2.4 沖切強(qiáng)度公式

RC橋面板的極限承載力大多由沖切強(qiáng)度決定。但用理論推導(dǎo)的方法很難求出橋面板的沖切強(qiáng)度。因此，關(guān)于RC橋面板沖切強(qiáng)度的研究，幾乎都集中在對(duì)其影響因素的實(shí)驗(yàn)考察，或者是在此類實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上提出強(qiáng)度計(jì)算公式。到目前為止，已經(jīng)有大量有關(guān)RC橋面板沖切強(qiáng)度計(jì)算公式的研究相繼發(fā)表。日本的混凝土標(biāo)準(zhǔn)規(guī)范中，面構(gòu)件沖切強(qiáng)度的計(jì)算公式采用了角田等的研究成果。

下面筆者將具體介紹目前為止世界范圍內(nèi)所提出的沖切強(qiáng)度計(jì)算公式。

2.4.1 Moe計(jì)算公式

Moe認(rèn)為板的抗剪強(qiáng)度由混凝土的抗拉強(qiáng)度決定，并且混凝土的抗拉強(qiáng)度是抗壓強(qiáng)度的平方根。由板的有效高度與加載板邊長(zhǎng)的比例關(guān)系提出了板承載力的計(jì)算公式。Moe的研究對(duì)后來(lái)的研究有著廣泛的影響，1977年發(fā)行的ACI設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)便以此為基礎(chǔ)。Moe提出的公式如下所示。

式中：

V——沖切強(qiáng)度（lbf）

d——板的有效高度（in.）

b——加載板周長(zhǎng)（in.）

c——加載板邊長(zhǎng)（in.）

f′c——混凝土的壓縮強(qiáng)度（psi）

2.4.2 Yitzhaki計(jì)算公式

Yitzhaki認(rèn)為板沖切破壞主要由板受彎引起，基于此提出了板的沖切強(qiáng)度計(jì)算公式。在公式的實(shí)際應(yīng)用中，假定板在達(dá)到抗彎承載力后才開(kāi)始受沖切力的作用。Yitzhaki所提出的公式如下所示。

式中：

P——沖切強(qiáng)度（lbf）

d——板的有效高度（in.）

r——加載板邊長(zhǎng)（in.）

p——配筋率

fy——鋼筋的屈服強(qiáng)度（psi）

fc′——混凝土的抗壓強(qiáng)度（psi）

2.4.3 Gardner計(jì)算公式

Gardner提出的承載力計(jì)算公式如下式所示。

式中：

V——沖切強(qiáng)度（N）

u——加載板周長(zhǎng)（mm）

d——有效高度（mm）

ρ——配筋率

fy——鋼筋的屈服強(qiáng)度（MPa）

fcm=1.25 fc（k MPa）

fck——混凝土的抗壓強(qiáng)度（MPa）

2.4.4 中國(guó)規(guī)范用公式

中國(guó)普通混凝土板受彎構(gòu)件的計(jì)算，一般都從力學(xué)機(jī)理著手，假設(shè)其沖切錐面傾角為45°，剪力計(jì)算截面取距載荷邊h0處，抗力計(jì)算截面取距載荷邊h0/2處。分別采取錐底截面及錐中斷面計(jì)算其沖切剪力及抗力。對(duì)于預(yù)應(yīng)力受彎構(gòu)件的計(jì)算增加了有效應(yīng)力對(duì)構(gòu)件抗沖切強(qiáng)度的提高效果。但也有研究對(duì)此種截面選取的計(jì)算結(jié)果的精確度提出質(zhì)疑。

式中：

ft——為混凝土抗拉強(qiáng)度（MPa）

h0——為截面有效高度（mm）

μm——距荷載邊沿h0/2處的截面周長(zhǎng)（mm）

σpc——截面混凝土的有效平均預(yù)應(yīng)力（kgf/cm2）

2.4.5 ACI公式

下式為美國(guó)RC橋面板的承載力計(jì)算公式。

計(jì)算結(jié)果取式（2-5）3個(gè)公式中的最小值。

其中，Vcal——沖切強(qiáng)度（N）

fc′——混凝土的抗壓強(qiáng)度（MPa）

b0——加載板周長(zhǎng)+4d（mm）

d——有效高度（mm）

αs——系數(shù)（=30）

βc——加載板的長(zhǎng)短邊之比（長(zhǎng)邊/短邊）

2.4.6 BS 8110-85公式

英國(guó)The British code BS 8110-85”中規(guī)定板沖切強(qiáng)度的計(jì)算公式如式（2.6）所示。

式中：

V——沖切強(qiáng)度（N）

u=4（c+3d）——圓形加載板

u=4（b+3d）——正方形加載板

c——圓形加載板直徑（mm）

b——正方形加載板邊長(zhǎng)（mm）

d——板有效高度（mm）

ρ——配筋率

fcu=fck/0.78——Cube Strength（MPa）

fck——混凝土抗壓強(qiáng)度（Cylinder Strength）（MPa）

2.4.7 Eurocode 2計(jì)算公式

歐洲范圍內(nèi)所使用的沖切強(qiáng)度計(jì)算公式除上述CEB-FIP公式外，還有EC2（Eurocode 2）中所列出的公式，如下式所示。

式中：

VR——沖切強(qiáng)度（N）

d——有效高度（mm）

B——加載板邊長(zhǎng)（mm）

k=1.6-d其中，d：（m）

ρ——配筋率

fck——混凝土抗壓強(qiáng)度（N/mm2）

2.4.8 CEB-FIP 1990計(jì)算公式

早在1978年，歐洲各國(guó)制定了共通的沖切強(qiáng)度計(jì)算公式（Model Code 78），到1990年，“CEB-FIP Model Code 1990”又給出了改進(jìn)后的公式，如下式所示。

式中：

Vu——沖切強(qiáng)度（N）

u=π（c+4d）——圓形加載板（mm）

u=4b+4πd——正方形加載板（mm）

c——圓形加載板直徑（mm）

b——正方形加載板邊長(zhǎng)（mm）

d——板的有效高度（mm）

ξ=1+（200/d）1/2

ρ——配筋率

fck——混凝土抗壓強(qiáng)度（MPa）

γc——安全系數(shù)（1.5）

2.4.9 日本土木學(xué)會(huì)計(jì)算公式

日本土木學(xué)會(huì)混凝土標(biāo)準(zhǔn)規(guī)范基于角田等學(xué)者的研究成果提出了下面的計(jì)算公式。

式中：

V pcd——沖切強(qiáng)度（N）

其中，fpcd≤1.2N/mm2

其中，βd＞1.5時(shí)取1.5。

其中，βp＞1.5時(shí)取1.5。

βr=1+1/（1+0.25u/d）

f′cd——混凝土的設(shè)計(jì)強(qiáng)度，單位為N/mm2。

u——承力面周長(zhǎng)

up——設(shè)計(jì)斷面的周長(zhǎng)，由承力面開(kāi)始d/2位置換算得來(lái)。

d及p——有效高度及配筋率，取兩方向的平均值。

γb——構(gòu)件系數(shù)（=1.3）

2.4.10 日本建筑學(xué)會(huì)計(jì)算公式

日本建筑學(xué)會(huì)針對(duì)基礎(chǔ)底板沖剪破壞的許容剪切應(yīng)力QPA提出以下計(jì)算公式，對(duì)應(yīng)的計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖2-11所示。

式中：

QPA——沖切強(qiáng)度（kgf）

α=1.5

b0——圖2-11所示沖剪破壞設(shè)計(jì)計(jì)算中使用的剪切斷面的延伸寬度（cm）

d——有效高度（cm）

j——視為距基礎(chǔ)板應(yīng)力中心（7/8）d的位置（cm）

fs——混凝土許容剪切應(yīng)力（kgf/cm2）

2.4.11 角田計(jì)算公式

1974年，角田等通過(guò)變換實(shí)驗(yàn)影響因素的手法對(duì)60塊RC橋面板進(jìn)行了研究，結(jié)合國(guó)外的實(shí)驗(yàn)結(jié)果共計(jì)對(duì)114個(gè)板的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)分析。得出以下結(jié)論并基于此提出了式2-11-1與式2-11-2所示的沖切切強(qiáng)計(jì)算公式。

1.板的強(qiáng)度與混凝土抗壓強(qiáng)度的平方根大致呈直線關(guān)系。

2. 板的強(qiáng)度與配筋率大體上呈直線關(guān)系，pσsy影響的替代方法將提高實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的相關(guān)性。

3．沖切強(qiáng)度隨pσsy的增加而增加，兩者大體上為直線關(guān)系。若pσsy或超過(guò)一定數(shù)值，板強(qiáng)度幾乎停止增長(zhǎng)，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差也開(kāi)始變大。其限界所對(duì)應(yīng)的配筋率遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于依據(jù)極限彎曲理論得出的平衡配筋率。

4.若板的有效高度d以及加載板的邊長(zhǎng)r用無(wú)量綱量來(lái)表達(dá)時(shí)，僅用d/r的比值不夠充分，還需要導(dǎo)入另外一個(gè)變數(shù)。但若導(dǎo)入與跨度相關(guān)的變數(shù)將得不到理想的結(jié)果，若導(dǎo)入有量綱的關(guān)于長(zhǎng)度的定數(shù)，其結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的相關(guān)性很大。

5.若使用d/b0（b0：加載板周長(zhǎng)）替代d/r會(huì)得到更好的結(jié)果。

6. 在角田研究的實(shí)驗(yàn)范圍內(nèi)，跨度、承力位置以及板的形狀對(duì)板的強(qiáng)度幾乎沒(méi)有影響。

其中，時(shí)取。

另外，考慮95%信賴限界時(shí)推薦使用以下公式。

其中，時(shí)取。

式中：

Vcal——沖切強(qiáng)度（kgf）

b0——加載板的周長(zhǎng)（cm）

d——有效高度（cm）

p——配筋率

σck——混凝土抗壓強(qiáng)度（kgf/cm2）

σsy——鋼筋的屈服強(qiáng)度（kgf/cm2）

2.4.12 松井等的計(jì)算公式

松井等通過(guò)觀察實(shí)驗(yàn)體的破壞斷面，認(rèn)為受壓側(cè)表面向下x距離內(nèi)45°方向的最大應(yīng)力分布相同，并且保護(hù)層破壞區(qū)域中破壞開(kāi)始點(diǎn)的拉伸應(yīng)力最大、在一定距離內(nèi)拉伸應(yīng)力呈三角形分布。由此，受拉混凝土的斜裂縫將發(fā)生在加載板端部與混凝土剝離破壞開(kāi)始點(diǎn)的連線上，所以假定這一區(qū)域完全不承擔(dān)剪力，并忽略受壓鋼筋的抗剪效果。根據(jù)以上認(rèn)識(shí)，松井等進(jìn)行了諸多探討，針對(duì)承載力計(jì)算公式作了以下假定。

1.在不考慮受拉側(cè)混凝土的情況下，在彈性范圍內(nèi)將剪切破壞深度x視為中和軸的深度。無(wú)論在主筋方向還是與其垂直的構(gòu)造鋼筋方向，與主筋垂直的斷面和與構(gòu)造鋼筋垂直的斷面的中和軸深度到加載板板端的距離xm，xd范圍的限界周視為矩形周。

2. 將加載板端部45°方向線與受拉側(cè)鋼筋中心線的交點(diǎn)視為保護(hù)層破壞的開(kāi)始點(diǎn)，拉伸應(yīng)力的分布范圍為保護(hù)層的2倍。這里的保護(hù)層指的是鋼筋中心到混凝土下表面的距離。考慮到實(shí)驗(yàn)公式的簡(jiǎn)易化和定式化，以及破壞時(shí)可能出現(xiàn)的應(yīng)力平滑化，假定鋼筋為直線分布，并且間距一致。所以將其分布范圍設(shè)置為與實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致的范圍。

3. 以板厚度的中心為觀察點(diǎn)，主筋一般在構(gòu)造筋的外側(cè)，并且因兩方向的鋼筋量也有所不同，相互垂直兩方向的中和軸、有效高度及保護(hù)層都不盡相同。這些因素都按實(shí)際反映在公式中。

松井等對(duì)以上數(shù)值的內(nèi)部應(yīng)力進(jìn)行了積分，得出了沖切強(qiáng)度P的表達(dá)式。表達(dá)式如下式所示，沖切承載力計(jì)算力學(xué)模型如圖2-12所示。

式中：

P——沖切強(qiáng)度（kgf）

a，b——加載板的主筋方向及構(gòu)造筋方向的邊長(zhǎng)（cm）

xm，xd——忽略與主筋及構(gòu)造筋垂直斷面受拉混凝土?xí)r中和軸的深度（cm）

dm, dd——主筋與構(gòu)造筋的有效高度（cm）

τs.max——混凝土的最大剪切應(yīng)力度（kgf/cm2）

σt.max——混凝土的最大拉伸應(yīng)力度（kgf/cm2）

其中，

τs.max=0.252σck-0.000246σck（2 kgf/cm2）

σt.max=0.583σck2/3（kgf/cm2）

σck——混凝土的抗壓強(qiáng)度（kgf/cm2）

2.4.13 修正松井式

濱田等根據(jù)在沖孔部分的四周并不存在受拉鋼筋的抗剪效果，對(duì)松井式進(jìn)行了修正。修正點(diǎn)包含以下內(nèi)容：

1.將沖孔部分四周向上的拉伸應(yīng)力分布設(shè)為三角形分布。

2.消除了沖孔部分四周重復(fù)的最大剪切應(yīng)力。

修正式如式2-12所示，對(duì)應(yīng)的力學(xué)模型如圖2-13所示。

式中：

P——沖切強(qiáng)度（N）

a，b——力板的主筋方向及構(gòu)造筋方向的邊長(zhǎng)（mm）

xm, xd——忽略與主筋及構(gòu)造筋垂直斷面受拉混凝土?xí)r中和軸的深度（mm）

dm, dd——主筋與構(gòu)造筋的有效高度（mm）

τs.max——混凝土的最大剪切應(yīng)力度（N/mm2）

σt.max——混凝土的最大拉伸應(yīng)力度（N/mm2）

其中，

τcu=0.784σck0.55（3N/mm2）

σt.cu=0.0269σck2/（3N/mm2）

σck——混凝土的抗壓強(qiáng)度（N/mm2）

2.4.14 山口大學(xué)簡(jiǎn)易計(jì)算式

山口大學(xué)的濱田等全面分析了國(guó)內(nèi)外約300組板的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，并在考慮沖切強(qiáng)度對(duì)板總厚度的影響的基礎(chǔ)上，提出了最為簡(jiǎn)易的計(jì)算式，如式2-13所示。另根據(jù)山口大學(xué)對(duì)保護(hù)層為40mm以上板的實(shí)驗(yàn)，得出了保護(hù)層與修正系數(shù)的關(guān)系，由此可計(jì)算保護(hù)層厚度較大RC橋面板的剪切強(qiáng)度。

式中：

f′c——混凝土的抗壓強(qiáng)度（N/mm2）

p——（拉伸）配筋率

up——設(shè)計(jì)斷面的周長(zhǎng)（加載板周長(zhǎng)+2πh）（mm）

h——板的總厚度（mm）