第一節 現代資產組合理論

資產組合理論也稱投資組合選擇理論，是繼凱恩斯理論之后在西方主流經濟學界出現的一種核心投資理論。1952年，馬柯維茨（Harry M. Markowitz）發表《資產組合的選擇》論文，開創了現代投資理論的先河。1959年，出版了同名專著。由于其在投資理論的特殊貢獻和歷史地位，于1990年獲得諾貝爾經濟學獎。

資產組合理論大致包括收益度量、風險度量、非系統風險分散、投資組合選擇等。

一 資產收益及其數理統計量

在均衡市場中，不存在高風險、低收益的資產，也不存在低風險、高收益的資產，換言之，均衡市場不會出現一種資產明顯優于另一種資產的情形。

（一）資產收益

資產收益（return, R）是財務學尤其是風險管理理論研究的隨機變量。當其他因素不變時，資產收益用資產價格表示。衡量資產收益的形式有：一是絕對數，即資產賣出價格減去買入價格，或資產期末價值與期初價值之差，ΔP=P1-P0。二是相對數，即資產買賣價格差額與買入價格之比，R=ΔP÷P0=P1÷P0-1。

一般來說，資產收益用相對數表示，即資產收益率。

1．資產收益形式及關系

（1）必要收益率。是指人們愿意投資所要求的最低報酬，能夠準確反映未來現金流量風險的報酬，精確表達了投資風險的大小。必要收益率建立在機會成本的基礎上，是在同等風險下選擇這個方案而放棄其他方案的最大報酬率。

資產的內在價值評價以必要收益率作為折現率。

（2）期望收益率。是指人們從事投資所預計的報酬大小，是使凈現值等于0的內含報酬率。當凈現值等于零（NPV=0）時，投資者能夠賺取與其風險水平相應的收益水平。投資可行性的基本條件是期望收益率大于或等于必要收益率。

資產的買價估算以期望收益率作為折現率。

（3）實際收益率。是指人們投資后所獲得的真實報酬，反映投資決策的現實回報情況，是無法改變的。投資經過一段時間后有了最終結果，若實際收益率與期望收益率有差異，則可以說這是風險造成的或發生了風險。總不能讓時光倒流，去改變實際報酬率，只能根據以往的實際收益率做出新的投資決策。由于風險的存在，實際報酬率與期望報酬率并無必然的聯系。

值得一提的是，必要收益率是機會成本；期望收益率不小于必要收益率是投資決策的基本依據；實際收益率與期望收益率的差異正是風險的本質內容。在有效資本市場中，期望收益率與必要收益率應當趨于一致，且均與實際收益率走向統一。

2．資產收益概率分布

在現實經濟中，一些在相同條件下可能發生也可能不發生的事件稱為隨機事件。隨機事件發生的可能性大小稱為概率。概率分布是隨機事件可能出現的所有結果的概率集合，需要滿足兩個條件：所有可能結果發生的概率（Pi）介于0—1之間，即0≤Pi≤1；所有可能結果的概率之和等于1，即{L-End} = 1。概率分布分為離散型分布和連續型分布。

（1）離散型分布。有些隨機變量的所有可能取值是有限個（可列），這種變量稱為離散型隨機變量。對應于有限個取值，有確定的概率，則稱這種變量服從離散型分布。

現有兩個投資機會X和Y。X是高科技項目，市場競爭激烈，若做得好，利潤很大，否則，會出現較大虧損；Y是傳統項目，銷售前景能夠較準確地預測。兩個項目在未來經濟狀況好、中、差三種情況下，其預期收益率R及概率分布見表2-1。

離散型分布是一種非連續概率分布，如圖2-1所示。

（2）連續型分布。實際上，未來經濟狀況的出現遠不止上述好、中、差三種情況，從好到中，從中到差，會有無數種小的情況出現。若對每種小的情況都賦予一個概率，并仍然滿足{L-End} = 1，然后分別測定其對應的投資收益率，則稱這種變量服從連續型分布。

連續型概率分布描述的是概率與資產收益率的關系為函數關系，表達式為P=f（R）。圖2-1中，若假定隨機變量可以連續取值，且有對應概率，X和Y項目的概率分布如圖2-2所示。可見，概率分布越集中，概率曲線的峰度越大，實際收益率偏離期望收益率的可能性越小，投資風險越低。從圖2-1和圖2-2可以看出，X方案與Y方案相比，其投資風險要大。

需要說明的是，無論是連續型分布，還是離散型分布，給出的例子通常是假定隨機變量服從正態分布。事實上，并非所有的隨機變量都呈正態分布。但是，根據統計學理論，無論總體是否服從正態分布，其樣本平均數均呈正態分布。

根據概率分布，對投資項目，不僅要分析其期望收益，而且要研究收益風險程度。

（二）資產收益的數理統計量

根據數理統計原理，反映隨機變量集中趨勢或穩定程度的基本指標是期望值，反映隨機變量離散趨勢或波動程度的主要指標是標準差。

1．資產收益期望值

期望值也稱均值，是資產收益率的所有可能取值，以各自相應的概率作為權數計算的加權算術平均數，用μ或E（R）表示。

（1）概率未知。若資產收益情況出現的概率未知，則通常假定各情況概率相同，均為1/n，資產收益期望值的計算式為：

式中：Ri為第i種情況的資產收益率；n為所有可能出現的情況數。

【例2-1】 兩種股票在4個年度的收益率見表2-2。求A、B的收益期望值。

解

A股票收益期望值為：

B股票收益期望值為：

（2）概率已知。當資產收益情況出現的概率已知，資產收益期望值的計算式為：

式中：Pi為第i種情況的資產收益率發生的概率。

【例2-2】 三種股票在三種可能情況下的收益率見表2-3。求A、B、C的收益期望值。

解

A股票收益期望值為：

μA=0.3×90% +0.4×40% +0.3×（-10%）=40%

B股票收益期望值為：

μB=0.3×70% +0.4×40% +0.3×10% =40%

C股票收益期望值為：

μC=0.3×80% +0.4×50% +0.3×20% =50%

2．資產收益標準差

標準差也稱均方差，通常用σ 表示，是方差的平方根。方差是資產收益率的所有可能取值與其期望收益率之差平方的期望值，通常用σ2或D（R）表示。

（1）概率未知。當資產收益情況出現的概率未知，資產收益標準差的計算式為：

【例2-3】 承例2-1，計算A、B兩種股票的收益標準差。

解

A股票收益標準差為：

B股票收益標準差為：

（2）概率已知。當資產收益出現概率已知，標準差的計算式為：

【例2-4】 承例2-2，計算A、B、C三種股票的收益標準差。

解

A股票收益標準差為：

B股票收益標準差為：σB= 0.3×（70% -40%）2+0.4×（40% -40%）2+0.3×（10% -40%）2= 0.3×70%2+0.4×40%2+0.3×10%2-40%2= 5.4%=23.24%

C股票收益標準差為：

標準差是用絕對數形式來衡量風險的。當兩個方案的收益期望值相同，標準差越大，風險越大；反之亦然。當兩個方案的收益標準差相同，期望值越大，風險越小；反之亦然。例2-2和例2-4中，A、B股票的收益期望值相同，但A股票的收益標準差較大，風險較大；B、C股票的收益標準差相同，但C股票的收益期望值較大，風險較小。

標準差只能用來比較收益期望值相同投資方案的風險大小。當收益期望值不同，標準差的判斷功能失效。例2-2和例2-4中，A與B能比較，B與C能比較，A與C不能比較。為了解決這一問題，引入一個用相對數形式來衡量風險的變異系數。

3．資產收益變異系數

變異系數也稱標準離差率，是標準差與期望值之比，通常用 VC 表示，其計算式為：

【例2-5】 承例2-2和例2-4，計算各方案的資產收益變異系數。

解

A、B、C股票的收益變異系數分別為：

VCA=38.72%÷40% =0.968

VCB=23.24%÷40% =0.581

VCC=23.24%÷50% =0.4648

可知，A、B、C三種股票相比，A的風險最大，B次之，C最小。

二 現代資產組合理論的先驅：σ-μ理論

馬柯維茨的資產組合理論之所以被稱為σ-μ理論，是因為該理論主要討論的是在不確定條件下投資組合選擇的均值—離差法。

（一）σ-μ理論的基本假設

σ-μ理論的基本思想是在資產組合的收益期望值和收益標準差之間進行權衡，目的是風險一定收益最大，或收益一定風險最小，或風險最小且收益最大。

資產組合理論建立在一系列假設基礎上：

（1）單期投資，即投資者期初投資，期末取得投資回報。單期模型分析雖然是對現實的一種近似描述，如對零息債券、歐式期權等投資，但作為一種簡化形式，成為多期模型分析的基礎。

（2）投資者事先知悉資產收益率的概率分布，并呈正態分布。

（3）證券市場是有效的，不存在稅收和交易成本，投資者是價格的接受者，證券是無限可分的。

（4）投資者用期望收益率（收益率均值）來衡量未來實際收益率的總體水平，用收益率離差（標準差或方差）來衡量投資收益率的風險，因此，均值—離差（σ-μ）成為投資者關注的主要決策變量。

（5）投資者是風險厭惡者，總是根據占優原則，在同一風險下選擇收益較高的資產，或者在同一收益率下選擇風險較低的資產。

（6）市場資產收益率的正態分布決定了資產由其均值和離差唯一確定。

（7）不允許買空，wi＞0。

（8）投資者的效用函數是二次的，U（w）=a+bw+cw2。

由于投資者是風險回避者，σ-μ等效用曲線都是正斜率，但由于不同投資者的風險厭惡程度有所差異，斜率也有一定差異。投資者的σ-μ無差異曲線越陡峭，說明投資者的風險厭惡度越高；反之，σ-μ無差異曲線越平坦，說明投資者的風險厭惡度越低。對于同一投資者，面臨許多σ-μ無差異曲線，在同一σ-μ無差異曲線上，任何一點所代表的資產組合對投資者的滿足程度都是相同的，在不同σ-μ無差異曲線上，點所代表的資產組合對投資者的滿足程度是不同的，σ-μ無差異曲線越靠近坐標的左上部分，對投資者的滿足程度越大；反之，越靠近坐標右下部分，對投資者的滿足程度越小。

最優資產組合μp=f（σp）：

資產組合通過多元化分散化投資來對沖一部分風險。

（二）兩項風險資產組合的σ-μ指標

在財務活動中，投資者很少投資于單一資產，而往往投資兩項或兩項以上資產，構成資產組合，減少資產收益的波動性，降低整體風險。計量資產組合風險時，同樣離不開期望值和標準差兩個變量。

1．兩項風險資產組合的收益期望值

兩項風險資產組合的收益期望值是組合中各資產的收益期望值，以其投資比例作為權數的加權算術平均數。設兩項風險資產分別為A和B，收益期望值分別為E（RA）或μA、E（RB）或μB，投資比例分別為wA和wB，則兩項風險資產組合的收益期望值計算式為：

μp=wA×E（RA）+wB×E（RB）=wA×μA+wB×μB

式中：μp為資產組合的收益期望值。

【例2-6】 設兩種股票A、B形成組合，投資比例分別占60%和40%，在三種可能情況下的投資收益率見表2-4。計算兩項風險資產組合的收益期望值。

解

μA=E（RA）=0.25×90%+0.50×30% +0.25×（-20%）=32.5%

μB=E（RB）=0.25×30% +0.50×20% +0.25×0=17.5%

μp=E（Rp）=0.6×32.5% +0.4×19.5% =29.5%

2．兩項風險資產組合的收益標準差

兩項風險資產組合的收益期望值等于組合中各風險資產收益期望值的加權算術平均數，但其收益標準差并不一定等于組合中各風險資產收益標準差的加權算術平均數。設兩種風險資產A和B的收益方差分別為 D（RA）、D（RB），兩者之間的收益協方差為Cov（RA, RB）或σAB，則風險資產組合的收益標準差計算式為：

式中：σp為資產組合的收益標準差，D（RA, RB）為收益方差。

可見，兩項風險資產組合的收益標準差取決于三個因素：一是兩項風險資產本身的收益標準差；二是兩項風險資產投資比例；三是兩項風險資產之間的收益協方差。而風險資產A、B之間的收益協方差計算式為：

【例2-7】 承例2-6，計算兩項風險資產A、B組合的收益標準差。

解

此例證實了兩項風險資產組合的收益標準差小于兩項風險資產收益標準差的加權算術平均數，說明資產組合可以起到風險分散的作用。

wA·σA+wB·σB=0.6×38.97% +0.4×10.91% =27.75% ＞σp=27.59%

此例同樣證實了兩項風險資產組合收益方差小于兩項風險資產收益方差的加權算術平均數，說明資產組合具有風險分散效應。

3．兩項風險資產之間的收益相關系數

引入相關系數后，則風險資產組合的收益標準差計算式為：

式中：相關系數ρAB或Corr（RA, RB），取值介于1和-1之間，計算式為：

【例2-8】 承例2-7，計算A、B資產之間的收益相關系數。

解

（三）兩項風險資產組合“σp-μp”投資機會線

引入相關系數后，影響兩項風險資產組合收益標準差的三個因素改變為：兩項風險資產本身的收益標準差 σA和σB、兩者的投資比例 wA和wB、兩者之間的收益相關系數ρAB（原來是兩者之間的收益協方差σAB）。下面用一個綜合性例題說明相關系數、投資比例對資產組合風險產生的影響以及如何做出投資選擇。

【例2-9】 投資于A、B股票，收益期望值分別為15%和10%，標準差分別為12%和8%，當投資比例出現為以下十一種情況：10∶0、9∶1、8∶2、7∶3、6∶4、5∶5、4∶6、3∶7、2∶8、1∶9、0∶10，相關系數出現為以下九種情況：1、0.8、0.5、0.2、0、-0.2、-0.5、-0.8、-1，計算資產組合的收益期望值與標準差。

解

當投資比例為6∶4，即wA=0.6時：

μp=0.6×15% +0.4×10% =13%（收益期望值與相關系數無關）

將wA=0.6的1個期望值和9個標準差數據分別填入表2-5的“6∶4”縱欄。

同理，分別計算其他十種情況wA=1、wA=0.9、wA=0.8、wA=0.7、wA=0.5、wA=0.4、wA=0.3、wA=0.2、wA=0.1、wA=0的1個期望值和9個標準差，對應填入表2-5。

1．相關系數對σp-μp的影響

從表2-5縱欄（除“10∶0”、“0∶10”外的中間9列）可以看出，從上到下，隨著相關系數逐次減小，風險資產組合標準差也隨之減小。具體表現為：當ρAB=1，風險資產組合的標準差最大。隨著ρAB逐漸下降，風險資產組合的標準差也隨之下降。當ρAB=-1，風險資產組合的標準差最小。

（1）ρAB=1，兩種風險資產收益之間呈完全正相關。此時，兩項風險資產收益的變動方向和變動幅度完全一致，其期望值和標準差滿足：

在現實財務活動中，完全正相關較罕見。當兩種風險資產收益之間呈完全正相關，期望值和標準差同時隨著wA的增加而增加，由風險資產組合收益的期望值和標準差構成的機會集是一條直線AB，如圖2-3（左）所示。將例2-9中ρAB=1在不同投資比例下各項數據連接起來的σp-μp線就是直線AB。可以看出，機會線AB不存在無效集，機會集與有效集完全重合，即機會集全部是非劣集。風險資產收益之間完全正相關，資產組合的收益和風險，比收益和風險較大的A資產要小，比收益和風險較小的B資產要大。

（2）ρAB=-1，兩種風險資產收益之間呈完全負相關。此時，兩項風險資產收益的變動方向和變動幅度完全相反，其期望值和標準差滿足：

在均衡市場中，完全負相關幾乎不存在。當兩種風險資產收益之間呈完全負相關，期望值隨著wA的增加而增加，但標準差一開始隨著wA的增加而逐漸減小，直到C處為0，然后又逐漸增加，由風險資產組合收益的期望值與標準差構成的機會集是一條折線 ACB，折點為 C，如圖2-3（右）所示。將例2-9中ρAB=-1在不同投資比例下的各項數據連接起來的σp-μp線就是折線ACB。由于C的組合標準差σp=0，此時投資比例為wA=σB÷（σA+σB）或者wB=σA÷（σA+σB），為無風險的投資組合。因此，在完全負相關情況下，若投資比例滿足wA=σB÷（σA+σB），則具有完全分散風險效應。可以看出，機會集上既存在有效集，也存在無效集。當σB÷（σA+σB）≤wA≤1，有效；當0≤wA＜σB÷（σA+σB），無效。當風險資產收益之間呈完全負相關，組合具有最大的風險分散效果，能夠消除大部分非系統性風險。

（3）ρAB=0，兩種風險資產收益之間呈完全不相關。此時，兩項風險資產收益的變動方向和變動幅度完全相互獨立，其期望值和標準差滿足：

這種情況在現實生活中也較少見。當兩種風險資產收益之間呈完全不相關，由風險資產組合收益的期望值與標準差構成的機會集是一條向左彎曲度中等的曲線AB，如圖2-4（A和B）所示。將例2-9中ρAB =0在不同投資比例下的各項數據連接起來的σp -μp 線就是曲線AB。可以看出，機會集上大多是有效集，也存在少量無效集。當{L-End} ≤wA≤1，有效；當{L-End} ，無效。當風險資產收益之間完全不相關，組合具有一定風險分散效果，能夠消除一定的非系統性風險。

（4）0＜ρAB＜1，兩種風險資產收益之間呈不完全正相關。此時，兩項風險資產收益的變動方向相同，但變動幅度和頻率不同，其期望值和標準差滿足：

在現實財務活動中，許多資產收益之間的相關系數通常為0.5—0.7。當兩種風險資產收益之間呈不完全正相關，由風險資產組合的收益期望值與標準差構成的機會集是一條向左彎曲度較小（較ρAB =0）的曲線AB，如圖2-4（A）所示。將例2-9中ρAB=0.8、ρAB=0.5、ρAB=0.2在不同投資比例下的各項數據連接起來的σp-μp線就是彎曲度較小的曲線AB。可以看出，相關系數越小，彎曲度越大，但要小于ρAB =0情況的彎曲度。值得一提的是，當ρAB=0.8時，彎曲度最小，這時有效邊界與機會集重合。當ρAB=0.5、ρAB=0.2時，均能找到無效集。更具體、更普遍來說，當ρAB＜σB ÷σA，且{L-End} ≤wA≤1，風險資產組合有效；而當{L-End} ，風險資產組合無效。當σB ÷σA＜ρAB＜1，風險資產組合全部是有效的。

當風險資產收益之間不完全正相關，組合具有的風險分散效果小于ρAB=0情況，而且可以推斷：ρAB越小，機會集曲線越彎曲，風險分散效果越大；反之亦然。

（5）-1＜ρAB＜0，兩種風險資產收益之間呈不完全負相關。此時，兩項風險資產收益的變動方向相反，但變動幅度和頻率不同，其期望值和標準差滿足：

這種情況在現實財務活動中也較常見。當兩種風險資產收益之間呈不完全負相關，由風險資產組合的收益期望值與標準差構成的機會集是一條向左彎曲度較大（較ρAB=0）的曲線，如圖2-4（B）所示。將例2-9中ρAB=-0.2、ρAB=-0.5和ρAB=-0.8在不同投資比例下的各項數據連接起來的σp-μp線就是彎曲度較大的曲線AB。可以看出，相關系數越大（絕對值越小），彎曲度越小，且無論如何要大于ρAB=0情況的彎曲度。無論哪種情況，機會集上既存在有效集，也存在較多的無效集。

當風險資產收益之間不完全負相關，組合具有的風險分散效果要大于ρAB=0情況，而且可以推斷：ρAB越大，機會集曲線越彎曲，風險分散效果越大；反之亦然。

可見，相關系數與資產組合選擇曲線彎曲度的關系是：相關系數越小，彎曲度越大。當ρAB=1，彎曲度最小，等于0，為直線；當0＜ρAB＜1，彎曲度逐漸加大；當ρAB=0，彎曲度趨于中等；當-1＜ρAB＜0，彎曲度進一步加大；當ρAB= -1，彎曲度最大，等于1，為折線。因此，要使資產組合的風險趨于最小化，除實行多樣化投資外，還要挑選相關系數較低的風險資產。

2．投資比例對σp-μp的影響

從表2-5橫欄（除“1”、“0.8”外的后面7行）可以看出，從左到右，隨著風險較大的A資產投資比例的下降（風險較小的B資產投資比例的上升），風險資產組合的標準差也隨之減小。具體表現為：當wA=1（wB=0），不是資產組合，而是風險較大的A資產，“組合”標準差最大，等于σA；隨著風險較大的A資產投資比例的下降，風險資產組合標準差隨之下降。當wA=0（wB=1），也不是資產組合，而是風險較小的B資產，“組合”標準差最小，等于σB。

下面僅以ρAB=0為例說明投資比例的影響，將圖2-4放大，并將例2-9中ρAB=0時的11種資產組合繪制成圖，如圖2-5所示。

從圖2-5可以看出，資產組合機會集曲線具有以下特征：

（1）揭示了風險分散效應。以虛線表示的直線代表ρAB=1的機會集，以虛線表示的折線代表ρAB=-1的機會集，以實線表示的曲線代表ρAB=0的機會集，在同一μp水平上，直線的σp最大，曲線的σp居中，折線的σp最小，更重要的是，直線的σp雖然比σA小，卻比σB要大，曲線和折線的σp不僅小于σA，而且在許多情況下也小于σB，說明曲線特別是折線的風險分散效果最顯著。

（2）指出了最小風險組合。曲線最左端的L點是最小方差組合，稱為最小風險組合。圖2-5中，最小風險組合是wA=0.3，即30%投資于A資產，70%投資于B資產。離開此點，無論是增加A資產還是B資產的投資，都會引起風險的增加。當然，機會集向左彎曲并不是資產組合中的必然現象，取決于相關系數的大小。在例2-9中，ρAB=0.8特別是ρAB=0.9就不會出現這種向左彎曲現象。

（3）表達了組合有效邊界。所有投資機會限定在機會集曲線上，不可能出現在機會集曲線以外的任意區域，改變投資比例只會改變資產組合在機會集曲線上的位置。例2-9中，機會集曲線上的三個組合（wA=0.2、wA=0.1、wA=0）是無效的，即最小風險組合以下的部分線段是無效集。它們與最小風險組合相比，不僅風險大，而且報酬低。機會集曲線上的八個組合（wA=0.3、wA=0.4、wA=0.5、wA=0.6、wA=0.7、wA=0.8、wA=0.9、wA=1）是有效的，即最小風險組合及其以上的部分線段是有效集，從最小風險組合點起，到最大期望收益組合點止。但是，在機會集上，找不到風險最小且收益最大的組合。

（四）多項風險資產組合的“σp-μp”投資機會面

以上講述的是兩項風險資產組合的風險分散原理對多項風險資產組合同樣適用。

1．多項風險資產組合的計量指標

（1）收益期望值。多項風險資產組合的收益期望值是組合中各項風險資產的收益期望值以其投資比例為權數的加權算術平均數，其計算式為：

式中：E（Rp）為多項風險資產組合的期望收益率；wj為第j項風險資產在組合中的投資比例；E（Rj）為第j項風險資產的期望收益率；Rji為第j項風險資產在第i種情況下的收益率；Pi為第i種情況的概率；m為資產組合中的資產數；n為所有可能出現的情況。

（2）收益標準差。多項風險資產組合的收益期望值等于組合中各項風險資產的收益期望值的加權算術平均數，但多項風險資產組合的收益標準差并不一定等于各項風險資產的收益標準差的加權算術平均數，不能簡單使用下式：

式中：σp為多項風險資產組合的標準差；σj為第j項風險資產的標準差。

更不能使用此式：{L-End} {L-End}

式中：{L-End} 為多項風險資產組合的方差；{L-End} 為第j項風險資產的方差。

嚴格講，多項風險資產組合的標準差可能等于各項風險資產標準差的加權平均數，也可能等于零，但絕大多數介于這兩者之間。這是因為，多種風險資產組合的標準差不僅取決于各項風險資產的方差，更重要的是取決于各項風險資產之間的協方差。隨著風險資產種類的增加，方差的作用越來越小，協方差的作用越來越大。多項風險資產組合的收益標準差計算式為：

式中：D（Rp）為多項資產組合的方差；σjk為第j項資產與第k項資產之間的協方差。

由于σjk=ρjk×σj×σk，則：

令矢量W=（W1, W2, …, Wm），矩陣{L-End}

則：

2．多項風險資產組合的風險分散效應

由m項風險資產構成的組合的方差，包括m個各項風險資產本身的方差和（m2 -m）個各項風險資產之間的協方差。假定各風險資產所占的投資比例均為1/m，方差均為{L-End} ，協方差均為σjk，相關系數均為ρjk，則多種風險資產組合的標準差簡化為：

決定多種風險資產組合的標準差除各項風險資產自身標準差外，更重要的是各項風險資產之間的協方差。當風險資產數量增加到一定程度，多種風險資產組合的標準差僅受各項風險資產之間的協方差的影響，各項風險資產本身的方差就會完全分散掉。可見，風險資產組合不能分散全部風險，只能部分地分散非系統性風險（有時能全部分散），對全部系統性風險無能為力。

3．多項風險資產組合“σp-μp”投資機會面的理性選擇

上述兩項風險資產組合的選擇原理對多種風險資產組合的選擇同樣適用。不過，多種風險資產組合的機會集不同于兩種風險資產組合的機會集，兩種風險資產構成的所有可能組合位于一條線上，如圖2-5所示；而多種風險資產構成的所有可能組合落在一個面上，如圖2-6所示。

若將市場所有的資產都畫在“σ-μ”面上，如圖2-6所示，其中非劣風險資產組合形成區域的左上邊界 LH，稱為有效前沿（efficient fron-tier）。在均衡市場中，任何兩種風險資產之間不可能呈負相關，所以，所有風險資產組合不可能出現無風險的情況，L點不會落在μ軸上。

L點位于機會集的最左端，是最小風險組合；H點位于機會集的最上端，是最大收益組合。所以，LH線從最小風險組合點起，到最大期望收益組合點止，稱為有效機會集或有效邊界。與有效邊界的組合相比，有效邊界外的組合，要么收益相同風險較高，要么風險相同收益較低，要么收益較低且風險較高，稱為無效集。投資者應當在有效邊界上構建投資組合，不能在無效集上空耗時間，需要通過改變資產組合比例，轉換到有效集上去，以增加收益而不增加風險，或減少風險而不減少收益，或增加收益且減少風險。因此，有效機會集曲線反映了不同投資比例組合的風險與收益的權衡關系。

與單項資產投資決策一樣，投資者也是以最大效用為目標，其最優決策是非劣投資組合中的一個。若σ-μ無差異曲線族是陡峭的，則最優決策應當接近H；若σ-μ無差異曲線族是平坦的，最優決策應當接近L。一般來說，任何最優決策都在弧線LH上。嚴格來講，投資者無差異曲線與有效前沿的切點，就是最優投資組合。

（五）持有無風險資產混雜組合的“σp-μp”投資機會線

以上假定有效資產組合全部由風險資產構成。事實上，投資者除持有風險資產外，也可以持有無風險資產，即能夠在資本市場上從事無風險借貸，將無風險資產與原有的風險資產組合構成一個二次性混雜組合。

1．持有無風險資產的混雜組合形成的資本市場線

假定無風險資產的收益率為Rf，因其沒有風險，在“σ-μ”面上，分布在μ軸上，坐標為（0, Rf）。若投資者持有無風險資產的數量為正，則表示他是資本市場的貸出者；若投資者持有無風險資產的數量為負，則表示他是資本市場的借入者。

從無風險利率Rf出發，經過坐標（0, Rf）做全部風險資產構成的投資組合的有效前沿的切線 RfMN，切點是 M，坐標為（σM, μM），如圖2-7所示。在市場均衡條件下，M點就像一個高度濃縮的市場，反映了所有風險資產構成市場的基本特征，所以，人們將M點對應的投資組合稱為市場組合，它包含所有市場上存在的風險資產，且各風險資產所占的比例與該風險資產市值所占的比例相同，也稱風險資產組合。

從圖2-7可以看出，射線RfMN由“兩點兩線段”組成。“兩點”為：投資者按照Rf貸出其所有自有資本，即Rf點；投資者將其全部自有資本投資于市場組合M上，即M點。“兩線段”為：投資者按照Rf貸出其部分自有資本，將余下自有資本投資于市場組合M上，構成RfM線段，該線段任意一點稱為“貸出組合”；投資者按照Rf借入一定數量資本連同其全部自有資本投資于市場組合M上，構成MN線段，該線段上任意一點稱為“借入組合”。該射線稱為資本市場線（capital market line, CML）。

2．資本市場線的基本特征

（1）在存在無風險資產的情況下，投資者可以在資本市場上借入資本，納入其資本總額，或者將其多余的自有資本貸出。無論貸出還是借入，無風險資產收益率不變，其標準差等于0。

（2）在存在無風險資產情況下，風險厭惡者可以將自有資本部分或全部貸出，投資于無風險資產，風險減小了，但同時收益降低了；風險偏好者可以借入資本，增加對風險資產的投資，收益提高了，但同時風險上升了。

由無風險資產和市場組合構成的混雜組合的期望值為：

μp=Q×RM+（1-Q）Rf

式中：μp為混雜組合的收益期望值，RM為市場組合M的平均收益，Q為投資于市場組合M（風險資產）的比例，1-Q為投資于無風險資產的比例。

若為貸出組合，則Q＜1；若為借入組合，則Q＞1。

由無風險資產和市場組合構成的混雜組合的標準差為：

σp=Q×σM

若為貸出組合，Q＜1，則投資者承擔風險小于市場平均風險；若為借入組合，Q＞1，則投資者承擔風險大于市場平均風險。

【例2-10】 某人考慮同時投資于股票（風險資產）和國庫券（無風險資產），股票期望收益率為15%，標準差為20%；國庫券收益為8%，標準差為0。假定投資者可以按照無風險利率自由貸出或借入資本。

若投資者將自有資本的60%投資于股票，40%投資于國庫券，即Q=0.6，則總體期望值和標準差分別為：

μp=Q×RM+（1-Q）Rf=0.6×15% +（1-0.6）× 8% =12.2%

σp=Q×σM=0.6×20% =12%

若投資者借入資本，借入金額占自有資本的30%，連同自有資本全部投資于股票，即Q=1.3，則總體期望值和標準差分別為：

μp=Q×RM+（1-Q）Rf=1.3×15% +（1-1.3）× 8% =17.1%

σp=Q×σM=1.3×20% =26%

（3）切點M是市場均衡點，代表唯一最有效的資產組合，即市場組合或風險組合。在M點左側，投資者可以同時持有無風險資產和市場組合；而在M點右側，投資者僅能持有市場組合，并能借入一定資本進一步投資于市場組合。雖然理智的投資者可能會選擇有效邊界LMH上的任何組合，但若是風險厭惡者，不需要借入資本，還可以貸出資本，同時持有無風險資產和市場組合，從而會選擇RfM線上的組合；但若是風險偏好者，需要借入資本，準備全部持有市場組合（風險資產），從而會選擇MN線上的組合。與LM上的組合相比，RfM上的組合，收益相同但風險較小；或風險相同但收益較高；或收益較高且風險較小。與MH上的組合相比，MN上的組合，收益相同但風險較小；或風險相同但收益較高；或收益較高且風險較小。

（4）資本市場線描述的是投資者持有不同比例的無風險資產與市場組合下的收益與風險的權衡關系，其截距表示無風險利率，可視為時間價值（等待的回報）；其斜率代表風險溢價（額外的回報），即風險的市場價格。因此，射線的斜率可以表示為：

投資者的期望收益率等于無風險利率加上風險報酬率，而風險報酬率是風險與風險價格乘積，風險用標準差表示，風險價格用射線斜率表示，則：

這是資本市場線的函數表達式，表明了σp-μp存在線性關系。

【例2-11】 假定無風險利率為7%，混合資產組合標準差為0.4，市場組合的預期收益率和標準差分別為15%和0.2，則該混合資產組合的必要收益率為多少？

解

從圖2-7可以看出，CML實質是允許借貸條件下的有效資產組合線，規定了由無風險資產和市場組合構成的混雜組合的有效邊界，反映了有效資產組合的風險與收益的權衡關系。

（5）投資者的風險態度僅影響借貸及其資本數量，不會影響最佳市場組合。原因是具有不同風險偏好的投資者，在存在無風險資產的情況下，能夠以無風險利率自由地借貸，都會不約而同地選擇風險組合。

（六）σ-μ理論的評價

有效邊界上最靠上的無差異曲線上的資產組合是投資者認為的所有資產組合中的最滿意組合，即無差異曲線族與有效邊界相切的點對應的組合。

在投資者僅關心期望值和標準差的前提下，馬柯維茨理論是科學、準確的。不足之處是計算量太大，尤其是在規模龐大的市場中。

1．巨大貢獻

馬柯維茨理論對現代投資理論的貢獻有：

（1）傳統上，將預期收益最大化作為投資目標，不符合多樣化投資的目標，投資分散化與均值—離差目標函數一致；

（2）均值—離差目標函數的提出，解決了理論上以期望收益最大化作為投資目標與實際上的投資多元化目標相矛盾的問題；

（3）均值—離差目標函數與具有二次效用函數的投資者追求預期效用最大化的目標一致；

（4）單一證券的風險取決于它與其他證券的相關性，這是對投資組合理論的重大貢獻；

（5）理性的投資者在有效集上選擇投資組合，在給定風險水平上選擇收益率期望值最大化集；或者在給定收益水平上選擇收益率標準差最大化集。

2．應用局限性

（1）計算工作量太大。

（2）排除了消費對投資的影響，假定期初投資額是一個固定值。它雖然對單期投資的影響不大，但不適用于多期動態投資。

（3）以標準差（方差）作為風險度量，僅適用于對稱分布的資產收益，有失一般性。

（4）均值—離差不能確定具體投資者的最優組合，需要考慮投資者的風險偏好。