(gè)新的符號(hào)”還是“數(shù)目是幾，就畫幾道杠”的方法都是完全行不通的。那么用什么辦法呢？回想一下前面我們已經(jīng)提到的，原始人在對(duì)數(shù)進(jìn)行命名時(shí)已經(jīng)很自然地使用的那種新方法吧。當(dāng)原始人把“一只手”作為數(shù)5后，就用“另一只手上的一個(gè)手指”，或“五與一”等來(lái)表示數(shù)六。當(dāng)然，同樣地可以如此表示出數(shù)七、八等。于是，對(duì)于比5稍大些的數(shù)我們不用引進(jìn)新的稱呼也能夠表達(dá)明白了。這一解決思路前面已經(jīng)提到叫進(jìn)位制思想。換言之，所謂進(jìn)位制就是“以 P個(gè)數(shù)組成一個(gè)新的單位，而 P個(gè)新單位又可以用一個(gè)更高的單位來(lái)表示，依此類推”。因?yàn)槭且?P個(gè)數(shù)組成新的單位，所以就叫 P進(jìn)制。P稱作進(jìn)位的基數(shù)。對(duì)數(shù)的命名中所采用的這種辦法，不是同樣可以用在記數(shù)上嗎？有了這種進(jìn)位制的思想，記數(shù)就可以簡(jiǎn)單些了，人們就可以憑借少數(shù)的數(shù)碼來(lái)表示出很大的數(shù)目，而不用采用過(guò)多的符號(hào)了。許多民族都完成了這一步，可見想到這一點(diǎn)并非什么太難的事情。不過(guò)不同的民族對(duì)此卻有不同的發(fā)展過(guò)程，除了選取的進(jìn)位基數(shù)不同外，各民族在每一個(gè)較高單位的表示方法上也不盡相同。

下面，我們先來(lái)進(jìn)一步介紹幾種進(jìn)位基數(shù)。

正如我們前面已經(jīng)提到的，當(dāng)人們開始用語(yǔ)言來(lái)表述一定的數(shù)目時(shí)，二進(jìn)制被認(rèn)為是最古老的記數(shù)法。它出現(xiàn)在人們還沒(méi)有用手指進(jìn)行計(jì)數(shù)的時(shí)候，也就是在一只手是低級(jí)單位，一雙手和一雙腳是高級(jí)單位之前的時(shí)候。今天，我們還可以找到二進(jìn)制的痕跡。如我們用雙、對(duì)來(lái)計(jì)量。據(jù)考查，在澳洲和非洲的最原始的還沒(méi)有達(dá)到屈指計(jì)數(shù)程度的民族中，到現(xiàn)代仍存在著這種記數(shù)法。他們獨(dú)立的數(shù)字只有一和二，其復(fù)合的數(shù)字到六為止。至于六以上，則統(tǒng)稱之為“堆”。他們大多以雙來(lái)計(jì)數(shù)。這種習(xí)慣達(dá)到如此根深蒂固的程度，以致我們從一排七根針中抽去兩根，他們很難察覺(jué)出來(lái)，但如果只抽去一根，他們就馬上覺(jué)察出來(lái)了。

這種最原始的記數(shù)法，是基數(shù)最小的一種記數(shù)法，它只需要兩個(gè)數(shù)碼就可以表示任何數(shù)。這種神秘雅致的記數(shù)法的歷史常與萊布尼茲聯(lián)系在一起。

萊布尼茲：17世紀(jì)德國(guó)數(shù)學(xué)家、自然科學(xué)家、哲學(xué)家。他的研究領(lǐng)域極其廣泛，包括數(shù)學(xué)、哲學(xué)、邏輯學(xué)、力學(xué)、地質(zhì)學(xué)、法學(xué)、歷史、語(yǔ)言、法律及神學(xué)等。他被譽(yù)為百科全書式的人物，他的多才多藝在歷史上也很少有人能與之相比。在數(shù)學(xué)上他以獨(dú)立創(chuàng)立微積分學(xué)而著稱。此外，他在數(shù)學(xué)上貢獻(xiàn)還有：1673年制作了能夠進(jìn)行四則運(yùn)算的計(jì)算機(jī)；系統(tǒng)闡述了二進(jìn)制記數(shù)法等等。

萊布尼茲在重新發(fā)現(xiàn)了二進(jìn)制后，對(duì)其大力提倡和闡述，使二進(jìn)制記數(shù)法引起了人們的普遍關(guān)注。對(duì)二進(jìn)制，萊布尼茲表示出了極大的偏愛。他認(rèn)為一切數(shù)都可以用0和1創(chuàng)造出來(lái)，這正可以作為基督教《圣經(jīng)》所說(shuō)上帝從“無(wú)”創(chuàng)造“有”的象征。為此，他曾贊嘆說(shuō)：“用一、從無(wú)，可生萬(wàn)物。”也就是說(shuō)，從二進(jìn)位制中，萊布尼茲發(fā)現(xiàn)了上帝創(chuàng)造世界的證據(jù)。對(duì)此拉普拉斯普在他的名著《概率的哲學(xué)探討》中評(píng)論說(shuō)：“萊布尼茲在他的二進(jìn)制算術(shù)中，看出了創(chuàng)造萬(wàn)物的影象……他想象：一代表上帝，零代表混沌；上帝由混沌中創(chuàng)造出世界萬(wàn)物，正如在他的記數(shù)法中用一和零表示一切的數(shù)一樣。這個(gè)觀念太使萊布尼茲喜歡了，所以他將它提交任中國(guó)數(shù)學(xué)院院長(zhǎng)的耶穌神父閔明我，希望因這種創(chuàng)世界的象征，而使非常喜歡科學(xué)的中國(guó)皇帝也轉(zhuǎn)信耶穌教。我提到這點(diǎn)，目的只在指出，即使是大人物的眼睛，也會(huì)被幼稚的偏見所蒙蔽！”

行文至此，還想順便提一下萊布尼茲與《易經(jīng)》的一樁公案。

在萊布尼茲稍前，已經(jīng)有人重新提出過(guò)二進(jìn)制記數(shù)法。不過(guò)，萊布尼茲大概未見到過(guò)前人的論述，所以一直以為是自己的獨(dú)創(chuàng)。因此，當(dāng)他得知中國(guó)古老的八卦排列和2進(jìn)位制一致時(shí)，感到欣喜若狂，他將他的結(jié)果與中國(guó)古代圣哲的思想聯(lián)系起來(lái)，認(rèn)為自己揭開了數(shù)千年前中國(guó)的一個(gè)不可解之謎。他的這一說(shuō)法被一些國(guó)人所借用，于是在我國(guó)產(chǎn)生了一則流傳甚廣的神話：中國(guó)早在幾千年前的《易經(jīng)》中就已有了二進(jìn)制思想的證據(jù)，甚至更加離譜地認(rèn)為萊布尼茲是受《易經(jīng)》的影響而發(fā)明了二進(jìn)制。事實(shí)上，這只是一出錯(cuò)誤的喜劇而已。其一，萊布尼茲先自己發(fā)現(xiàn)了二進(jìn)制而非受《易經(jīng)》的啟發(fā)；其二，他認(rèn)為中國(guó)古老的伏羲八卦的排列和二進(jìn)制記數(shù)法的順序一致，但是他所見到的八卦圖并非周易原來(lái)的圖，而是中國(guó)北宋邵雍改畫的。原來(lái)的八卦圖的排列與二進(jìn)制記數(shù)法的順序并不一致，因而無(wú)法從中得出我國(guó)周代就已有二進(jìn)制記數(shù)法的結(jié)論。甚至至今仍有著不少的書籍或報(bào)紙?jiān)谛麚P(yáng)這一說(shuō)法，并美其名曰：弘揚(yáng)中華民族古代智慧，真不知道這種往我們古人臉上涂金的方式是出于無(wú)知，還是出自過(guò)度的自卑了。

好了，讓我們?cè)俎D(zhuǎn)回到二進(jìn)制本身吧。二進(jìn)制記數(shù)法雖可僅用兩個(gè)符號(hào)就能表示出任意數(shù)，但缺點(diǎn)在于：其表示很冗長(zhǎng)。如87要寫成1010111，所以在實(shí)用上是不方便的。但現(xiàn)代電子計(jì)算機(jī)中卻采用了這種記數(shù)法。為什么呢？這是由于其不方便處對(duì)于電子計(jì)算機(jī)來(lái)說(shuō)并不構(gòu)成任何障礙。而其優(yōu)越處是其他記數(shù)法所不可比擬的。最為重要的原因在于只用兩個(gè)數(shù)碼的長(zhǎng)處使得二進(jìn)位制只要求元件有兩種不同的穩(wěn)定狀態(tài)，這不但容易辦到，而且可靠性高。如開關(guān)的“通”、“斷”，穿孔帶的“有孔”“無(wú)孔”，晶體管的“通導(dǎo)”、“截止”等都可以實(shí)現(xiàn)。而如果電子計(jì)算機(jī)中使用其他進(jìn)制，就要求元件具有更多種穩(wěn)定的物理狀態(tài)來(lái)表示這些個(gè)數(shù)碼，而這是很困難的。其二，是符號(hào)的經(jīng)濟(jì)和演算的簡(jiǎn)單。在這種進(jìn)位制中，計(jì)算法則只有兩條：1+1=10;1×1=1。在十進(jìn)位制中加法和乘法計(jì)算都比這復(fù)雜得多。其三，它比其他數(shù)制更節(jié)省元件。還有，它便于使用數(shù)理邏輯來(lái)進(jìn)行分析和總體設(shè)計(jì)。正因此，二進(jìn)制這種最古老的進(jìn)位制在今天舊貌換新顏而受到人們的重視并顯得特別重要了。

有證據(jù)表明，3、4也曾作為原始的基數(shù)。也有證據(jù)說(shuō)明在史前時(shí)期使用過(guò)12作為基數(shù)。它的產(chǎn)生，據(jù)猜測(cè)是由于一年有十二個(gè)月的緣故。至今，在長(zhǎng)度、重量、貨幣、時(shí)間等的計(jì)量中我們?nèi)匀粡V泛地以12為基數(shù)。另外，常用的還有十六進(jìn)制、六十進(jìn)制等等。在我國(guó)舊時(shí)的一斤為十六兩，所以我們才有成語(yǔ)“半斤八兩”。至于六十進(jìn)位的證據(jù)就更多了。至今我們用于測(cè)量角和時(shí)間的單位都還是六十進(jìn)制的。

其實(shí)，我們可以說(shuō)古代各民族記數(shù)法中的進(jìn)位基數(shù)是五花八門的，不過(guò)有幾種似乎更受青睞。1920年前后，有人調(diào)查了307種原始的計(jì)數(shù)方法。結(jié)果發(fā)現(xiàn)有146種是10進(jìn)制的。由此可見人的十個(gè)手指，對(duì)人類計(jì)數(shù)留下了不可磨滅的印跡。的確，我們的十個(gè)手指毫無(wú)疑義地影響了我們數(shù)制基底的選擇。除了十進(jìn)制外，還有其他兩種相當(dāng)普遍的基底，也顯著地表明了我們計(jì)數(shù)方法的擬人化傾向。這兩種數(shù)制便是以五為基底的五進(jìn)制和以二十為基底的二十進(jìn)制。事實(shí)上，正如所預(yù)期的，5作為基底是第一個(gè)被廣泛使用的尺度。五進(jìn)位制被認(rèn)為是手指計(jì)數(shù)法中最古老的。顯然這是起源于慣用一只手計(jì)數(shù)的民族。但是人為什么只限于用一只手呢？一個(gè)可信的的解釋是，原始人出門很少不帶武器的。遇著要計(jì)數(shù)的時(shí)候，他就把武器夾在腋下，在左手上計(jì)數(shù)，用右手查點(diǎn)。許多種語(yǔ)言現(xiàn)在仍然帶著五進(jìn)制的痕跡，因而可以相信有些十進(jìn)制曾經(jīng)經(jīng)歷過(guò)五進(jìn)制的階段。在五進(jìn)制后，記數(shù)法沿著兩條道路繼續(xù)發(fā)展。沒(méi)有停留在只用一只手的手指計(jì)算的，轉(zhuǎn)向利用第二只手，就導(dǎo)致了十進(jìn)制，如果繼而用腳趾來(lái)計(jì)算，也就產(chǎn)生了二十進(jìn)制。有證據(jù)表明，以20為基數(shù)的計(jì)數(shù)制曾被廣泛使用。許多民族都曾經(jīng)經(jīng)歷過(guò)二十進(jìn)制的初期階段。在二十進(jìn)制中，具有20個(gè)指趾的人就成了天然的高一級(jí)單位。在這種進(jìn)位制中，兩個(gè)人可以表示40，三個(gè)人可以表示60等等。那么是什么原因，使得這種進(jìn)位制在后來(lái)被淘汰了呢？推測(cè)原因大概有兩點(diǎn)：其一，若用20為基數(shù)，那么就需要20個(gè)不同的名稱來(lái)表示20以內(nèi)的數(shù)字。這有點(diǎn)過(guò)于煩瑣；其二，是人們鞋的使用。或許正是由于鞋子的使用，才使人類停留在兩只手的計(jì)算上，而最終在多數(shù)民族那里建立了十進(jìn)制吧。

設(shè)想要是人類沒(méi)有屈伸自如的手指，而只有兩只“不分關(guān)節(jié)”的禿拳，或者人類的手指數(shù)不是十個(gè)，那么整個(gè)文化史會(huì)成個(gè)什么樣子，這是一個(gè)有趣的問(wèn)題。實(shí)在說(shuō)，人類采用十進(jìn)制是一種生理上的湊巧。人類有十個(gè)手指的事實(shí)，造成了人用十來(lái)計(jì)數(shù)的根深蒂固的傳統(tǒng)。誰(shuí)要想去改變數(shù)制的基底，在現(xiàn)在即使不是是很滑稽的，也將是極不受歡迎的。

關(guān)于基數(shù)的選取問(wèn)題就說(shuō)這些吧。下面讓我們?nèi)タ纯垂糯褡逅褂玫膸追N有代表性的進(jìn)位制記數(shù)法。

先看古埃及人所用的辦法。

在最古老的古埃及象形文字中可以發(fā)現(xiàn)，古埃及人用的是十進(jìn)位制。1用一短劃來(lái)表示，10像拱門，100是一卷繩，1000像荷花，10000是一個(gè)指頭，有時(shí)向左彎，有時(shí)向右彎。100000，有時(shí)像蝌蚪，有時(shí)像小鳥。其最大的單位是107，像初升的太陽(yáng)。可見，在每一個(gè)較高的單位，他們都用一種新的符號(hào)來(lái)表示。

古羅馬人所采用的也是這種記數(shù)方法。只不過(guò)他們所用的是五進(jìn)位。他們用Ⅰ代表1，把ⅠⅠⅠⅠⅠ寫成Ⅴ，然后把兩個(gè)Ⅴ記作X, L代表50, C代表100, D代表500等等。每當(dāng)出現(xiàn)一個(gè)較高的單位時(shí)，就引入一個(gè)新的符號(hào)來(lái)表示。在這種表示方法下，一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)要寫成長(zhǎng)長(zhǎng)的一串，如888=DCCCLXXXⅧ。

這種曾在古羅馬被廣泛使用的記數(shù)法相當(dāng)笨拙，但與有多少數(shù)就劃多少道杠相比總算是一種進(jìn)步吧！這種記數(shù)法竟然在12世紀(jì)以前一直盛行于歐洲呢。

上述記數(shù)法可被稱為簡(jiǎn)單累數(shù)制，也可以叫做加法累數(shù)制。其原理是將各個(gè)數(shù)碼所表示的數(shù)加起來(lái)。如羅馬人表示300就要重復(fù)寫三次C（上面已經(jīng)提到羅馬人用C代表100）。這是很麻煩的。對(duì)這種笨拙的表示法進(jìn)行簡(jiǎn)化的一種思路是把重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)改用乘法表示。最有代表性的就是中國(guó)數(shù)字。如4600不必寫成“千千千千百百百百百百”，也用不著另造表示4000與600的新字，而是寫成“四千六百”。不比較不知道，當(dāng)與古羅馬人采用的方法相比較時(shí)你就會(huì)發(fā)現(xiàn)這是多么聰明的方法啊。這種記數(shù)法被稱作乘法累數(shù)制。我國(guó)早在殷商時(shí)代便使用了這種十進(jìn)的乘法累數(shù)制。在出土的甲骨文中發(fā)現(xiàn)了13個(gè)數(shù)字：一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、萬(wàn)（當(dāng)然在寫法上與現(xiàn)在并不相同，這里我們使用了現(xiàn)代人所熟知的寫法），而用這十三個(gè)數(shù)字，就可以表示出相當(dāng)大的數(shù)了。后來(lái)又增加一些新字，以表示更大的單位與更大的數(shù)。如億、兆、京等等。但是由于規(guī)定太過(guò)煩瑣，并且在不同時(shí)期并不統(tǒng)一，很容易弄錯(cuò)，所以并沒(méi)有得到推廣。現(xiàn)在只有億還在使用，表示萬(wàn)萬(wàn)。億以上不再定新名了。

古希臘人使用過(guò)兩種記數(shù)法。一種稱為阿提喀記數(shù)法。它最早出現(xiàn)于公元前450年。這種記數(shù)法是以10為基數(shù)。一個(gè)單位用一條豎線表示，對(duì)五、十、千、萬(wàn)都用一個(gè)字母來(lái)表示，所有其他數(shù)字都可借助這些符號(hào)按照加法原則來(lái)記。

另一種記數(shù)法叫愛奧尼亞記數(shù)法，它最早為畢達(dá)哥拉斯與他的學(xué)派所采用。

對(duì)于畢達(dá)哥拉斯與畢達(dá)哥拉斯學(xué)派這兩個(gè)我們本書中經(jīng)常提到的名詞，這里先稍微詳細(xì)地介紹一下。

提起畢達(dá)哥拉斯，學(xué)過(guò)幾何的讀者或許會(huì)記得有一個(gè)畢達(dá)哥拉斯定理，即我們所稱的勾股定理。不過(guò)對(duì)畢達(dá)哥拉斯其人，恐怕就不一定怎么熟悉了。

畢達(dá)哥拉斯（約公元前580～前500年）是古希臘哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，還是音樂(lè)家、教育家。據(jù)說(shuō)早年他曾師從名哲泰勒斯、阿那克西曼德、菲爾庫(kù)德斯。他對(duì)老師的觀點(diǎn)有選擇汲取，最后逐漸形成了自己的學(xué)說(shuō)。他又曾游歷過(guò)古埃及、古巴比倫等東方國(guó)家，在這些國(guó)家他不斷向有學(xué)問(wèn)的人請(qǐng)教，以豐富自己的見解和知識(shí)。當(dāng)他完成游歷回到自己的故鄉(xiāng)時(shí)已是一個(gè)思想成熟的智者了。但在家鄉(xiāng)他卻不能施展才志。于是他移居到意大利半島南部的克羅托內(nèi)，在那里他贏得了人們的信任與景仰，并組織起一個(gè)政治、宗教、數(shù)學(xué)合一的秘密團(tuán)體，即后來(lái)稱的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派。這一學(xué)派的創(chuàng)建具有歷史意義，也是畢達(dá)哥拉斯天才靈感的成果。在他的領(lǐng)導(dǎo)下，該學(xué)派進(jìn)行了多方面的研究工作。學(xué)派中有一種習(xí)慣，就是將一切發(fā)明都?xì)w之于學(xué)派的領(lǐng)袖，而且秘而不宣，以致后人不知某項(xiàng)成果是何人在何時(shí)所發(fā)明的。但由于這個(gè)學(xué)派在他生前，是以他為精神靈魂的，因此可以相信當(dāng)他在世時(shí)，學(xué)派做出的多數(shù)重大成果都一定凝聚著他的心血與智慧。可以說(shuō)，正是在他的領(lǐng)導(dǎo)下該學(xué)派取得了多方面的巨大的成就。

畢達(dá)哥拉斯學(xué)派特別重視事物的定量研究。他們認(rèn)為一切事物和現(xiàn)象都可以、并且只能通過(guò)數(shù)學(xué)得到解釋。宇宙的本質(zhì)就在于數(shù)的和諧性。基于這種信念，他們努力從事數(shù)的研究。他們幾乎把全部時(shí)間用在這種研究上，第一個(gè)推進(jìn)了這一個(gè)知識(shí)部門。可以說(shuō)畢達(dá)哥拉斯是數(shù)學(xué)這門學(xué)科的奠基人、創(chuàng)始者。他發(fā)明的許多術(shù)語(yǔ)和以他命名的數(shù)學(xué)用語(yǔ)沿用至今。最有名的是以他名字命名的畢達(dá)哥拉斯定理。他還發(fā)現(xiàn)了三角形內(nèi)角和為180°，并發(fā)明了用幾何作圖法解二次方程。他最早把自然數(shù)劃分為奇數(shù)與偶數(shù)。數(shù)學(xué)中神秘有趣的完全數(shù)、親和數(shù)也是由他最早發(fā)現(xiàn)的。另外這個(gè)學(xué)派在數(shù)學(xué)研究中有一個(gè)特點(diǎn)，就是將算術(shù)與幾何緊密聯(lián)系起來(lái)從而發(fā)現(xiàn)了許多既屬于算術(shù)又屬于幾何的結(jié)論。發(fā)現(xiàn)無(wú)理數(shù)更是這一學(xué)派在數(shù)學(xué)上的重大貢獻(xiàn)之一。

在對(duì)數(shù)的研究基礎(chǔ)上，畢達(dá)哥拉斯提出：高度抽象的數(shù)可以表現(xiàn)一切物質(zhì)，構(gòu)成一切物質(zhì)。進(jìn)一步他又提出了哲學(xué)命題：萬(wàn)物皆數(shù)，數(shù)是萬(wàn)物始基。

此外，畢達(dá)哥拉斯是音樂(lè)理論的鼻祖。他用數(shù)學(xué)觀點(diǎn)研究音樂(lè)，并闡明了單弦的樂(lè)音與弦長(zhǎng)的關(guān)系，從而為現(xiàn)代音樂(lè)理論奠定了基礎(chǔ)。他是天才的教育家。在西方他又是第一個(gè)把某些韻律和旋律用于教育的人，他通過(guò)音樂(lè)使學(xué)生的靈魂得以凈化。在天文方面，他首創(chuàng)地圓說(shuō)，認(rèn)為日、月、五星都是球體。

畢達(dá)哥拉斯學(xué)派后來(lái)在政治斗爭(zhēng)中遭到破壞，畢達(dá)哥拉斯本人逃亡到塔蘭托，后被殺害。享年89歲，度過(guò)了他漫長(zhǎng)充實(shí)的一生。他死后，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派還繼續(xù)存在了兩個(gè)世紀(jì)之久，對(duì)希臘文化產(chǎn)生了巨大的、多方面的、深遠(yuǎn)的影響。

現(xiàn)在讓我們轉(zhuǎn)回到正題上去。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派所使用的這種記數(shù)法借助27個(gè)字母來(lái)表示數(shù)。其中三個(gè)字母是借用的腓尼基字母表中的舊字母，其余24個(gè)是希臘字母表中的字母。為了把數(shù)與字母區(qū)別開，在數(shù)的上面畫一條橫線。借助于27個(gè)字母及其組合可以表示1～999的數(shù)字。對(duì)于若干千的數(shù)，采用在1～9的符號(hào)左下方加一小直線的辦法來(lái)解決。在其記數(shù)法中，可記的最大數(shù)是108。可見，這種記數(shù)法與簡(jiǎn)單累數(shù)制比較，不但對(duì)每一個(gè)較高的單位都要另設(shè)符號(hào)，而且對(duì)較高單位的倍數(shù)也設(shè)新符號(hào)。這種記數(shù)法可稱為分級(jí)符號(hào)制，其好處在于表示數(shù)時(shí)比較緊湊，缺點(diǎn)是采用的符號(hào)過(guò)多。

通過(guò)上面的介紹，可以發(fā)現(xiàn)，有了進(jìn)位制，表示數(shù)目的方法簡(jiǎn)化了。但是人們要不停地創(chuàng)造新的符號(hào)，才能表示越來(lái)越大的數(shù)目。因此單純的進(jìn)位制存在著明顯的不足：其一，用這種方法當(dāng)數(shù)大到一定程度，書寫太過(guò)復(fù)雜，如古埃及人用他們的記數(shù)法來(lái)表示986這個(gè)數(shù)，至少要用23個(gè)符號(hào)；其二，用這種方法無(wú)法解決表示任意大數(shù)的問(wèn)題；其三，由于記數(shù)的煩瑣使得自然數(shù)的計(jì)算成為非常復(fù)雜的事情，這對(duì)算術(shù)和代數(shù)的發(fā)展顯然是很不利的，從而嚴(yán)重阻礙了計(jì)算技術(shù)的提高。

在古代，人們生活中滿足于一些不大的數(shù)。如三四千年前，遺留下來(lái)的埃及、巴比倫的數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中，把10000稱為“黑暗”，意思是說(shuō)，這樣的數(shù)已經(jīng)模糊不清，不能清楚想象了。以后，界限放寬到108，就是“黑暗的黑暗”，并說(shuō)：“大過(guò)這個(gè)數(shù)（108）不是智慧所能了解的。”或許是這種對(duì)大數(shù)的缺乏必要，使古代許多民族在使用了進(jìn)位制后竟然沒(méi)有想到過(guò)完善它。不過(guò)，更令人驚訝的是，為了完善它竟然又花費(fèi)了人類極其漫長(zhǎng)的時(shí)間呢！這正是我們下面要提到的內(nèi)容。

關(guān)鍵的第三步：位值制的使用

進(jìn)位制的出現(xiàn)，表明人類抽象思維的能力有了進(jìn)一步發(fā)展。但進(jìn)位制仍然不能夠完滿地解決記數(shù)的問(wèn)題。怎樣才能用有限的幾個(gè)符號(hào)來(lái)表示任意大的數(shù)目呢？人類還需要發(fā)明一種巧妙的辦法來(lái)解決這一問(wèn)題。

讓我們先來(lái)想想我們現(xiàn)在是如何解決這一問(wèn)題的。

舉一個(gè)簡(jiǎn)單例子。比如在十進(jìn)位中數(shù)“一千九百七十一”，我們現(xiàn)在記作1971，從右算起，1,9,7,1所在的位置分別稱為個(gè)位，十位，百位，千位。出現(xiàn)在最左邊的數(shù)字1由于處于千位上于是代表一千，而與右邊的數(shù)字1表示不同的意思。你看，沒(méi)有采用新的記數(shù)符號(hào)十、百、千等，我們也表示出了數(shù)“一千九百七十一”。這一奇妙的效果是如何實(shí)現(xiàn)的呢？道理說(shuō)出來(lái)很簡(jiǎn)單，就是利用了數(shù)在書寫時(shí)有“順序”，即在寫法上無(wú)非是從左到右，或者從右到左，或從上到下。于是記數(shù)符號(hào)本身有了位置的概念。也就是說(shuō)，不但每個(gè)記數(shù)符號(hào)本身表示大小不同的數(shù)目，更巧妙的是同一個(gè)記數(shù)符號(hào)由于寫在不同位置上，其數(shù)值大小就可以不相同而表示出不同的數(shù)目。或者說(shuō)一個(gè)數(shù)字究竟表示什么數(shù)值，要看它在什么位置上。這就是“位值”的含義，而這種巧妙的方法就是位值制。位值制的奇特處之一在于它不用隨著數(shù)的增大而采用不同的符號(hào)，而且使人們可以僅用比較少的數(shù)字來(lái)表示出任意大的數(shù)目。位值制是千百年來(lái)人類智慧的結(jié)晶，它可以同字母的發(fā)明相媲美。有些讀者會(huì)說(shuō)：發(fā)現(xiàn)這一點(diǎn)應(yīng)該是一點(diǎn)也不難啊。但事實(shí)上，許多古代民族，雖然很早就創(chuàng)造了數(shù)字，懂得進(jìn)位，卻始終沒(méi)有產(chǎn)生出位值制思想。而我們今天所使用的完善的位值制更是經(jīng)歷了極其漫長(zhǎng)的時(shí)間與曲折的過(guò)程才最終建立起來(lái)的。或許由于一開始我們就接受了這種記數(shù)法，以致我們已經(jīng)很難體味出其中的美妙處了。但我們卻實(shí)在有必要去回顧一下古代人為了解決這一問(wèn)題所經(jīng)過(guò)的曲折歷程并了解一下為何古代人對(duì)此的認(rèn)識(shí)竟然如此晚。

較早使用位值制思想的是古巴比倫人，就讓我們從他們開始。

古巴比倫人在數(shù)學(xué)和天文學(xué)上采用的——與我們的習(xí)慣完全不同——都是六十進(jìn)位制。古巴比倫人在記數(shù)時(shí)采用了兩個(gè)基本符號(hào)（用來(lái)表示1），一個(gè)（用來(lái)表示10），巴比倫人用這兩個(gè)符號(hào)借助于前面已經(jīng)提到過(guò)的簡(jiǎn)單累數(shù)制，可以記出60以下的數(shù)字。對(duì)于60以上的數(shù)怎么辦呢？他們采用了位值制。如下圖中的70，使用的仍然是上面的兩個(gè)符號(hào)，只是表示1的符號(hào)放在了表示60的位置上，因此就表示了60。

這種記數(shù)法并不是純粹的位值制。純粹的60位值制需要使用60個(gè)不同的符號(hào)來(lái)代表60以下的數(shù)，正如我們現(xiàn)在的十進(jìn)位值制中需要使用十個(gè)不同的符號(hào)一樣。而巴比倫記數(shù)法60以下是用簡(jiǎn)單累數(shù)制的。因而我們應(yīng)該說(shuō)巴比倫記數(shù)法是簡(jiǎn)單累加制與位值制的混合。這樣做的好處是僅需要用少量符號(hào)，而不用引入更多的符號(hào)。如果這樣做能夠完全起到后者所起到的效果，那我們應(yīng)該說(shuō)巴比倫人的做法實(shí)在是太聰明了。然而，事實(shí)是，兩種制度并用往往會(huì)出現(xiàn)一些問(wèn)題。其中最大的缺點(diǎn)是有時(shí)會(huì)分不清哪一個(gè)數(shù)碼是在什么位置上。比如說(shuō)：

究竟表示的是多少呢？它可能是3，也可能是180（3個(gè)表示1的符號(hào)都在60位上），還可能表示3661（1×602+1×60+1）。

對(duì)這一困難，古巴比倫人采用留下空白，即在容易混淆的地方間隔大一點(diǎn)的方式來(lái)解決問(wèn)題。這倒不失為一種權(quán)宜之策。然而，馬上出現(xiàn)的一個(gè)問(wèn)題使他們的解決方案重新陷入尷尬之中。這一問(wèn)題就是：如果出現(xiàn)某位上沒(méi)有數(shù)字又怎么辦呢？

這種情況下，最自然的想法——實(shí)際上，很多民族一開始面對(duì)這一問(wèn)題時(shí)都是用了這種辦法——是用留下空白的方式來(lái)解決。古巴比倫人也正是用留空位的辦法來(lái)表示數(shù)字間某位上沒(méi)有數(shù)的。但這種留出空白的方法對(duì)古巴比倫人卻帶來(lái)了新的問(wèn)題。即：空白在巴比倫記數(shù)法中現(xiàn)在已經(jīng)有了兩種功能。除了用來(lái)分隔兩個(gè)數(shù)碼之外又用來(lái)表示空位。可以想象得到，這種辦法在解決舊問(wèn)題的同時(shí)也導(dǎo)致了新的混亂。

此外，由于古巴比倫人經(jīng)常使用分?jǐn)?shù)，而且分母總是常數(shù)60，但是他們并沒(méi)有像現(xiàn)代的十進(jìn)位分?jǐn)?shù)部分的記號(hào)，而是與表示整數(shù)的記號(hào)混淆在一起。于是，一個(gè)數(shù)作為分?jǐn)?shù)時(shí)，可以表示21/60，也可以表示20/60+1/602。這樣一來(lái)，引起的麻煩更加嚴(yán)重了。有時(shí)一個(gè)記號(hào)就可能出現(xiàn)好幾種理解。

這樣，一個(gè)數(shù)的值往往依賴于所寫的上下文，導(dǎo)致混亂完全是不可避免的了。

引入位值制思想，這是人類記數(shù)上的一大進(jìn)步。然而，對(duì)于巴比倫人來(lái)說(shuō)完整的位值制尚不能如此建立起來(lái)。除了由于累加制與位值制混合使用帶來(lái)的缺陷外，他們還有更重要的一步要走。這就是：如何解決某位上沒(méi)有數(shù)字這一問(wèn)題。

對(duì)于我們這些一開始就接觸符號(hào)0的人來(lái)說(shuō)，一切似乎都是那么順理成章，這種理所當(dāng)然使得我們已經(jīng)很難體會(huì)到許多事情的必要性了。比如說(shuō)，102、1002、10002、120、1200……即便是小學(xué)生，也能非常容易地區(qū)分它們的不同。你有沒(méi)有想過(guò)，我們?yōu)槭裁茨軌蛉绱溯p易地做到這一點(diǎn)呢？實(shí)際上，能夠區(qū)分開它們不同，是因?yàn)槲覀儼l(fā)現(xiàn)在數(shù)1與2間零的個(gè)數(shù)不同。你有沒(méi)有想過(guò)，如果我們沒(méi)有零的記號(hào)，事情又會(huì)是什么樣子呢？

早期很多民族都用空位的辦法來(lái)表示零。12、12、12、12……面對(duì)這樣的寫法，你能區(qū)分出它們到底代表的是些什么數(shù)字嗎？

在位值制中，為了表明某位置上有無(wú)空位，以及各個(gè)數(shù)字的位置，必須要有零的符號(hào)，否則就容易出現(xiàn)混亂。看看古巴比倫人在沒(méi)有零的記號(hào)時(shí)，引起的記數(shù)上的混亂就可以更清楚地認(rèn)識(shí)到零的重要性了。后來(lái)希臘人沿用了巴比倫人的六十進(jìn)制，卻放棄了位值的先進(jìn)思想，這恐怕是主要原因。可見，符號(hào)零的使用是重要且極其必要的。

經(jīng)過(guò)一千多年的摸索，到公元前二世紀(jì)，巴比倫人才發(fā)明了一個(gè)特殊的符號(hào)用它來(lái)表示數(shù)的某位是空的。這種符號(hào)，寫法有好幾種。但不管怎么說(shuō)，引入這個(gè)符號(hào)后，對(duì)于某位上有沒(méi)有數(shù)的問(wèn)題是解決了。然而，在數(shù)學(xué)中他們卻沒(méi)有使用這個(gè)符號(hào)來(lái)表示末位數(shù)中出現(xiàn)零的情況，即像340、3400這樣的數(shù)。因此這個(gè)零只具有現(xiàn)代零號(hào)的一部分功能，它無(wú)法指明數(shù)碼所在的位置。奇怪的是，在他們的天文學(xué)上，這一零號(hào)卻可以用在末位上。

現(xiàn)在想來(lái)，巴比倫記數(shù)法遲遲不創(chuàng)造零號(hào)，原因可能有三：一是零出現(xiàn)的頻率較小，他們所采用的是六十進(jìn)位制，只有60這個(gè)數(shù)必須用到0；二是六十進(jìn)位制差一位就差60倍，較易從上下文來(lái)確定究竟表示什么；三是必要時(shí)用留出空檔來(lái)表示空位。

這或許是人類普遍存在的惰性。如果對(duì)某件東西不是經(jīng)常要用到，人們很難想到去完善它、改進(jìn)它；即使經(jīng)常要用到，如果有權(quán)宜之策，也不去考慮長(zhǎng)久的周全之計(jì)呢！

基于位值制思想，在北美洲中部居住的瑪雅人發(fā)明了的一種很有趣的二十進(jìn)位值制記數(shù)法。用不著奇怪，形成二十進(jìn)位制對(duì)于瑪雅人來(lái)說(shuō)其實(shí)是非常自然的。由于他們生活在熱帶叢林中，常常赤著腳，露出腳趾，遇到比10大的數(shù)時(shí)，他們就請(qǐng)腳來(lái)幫忙，就這樣形成了二十進(jìn)位制的記數(shù)法。這又可證實(shí)，大多民族后來(lái)使用十進(jìn)制，只是因?yàn)樗麄兇┥狭诵拥木壒省?/p>

在瑪雅人的記數(shù)法中一共只有三個(gè)基本的符號(hào)。小圓點(diǎn)用來(lái)表示1，小短橫用來(lái)表示5，另外還有一個(gè)卵形記號(hào)。有人認(rèn)為，小圓點(diǎn)是石子的形象，小短橫是木棍的形象，卵形記號(hào)很像個(gè)小貝殼。利用小圓點(diǎn)與小短橫，他們表示出了20以下的數(shù)字，用的辦法是累加記數(shù)法。這一點(diǎn)他們與古巴比倫人相似。當(dāng)數(shù)目超過(guò)20時(shí)，他們利用了位值制的思想。可見，他們的記數(shù)符號(hào)并不獨(dú)立，而是采用了累加與位值制的混合。為了避免引進(jìn)混亂，對(duì)一個(gè)多位數(shù)他們采用了高位在上低位在下的分層寫法。而最重要的是，瑪雅人創(chuàng)造了零的符號(hào)，就是前面已提到的像一只貝殼也像半開的眼睛的記號(hào)。他們的零號(hào)既可以表示某一位置上沒(méi)有數(shù)，也能用在數(shù)末，起到指明數(shù)碼位置的作用。他們的零號(hào)已經(jīng)具備了在記數(shù)法中零應(yīng)有的兩種功能。其稍微的不足在于，由于部分采用了累加制，使得記數(shù)較為煩瑣。此外，其零號(hào)雖然已具有確定數(shù)碼位置的功能，但其意義仍有含混之處。現(xiàn)今的記數(shù)法，加一個(gè)0等于將左邊的數(shù)擴(kuò)大成原來(lái)的10倍，但瑪雅記數(shù)法加入零號(hào)，在普通記數(shù)法中擴(kuò)大20倍，但在時(shí)間記數(shù)法中則為18倍。正如他們采用二十進(jìn)位制有他們自身的道理一樣，這樣做他們想必也有自己其他方面如天文歷法的考慮在內(nèi)。我們所要做的結(jié)論是，其記數(shù)系統(tǒng)與古埃及、古巴比倫、古希臘羅馬相比是相當(dāng)先進(jìn)的。極可惜的是，他們所創(chuàng)造的燦爛的古代文化并沒(méi)有對(duì)世界的發(fā)展做出應(yīng)有的貢獻(xiàn)。

在粗略瀏覽了其他幾個(gè)古代民族后，讓我們回過(guò)來(lái)再去看一下我們中國(guó)古代是如何做的吧。

前面我們已經(jīng)介紹過(guò)早在殷商時(shí)期，我國(guó)已采用了十進(jìn)位記數(shù)法。這種記數(shù)法在記數(shù)方面是很有效的。但是如果涉及到數(shù)的計(jì)算，那么其不足處就顯示出來(lái)了。針對(duì)于此，我國(guó)古代在運(yùn)算中采用了一種新的記數(shù)法：算籌記數(shù)法。由于當(dāng)時(shí)我國(guó)盛產(chǎn)竹子，于是人們采用了小竹棍來(lái)作為記數(shù)并計(jì)算的工具，這就是算籌。在兩千多年前的春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)期，算籌在中國(guó)人手里已經(jīng)使用非常普遍，為人所熟知了。那么如何用算籌記數(shù)呢？為初學(xué)者便于瑯瑯習(xí)誦，后來(lái)的《孫子算經(jīng)》、《夏侯陽(yáng)算經(jīng)》編有押韻的順口溜，前者記：“凡算之法，先識(shí)其位。一縱十橫，百立千僵，千十相望，萬(wàn)百相當(dāng)。”后者又加了四句：“滿六以上，五在上方，六不積算，五不單張。”當(dāng)時(shí)記五或小于五的數(shù)：幾根算籌就表示幾，記六、七、八、九用一根籌，以一當(dāng)五，放在上面，一至九，九個(gè)數(shù)表示法則有縱、橫兩式。《孫子算經(jīng)》前兩句說(shuō)明數(shù)位在記數(shù)中的重要意義，后四句告訴我們自然數(shù)記法的一般規(guī)則：個(gè)位數(shù)用縱式，十位數(shù)用橫式。從“一縱、百立、萬(wàn)、百相當(dāng)”可知百位、萬(wàn)位都用縱式。“僵”就是臥倒，“千、十相當(dāng)”，所以十位、千位都用橫式。依此類推，交替使用縱橫兩式。《夏侯陽(yáng)算經(jīng)》所續(xù)四句話明確了以一當(dāng)五算籌的用法：既不允許并排用六根籌記六，也不允許單獨(dú)用一根籌，以一當(dāng)五。

這種以算籌為工具的記數(shù)方法，顯然運(yùn)用了位置制的思想。另一個(gè)重要點(diǎn)仍然是如何記空位的情況。對(duì)此，解決方式是不放算籌，成為空檔。初看上去，你或許會(huì)認(rèn)為，這種留空位的辦法與古巴比倫人是完全相同的，它會(huì)帶來(lái)與其相同的混亂。但是，巧妙之處在于算籌記法有縱橫兩種形式，記數(shù)時(shí)縱橫相間。因此空檔是易于辨認(rèn)的。對(duì)于個(gè)位是零的情況也能表示出來(lái)，一定程度上避免了可能出現(xiàn)的混淆。但嚴(yán)格說(shuō)起來(lái)，這種記數(shù)法仍然在理論上存在著不足之處。如對(duì)連續(xù)空位較多，或者末位有多個(gè)零的情況，并不能清楚表示出來(lái)。或許是這類情況較少出現(xiàn)，或許是人們?cè)谶\(yùn)算中可以通過(guò)其他方式避免這種混亂，不管是出于什么原因，我國(guó)古代都沒(méi)有對(duì)此進(jìn)行過(guò)進(jìn)一步的完善。但即使如此，我們?nèi)匀豢梢哉f(shuō)，我國(guó)是采用較完善的十進(jìn)位值制記數(shù)法最早的國(guó)家。這種完善性的最好是證明我國(guó)古代數(shù)學(xué)由于采用這種籌算法而在計(jì)算方面大大超過(guò)了其他的古代民族。

算籌與籌算

算籌產(chǎn)生于何時(shí)，無(wú)可靠記載。據(jù)推測(cè)，我國(guó)大約從西周開始使用竹籌在氈毯上或在算板上進(jìn)行各種運(yùn)算。到春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)代，這種算具已很普及。當(dāng)時(shí)一些著作如《老子》、《荀子》中都出現(xiàn)了“算”、“籌”等詞。自西周直到宋、元，在長(zhǎng)達(dá)二千年歷史時(shí)期內(nèi)，算籌一直是我國(guó)社會(huì)各行各業(yè)通用算具。在珠算盤發(fā)明以前它是中國(guó)獨(dú)創(chuàng)的并且是最有效的計(jì)算工具，也是當(dāng)時(shí)世界上最簡(jiǎn)便的計(jì)算工具。對(duì)于這一點(diǎn)，當(dāng)下面我們提到西方所使用的計(jì)算工具時(shí)作一比較就更明顯了。

用算籌為工具的運(yùn)算方法稱為籌算。中國(guó)古代數(shù)學(xué)一開始就和算器的使用密不可分，以致可以用“籌算”二字來(lái)代表中國(guó)古代的數(shù)學(xué)。正是獨(dú)特的算籌的使用影響并決定了中國(guó)古代數(shù)學(xué)的發(fā)展。

首先，算籌的使用使我國(guó)古代形成了強(qiáng)烈的位值制觀念。它不僅在籌算記數(shù)法中有所體現(xiàn)，事實(shí)上，位值制在中國(guó)籌算數(shù)學(xué)中有著更為重要的應(yīng)用。如我國(guó)古代解線性方程組（即多元一次方程組，如初中所學(xué)習(xí)的二元或三元一次方程組）時(shí)，由于使用算籌，將未知數(shù)與系數(shù)分離開表示，分離系數(shù)法表示出了方程的各行各未知數(shù)的系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)，而不必寫出物品的名稱，這與現(xiàn)今的矩陣表示法相近。籌式以不同的“位”代表意義不同的“量”；以不同的位置關(guān)系表示特定的數(shù)量關(guān)系。在這些籌所規(guī)定的不同“位”上，可以布列任意的數(shù)碼。這種做法在籌算中實(shí)在是順理成章的事情。由此，我國(guó)古代方程諸術(shù)中列籌式描述了實(shí)際中常見的比例問(wèn)題和線性問(wèn)題；而用算籌擺出的天元、四元諸式，則刻畫了高次方程問(wèn)題。算籌所表示對(duì)象也由數(shù)發(fā)展到式，這樣籌式本身就具有了代數(shù)符號(hào)的性質(zhì)。可以認(rèn)為，中國(guó)古代的籌式就是一種特殊的代數(shù)符號(hào)系統(tǒng)。李約瑟稱之為“位置的代數(shù)學(xué)”。他寫道：“在演算過(guò)程中，籌算盤上的數(shù)字是按照它們所代表的量的類別（未知數(shù)、冪等）而占有一定的位置的。一種穩(wěn)固的、劃一的數(shù)字圖式體系就建立起來(lái)了。”而這些都是借助于算籌擺放位置的不同而天然地具有了不同的含義而實(shí)現(xiàn)的，都可以看作是位值制記法。這種記法大大簡(jiǎn)化了數(shù)學(xué)表達(dá)式，簡(jiǎn)化了運(yùn)算，使中國(guó)人的計(jì)算才能得以更充分地發(fā)揮。自漢迄元，計(jì)算數(shù)學(xué)在中國(guó)越來(lái)越發(fā)達(dá)，中國(guó)古代數(shù)學(xué)亦長(zhǎng)期處于世界領(lǐng)先地位，這都不能不歸之為優(yōu)越的位值制原理的使用，從而也不能不歸功于算籌的使用。

此外，中國(guó)古代數(shù)學(xué)家還用籌算發(fā)展了一套內(nèi)容十分豐富的“籌式”演算。他們通過(guò)擺弄算籌來(lái)解決復(fù)雜的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，得到了解線性方程組、高次方程等的方法。又由于這種方法要以是否適合籌算為轉(zhuǎn)移。這樣計(jì)算的方法就需要有一定的程序，按照一定的程序擺籌解題。程序的獲得過(guò)程、按程序解題、擺放算籌等都是方法。而這種具有模式化與程序性的方法，現(xiàn)在被稱為算法。于是我們可以說(shuō)籌算具有算法的機(jī)械化的特點(diǎn)，或者說(shuō)中國(guó)的籌算本身就是一個(gè)算法體系，它集計(jì)算技術(shù)與數(shù)學(xué)原理于一身。這正是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的一大特點(diǎn)。

歷史表明，先進(jìn)的記數(shù)法與計(jì)算工具算籌的使用成為中國(guó)古代數(shù)學(xué)長(zhǎng)于計(jì)算并取得輝煌成就的前提條件，并使中國(guó)古代在計(jì)算技術(shù)方面居于世界遙遙領(lǐng)先的地位。籌算以后發(fā)展為珠算。明代以來(lái)，珠算廣泛應(yīng)用于商業(yè)等實(shí)際部門，使中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)依賴算器，發(fā)展計(jì)算技術(shù)的特點(diǎn)表現(xiàn)得更為充分。當(dāng)然，由于中國(guó)籌算的優(yōu)越性，在客觀上抵制了筆算的發(fā)展，不便于數(shù)學(xué)的符號(hào)化和理論的深入，這可以說(shuō)是過(guò)分依賴算器的副作用。

在另一方面，我國(guó)古代在書寫中，開始是用空位來(lái)代表零，后來(lái)用“空”字代表零。這無(wú)疑比留一個(gè)空位要好得多。數(shù)位清楚了，不會(huì)引起誤會(huì)。這是數(shù)學(xué)史上零的表示法的一大進(jìn)步。不過(guò)，空字夾在數(shù)的符號(hào)里，畢竟顯得很不協(xié)調(diào)，于是又出現(xiàn)了用囗表示零。南宋蔡元定著的《律呂新書》中就曾把118098記作：十一萬(wàn)八千囗九十八。用它代替空表示零，不僅簡(jiǎn)便，和諧，更重要的是它已經(jīng)是一個(gè)數(shù)字的符號(hào)，標(biāo)志著用符號(hào)表示零的新階段的開始。到了宋元時(shí)期，用O表示零已普遍運(yùn)用，這大概是囗寫快了，就成了O。例如金的《大明歷》（1180年）中把505寫成“五百O五”。用“O”表示零，既容易寫，又美觀，這是我國(guó)數(shù)學(xué)家的獨(dú)創(chuàng)。

然而，令人遺憾的是限于當(dāng)時(shí)思想交流的困難，我國(guó)古代所使用的位值制沒(méi)有對(duì)世界數(shù)學(xué)的發(fā)展作出應(yīng)有的貢獻(xiàn)。

現(xiàn)在世界上所通用的記數(shù)法，來(lái)源于印度，是印度人的貢獻(xiàn)。

印度人大約在公元前3世紀(jì)才開始使用記數(shù)符號(hào)，以后逐漸地形成了十進(jìn)制記數(shù)系統(tǒng)，在大約公元6世紀(jì)前開始采用位值制。他們創(chuàng)造了十個(gè)互相獨(dú)立的符號(hào)，這是完善的十進(jìn)位置制必不可少的重要內(nèi)容。然而，印度人的偉大的變革之處是零符號(hào)的發(fā)明。后來(lái)的事實(shí)證明這是數(shù)學(xué)史上的一件大事。不過(guò)，完成這一步對(duì)于印度人來(lái)說(shuō)也并不是一蹴而就的。

最初他們沒(méi)有表示零的記號(hào)，也是用空一格的方式來(lái)表示空位的，后來(lái)為了避免看不清，就在中間加上小點(diǎn)。他們所用的小圓點(diǎn)的記號(hào)，名稱叫“蘇涅亞”，意思是空。如果兩個(gè)數(shù)碼間有一個(gè)“·”記號(hào)，就表示這是一個(gè)三位數(shù)，這個(gè)三位數(shù)的中間那位數(shù)上“一無(wú)所有”。小圓點(diǎn)相當(dāng)于現(xiàn)在的零號(hào)。至于現(xiàn)代使用的橢圓零符號(hào)“0”最早是在公元876年中印邊界一塊石碑上發(fā)現(xiàn)的。

公元773年，印度數(shù)字開始傳入阿拉伯國(guó)家。后來(lái)，花拉子密寫成《印度的計(jì)算術(shù)》，這是第一部用阿拉伯語(yǔ)介紹印度數(shù)字及記數(shù)法的著作。由于當(dāng)時(shí)沒(méi)有印刷術(shù)，數(shù)字全憑手寫，字體因人因地而異，變化很大，東、西阿拉伯就很不相同。西部較接近現(xiàn)代寫法，但沒(méi)有0，東部字體逐漸固定下來(lái)，至今許多伊斯蘭國(guó)家仍在使用。

印度數(shù)字后來(lái)經(jīng)阿拉伯又傳入歐洲，但在這一過(guò)程中0卻遲遲沒(méi)有被廣泛采用。熱爾貝是法國(guó)有名的學(xué)者，991年成為蘭斯的大主教，999年又成為教皇。他將印度-阿拉伯?dāng)?shù)字介紹到歐洲，對(duì)促進(jìn)印度-阿拉伯?dāng)?shù)字的使用產(chǎn)生過(guò)一定的影響。但他卻不知道0。正式介紹包括0在內(nèi)的印度-阿拉伯?dāng)?shù)字到歐洲的是斐波那契。

斐波那契：意大利數(shù)學(xué)家（約1170～1240），被譽(yù)為西方中世紀(jì)第一個(gè)偉大的數(shù)學(xué)家，使西方數(shù)學(xué)開始了一個(gè)新的時(shí)期。他早年游歷了許多東方和阿拉伯城市，了解了不同國(guó)家和地區(qū)在商業(yè)上的算術(shù)體系，通過(guò)比較他發(fā)現(xiàn)印度-阿拉伯十進(jìn)制系統(tǒng)美麗的數(shù)字具有的價(jià)值，并積極地提倡使用它們。公元1202年，他完成了自己的名作《算盤書》。在這本廣博的書的前幾章，他解釋了位值制原理、整數(shù)和分?jǐn)?shù)的各種計(jì)算方法，說(shuō)明了怎樣應(yīng)用印度-阿拉伯?dāng)?shù)字，以及如何用它們進(jìn)行加、減、乘、除計(jì)算和解題。這本第一次正式向歐洲人介紹印度數(shù)字的著作問(wèn)世后廣為傳播，為印度-阿拉伯?dāng)?shù)字和阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)在歐洲的流傳起了極其重要的作用。

在斐波那契所著的《算盤書》一書的開頭寫著：

“這是印度的九個(gè)數(shù)字：987654321

還有一個(gè)阿拉伯人稱之為零的符號(hào)0，任何數(shù)都可以表示出來(lái)。”

為斐波那契廣泛傳播的印度-阿拉伯記數(shù)法，具有明顯的好處。除了記號(hào)緊湊，能表示任意自然數(shù)外，用它計(jì)算容易而精確，但令人感到奇怪的是它并沒(méi)有馬上受到普遍的歡迎。事實(shí)上，從11世紀(jì)引入到被普遍接受的15世紀(jì)，經(jīng)過(guò)了幾個(gè)世紀(jì)。在這一變革過(guò)程中，阻力有的來(lái)自于數(shù)學(xué)內(nèi)部，有的來(lái)于數(shù)學(xué)外部。在數(shù)學(xué)內(nèi)部，墨守陳規(guī)的珠算家和主張改革的筆算家之間經(jīng)歷了長(zhǎng)期的斗爭(zhēng)。在數(shù)學(xué)外部，有些地方阿拉伯?dāng)?shù)字不許用在公文上；又有些地方，這種方法完全被禁止了。如1299年，意大利曾禁止弗羅梭丁的商人使用這一數(shù)字，下令必須用羅馬數(shù)字或文字記帳，原因是易出差錯(cuò)或被涂改。這種情形有如在我國(guó)規(guī)定票據(jù)要用大寫數(shù)字一樣。從13世紀(jì)意大利的文獻(xiàn)中可找出很多證據(jù)說(shuō)明當(dāng)時(shí)的商人把阿拉伯?dāng)?shù)字用來(lái)作為一種密碼。不過(guò)，事情的發(fā)展正如人們所熟知的那樣，保守的方式或禁止的辦法只能延遲卻不能完全阻止偉大的變革。在經(jīng)歷了通常難以避免的蒙昧的和反復(fù)的階段后，新記數(shù)法的優(yōu)越性在16世紀(jì)已經(jīng)無(wú)可爭(zhēng)議了。

當(dāng)新的記數(shù)法得到更為廣泛的傳播后，人們開始注意到零在新數(shù)制中所占的重要地位，他們把整個(gè)數(shù)制和它的主角零的概念cifra等同起來(lái)了，以致于在今日歐洲這個(gè)字的不同形式ziffer, chiffre等等都具有了數(shù)字的意義。由于在歐洲人的印象中，這些數(shù)字來(lái)自阿拉伯國(guó)家，所以他們就稱其為阿拉伯?dāng)?shù)字；17世紀(jì)以后，歐洲數(shù)學(xué)在全世界占了統(tǒng)治地位，世界各國(guó)都向他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，包括阿拉伯?dāng)?shù)字這樣的名稱也隨之傳開并沿用下來(lái)。正如我們已經(jīng)提到的，其實(shí)這一稱呼并不恰當(dāng)，它是世界數(shù)學(xué)發(fā)展史上的一個(gè)大誤會(huì)。如果顧名思義，認(rèn)為阿拉伯?dāng)?shù)字就是阿拉伯國(guó)家的數(shù)字，那可就大錯(cuò)了。為了準(zhǔn)確起見，我們還是稱之為印度-阿拉伯?dāng)?shù)字更合適些。在這一過(guò)渡階段中，數(shù)字的外形發(fā)生了一系列的改變，到16世紀(jì)才逐漸固定下來(lái)。當(dāng)印刷術(shù)采用后，數(shù)字就被完全定形成現(xiàn)在我們所熟悉的樣子了。

無(wú)論如何，在歷史上屢經(jīng)變遷后，以印度-阿拉伯?dāng)?shù)字為記數(shù)符號(hào)的十進(jìn)位值制記數(shù)法——這讓我們?cè)缫蚜?xí)以為常視為常識(shí)般簡(jiǎn)單的東西——在人類花費(fèi)了巨大的難以置信的勞動(dòng)并經(jīng)過(guò)了漫長(zhǎng)的時(shí)間后，終于最后建立起來(lái)了！它們既是人類智慧的結(jié)晶，又是數(shù)學(xué)文明的開始。現(xiàn)在，世界各個(gè)角落，無(wú)論大人小孩，無(wú)論講什么語(yǔ)言，用阿拉伯?dāng)?shù)字和十進(jìn)位置制運(yùn)算都是一致的。

拉普拉斯曾總結(jié)說(shuō)：“用十個(gè)記號(hào)表示所有的數(shù)，每個(gè)記號(hào)不但有絕對(duì)的值，而且有位置的值，這種巧妙的方法出自印度。這是一個(gè)深遠(yuǎn)而重要的思想，今天看來(lái)它如此簡(jiǎn)單，以致我們忽視了它的真正偉績(jī)。但恰恰是它的簡(jiǎn)單性以及對(duì)一切計(jì)算都提供了極大的方便，才使我們的算術(shù)在一切有用的發(fā)明中列在首位；而當(dāng)我們想到它竟逃過(guò)了古代最偉大的兩位數(shù)學(xué)家阿基米得和阿波羅尼斯的天才思想的關(guān)注時(shí)，我們更感到這個(gè)成就的偉大了。”“用很少的幾個(gè)符號(hào)來(lái)表示一切數(shù)目，使符號(hào)除了具有形狀意義外，還具有數(shù)位的意義。這一思想如此自然，如此使人容易理解，簡(jiǎn)直無(wú)法估計(jì)它的奇妙程度。”

當(dāng)我們回顧這一美妙記數(shù)法的建立過(guò)程時(shí)，會(huì)意識(shí)到符號(hào)零的引入具有重大意義。在完整的位值制中，零號(hào)是不可少的，零是位值制記數(shù)的必然產(chǎn)物，也是位值制記數(shù)法的精要所在。事實(shí)上，正如前面已經(jīng)提到的，作為位值制記數(shù)法精髓的零，歷史上，它的出現(xiàn)比位值制又晚得多。從第一個(gè)數(shù)字符號(hào)開始記數(shù)到想出一個(gè)表示無(wú)的符號(hào)，花費(fèi)了人類大約五千年的時(shí)間。但無(wú)的符號(hào)卻使世界整個(gè)改了觀！有了零，記數(shù)系統(tǒng)才得以廣泛運(yùn)用，它使數(shù)字的運(yùn)用發(fā)生了革命！

零這代表空無(wú)一物的東西，竟具有震動(dòng)世界的重要性，說(shuō)起來(lái)真叫人覺(jué)得奇怪；而更令人奇怪的是，多少偉大的數(shù)學(xué)家，竟讓零從他們眼皮底下溜走。

也許有的讀者早已經(jīng)在心里暗想：唉，這有什么難的？要是當(dāng)初有我，這一點(diǎn)小發(fā)明早就出現(xiàn)了。對(duì)于如此想的讀者，我想講述一個(gè)有趣的故事。

1492年，哥倫布從西班牙出發(fā)，歷盡千辛萬(wàn)苦，終于發(fā)現(xiàn)了美洲新大陸，他在1493年返回西班牙后，受到了群眾的歡迎和王室的優(yōu)待，也招致了一些貴族大臣的妒忌。

在一次宴會(huì)上，有人大聲宣稱：“到那個(gè)地方去，沒(méi)有什么了不起，只要有船，誰(shuí)都能去。”

哥倫布對(duì)這個(gè)挑釁性的話并沒(méi)有回?fù)簦皇请S手在餐桌上拿起一個(gè)熟雞蛋說(shuō)：“誰(shuí)能把雞蛋豎起來(lái)？”許多人試了又試，都說(shuō)不可能。

哥倫布將雞蛋殼在桌子上輕輕地敲破了一點(diǎn)，就豎了起來(lái)，于是又有人說(shuō)：“這誰(shuí)不會(huì)？”

哥倫布說(shuō)：“在別人沒(méi)有做之前，誰(shuí)都不知怎么做，一旦別人做了之后，卻又認(rèn)為誰(shuí)都可以做。”這就是流傳了400多年的哥倫布雞蛋的故事。哥倫布的這句話，由于寓意深刻，也便成了世界名言。

凡事都是開創(chuàng)時(shí)困難，別人開了頭，仿效是容易的。實(shí)際上，零的誕生正是一個(gè)這樣的典型例子。在發(fā)明之前，誰(shuí)都想不到，一旦有了它，人人都會(huì)用它來(lái)記數(shù)。數(shù)學(xué)史家把0比作“哥倫布雞蛋”，這不僅僅是形狀相似，其中還孕含著深刻的道理。真是一個(gè)一語(yǔ)雙關(guān)的絕妙比喻。

有了零，有了位值制，在十進(jìn)位制中我們就能夠用十個(gè)數(shù)字表示出任何自然數(shù)了！只用有限個(gè)符號(hào)就能夠駕馭無(wú)窮多個(gè)數(shù)，就可以方便、清楚地表示出所有的自然數(shù)了。你有沒(méi)有為此感到過(guò)驚奇呢？無(wú)怪乎革命導(dǎo)師馬克思曾把十進(jìn)位值制記數(shù)法稱為人類“最妙的發(fā)明之一”了。

重要的數(shù)

數(shù)0

前面我們已經(jīng)提到零號(hào)在位值制中的重要作用。具體說(shuō)，0在位值制中起到兩種作用：表示某位是空的；起著指示數(shù)字所在的數(shù)位的作用。正是由于它的這兩種作用，它使我們得以區(qū)分不同的數(shù)。因而把它運(yùn)用到數(shù)字系統(tǒng)，成為一種極為成功的嘗試。

然而，0有著更為微妙和深刻的意義。零的概念實(shí)在是意味深長(zhǎng)的。

首先，0作為一個(gè)概念，是一個(gè)確實(shí)的數(shù)。

古代中國(guó)、瑪雅、巴比倫這些曾引入空位或零號(hào)的民族都沒(méi)有將它和“一無(wú)所有”這一概念聯(lián)系起來(lái)，以表達(dá)“一無(wú)所有”的概念，也沒(méi)有把零看作一個(gè)獨(dú)立的數(shù)，將它單獨(dú)使用，不曾將零用在計(jì)算之中。如巴比倫人對(duì)這類情況是用語(yǔ)言來(lái)表達(dá)的。當(dāng)他們遇到20減去20，不知如何表達(dá)，只寫道：“20減20，你看。”在另一討論谷物分配的問(wèn)題中，在可以用零來(lái)表示的地方寫著“谷物已耗盡”。

印度人首先認(rèn)識(shí)到零除了在別的數(shù)之間起空位作用外還有它獨(dú)立的存在性。零本身理所當(dāng)然地是一個(gè)數(shù)，它表示“沒(méi)有”這個(gè)量。于是，“沒(méi)有”這個(gè)抽象概念第一次被賦予一個(gè)有形記號(hào)表示。其次，0本身是一個(gè)數(shù)，也就可以將零納入數(shù)的系統(tǒng)之中，并且可以如同其他數(shù)一樣進(jìn)行運(yùn)算。0作為數(shù)參加運(yùn)算的觀念經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的歲月，甚至可以說(shuō)印度人承認(rèn)零是一個(gè)數(shù)并用它參加運(yùn)算是他們對(duì)零的發(fā)現(xiàn)作出的更為重要的貢獻(xiàn)。

對(duì)零的這種認(rèn)識(shí)在3世紀(jì)時(shí)已經(jīng)出現(xiàn)。公元6世紀(jì)，在印度天文學(xué)家瓦哈拉米希拉的《五大歷數(shù)全書匯編》中可以看到對(duì)零施行加、減運(yùn)算。公元7世紀(jì)，婆羅摩及多對(duì)零的運(yùn)算有了更完整的敘述。在他的傳世著作《婆羅摩修正體系》（628）中寫道：“負(fù)數(shù)減去零是負(fù)數(shù)；正數(shù)減去零是正數(shù)；零減去零什么也沒(méi)有；零乘負(fù)數(shù)、正數(shù)或零都是零……零除以零是空無(wú)一物，正數(shù)或負(fù)數(shù)除以零是一個(gè)以零為分母的分?jǐn)?shù)”。

最后一種情形，用現(xiàn)代的符號(hào)表示就是a/0，這個(gè)數(shù)等于多少，沒(méi)有進(jìn)一步說(shuō)明。這是印度人提出以零作除數(shù)問(wèn)題的最早記錄。

850年，馬哈維拉認(rèn)為：一數(shù)被零除，其值不變。

婆什迦羅是1000～1500年間印度最突出的數(shù)學(xué)家。他對(duì)零作除數(shù)的問(wèn)題仍然不十分清楚。他指出：一個(gè)數(shù)加上零，其值不變；零的乘方或開方結(jié)果還是零……一數(shù)先乘以零再除以零，其值不變。即他認(rèn)為：。他還寫道：“以零作分母的量，它是不會(huì)改變的。正像無(wú)限和永恒的神一樣，在創(chuàng)造或毀滅世界時(shí)雖然有眾多的創(chuàng)造物消失或產(chǎn)生出來(lái)，但神始終是不變的。這一段話隱含：

。

顯然，他對(duì)零不可以作除數(shù)是不了解的。

零不能做除數(shù)，這是一個(gè)小學(xué)生就明白的事情，無(wú)論在什么情況下，用零作除數(shù)都是沒(méi)有意義的。這是因?yàn)?span id="te7r2qw" class="italic">a≠0, b=0，如果，不可能存在一個(gè)c，使得bc=a。比如我們用5除以0，那么結(jié)果應(yīng)該是什么呢？設(shè)結(jié)果為c，即 c=5/0。從定義上講，數(shù)必須滿足等價(jià)方程0×c=5。然而這個(gè)方程在任何情況下都是無(wú)解的，因?yàn)槿我鈹?shù)乘以零都等于零。所以無(wú)論c是什么數(shù)，都無(wú)法滿足上述方程。但是0/0又如何呢？設(shè)為x，則0×x=0，每一個(gè)數(shù)都滿足這一方程。結(jié)果我們無(wú)法得到一個(gè)確定的、唯一的答案。兩種情況中的任何一種在數(shù)學(xué)上都無(wú)法接受，因此用零作除數(shù)被宣告是無(wú)效的運(yùn)算。

這道理的簡(jiǎn)單性也像哥倫布雞蛋一樣，一說(shuō)出來(lái)就盡人皆知，但在數(shù)學(xué)發(fā)展中得出這一正確的結(jié)論也經(jīng)歷了極其長(zhǎng)的時(shí)間呢，甚至歐洲到19世紀(jì)初還有一些數(shù)學(xué)家對(duì)零的運(yùn)算有錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí)。另外，零不能作除數(shù)的處理現(xiàn)在我們雖然都明白，但使用代數(shù)式運(yùn)算時(shí)，由于有些情況并非如此明顯，所以你必須小心檢查，是否會(huì)出現(xiàn)被零除的情形。一個(gè)很能說(shuō)明問(wèn)題并且轟動(dòng)一時(shí)的例子，與愛因斯坦相對(duì)論有關(guān)。愛因斯坦在自己的一項(xiàng)工作中發(fā)現(xiàn)，方程出現(xiàn)某種特異的結(jié)果，因而他轉(zhuǎn)向另一個(gè)方向，而這個(gè)方向后來(lái)也不得不放棄。1922年，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家弗里德曼研究了這些特異結(jié)果之后發(fā)現(xiàn)，愛因斯坦在推導(dǎo)中曾用一個(gè)量除過(guò)方程，而這個(gè)量在某些情況下是零。這一發(fā)現(xiàn)以及由此引出對(duì)愛因斯坦分析方法的改進(jìn)，為膨脹宇宙數(shù)學(xué)理論奠定了基礎(chǔ)。

你看，0的產(chǎn)生史作為一部傳奇故事本來(lái)就已夠令人驚奇了，想不到在它誕生后，還會(huì)引出這么些有趣的事情來(lái)。作為一個(gè)獨(dú)特的數(shù)，0確實(shí)有著比其他數(shù)更豐富的內(nèi)容。對(duì)于小學(xué)生來(lái)說(shuō)，就已了解到零有一個(gè)奇妙的特性：它與任何數(shù)的乘積都是零，正是這一特性導(dǎo)致了它最獨(dú)特的地方，0不能做除數(shù)。對(duì)于一個(gè)初中生，他們還明白了一件關(guān)于零的獨(dú)特之處，就是零既非正數(shù)又非負(fù)數(shù)。實(shí)際上，除此之外，符號(hào)0在數(shù)學(xué)上還有多種意義。

0是標(biāo)度或分界，如溫度以0度為界分為零上零下，海拔高度以0米為界分為高于低于海平面。可以說(shuō)，0是“有”“無(wú)”之間的一個(gè)關(guān)節(jié)點(diǎn)，0之前意味著沒(méi)有，從0開始才意味著有。例如，一天的時(shí)間從0開始，一個(gè)人的一生從0歲起算。在數(shù)學(xué)中，0起到了溝通有無(wú)的作用。

在以數(shù)軸表示實(shí)數(shù)時(shí)，這個(gè)意義發(fā)揮得更加突出：0是一個(gè)特殊的點(diǎn)，從這一點(diǎn)起，在一條直線上以某一方向?yàn)檎喾吹姆较驗(yàn)樨?fù)。這個(gè)0點(diǎn)一經(jīng)確定，就成為運(yùn)算的中心，常常決定了其他各點(diǎn)所在的方向。在實(shí)數(shù)直線上，0不僅代表數(shù)字0，它還代表與此數(shù)有關(guān)的位置——我們記數(shù)和運(yùn)動(dòng)的起點(diǎn)。

如果我們需要考慮精確度的話，小數(shù)末尾的零就不能隨便去掉。例如工人師傅加工零件，要求一個(gè)零件的長(zhǎng)度為16毫米，另一個(gè)零件的長(zhǎng)度為16.0亳米。前者表示精確到1毫米，即加工后的實(shí)際長(zhǎng)度在15.5～16.5毫米都可以是合格的。而后者表示精確到0.1毫米，即加工的實(shí)際長(zhǎng)度在15.95～16.05毫米才是合格的。顯然后者的加工精度比前者高。你看，只是末尾一個(gè)0之差，就有兩種不同的要求。這說(shuō)明零并非意味著什么也沒(méi)有。

正如恩格斯指出的：零是任何一個(gè)確定的量的否定，所以不是沒(méi)有內(nèi)容的。相反地，零是具有非常確定的內(nèi)容的………零不只是一個(gè)非常確定的數(shù)，而且它本身比其他一切被它所限定的數(shù)都更重要。事實(shí)上，零比其他一切數(shù)都有更豐富的內(nèi)容。

除此之外，0的特殊性還帶來(lái)一系列問(wèn)題，它的出現(xiàn)導(dǎo)致了一系列的矛盾。在歷史紀(jì)年中，由于零就引出了一些問(wèn)題。先讓我出一道腦筋急轉(zhuǎn)彎測(cè)測(cè)你。

古希臘有一位雄辯家，他生于公元前30年7月4日，死于公元30年7月4日。問(wèn)：他活了多大歲數(shù)？

怎么樣？問(wèn)題不難吧？你的答案是多少？

如果你回答說(shuō)：當(dāng)然是60歲了。那么，我將以一種得意的神情告訴你：很不幸，你錯(cuò)了！于是，你可能困惑地想：不會(huì)吧？實(shí)際上，你錯(cuò)的原因很簡(jiǎn)單。在歷史紀(jì)年中，是沒(méi)有公元0年的，所以你就多算了一年，因此正確答案應(yīng)是59歲。

與之有關(guān)的最近事件是21世紀(jì)從哪一年開始的問(wèn)題：是2000年還是2001年？中國(guó)天文學(xué)界認(rèn)為應(yīng)該從2000年開始，而英國(guó)格林尼治天文臺(tái)認(rèn)為應(yīng)該從2001年算起。一個(gè)本來(lái)是人為規(guī)定的事，卻驚動(dòng)了天文學(xué)界科學(xué)家來(lái)討論。

你看，零是不是很特殊？

在數(shù)學(xué)上，當(dāng)零出現(xiàn)時(shí)，就曾受到是否為數(shù)的質(zhì)疑。當(dāng)然在現(xiàn)在它是確切的數(shù)已經(jīng)被公認(rèn)了。但它能否看作是自然數(shù)呢？這卻是一個(gè)引起爭(zhēng)論的問(wèn)題。

無(wú)論從規(guī)范的定義或者從歷史的發(fā)展來(lái)看，自然數(shù)都是從1開始，而不是從0開始。特別當(dāng)我們數(shù)數(shù)時(shí)，總是先要把要數(shù)的對(duì)象排成一個(gè)順序，每一個(gè)對(duì)象給一個(gè)編號(hào)，這個(gè)編號(hào)實(shí)際上是個(gè)序數(shù)，表示你操作的順序，而這個(gè)過(guò)程總是從1開始的。在這種情況下，自然數(shù)的基數(shù)和序數(shù)也是統(tǒng)一的、一致的。由于0的出現(xiàn)，問(wèn)題就復(fù)雜了。0可以看成基數(shù)的頭一次推廣。但是把它看成序數(shù)就非常勉強(qiáng)，或者說(shuō)當(dāng)把0人為地加入到自然數(shù)當(dāng)中，按照大小順序排列，得到0、1、2……時(shí)，同正常的序數(shù)不相符合。上面所說(shuō)2000年能否算作21世紀(jì)第一年的爭(zhēng)論，實(shí)質(zhì)上正是零可否看作序數(shù)問(wèn)題的反映。

說(shuō)到底，0是一個(gè)非常特殊的符號(hào)，它可以被看作是第一個(gè)理想數(shù)。它為推廣數(shù)的概念鋪平了道路。

除了上述所提到的以外，零的概念的開拓與延伸在數(shù)學(xué)發(fā)展中顯得更為重要。這一概念在數(shù)學(xué)的幾乎每一個(gè)分支都起著同樣重要的作用。比如在平面與空間三維甚至多維空間中，0的概念被推廣為坐標(biāo)系的原點(diǎn)。更進(jìn)一步，在向量中有零向量與之對(duì)應(yīng)。在矩陣中也有零矩陣，用O來(lái)表示，這種矩陣在很多場(chǎng)合都很有用。在集合中有一個(gè)沒(méi)有任何元素的集合——空集——用希臘字母來(lái)表示。這個(gè)符號(hào)也使人們想起普通的0。實(shí)際上，我們?cè)诤竺孢€將看到人們正是把空集的元素個(gè)數(shù)與零聯(lián)系在一起了。在群論中，有零元的概念。在結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)中，一個(gè)集合有沒(méi)有0元對(duì)于整個(gè)結(jié)構(gòu)有重要的影響。而無(wú)論是零向量、零矩陣、零元等等這一切都有著與0類似的特性，都可以看作是零的概念的延伸、推廣。

因而，正如一位數(shù)學(xué)史家所說(shuō)：數(shù)字零，注定要成為文化進(jìn)展的轉(zhuǎn)折點(diǎn)。沒(méi)有它，今天的科學(xué)、工業(yè)和商業(yè)的發(fā)展都是不可想象的。這個(gè)偉大的發(fā)現(xiàn)影響所及絕不限于算術(shù)。在文化史上，零的發(fā)現(xiàn)永遠(yuǎn)標(biāo)志著人類最偉大的獨(dú)一無(wú)二的成就。

數(shù)1

上面我們已經(jīng)提到了數(shù)零，它是整個(gè)數(shù)的海洋中最重要的數(shù)之一。下面，我們準(zhǔn)備再簡(jiǎn)單介紹另一個(gè)重要的數(shù)：1。

1是“數(shù)之始也”，是數(shù)目或計(jì)數(shù)的開始。前面我們已經(jīng)提到過(guò)區(qū)分出一與多是人類數(shù)的概念發(fā)展中的一大進(jìn)步。

在數(shù)學(xué)上，數(shù)1的第一個(gè)重要特性是它可以看作是生成元。所有的正整數(shù)都是通過(guò)它的連加而形成的：2=1+1,3=2+1……這一過(guò)程可以一直進(jìn)行下去，甚至到地老天荒的那一天也不會(huì)終止。于是，我們認(rèn)識(shí)到了一個(gè)很自然的結(jié)論：自然數(shù)是永遠(yuǎn)也數(shù)不完的，它有無(wú)窮多個(gè)！哦，無(wú)窮！這個(gè)與數(shù)學(xué)結(jié)下不解之緣的神秘美妙的概念，我們?cè)谙挛闹羞€會(huì)介紹到。這里先提到一點(diǎn)：在數(shù)學(xué)中無(wú)窮大通常用∞來(lái)表示。必須強(qiáng)調(diào)指出的是，無(wú)窮大是一個(gè)概念而不是一個(gè)具體的數(shù)。

與自然數(shù)相類似，負(fù)整數(shù)亦可以通過(guò)連減以類似方式得到。

當(dāng)我們引入更直觀的數(shù)軸時(shí)，我們對(duì)數(shù)字1、0與概念無(wú)窮大，大約能夠理解更深刻一些。回想一下我們對(duì)數(shù)軸的定義：所謂數(shù)軸，是規(guī)定了原點(diǎn)、單位長(zhǎng)度及正方向的有向直線。由此可見，在數(shù)軸上，符號(hào)0、1各有奇特的作用。0代表起點(diǎn)，同時(shí)它的存在又為方向的確定給出了依據(jù)。而1是單位長(zhǎng)度，是我們使用的標(biāo)度。而∞則代表該直線的完全性——事實(shí)上它包括所有的自然數(shù)（當(dāng)然還包括了除自然數(shù)外的其他實(shí)數(shù)）。

正由于1這一生成元的特性，它常常被賦予哲學(xué)的，甚至是神的特性。在大多數(shù)宗教中，數(shù)字1象征著上帝的獨(dú)一無(wú)二。在我國(guó)偉大思想家老子的心目中，1也處于極其重要的地位。他在《道德經(jīng)》一書中寫道：道生一、一生二、二生三、三生萬(wàn)物。可見，在他眼中，1的重要僅次于最重要的“道”。一表示數(shù)字的開始，同時(shí)也表示萬(wàn)物之始。這個(gè)思想成為我國(guó)古代宇宙觀和哲學(xué)的基礎(chǔ)。既然萬(wàn)物開始于“一”，人們對(duì)“一”當(dāng)然就格外重視了。

由于1是所有數(shù)的生成元，而它自己則無(wú)法生成。因而古希臘人認(rèn)為1不是數(shù)，而僅僅是組成數(shù)的成份、原子，是構(gòu)成所有真正的數(shù)的“基磚”。如古希臘哲學(xué)家亞里士多德拒絕把1看作一個(gè)數(shù)。這正是導(dǎo)致我們所熟知的“1既非素?cái)?shù)又非合數(shù)”這一特殊性質(zhì)的一大原因。

數(shù)1的另一重要特性是任何數(shù)與它的乘積都保持原數(shù)而不發(fā)生改變。用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)式子來(lái)表達(dá)就是。這樣的道理或許是很簡(jiǎn)單，但并非不重要。事實(shí)上，這代表了一種極為重要的不變性。當(dāng)讀完后面的內(nèi)容時(shí)，你會(huì)對(duì)此有新的體會(huì)。

數(shù)1，具有的獨(dú)特性質(zhì)，使它的概念在其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域中都有所推廣。如在矩陣中有單位矩陣；向量中有單位向量；尤其是在群論中有單位元的概念等等。而這一切概念都具有與數(shù)1類似的特性，并在相應(yīng)的領(lǐng)域中起著重要的作用。事實(shí)上，在結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)中一個(gè)結(jié)構(gòu)是否包含與數(shù)1地位相當(dāng)?shù)膯挝辉獙?duì)這一結(jié)構(gòu)而言是至關(guān)重要的。