第二章 數(shù)字推理

寧夏歷年考點(diǎn)透視

最近幾年的寧夏公務(wù)員考試都沒(méi)有考查數(shù)字推理，但之前考過(guò)，并且命題者的意圖誰(shuí)也說(shuō)不清楚，所以掌握該類題型的解題思路以及一般規(guī)律還是非常有必要的。

數(shù)字推理要想不丟分，考生對(duì)題目的思維反應(yīng)速度與計(jì)算速度是關(guān)鍵。要想在這兩項(xiàng)上有所提高，就需要系統(tǒng)復(fù)習(xí)。在數(shù)字推理的練習(xí)當(dāng)中，建議考生從以下兩個(gè)方面有目的地提升解題能力。

第一，要打好基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)中的基本公式與計(jì)算方法是一定要掌握的。可以根據(jù)題型的基本分類，逐一復(fù)習(xí)。在復(fù)習(xí)的過(guò)程中，對(duì)于每個(gè)題型在解題時(shí)可以應(yīng)用到的基本知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行有針對(duì)性的梳理與總結(jié)，這樣在推導(dǎo)階段便不會(huì)出現(xiàn)看見(jiàn)題目不知從何下手的情況了。

第二，提高計(jì)算速度。某些不容易直接得出答案的題目，在列出推導(dǎo)公式后，提高計(jì)算速度與準(zhǔn)確度就顯得十分重要了。如果四則運(yùn)算速度較慢，建議每天做一些基本練習(xí)。對(duì)于復(fù)雜易錯(cuò)的推導(dǎo)公式，考生要重點(diǎn)掌握。

在完成這兩項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練后，建議多做試卷，檢查自己對(duì)知識(shí)點(diǎn)的掌握是否扎實(shí)。總結(jié)自己的錯(cuò)誤后，再重新做好復(fù)習(xí)與調(diào)整。

典型真題直擊

考點(diǎn)關(guān)鍵詞

基礎(chǔ)數(shù)列

（廣東2015—21）3，10，31，94，（　）

A.125

B.188

C.283

D.2914

答案詳見(jiàn)腳注

基礎(chǔ)知識(shí)解讀

簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，數(shù)字推理就是每道題給出一個(gè)數(shù)列，但其中缺少一項(xiàng)或兩項(xiàng)，要求考生仔細(xì)觀察這個(gè)數(shù)列各數(shù)字之間的關(guān)系，找出其中的排列規(guī)律，然后從四個(gè)供選擇的答案中選出最合適、最合理的一個(gè)來(lái)填補(bǔ)空缺項(xiàng)，使之符合原數(shù)列的排列規(guī)律。

數(shù)字推理題一般可以分為兩步來(lái)處理：第一，觀察數(shù)列特征；第二，將沒(méi)有明顯特征的數(shù)列變成特征數(shù)列。具體解題思路見(jiàn)下圖：

常考角度剖析

考點(diǎn)1 基礎(chǔ)數(shù)列

基礎(chǔ)數(shù)列是數(shù)字推理的基礎(chǔ)。大部分?jǐn)?shù)字推理題都是基礎(chǔ)數(shù)列的演化，因此掌握一些基礎(chǔ)數(shù)列的性質(zhì)對(duì)解決數(shù)字推理題很有必要。

1.常數(shù)數(shù)列

由一個(gè)固定的常數(shù)構(gòu)成的數(shù)列稱為常數(shù)數(shù)列。

例如：1，1，1，1，1，1，…

常數(shù)數(shù)列較少出現(xiàn)，多在分?jǐn)?shù)數(shù)列中出現(xiàn)，且經(jīng)常是通分后才會(huì)呈現(xiàn)。

2.等差數(shù)列

后項(xiàng)減去前項(xiàng)的值保持不變的數(shù)列稱為等差數(shù)列。

例如：3，7，11，15，19，…；14，28，42，56，…；-6，16，38，60，…

3.等比數(shù)列

后項(xiàng)除以前項(xiàng)的值保持不變的數(shù)列稱為等比數(shù)列。

例如：2，4，8，16，…；4，6，9，13.5，…；-2，6，-18，54，…

4.質(zhì)數(shù)合數(shù)數(shù)列

由質(zhì)數(shù)構(gòu)成的數(shù)列稱為質(zhì)數(shù)數(shù)列。

例如：2，3，5，7，11，13，17，19，…

由合數(shù)構(gòu)成的數(shù)列稱為合數(shù)數(shù)列。

例如：4，6，8，9，10，12，14，…

2，3，5，7，11，13，…這個(gè)數(shù)列有兩個(gè)相似數(shù)列：2，3，5，8，13，…是遞推和數(shù)列；2，3，5，8，12，…是二級(jí)等差數(shù)列。

質(zhì)數(shù)數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)的2倍也是一個(gè)有趣的基礎(chǔ)數(shù)列：4，6，10，14，22，26，…

5.周期數(shù)列

自某一項(xiàng)開(kāi)始重復(fù)出現(xiàn)前面相同（相似）的數(shù)列稱為周期數(shù)列。

例如：2，3，5，2，3，5，…；24，26，24，26，24，26，…

考點(diǎn)2 分?jǐn)?shù)數(shù)列

題干特征：數(shù)列中大多數(shù)的數(shù)字為分?jǐn)?shù)。

常見(jiàn)題型：分組→是指分子或分母單獨(dú)成規(guī)律；

交叉→是指相鄰項(xiàng)的分子或分母有一定的聯(lián)系。

解題方法：

1.廣義通分→把分子或分母化為一致；

2.約分→當(dāng)分?jǐn)?shù)的分子與分母含有相同因子時(shí)，將其化成最簡(jiǎn)式；

3.反約分→同時(shí)擴(kuò)大數(shù)列當(dāng)中某些分?jǐn)?shù)的分子與分母（分?jǐn)?shù)大小不變），從而使得分?jǐn)?shù)的分子數(shù)列和分母數(shù)列形成簡(jiǎn)單數(shù)列。

基本原則：分?jǐn)?shù)數(shù)列的分子分母一般是單調(diào)遞增、單調(diào)遞減、不變的。

還有一類特殊的數(shù)列，數(shù)列中含有根式，這類數(shù)列無(wú)固定規(guī)律可循，出現(xiàn)極少，不要求掌握。

【例1

A.

B.

C.

D.

思路導(dǎo)學(xué)

觀察數(shù)字特征，發(fā)現(xiàn)后項(xiàng)分子與前項(xiàng)分母，后項(xiàng)分母與前項(xiàng)分母、分子存在關(guān)系。

[名師點(diǎn)評(píng)]本題考查分?jǐn)?shù)數(shù)列。后項(xiàng)的分子為前項(xiàng)的分母，后項(xiàng)的分母為前項(xiàng)的分子和分母之和，故空缺項(xiàng)的分子為17，分母為11+17=28。

【例2】1，

A.

B.

C.5.2

D.6.2

思路導(dǎo)學(xué)

第一步：觀察數(shù)列中數(shù)字特征，發(fā)現(xiàn)有整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)。

第二步：推測(cè)考查分?jǐn)?shù)數(shù)列。

第三步：印證求解。

[名師點(diǎn)評(píng)]分?jǐn)?shù)數(shù)列。觀察發(fā)現(xiàn)題干數(shù)字包括選項(xiàng)以分?jǐn)?shù)為主，故考慮分?jǐn)?shù)數(shù)列的解法。用廣義通分的方法將數(shù)列變?yōu)?，分子是公差12的等差數(shù)列，故本題正確答案為B。

考點(diǎn)3 組合拆分?jǐn)?shù)列

題干特征：數(shù)列較長(zhǎng)、出現(xiàn)兩個(gè)括號(hào)，數(shù)字忽大忽小呈現(xiàn)波動(dòng)變化。

兩種題型：交叉數(shù)列和分組數(shù)列。

解題思路：交叉數(shù)列→數(shù)列的奇項(xiàng)與偶項(xiàng)分別呈現(xiàn)出規(guī)律的數(shù)列。

分組數(shù)列→①將數(shù)列中的數(shù)字兩兩分組后，在組內(nèi)進(jìn)行加減乘除四則運(yùn)算，組與組之間存在一定的規(guī)律；②將數(shù)列中的數(shù)字三三分組后，組內(nèi)三個(gè)數(shù)滿足某種運(yùn)算法則。

【例1】6，7，5，8，4，9，（　）

A.5

B.10

C.3

D.4

思路導(dǎo)學(xué)

第一步：分別得出奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)的規(guī)律；

第二步：根據(jù)所得規(guī)律得出準(zhǔn)確答案。

[名師點(diǎn)評(píng)]典型的分組數(shù)列。奇項(xiàng)公差為-1、偶項(xiàng)公差為1，括號(hào)應(yīng)填項(xiàng)是奇數(shù)項(xiàng)，故為4+（-1）=3，選C。

【例2】15，26，37，（　），68，79

A.42

B.44

C.46

D.48

思路導(dǎo)學(xué)

第一步：兩兩分組，于組內(nèi)做差；

第二步：根據(jù)所得規(guī)律得出準(zhǔn)確答案。

[名師點(diǎn)評(píng)]分組數(shù)列，兩兩分組，每組組內(nèi)做差，差為11。26-15=11，（48）-37=11，79-68=11。所以選擇D。

考點(diǎn)4 冪次數(shù)列

題干特征：題干中出現(xiàn)多個(gè)冪次數(shù)或者題干中的數(shù)字與冪次數(shù)差值很小。

要求：數(shù)字敏感→熟悉常見(jiàn)的冪次數(shù)。

題型分類：直接冪次數(shù)列→簡(jiǎn)單平方（立方）數(shù)列、底數(shù)和指數(shù)其中之一變化、底數(shù)和指數(shù)同時(shí)變化；

修正冪次數(shù)列→修正之后的數(shù)列為冪次數(shù)列。

平方數(shù)列、立方數(shù)列是一類基礎(chǔ)數(shù)列，考生需要熟記如下冪次數(shù)。

【例】2，6，30，60，（　），210，350

A.76

B.120

C.130

D.128

思路導(dǎo)學(xué)

第一步：觀察數(shù)列特征，數(shù)值增幅很大，嘗試將每個(gè)數(shù)字用冪次方式表示出來(lái)，并觀察得出規(guī)律；

第二步：根據(jù)變化得出規(guī)律及準(zhǔn)確答案。

[名師點(diǎn)評(píng)]本題考查冪次數(shù)列。2=13+1，6=23-2，30=33+3，60=43-4，210=63-6，350=73+7，則（　）=53+5=130，因此答案選擇C項(xiàng)。

考點(diǎn)5 多級(jí)數(shù)列

多級(jí)數(shù)列是指需要對(duì)數(shù)列相鄰兩項(xiàng)進(jìn)行加、減、乘、除四則運(yùn)算后找到特定規(guī)律的數(shù)列。可以分為做差多級(jí)數(shù)列、做商多級(jí)數(shù)列、做和多級(jí)數(shù)列、做積多級(jí)數(shù)列四種。按照運(yùn)算的次數(shù)不同又可分為二級(jí)數(shù)列和三級(jí)數(shù)列兩類。經(jīng)過(guò)四則運(yùn)算后得到的數(shù)列可能是等差數(shù)列、等比數(shù)列、質(zhì)數(shù)相關(guān)數(shù)列，還可能是冪次數(shù)列、周期數(shù)列、簡(jiǎn)單遞推數(shù)列等。

做差多級(jí)數(shù)列是多級(jí)數(shù)列考查的主要內(nèi)容，做商多級(jí)數(shù)列、做和多級(jí)數(shù)列與做積多級(jí)數(shù)列考查較少。

【例1】1，5，13，25，41，（　）

A.57

B.58

C.60

D.61

思路導(dǎo)學(xué)

第一步：將原數(shù)列兩兩做差得到新的數(shù)列；

第二步：觀察新數(shù)列的特征，就此得出正確答案。

[名師點(diǎn)評(píng)]本題考查做差多級(jí)數(shù)列。

【例2】3，19，43，79，133，（　）

A.169

B.205

C.214

D.229

思路導(dǎo)學(xué)

第一步：將原數(shù)列兩兩做差得到新的數(shù)列；

第二步：觀察新數(shù)列的特征，找出正確答案。

[名師點(diǎn)評(píng)]做差之后是16，24，36，54，（　），構(gòu)成公比為的等比數(shù)列，則54后面一項(xiàng)是81，所以答案是133+81=214。

考點(diǎn)6 遞推數(shù)列

遞推數(shù)列，是指數(shù)列中從某一項(xiàng)開(kāi)始，每項(xiàng)都是其前面的項(xiàng)經(jīng)過(guò)一定的運(yùn)算得到的數(shù)列。

簡(jiǎn)單遞推數(shù)列：每一項(xiàng)等于前兩項(xiàng)的和、差、積或者商。

例如：2，2，4，6，10，16，26，42，…為簡(jiǎn)單遞推和數(shù)列；

15，10，5，5，0，5，-5，…為簡(jiǎn)單遞推差數(shù)列；

1，2，2，4，8，32，256，…為簡(jiǎn)單遞推積數(shù)列；

729，27，27，1，27，…為簡(jiǎn)單遞推商數(shù)列。

當(dāng)無(wú)法運(yùn)用特征數(shù)列、組合拆分?jǐn)?shù)列等相關(guān)知識(shí)解答時(shí)，可以考慮遞推規(guī)律。遞推數(shù)列具有和、差、積、商、方、倍六種基本形態(tài)。其中和、積、方、和倍是遞增趨勢(shì)，差和商是遞減趨勢(shì)，由于遞減數(shù)列我們倒著看是遞增的，所以這里我們只介紹遞增數(shù)列的解題方法。注意：從大的數(shù)字開(kāi)始看，并且結(jié)合選項(xiàng)來(lái)看。

1.看趨勢(shì)，做試探。根據(jù)數(shù)列中數(shù)字的整體變化趨勢(shì)初步判斷遞推的具體形式，然后根據(jù)初步判斷的趨勢(shì)做合理的試探。數(shù)列的變化趨勢(shì)（結(jié)合選項(xiàng)）可以分為以下幾類：

（1）變化比較慢（一般相鄰兩項(xiàng)之間滿足2倍以內(nèi)），通常考慮加法；

（2）變化極快（觀察全部數(shù)列，相鄰兩項(xiàng)之間相差2個(gè)數(shù)位），一般考慮冪次；

（3）變化不快不慢（相鄰兩項(xiàng)相差3倍到8倍之間），先用乘法再用倍數(shù)。

2.圈三法。通過(guò)研究數(shù)列的局部規(guī)律，從而遞推整體規(guī)律的方法。圈三法不是只看3項(xiàng)，也有可能是看2項(xiàng)或者4項(xiàng)，只不過(guò)考試的時(shí)候兩項(xiàng)推一項(xiàng)比較多，我們習(xí)慣上稱為“圈三法”。

當(dāng)數(shù)列趨勢(shì)不明顯，無(wú)法看出整體規(guī)律時(shí)，可以使用圈三法，先看相鄰某三個(gè)數(shù)之間有什么規(guī)律，然后驗(yàn)證是不是整體規(guī)律。

【例1】2，32，212，2012，（　）

A.3012

B.20112

C.20012

D.30012

思路導(dǎo)學(xué)

第一步：觀察整個(gè)數(shù)列的特征，整體遞增且變化極快；

第二步：從中尋找前后項(xiàng)之間的規(guī)律；

第三步：依據(jù)前面所得規(guī)律得出答案。

[名師點(diǎn)評(píng)]本題考查遞推數(shù)列。從第二項(xiàng)開(kāi)始，32=2×16，212=2×106，2012=2×1006，所以下一項(xiàng)為2×10006=20012，故選C。

【例2】1，2，3，7，22，（　）

A.100

B.133

C.155

D.165

思路導(dǎo)學(xué)

第一步：觀察相鄰三個(gè)數(shù)字之間的規(guī)律；

第二步：將所發(fā)現(xiàn)規(guī)律代入數(shù)列進(jìn)行驗(yàn)證，若成立，則據(jù)此得出答案。

[名師點(diǎn)評(píng)]遞推積數(shù)列的變形。研究3，7，22三個(gè)數(shù)字，易知3×7+1=22，驗(yàn)算可知全部成立，即滿足第三項(xiàng)=第一項(xiàng)×第二項(xiàng)+1，因此（　）=7×22+1=155，選擇C。

70分通關(guān)必做題

1.768，199，827，69，904，（　）

A.92

B.77

C.53

D.39

2.160，80，40，20，（　）

A.4

B.6

C.8

D.10

3.6，14，22，（　），38，46

A.30

B.32

C.34

D.36

4.1.8，3.6，7.2，14.4，（　），57.6

A.18.4

B.22.6

C.28.8

D.34.4

5.300，290，281，273，（　），260

A.270

B.266

C.264

D.262

6.3，7，9，14，27，28，81，（　）

A.56

B.83

C.108

D.132

7.1，，（　）

A.

B.

C.

D.

8.24，35，55，57，（　）

A.64

B.68

C.75

D.79

9.2，4，12，48，240，（　）

A.1645

B.1440

C.1240

D.360

10.3，8，23，68，（　），608

A.183

B.188

C.203

D.208

11.2，1，4，6，26，158，（　）

A.5124

B.5004

C.4110

D.3676

12.7.1，8.6，14.2，16.12，28.4，（　）

A.32.24

B.30.4

C.32.4

D.30.24

13.9，10，65，26，217，（　）

A.289

B.89

C.64

D.50

14.12，23，35，47，511，（　）

A.613

B.612

C.611

D.610

15.-2，-2，0，4，10，（　）

A.12

B.15

C.16

D.18

16.0，4，11，24，48，（　）

A.98

B.88

C.76

D.107

17.

A.

B.

C.

D.

18.1，11，31，512，196，（　）

A.9999

B.999

C.888

D.8888

參考答案及解析

1. A [解析]機(jī)械分組數(shù)列。數(shù)字特征明顯不符合常規(guī)數(shù)列的特征，馬上考慮機(jī)械分組，發(fā)現(xiàn)每項(xiàng)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字和依次為：21，19，17，15，13，（11），故本題正確答案為A。

2. D [解 析]本 題 考 查 等 比 數(shù) 列。題 干 給 出 的 是 一 組 公 比 為 的 等 比 數(shù) 列，因 此（　）=20×=10。

3. A [解析]本題考查等差數(shù)列。題干給出的是一組公差為8的等差數(shù)列，因此（　）=22+8=30。

4. C [解 析]本 題 考 查 等 比 數(shù) 列。題 干 給 出 的 是 一 組 公 比 為 2 的 等 比 數(shù) 列，因 此（　）=14.4×2=28.8。

5. B [解析]本題考查二級(jí)等差數(shù)列。

6. A [解析]數(shù)列中的奇數(shù)項(xiàng)為3，9，27，81，是一組公比為3的等比數(shù)列。偶數(shù)項(xiàng)為7，14，28，（　），是一組公比為2的等比數(shù)列。因此（　）=28×2=56。

7. A [解析]原數(shù)列可寫為，（　）。該數(shù)列的分母相同，前一項(xiàng)分子減去后一項(xiàng)分子的差依次為5，4，3，2，是等差數(shù)列。因此（　）=。

8. B [解析]數(shù)列中每一項(xiàng)都是兩位數(shù)，將各項(xiàng)的兩個(gè)數(shù)字相加得到新的數(shù)列：6，8，10，12，最后一項(xiàng)應(yīng)選擇兩位相加為14的數(shù)，只有B項(xiàng)符合。

9. B [解析]后項(xiàng)除以前項(xiàng)得到新數(shù)列：2、3、4、5、（6），為等差數(shù)列，所以未知項(xiàng)為240×6=1440。故正確答案為B。

10.C [解析]后項(xiàng)減去前項(xiàng)得到新數(shù)列：5、15、45、（135）、（405），為等比數(shù)列，所以未知項(xiàng)為68+135=203，驗(yàn)證后項(xiàng)，608-405=203，符合。故正確答案為C。

11.C [解析]原數(shù)列為做積遞推數(shù)列。相鄰兩項(xiàng)之積加上2等于下一項(xiàng)，所以未知項(xiàng)為26× 158+2，計(jì)算尾數(shù)，8+2=10，尾數(shù)為0。故正確答案為C。

12.A [解析]奇數(shù)項(xiàng)：7.1、14.2、28.4，構(gòu)成公比為2的等比數(shù)列；偶數(shù)項(xiàng)：8.6、16.12、（　），構(gòu)成公比為2的等比數(shù)列，故（　）=32.24。故正確答案為A。

13.D [解析]各項(xiàng)依次為：23+1，32+1，43+1，52+1，63+1，（72+1），故正確答案為D。

14.A [解析]數(shù)位組合數(shù)列，各項(xiàng)首位數(shù)字1、2、3、4、5、（6），是等差數(shù)列；其余數(shù)字2、3、5、7、11、（13），是質(zhì)數(shù)數(shù)列。故選A。

15.D [解析]本題屬于二級(jí)等差數(shù)列，兩兩做差之后得到公差為2的等差數(shù)列。

16.A [解析]本題屬于三級(jí)等比數(shù)列，兩次做差之后得到公比為2的等比數(shù)列。

17.A [解析]將1改寫，可得：分子數(shù)列：1、4、9、16、25、（36），為平方數(shù)列；分母2、4、7、11、16、（22）為二級(jí)等差數(shù)列，所填分?jǐn)?shù) 。故選A。

18.D [解析]各位數(shù)字之和分別為1、2、4、8、16、（32），故正確答案為D。

80分專項(xiàng)瘋狂練習(xí)

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