第一章 數(shù)學(xué)運(yùn)算

寧夏歷年考點(diǎn)透視

近年來寧夏公務(wù)員考試數(shù)學(xué)運(yùn)算題題量趨于穩(wěn)定，基本保持在10—15道左右。

寧夏區(qū)考數(shù)學(xué)運(yùn)算題型考查比較廣泛，如行程問題、比例問題、計(jì)數(shù)問題等成為必考題型，同時(shí)還時(shí)有牛吃草問題、等差數(shù)列、容斥問題、溶液?jiǎn)栴}、星期日期問題等，這些題型往往難度不高或者直接可以應(yīng)用相應(yīng)的公式解答，各位考生在備考的過程中不要忽略類似題目。

這里我們把數(shù)學(xué)運(yùn)算的備考分成三個(gè)階段，以便于各個(gè)突破，完美掌握。

1.廣泛積累階段

積累階段需要盡可能多地收集各類題型，深入了解寧夏區(qū)考及其他地方考試的出題特點(diǎn)和題型分布情況。這個(gè)階段需要的時(shí)間，考生可依據(jù)自身情況而定，一般需要兩個(gè)月左右。

2.總結(jié)提高階段

在這一階段，要逐步掌握各類題型的解題思路。建議考生每天定時(shí)定量地進(jìn)行真題練習(xí)，鞏固基礎(chǔ)知識(shí)，在夯實(shí)基礎(chǔ)的前提下注意歸納總結(jié)解題的思路和技巧。考生要根據(jù)學(xué)習(xí)、做題過程中發(fā)現(xiàn)的問題，明確自己的薄弱環(huán)節(jié)，尤其要注意“常做常錯(cuò)”的題型。可根據(jù)自己的情況，制作“錯(cuò)題本”或“典型題本”，抓住每類題目的內(nèi)在規(guī)律。同時(shí)要注意對(duì)知識(shí)點(diǎn)的查漏補(bǔ)缺，保證解決數(shù)量關(guān)系問題的能力得到穩(wěn)步提升。

3.模擬沖刺階段

勤于練習(xí)，舉一反三，有意識(shí)地培養(yǎng)運(yùn)算直覺，這是解決數(shù)學(xué)運(yùn)算問題的核心所在。在模擬沖刺階段，考生需要每天定量做一些模擬題，模仿書中對(duì)題目的分析，來培養(yǎng)對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算的感覺，這種感覺不僅能夠提高數(shù)學(xué)運(yùn)算的解題速度和正確率，對(duì)數(shù)字推理部分也很有幫助。

在備考過程中，考生要注意調(diào)整心態(tài)，戒驕戒躁，切不可急于求成，必須根據(jù)自身的特點(diǎn)，有機(jī)地

進(jìn)行積累與總結(jié)的輪換，才能在一輪一輪的備考中做到心中有數(shù)，才能在考場(chǎng)上立于不敗之地。

典型真題直擊

考點(diǎn)關(guān)鍵詞

鐘表問題

（寧夏2015—75）一只掛鐘的秒針長(zhǎng)30厘米，分針長(zhǎng)20厘米，當(dāng)秒針的頂點(diǎn)走過的弧長(zhǎng)約為9.42米時(shí)，分針的頂點(diǎn)約走過的弧長(zhǎng)為多少厘米？ （　）

A.6.98

B.10.47

C.15.70

D.23.55

解析：

幾何+鐘表問題。由鐘表常識(shí)可知，秒針轉(zhuǎn)過360°時(shí)，分針轉(zhuǎn)過6°。設(shè)秒針轉(zhuǎn)過n°，π取3.14，根據(jù)弧長(zhǎng)公式可得9.42=，解得n=1800，即秒針轉(zhuǎn)過1800°，此時(shí)分針轉(zhuǎn)過30°，所以分針的頂點(diǎn)走過的弧長(zhǎng)約為≈10.47（厘米）。故本題答案為B。

基礎(chǔ)知識(shí)解讀

數(shù)學(xué)運(yùn)算的出題形式是每道題給出一個(gè)數(shù)學(xué)式子，或者表達(dá)數(shù)量關(guān)系的一段文字，要求考生熟練運(yùn)用加、減、乘、除等基本運(yùn)算法則，利用基本的數(shù)學(xué)知識(shí)，準(zhǔn)確、迅速地計(jì)算出結(jié)果。

數(shù)學(xué)運(yùn)算主要考查考生能否快速發(fā)現(xiàn)題目中各個(gè)量之間的聯(lián)系，需要考生快速、準(zhǔn)確、巧妙地進(jìn)行列式和計(jì)算。在數(shù)量關(guān)系這個(gè)模塊中，數(shù)學(xué)運(yùn)算的知識(shí)點(diǎn)相對(duì)較多，題型變化復(fù)雜，經(jīng)過統(tǒng)計(jì)，在歷年的考試中，基礎(chǔ)計(jì)算問題、工程問題、行程問題等幾乎是每年必考的重點(diǎn)內(nèi)容，代入排除思想、方程思想等也是每年必用的解題思想。希望考生能夠熟知我們?cè)诒緯?dāng)中為大家歸納的知識(shí)點(diǎn)，首先通過學(xué)習(xí)了解知識(shí)點(diǎn)，準(zhǔn)確理解題意，然后通過不斷地練習(xí)掌握考試中的重要題型及其解答方法。

常考角度剖析

考點(diǎn)1 初等數(shù)學(xué)問題

初等數(shù)學(xué)問題是一類和數(shù)的性質(zhì)緊密結(jié)合的問題。其中，基礎(chǔ)計(jì)算問題是重點(diǎn)考查題型，考生需重點(diǎn)學(xué)習(xí)。

一、基礎(chǔ)計(jì)算問題

基礎(chǔ)計(jì)算問題側(cè)重考查計(jì)算能力及簡(jiǎn)單的判斷分析能力，考生通過仔細(xì)分析與計(jì)算即可得解。大多數(shù)基礎(chǔ)計(jì)算問題通常存在速算技巧，通過能否快速發(fā)現(xiàn)技巧，在短時(shí)間內(nèi)完成題目，來判斷不同考生的能力。考試中的基礎(chǔ)計(jì)算問題包括基本計(jì)算問題、乘方尾數(shù)問題、基本數(shù)學(xué)概念問題等多種題型，涉及公式法、尾數(shù)法、估算法、裂項(xiàng)相消法、整體思維、多項(xiàng)計(jì)算等多種方法。

常用的公式有：

1.平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）

2.完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2

3.完全立方公式：（a±b）3=a3±3a2b+3ab2±b3

4.立方和公式：a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）

5.立方差公式：a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2）

6.乘方尾數(shù)口訣：底數(shù)留個(gè)數(shù)；指數(shù)末兩位除以4留余數(shù)（余數(shù)為0則看作4）

7.裂項(xiàng)公式

將任一項(xiàng)分解為兩項(xiàng)相減，并且前后項(xiàng)之間構(gòu)成相消關(guān)系，具體公式為：

二、約數(shù)倍數(shù)問題

幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)，即不存在比其更大的數(shù)能被這幾個(gè)數(shù)整除。幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)，即不存在比其更小的數(shù)能整除這幾個(gè)數(shù)。

約數(shù)倍數(shù)問題在公務(wù)員考試中主要考查求解多個(gè)數(shù)的“最大公約數(shù)”和“最小公倍數(shù)”，大家必須會(huì)分辨這類題型，并能夠用短除法求出“最大公約數(shù)”和“最小公倍數(shù)”。下面詳細(xì)介紹“短除法”。

1.求解兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)。例如，求48、60的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)：

當(dāng)出現(xiàn)兩個(gè)互質(zhì)的數(shù)字時(shí)（即第四步），求解過程結(jié)束。

那么最大公約數(shù)=2×2×3=12（第四步左側(cè)的三個(gè)數(shù)字的乘積）。

最小公倍數(shù)=2×2×3×4×5=240（第四步左側(cè)的三個(gè)數(shù)字與下邊兩個(gè)數(shù)字的乘積）。

2.求解多個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)。例如，求60、72、90的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)：

如圖1所示，當(dāng)?shù)玫?0、12、15互質(zhì)時(shí)（盡管10、12、15這三個(gè)數(shù)兩兩不互質(zhì)），我們停止，將左側(cè)的數(shù)字相乘，就是60、72、90這三個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)，即：2×3=6。

如果我們要求60、72、90這三個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)，還必須繼續(xù)求解。在得到10、12、15這三個(gè)兩兩不互質(zhì)的數(shù)之后，我們繼續(xù)除以這三個(gè)數(shù)中任意兩個(gè)數(shù)的公共因子（此時(shí)第三個(gè)數(shù)往下照抄），直至得到的數(shù)字之間全部互質(zhì)為止。下面通過圖2來說明解答過程。

在得到1、2、1這三個(gè)兩兩互質(zhì)的數(shù)字之后，我們將左側(cè)的數(shù)字與下邊三個(gè)數(shù)字相乘，就是60、72、90這三個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)：2×3×2×3×5×1×2×1=360。

三、余數(shù)問題

基本公式：被除數(shù)=商×除數(shù)+余數(shù)（0≤余數(shù)<除數(shù)）。

對(duì)于一個(gè)數(shù)除以三個(gè)數(shù)余數(shù)的不同情況，可以根據(jù)下列口訣快速得到被除數(shù)的表達(dá)式：

余同取余：例如，“一個(gè)數(shù)除以7余1，除以6余1，除以5余1”，可見所得余數(shù)恒為1，則取1，被除數(shù)的表達(dá)式為210n+1；

和同加和：例如，“一個(gè)數(shù)除以7余1，除以6余2，除以5余3”，可見除數(shù)與余數(shù)的和相同，取此和8，被除數(shù)的表達(dá)式為210n+8；

差同減差：例如，“一個(gè)數(shù)除以7余3，除以6余2，除以5余1”，可見除數(shù)與余數(shù)的差相同，取此差4，被除數(shù)的表達(dá)式為210n-4。特別注意前面的210是5、6、7的最小公倍數(shù)，此即公倍數(shù)做周期。

四、質(zhì)數(shù)合數(shù)問題

質(zhì)數(shù)是只有1和它本身兩個(gè)因子的自然數(shù)。

通過觀察表格中的質(zhì)數(shù)可知，2是其中唯一的偶數(shù)，質(zhì)數(shù)2常和奇偶特性結(jié)合考查。

五、星期、日期問題

星期、日期問題，需要考生對(duì)每月的天數(shù)與閏年的判定有基本的了解，在此不一一贅述。如果沒有經(jīng)過閏月，則下一年同一天的星期數(shù)加1；如果經(jīng)過閏月，則加2。

六、數(shù)列與平均數(shù)問題

1.等差數(shù)列

通項(xiàng)公式：第n項(xiàng)=首項(xiàng)+（n-1）×公差

項(xiàng)數(shù)公式

求和公式：和=（首項(xiàng)+末項(xiàng)）×項(xiàng)數(shù)=平均數(shù)×項(xiàng)數(shù)=中位項(xiàng)×項(xiàng)數(shù)（等差數(shù)列中平均數(shù)=中位項(xiàng)）

對(duì)稱公式：若m+n=i+j，則am+an=ai+aj

2.平均數(shù)問題

對(duì)于一般數(shù)列有：總和=平均數(shù)×項(xiàng)數(shù)

平均數(shù)問題也可以利用十字交叉法進(jìn)行計(jì)算。

3.循環(huán)周期問題

對(duì)于循環(huán)周期問題，通過項(xiàng)數(shù)除以周期得到的余數(shù)進(jìn)行判定。

七、定義運(yùn)算

定義運(yùn)算的基本特征是題目表述為出現(xiàn)定義新運(yùn)算符號(hào)，并且每種符號(hào)所代表的實(shí)際運(yùn)算法則在題目中會(huì)給出。解題時(shí)注意辨識(shí)題目中出現(xiàn)的新穎符號(hào)的含義，并靈活運(yùn)用，如果計(jì)算比較復(fù)雜，則需注意分層次計(jì)算。掌握運(yùn)算的新定義的本質(zhì)，直接按照新定義運(yùn)算法則代入計(jì)算即可。

八、尾數(shù)計(jì)算

題干特征：題目表述為四個(gè)選項(xiàng)尾數(shù)互不相同，而算式中多僅涉及加減乘冪運(yùn)算。

解題思路：簡(jiǎn)單加減乘冪問題直接判定算式尾數(shù)；除法運(yùn)算運(yùn)用尾數(shù)法需化除為乘；乘方尾數(shù)直接應(yīng)用口訣：底數(shù)只留個(gè)位，指數(shù)除以4留余數(shù)，余數(shù)為0換成4。此時(shí)所得新數(shù)的尾數(shù)即為原數(shù)的尾數(shù)。

【例1】從A市到B市的航班每周一、二、三、五各發(fā)一班。某年2月最后一天是星期三。問當(dāng)年從A市到B市的最后一次航班是星期幾出發(fā)的？ （　）

A.星期一

B.星期二

C.星期三

D.星期五

思路導(dǎo)學(xué)

第一步：確定該年最后一天與該年最后一次航班之間的時(shí)間差。注意每月的天數(shù)。

第二步：將時(shí)間差轉(zhuǎn)化為星期數(shù)，從而確定具體的星期。

[名師點(diǎn)評(píng)]星期日期問題。2月最后一天是星期三，從2月最后一天到12月31日恰好經(jīng)過3—12月共10個(gè)月，一共有31+30+31+30+31+31+30+31+30+31=306（天），306÷7=43……5，也就是經(jīng)過43個(gè)星期還多5天，星期三之后5天為星期一，故選A。

【例2】762013+252014的最后兩位數(shù)字是（　）。

A.01

B.91

C.21

D.51

思路導(dǎo)學(xué)

第一步：分別得出762013和252014的尾數(shù)；

第二步：將所得尾數(shù)相加，得到答案。

[名師點(diǎn)評(píng)]762013的尾數(shù)為76，252014的尾數(shù)為25，相加后尾數(shù)為01。答案為A。

【例3】恰有兩位數(shù)字相同的三位數(shù)一共有（　）。

A.243個(gè)

B.234個(gè)

C.225個(gè)

D.216個(gè)

思路導(dǎo)學(xué)

第一步：明確三位數(shù)的總個(gè)數(shù)；

第二步：分別找出三位數(shù)字都相同的三位數(shù)的個(gè)數(shù)和三位數(shù)字都不同的三位數(shù)的個(gè)數(shù)；

第三步：由“三位數(shù)的總個(gè)數(shù)-三位數(shù)字都相同的三位數(shù)的個(gè)數(shù)-三位數(shù)字都不同的三位數(shù)的個(gè)數(shù)”即可得答案。

[名師點(diǎn)評(píng)]三位數(shù)一共900個(gè)，三位數(shù)字都相同的有9個(gè)，一個(gè)數(shù)字相同（即三個(gè)數(shù)字都不同）的有9×9×8=648（個(gè)），所以恰有兩位數(shù)字相同的三位數(shù)一共有900-648-9=243（個(gè)）。

【例4】一個(gè)三位數(shù)除以53，商是a，余數(shù)是b（a，b都是正整數(shù)），則a+b的最大值是（　）。

A.69

B.80

C.65

D.75

思路導(dǎo)學(xué)

第一步：在條件允許的范圍內(nèi)，使a、b盡可能大；

第二步：使被除數(shù)盡可能大；

第三步：將得到的a、b的值相加得出答案。

[名師點(diǎn)評(píng)]要使a+b最大，b最大取52，在被除數(shù)是三位數(shù)的范圍內(nèi)使a盡可能大。而最大的三位數(shù)為999，999÷53=18……45，故取a為17，余數(shù)b為52，則a+b的最大值為17+52=69。所以選擇A。

【例5】如果x⊕y=x2+y2，則3⊕1⊕3=（　）。

A.109

B.100

C.120

D.160

思路導(dǎo)學(xué)

直接將已知公式代入原式求解即可。

[名師點(diǎn)評(píng)]原式=（32+12）2+32=100+9=109。所以選擇A。

【例6】下列可以分解為三個(gè)不同質(zhì)數(shù)相乘的三位數(shù)是（　）。

A.100

B.102

C.104

D.125

思路導(dǎo)學(xué)

第一步：根據(jù)題目特征確定求解方法——代入排除法；

第二步：將四個(gè)選項(xiàng)的數(shù)字分別用質(zhì)數(shù)相乘的形式表示出來；

第三步：依據(jù)題干“三個(gè)不同質(zhì)數(shù)相乘”的要求判定正確答案。

[名師點(diǎn)評(píng)]運(yùn)用代入排除法求解。A項(xiàng)，100=2×2×5×5，不符合題意。B項(xiàng)，102=2×3×17，符合題意。C項(xiàng)，104=2×2×2×13，不符合題意。D項(xiàng)，125=5×5×5，三個(gè)質(zhì)數(shù)相同，不符合題意。所以選擇B。

考點(diǎn)2 方程與不等式

一、一元方程

一元方程主要用于只設(shè)一個(gè)未知數(shù)就能列方程求解的數(shù)學(xué)題型，多為一次方程。這種方法的技巧在于選擇合理的未知數(shù)，一般應(yīng)設(shè)題目所求量為未知數(shù)。

二、多元方程

多元方程，這里是指設(shè)兩個(gè)及以上未知數(shù)列方程解決的數(shù)學(xué)運(yùn)算題型。一個(gè)多元一次

方程不能求出唯一的解，因此多元方程問題往往以方程組的形式解題，而求解方程組的重要思想是消元，于是在實(shí)際解題過程中，通過適當(dāng)放大和縮小題目中的條件，然后從等價(jià)關(guān)系中找到所求量成為快速解題的思路。

三、不定方程

不定方程，通常是給出的方程數(shù)小于未知數(shù)個(gè)數(shù)的方程或方程組，在沒有別的限定條件下是有多個(gè)解的。但是這類題目往往限定了方程的解是整數(shù)，因此方程的解通常只有幾個(gè)可能（如果題目所求是方程的解，選項(xiàng)對(duì)應(yīng)的就只有4種可能），因此在明確了方程之后，通過奇偶特性、整除特性以及數(shù)字的大小范圍，縮小正確選項(xiàng)的范圍后，再代入排除是常規(guī)解題思路。

【例】（寧夏2014—68）某單位組織參加理論學(xué)習(xí)的黨員和入黨積極分子進(jìn)行分組討論，如果每組分配7名黨員和3名入黨積極分子，則還剩下4名黨員未安排；如果每組分配5名黨員和2名入黨積極分子，則還剩下2名黨員未安排。問參加理論學(xué)習(xí)的黨員比入黨積極分子多多少人？ （　）

A.16

B.20

C.24

D.28

思路導(dǎo)學(xué)

第一步：根據(jù)題干條件列方程求解。

第二步：直接求解或?qū)⑦x項(xiàng)代入求解。

注意：本題也可利用數(shù)字特性法。

[名師點(diǎn)評(píng)]方程問題。本題可根據(jù)題干中的條件列方程求解，也可以利用數(shù)字特性法：第二次分配每組黨員比入黨積極分子多3人，最后還多2名黨員，設(shè)第二次分配分成x組，則明黨員比積極分子多的人數(shù)可以表示為3x+2，即多的人數(shù)減去2是3的倍數(shù)，結(jié)合選項(xiàng)，只有B項(xiàng)符合。

考點(diǎn)3 比例問題

比例問題，是涉及比例關(guān)系的文字應(yīng)用題的合稱，比如工程問題中的效率，牛吃草問題中的牛吃草效率與長(zhǎng)草效率之比，鐘表問題中時(shí)間與角度的比例等。

一、工程問題

工程問題公式：工程量=效率×?xí)r間。

由此可得：當(dāng)時(shí)間相同時(shí)，工程量之比等于效率之比。

工程問題一般采用賦值法或根據(jù)基本公式設(shè)未知數(shù)尋找等量關(guān)系列方程。若題目當(dāng)中給出時(shí)間信息，則賦工作總量，根據(jù)總量和時(shí)間求出效率，然后研究效率的分配方式（合作、干擾、撤出、交替等）。為了便于計(jì)算，總量賦成時(shí)間的最小公倍數(shù)。如果題目中出現(xiàn)效率的比例或倍數(shù)關(guān)系，一般可以考慮將效率賦成具體數(shù)值，然后根據(jù)公式直接進(jìn)行求解或者找等量關(guān)系列方程。

二、溶液?jiǎn)栴}

溶液?jiǎn)栴}公式：濃度=溶質(zhì)÷溶液，溶液=溶質(zhì)+溶劑。

兩溶液混合，質(zhì)量分別為M1、M2，濃度分別為c1、c2，混合后溶液濃度為c，則有公式：M1c1+M2c2=（M1+ M2）c。如果已知混合前和混合后的濃度，還可以求出混合的溶液之比：

對(duì)于此類揮發(fā)和稀釋的溶液?jiǎn)栴}，抓住過程中的規(guī)律，如按比例變化或者溶質(zhì)不變，以此為突破口解題，在只涉及比例關(guān)系的題目中可以適當(dāng)給溶質(zhì)或溶劑賦值。

三、牛吃草問題

核心公式：Y=（N-X）×T。

其中：“Y”代表現(xiàn)有存量（如“原有草量”）；“N”代表使原有存量減少的變量（如“牛數(shù)”）；“X”代表存量的自然增速（如“草的生長(zhǎng)速度”）；“T”代表存量完全消失所需時(shí)間。

常考模型有牛吃草、抽水機(jī)抽水、檢票口檢票、資源開發(fā)。解題時(shí)往往根據(jù)題干中已知的數(shù)字信息列方程組：{，通過求解方程組得到題目的答案。

四、鐘表問題

時(shí)鐘表盤分為12個(gè)大格，每格30°，時(shí)針轉(zhuǎn)速為0.5°/分鐘，分針轉(zhuǎn)速為6°/分鐘。分針每分鐘追時(shí)針5.5°。

時(shí)針與分針一晝夜重合22次，垂直44次，成180°也是22次。

時(shí)針與分針呈某個(gè)角度往往需要考慮到對(duì)稱的兩種情況。

無論是標(biāo)準(zhǔn)表還是壞表，轉(zhuǎn)速都是勻速的，只是速度不同而已。

快慢鐘問題的參照物為標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間，快慢鐘問題一般采用比例法解題。根據(jù)條件可以得出標(biāo)準(zhǔn)鐘與快慢鐘的速度之比，此比例即為兩鐘運(yùn)行過的時(shí)間長(zhǎng)度（相當(dāng)于行程問題中的路程）之比。

【例1】工廠需要加工一批零件，甲單獨(dú)工作需要96個(gè)小時(shí)完成，乙需要90個(gè)小時(shí)、丙需要80個(gè)小時(shí)。現(xiàn)在按照第一天甲乙合作，第二天甲丙合作，第三天乙丙合作的順序輪班工作，每天工作8小時(shí)，當(dāng)全部零件完成時(shí)，甲工作了多少小時(shí)？ （　）

A.16

B.24

C

D.32

思路導(dǎo)學(xué)

采用賦值法簡(jiǎn)便運(yùn)算。當(dāng)知道每人單獨(dú)完成一項(xiàng)工作所需的時(shí)間時(shí)，可以為這項(xiàng)工作的總量賦值，所賦之值為每個(gè)人所用時(shí)間的最小公倍數(shù)。

[名師點(diǎn)評(píng)]工程問題。賦值法。設(shè)總的工程量為1440，則甲、乙、丙單獨(dú)的效率分別為15、16、18，因此三天一個(gè)循環(huán)完成的工作量為2×8×（15+16+18）=784，1440=784×2-128，而乙丙兩人一天的工作量為8×（16+18）>8×30>128，因此全部零件顯然是在第六天乙丙合作時(shí)完成，此時(shí)甲恰好做了4天，共8×4=32（小時(shí)）。

【例2】有甲、乙、丙三種鹽水，濃度分別為5%、8%、9%，質(zhì)量分別為60克、60克、47克，若用這三種鹽水配置濃度為7%的鹽水100克，則甲種鹽水最多可用（　）。

A.49克

B.39克

C.35克

D.50克

思路導(dǎo)學(xué)

第一步：設(shè)未知數(shù)，根據(jù)題干信息列方程并化簡(jiǎn)；

第二步：將選項(xiàng)中的數(shù)值由最大的開始進(jìn)行驗(yàn)證，矛盾則排除，滿足則當(dāng)選。

[名師點(diǎn)評(píng)]設(shè)甲鹽水為x克，乙鹽水為y克，則丙鹽水為（100-x-y）克，根據(jù)題干可知：5%x+8%y+9%（100-x-y）=100×7%，化簡(jiǎn)得：y=200-4x，要想甲鹽水最多，也即x盡可能大，故令y=0，有x=50，此時(shí)丙鹽水為50克。這與題干中的“47克”矛盾，此時(shí)采用代入法，將其余三項(xiàng)中最大的數(shù)代入，驗(yàn)證A項(xiàng)能滿足題意。故正確答案為A。

【例3】小張的手表每天快30分鐘，小李的手表每天慢20分鐘，某天中午12點(diǎn)，兩人同時(shí)把表調(diào)到標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間，則兩人的手表再次同時(shí)顯示標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間最少需要的天數(shù)為（　）。

A.24

B.36

C.72

D.144

思路導(dǎo)學(xué)

第一步：分別計(jì)算出小張和小李的手表再次顯示標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間所需的天數(shù)；

第二步：取兩者的最小公倍數(shù)，即可得出答案。

[名師點(diǎn)評(píng)]由題意可知，再次顯示標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間12點(diǎn)，需要12個(gè)小時(shí)，因此小張的手表需要12÷ 0.5=24（天），小李的手表需要12÷13=36（天），24和36的最小公倍數(shù)為72。因此72天以后都顯示標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間。

【例4】甲乙兩個(gè)工程隊(duì)共同修建一段長(zhǎng)為2100千米的公路，甲隊(duì)每天比乙隊(duì)少修50千米，甲隊(duì)先單獨(dú)修3天，余下的路程與乙隊(duì)合修6天完成，則乙隊(duì)每天所修公路的長(zhǎng)度是（　）。

A.135千米

B.140千米

C.160千米

D.170千米

思路導(dǎo)學(xué)

第一步：設(shè)未知數(shù)，根據(jù)題干信息列方程；

第二步：解方程，得出答案。

[名師點(diǎn)評(píng)]設(shè)甲的效率為x千米/天，則乙的效率為（x+50）千米/天，列方程得：3x+（x+x+50）×6=2100，解方程得x=120，則乙的效率為170千米/天。答案為D。

考點(diǎn)4 計(jì)數(shù)問題

計(jì)數(shù)問題中的容斥原理問題是集合論的簡(jiǎn)單應(yīng)用，而排列組合問題則是經(jīng)典的應(yīng)用問題，條件豐富多變，且存在很多實(shí)用技巧。概率問題很多時(shí)候是和排列組合問題結(jié)合在一起考查的。

一、容斥原理問題

1.核心公式

|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|

|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|B∩C|-|C∩A|+|A∩B∩C|

2.推論公式

（1）兩集合

滿足條件1的個(gè)數(shù)+滿足條件2的個(gè)數(shù)-都滿足的個(gè)數(shù)=總數(shù)-都不滿足的個(gè)數(shù)

（2）三集合

至少滿足1個(gè)條件的個(gè)數(shù)=只滿足1個(gè)條件的個(gè)數(shù)+恰好滿足2個(gè)條件的個(gè)數(shù)+滿足3個(gè)條件的個(gè)數(shù)

滿足條件1的個(gè)數(shù)+滿足條件2的個(gè)數(shù)+滿足條件3的個(gè)數(shù)=只滿足1個(gè)條件的個(gè)數(shù)+2×恰好滿足2個(gè)條件的個(gè)數(shù)+3×滿足3個(gè)條件的個(gè)數(shù)

根據(jù)題目給出的條件選用合適的公式，結(jié)合方程法解題是容斥原理問題的核心。

二、排列組合問題

1.排列與組合公式

排列：與順序有關(guān)。排列公式=n×（n-1）×（n-2）×…×（n-m+1）

組合：與順序無關(guān)。組合公式

2.分類與分步

分類：是指完成一件事，需要?jiǎng)澐謳讉€(gè)類別，各類別內(nèi)的方法可以獨(dú)立完成該事。

分步：是指完成一件事，需要分為幾個(gè)步驟，每個(gè)步驟內(nèi)的方法只能保證完成該步。

3.加法原理與乘法原理

加法原理：分類完成的事件，將完成該事件的各類別方法總數(shù)相加。

乘法原理：分步完成的事件，將完成該事件的各步驟的方法直接相乘。

如果題目要求一組相同的元素分成數(shù)量不等的若干組，要求每組至少一個(gè)元素，可以用插板法：將比所需分組數(shù)目少1的板插入元素之間的空隙形成分組。

如果題目需要分類的情形很多，而與之相反的情形較少，可以反向思考問題。

三、概率問題

核心公式：

單獨(dú)概率=滿足條件的情況數(shù)÷總的情況數(shù)。

總體概率=滿足條件的各種情況概率之和（互相排斥的情況）。

總體概率=滿足條件的每個(gè)步驟概率之積（步驟相互獨(dú)立）。

某條件成立的概率=1-該條件不成立的概率。

“A成立”時(shí)“B成立”的概率=A、B同時(shí)成立時(shí)的概率÷A成立的概率。

對(duì)于一般的概率問題，直接分析滿足條件的情形種數(shù)與所有可能的情形總數(shù)，兩者相除即得概率。在分析情形種數(shù)和所有可能總數(shù)時(shí)需用排列組合知識(shí)計(jì)算。對(duì)于分步、分類、條件概率問題則具體題目具體分析，分析時(shí)注意區(qū)分條件之間能否相互區(qū)分。

【例1】（寧夏2014—62）某單位利用業(yè)余時(shí)間舉行了3次義務(wù)勞動(dòng)，總計(jì)有112人次參加。在參加義務(wù)勞動(dòng)的人中，只參加1次、參加2次和3次全部參加的人數(shù)之比為5∶4∶1。問該單位共有多少人參加了義務(wù)勞動(dòng)？ （　）

A.70

B.80

C.85

D.102

思路導(dǎo)學(xué)

本題為容斥原理問題，根據(jù)題干給出的條件列出方程進(jìn)行解答即可。

考生需要理解并記住容斥原理問題的核心公式，并根據(jù)題意靈活運(yùn)用。

[名師點(diǎn)評(píng)]容斥原理。可列方程。設(shè)參加1次、2次、3次的人數(shù)分別為5x、4x、x，則有112=5x+2×4x+3x，解得x=7，則參加義務(wù)勞動(dòng)的有5x+4x+x=10x=70（人）。

【例2】一件產(chǎn)品要經(jīng)過三道工序，每道工序的合格率分別為99.98%、99.95%、99.93%，該產(chǎn)品的合格率是多少？ （　）

A.99.23%

B.99.86%

C.99.56%

D.99.94%

思路導(dǎo)學(xué)

根據(jù)產(chǎn)品的合格率即為各道工序的合格率的積得解。

[名師點(diǎn)評(píng)]產(chǎn)品三道工序的合格率分別為99.98%、99.95%、99.93%，則該產(chǎn)品的合格率為分步概率：99.98%×99.95%×99.93%=（1-0.0002）×（1-0.0005）×（1-0.0007）≈1-0.0002-0.0005-0.0007=0.9986=99.86%。所以選擇B。

考點(diǎn)5 最值問題

最值問題是數(shù)學(xué)運(yùn)算中最能考查思維能力的題型之一。其中抽屜原理題型相對(duì)固定，對(duì)最不利情形的構(gòu)造是關(guān)鍵，在最不利情形上加1即可推出答案。其他最值問題分析需要分類考慮或者從問題的反面來解決問題。

一、抽屜原理

題型判定：若題目中出現(xiàn)“至少（最少）……保證”，則確定是抽屜原理的題目。

解題思路主要分為兩步：確定是抽屜原理的題目后，第一，分析清楚“最糟糕”或“最不利”的是什么；第二，在最不利的基礎(chǔ)上加1。

解題方法：答案=最不利的情形+1。

特殊情況：抽屜原理問題中有一類選票統(tǒng)計(jì)問題，提問方式一般是“甲至少再得多少票就一定當(dāng)選”，這屬于抽屜原理的拓展題型，做題方法是：總票數(shù)減去最少選手得票后，甲要得到剩余票數(shù)的一半以上。

二、構(gòu)造數(shù)列

當(dāng)題干中出現(xiàn)“最大”“最多”“至多”“最小”“最少”“至少”等字樣時(shí)，我們通常考慮“極端構(gòu)造法”，即通過分析題目中的各個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系，并通過“大小或多少”關(guān)系構(gòu)造出符合題目所需求的極端情況，從而排列順序并求解。

特征：最……最……；排名第……最……。

方法：構(gòu)造一個(gè)滿足題目要求的數(shù)列。

三、反向構(gòu)造

題型判定：題中給出多個(gè)集合，問題是“至少……都……”，那么就屬于多集合反向構(gòu)造。

解題方法：一般先反向求和，再做差。

【例1】（寧夏2014—64）箱子里有大小相同的3種顏色玻璃珠各若干顆，每次從中摸出3顆為一組，問至少要摸出多少組，才能保證至少有2組玻璃珠的顏色組合是一樣的？ （　）

A.11

B.15

C.18

D.21

思路導(dǎo)學(xué)

運(yùn)用極端思維法進(jìn)行解答。即在最不利的情形下加1即可得出答案。

[名師點(diǎn)評(píng)]最值問題。極端思維法。所有不同的分組情況有：一組中3顆玻璃珠顏色相同的組合有3種，有2顆玻璃珠顏色相同的組合有3×2=6（種），3顆玻璃珠顏色都不同的組合有1種。故為了保證至少有2組玻璃珠的顏色組合一樣，至少需要摸出（3+6+1）+1=11（組）。

【例2】（寧夏2014—67）某工廠有100名工人報(bào)名參加了4項(xiàng)專業(yè)技能課程中的一項(xiàng)或多項(xiàng)，已知A課程與B課程不能同時(shí)報(bào)名參加。如果按照?qǐng)?bào)名參加的課程對(duì)工人進(jìn)行分組，將報(bào)名參加的課程完全一樣的工人分到同一組中，則人數(shù)最多的組最少有多少人？ （　）

A.7

B.8

C.9

D.10

思路導(dǎo)學(xué)

第一步：分析題意。要使人數(shù)最多的組人數(shù)盡量少，則要使每組的人數(shù)盡可能的平均。對(duì)于此題來說，還要使組數(shù)盡可能的多。

第二步：根據(jù)分析，構(gòu)造數(shù)列。

[名師點(diǎn)評(píng)]要使人數(shù)最多的組的人數(shù)盡量少，就要使每組的人數(shù)盡可能平均。首先需要根據(jù)題干計(jì)算這100名工人可以分成多少組，已知A課程和B課程不能同時(shí)報(bào)名參加，現(xiàn)對(duì)分組的個(gè)數(shù)進(jìn)行分類討論：只報(bào)名參加一個(gè)課程的情況有 種；報(bào)名參加兩種課程的情況有）種；報(bào)名參加三種課程的情況有）種；報(bào)名參加四種課程的情況不可能存在。因此組數(shù)最多有-1）+）=11（種）。將100名工人平均分配給11組有100÷11=9……1，因此人數(shù)最多的組最少有10人。

考點(diǎn)6 費(fèi)用問題

費(fèi)用問題與實(shí)際生活結(jié)合緊密，考查方式比較靈活。利潤(rùn)折扣問題涉及成本、收入、折扣等，是費(fèi)用問題的重點(diǎn)題型。分段計(jì)費(fèi)時(shí)有考查，而方案優(yōu)化將逐漸成為考查的趨勢(shì)。

一、利潤(rùn)折扣

核心公式：

1.售價(jià)=成本+利潤(rùn)，利潤(rùn)=售價(jià)-成本；

2.利潤(rùn)率=利潤(rùn)÷成本=（售價(jià)-成本）÷成本=售價(jià)÷成本-1；

3.成本=售價(jià)÷（1+利潤(rùn)率）。

注：“售價(jià)”是實(shí)際售出價(jià)格，“定價(jià)”是期望價(jià)格。

遇到涉及折扣的問題，如果沒有給出具體的售價(jià)和銷售額，可以抓住題目中的等量關(guān)系，研究出變化前后的情形及其差異，結(jié)合賦值和列表來分析解題。

二、分段計(jì)算

對(duì)于分段計(jì)算的題目，需找準(zhǔn)分段點(diǎn)，按區(qū)間各自計(jì)算，結(jié)合列表分析。

三、方案優(yōu)化

對(duì)于方案優(yōu)化的題目，先計(jì)算出購買目標(biāo)在不同購買方式下的價(jià)格，比較之后進(jìn)行購買。

【例】（寧夏2014—61）某市電價(jià)為一個(gè)自然月內(nèi)用電量在100度以內(nèi)的每度電0.5元，在101度到200度之間的每度電1元，在201度以上的每度電2元。張先生家第三季度繳納電費(fèi)370元，該季度用電最多的月份用電量不超過用電量最少月份的2倍，問他第三季度最少用了多少度電？ （　）

A.300

B.420

C.480

D.512

思路導(dǎo)學(xué)

此題其實(shí)是費(fèi)用問題與最值問題的結(jié)合。

第一步：分析題意，分析出要使第三季度用電度數(shù)最少應(yīng)滿足哪些條件。

第二步：根據(jù)條件，構(gòu)造出方程。注意分段計(jì)算問題。

[名師點(diǎn)評(píng)]要使張先生家第三季度用電度數(shù)最少，則他家某一個(gè)月的用電量最高，另外兩個(gè)月的用電量最少，從而用電量最多的月份平均每度電的價(jià)格最高。假設(shè)張先生家用電量最少的一個(gè)月的用電量在100度以內(nèi)，則這個(gè)月所應(yīng)交的電費(fèi)在50元以內(nèi)，根據(jù)題干中的條件，另外兩個(gè)月的用電量不超過200度，即另外兩個(gè)月所交電費(fèi)之和在150+150=300（元）以內(nèi)，此時(shí)第三季度所繳納電費(fèi)少于370元。因此第三季度張先生家用電量最少的月份的用電量在100度以上。設(shè)張先生家第三季度用電量最少月份的用電量為x度，由題意得[100×0.5+（x-100）]×2+100×0.5+100+（2x-200）×2=370，解得x=120，因此第三季度最少用電的度數(shù)為120+120+120×2=480（度），答案為C項(xiàng)。

考點(diǎn)7 行程問題

一、基本行程問題

行程問題核心公式：路程=速度×?xí)r間。

由此公式進(jìn)一步可得：路程的比例=速度的比例×?xí)r間的比例。

由此可得三條推論：

當(dāng)時(shí)間相同時(shí)，路程之比等于速度之比；

當(dāng)速度相同時(shí)，路程之比等于時(shí)間之比；

當(dāng)路程相同時(shí)，速度之比等于時(shí)間反比。

等距離平均速度公式：v1 與v2 所經(jīng)歷的路程相同，則平均速度。

火車過橋公式：橋長(zhǎng)+車長(zhǎng)=火車速度×過橋時(shí)間。

從行程問題基本公式出發(fā)，針對(duì)路程、速度、時(shí)間三項(xiàng)，先看題目待求量，然后返回題目中尋找其余兩個(gè)量，根據(jù)基本公式列方程，是解決基本行程問題、相遇追及問題和流水行船問題的常規(guī)方法。在較復(fù)雜的行程題目中，也可以借助畫圖來尋找相應(yīng)的等量關(guān)系。

二、相遇追及問題

核心公式：

相遇距離=（速度1+速度2）×相遇時(shí)間；

追及距離=（速度1-速度2）×追及時(shí)間。

對(duì)于兩人從兩地相向出發(fā)相遇后到達(dá)另一地再返回相遇的問題（必須是兩者都到達(dá)另一地返回），如果用S1、S2 表示兩次相遇地點(diǎn)分別距離某起點(diǎn)的距離，S表示兩點(diǎn)間的距離，則第一次相遇兩人分別走過S1，S-S1，第二次相遇兩人分別走過S+（S-S2），S+S2。根據(jù)速度之比等于路程之比，S1∶（S-S1）= （2S-S2）∶（S+S2），有如下公式：

同理可得下面的公式：

兩邊型公式：S=3S1-S2（S1、S2 指的是兩次相遇地點(diǎn)分別距離兩個(gè)起點(diǎn)的距離，S表示兩點(diǎn)間的距離）。

三、間歇變速問題

對(duì)于出現(xiàn)行進(jìn)中速度變化的問題，根據(jù)運(yùn)動(dòng)物體的運(yùn)動(dòng)軌跡尋找相應(yīng)的等量關(guān)系，一般考慮找關(guān)于時(shí)間的等量關(guān)系。而對(duì)于在行進(jìn)中出現(xiàn)休息時(shí)間的問題，可以將行進(jìn)和休息的時(shí)間看成一個(gè)整體來考慮平均速度，但是在追及前后要具體分析。

四、流水行船問題

核心公式：

流水行船問題：順流航程=（船速+水速）×順流時(shí)間；

逆流航程=（船速-水速）×逆流時(shí)間。

電梯運(yùn)動(dòng)問題：電梯梯級(jí)=（人速+電梯速度）×沿電梯運(yùn)動(dòng)方向到達(dá)時(shí)間；

電梯梯級(jí)=（人速-電梯速度）×逆電梯運(yùn)動(dòng)方向到達(dá)時(shí)間。

流水行船與扶梯上下本質(zhì)上是一類題目，只不過扶梯上下型題目中電梯的總級(jí)數(shù)即為總路程，每人每秒走過的電梯級(jí)數(shù)即為速度。

【例】（寧夏2014—63）環(huán)形跑道長(zhǎng)400米，老張、小王、小劉從同一地點(diǎn)同向出發(fā)，圍繞跑道分別慢走、跑步和騎自行車。已知三人的速度分別是1米/秒、3米/秒和6米/秒，問小王第3次超越老張時(shí)，小劉已經(jīng)超越了小王多少次？ （　）

A.3

B.4

C.5

D.6

思路導(dǎo)學(xué)

根據(jù)速度差，即可算出路程差。再結(jié)合環(huán)形追及的特點(diǎn)，即可解答此題。

[名師點(diǎn)評(píng)]行程問題。環(huán)形多次追及。小王與老張的速度差是2米/秒，小劉與小王的速度差為3米/秒，在開始時(shí)，小王超越老張一次，小劉超越小王一次，當(dāng)小王第三次超越老張時(shí)，小王比老張多跑了3圈，追及時(shí)間是3×400÷2=600（秒），此時(shí)小劉追及小王的距離是600×3=1800（米），1800÷ 400=4……200，即超越了4次，故選B。

考點(diǎn)8 幾何問題

幾何問題有兩類，一類是考查利用平面幾何和立體幾何的原理運(yùn)算或空間想象能力，如面積、體積計(jì)算等；另一類是考查結(jié)合幾何知識(shí)的計(jì)數(shù)問題，如植樹、方陣、染色問題等。立體幾何是幾何問題中的重點(diǎn)題型，而幾何計(jì)數(shù)又是幾何問題中的難點(diǎn)問題。

一、平面幾何問題

周長(zhǎng)公式：

C正方形=4a；C長(zhǎng)方形=2（a+b）；C圓=2πR

面積公式：

S正方形=a2；S長(zhǎng)方形=ab；S圓=πR2；

S三角形=ah；S平行四邊形=ah；

S梯形=-（a+b）h；S扇形R2

1.等量最值原理

周長(zhǎng)相同的平面幾何圖形，越接近于圓，面積越大；

面積相同的平面幾何圖形，越接近于圓，周長(zhǎng)越小。

2.等比放縮特性

若一個(gè)平面幾何圖形尺度變?yōu)樵瓉淼腘倍，則周長(zhǎng)變?yōu)樵瓉淼腘倍，面積變?yōu)樵瓉淼腘2 倍。

3.三角形三邊關(guān)系

在三角形中，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。

在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊的平方和一定等于斜邊的平方。

規(guī)則的幾何問題一般直接運(yùn)用公式進(jìn)行求解，某些時(shí)候需要列方程。不規(guī)則的幾何問題，可以通過等量轉(zhuǎn)化、割補(bǔ)平移、替代等方法，將不規(guī)則的圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則的圖形進(jìn)行求解。

二、立體幾何問題

表面積公式：

正方體的表面積=6a2；長(zhǎng)方體的表面積=2ab+2bc+2ac；

球體的表面積=4πR2=πD2；圓柱體的表面積=2πR2+2πRh；圓柱體的底面積=2πR2；圓柱體的側(cè)面積=2πRh

體積公式：

正方體的體積=a3；長(zhǎng)方體的體積=abc；

球的體積=；圓柱體的體積=πR2h；

圓錐體的體積=。

1.等量最值原理

表面積相同的立體幾何圖形，越接近于球，體積越大；

體積相同的立體幾何圖形，越接近于球，表面積越小。

2.等比放縮特性

若一個(gè)立體幾何圖形尺度變?yōu)樵瓉淼腘倍，則表面積變?yōu)樵瓉淼腘2 倍，體積變?yōu)樵瓉淼腘3倍。

三、幾何計(jì)數(shù)問題

1.剪繩計(jì)數(shù)

繩子的段數(shù)總是比切口數(shù)多1。

一根繩子連續(xù)對(duì)折N次，從中剪M 刀，則繩子被剪成（2N×M+1）段。

2.植樹問題

單邊線形植樹：棵數(shù)=總長(zhǎng)÷間隔+1，總長(zhǎng)=（棵數(shù)-1）×間隔；

單邊環(huán)形植樹：棵數(shù)=總長(zhǎng)÷間隔，總長(zhǎng)=棵數(shù)×間隔；

單邊樓間植樹：棵數(shù)=總長(zhǎng)÷間隔-1，總長(zhǎng)=（棵數(shù)+1）×間隔；

雙邊植樹：只需要把單邊植樹的數(shù)目乘以2即可。

3.方陣問題

N排N列的方陣人數(shù)為N2 人，最外層人數(shù)為4（N-1），最外兩層的人數(shù)和為8（N-2）。

方陣人數(shù)=（最外層人數(shù)÷4+1）2。

幾何計(jì)數(shù)問題有些是標(biāo)準(zhǔn)的應(yīng)用題，如剪繩、植樹、方陣問題等，這些問題可以利用經(jīng)驗(yàn)公式求解。有些則是需要具體分析的問題，如染色問題等。

【例1】一菱形土地的面積為 3平方公里，菱形的最小角為60度。如果要將這一菱形土地向外擴(kuò)張變成一正方形土地，問正方形土地邊長(zhǎng)最小為多少公里？ （　）

A.2

B.3

C.6

D.26

思路導(dǎo)學(xué)

第一步：分析題意。要使正方形土地邊長(zhǎng)最小，則其面積要最小，其對(duì)角線也就最小。

第二步：構(gòu)造出滿足條件的正方形。再結(jié)合題干條件，算出正方形的邊長(zhǎng)。

[名師點(diǎn)評(píng)]設(shè)菱形的短對(duì)角線的長(zhǎng)度為a，長(zhǎng)對(duì)角線的長(zhǎng)度為b。由于菱形中最長(zhǎng)的線就是它的長(zhǎng)對(duì)角線。因此要使由這個(gè)菱形擴(kuò)張成的正方形面積最小，就要使菱形的長(zhǎng)對(duì)角線做擴(kuò)張成的正方形的一條對(duì)角線，如下圖所示。已知菱形的最小角是60度，由勾股定理可知b=a。由題意得，ab/2=，解得b=，也就是擴(kuò)張成的正方形的對(duì)角線長(zhǎng)度最小為公里，因此正方形土地的邊長(zhǎng)最小

【例2】如圖，在梯形ABCD中，AB與CD平行，O為AC與BD的交點(diǎn)，CO=2AO，則梯形ABCD與三角形AOB的面積之比（　）。

A.6∶1

B.7∶1

C.8∶1

D.9∶1

思路導(dǎo)學(xué)

第一 步：將 三 角 形 AOB 和COD的高分別設(shè)未知數(shù)，并根據(jù)題干信息推算出二者關(guān)系；

第二步：分別列出梯形ABCD和三角形AOB的面積計(jì)算公式；

第三步：將上一步所列兩個(gè)公式相除，并結(jié)合第一步所推關(guān)系計(jì)算得出答案。

[名師點(diǎn)評(píng)]在梯形ABCD中，AB與CD平行，所以三角形AOB與三角形COD相似，同時(shí)設(shè)三角形AOB的高為H1，三角形COD的高為H2，所以，所以梯形ABCD與三角形AOB的面積比為，選擇D。

考點(diǎn)9 雜類問題

雜類問題在數(shù)學(xué)運(yùn)算中出現(xiàn)較少，但其中的比賽問題、統(tǒng)籌推斷問題都是數(shù)學(xué)運(yùn)算中的難點(diǎn)題型；年齡問題、過河爬井問題、空瓶換酒問題都有公式可以套用，難度不大。

一、年齡問題

年齡問題經(jīng)驗(yàn)總結(jié)：

1.每過N年，每個(gè)人都長(zhǎng)N歲。

2.兩個(gè)人的年齡差在任何時(shí)候都是固定不變的。

3.兩個(gè)人的年齡倍數(shù)關(guān)系隨著時(shí)間推移而變小。

二、統(tǒng)籌推斷問題

統(tǒng)籌推斷問題是數(shù)學(xué)運(yùn)算中難度最大的題型之一，通常這類題目需要非常快速地分析思考，考試中建議跳過這類題目先做其他題目。

三、空瓶換酒問題

空瓶換酒核心公式：N瓶=1瓶酒=1瓶+1酒，得（N-1）瓶=1酒。

【例】（寧夏2014—70）一家四口人的年齡之和為149歲，其中外公年齡、母親年齡以及兩人的年齡之和都是平方數(shù)，而父親7年前的年齡正好是孩子年齡的6倍。問外公年齡上一次是孩子年齡的整數(shù)倍是在幾年前？ （　）

A.2

B.4

C.6

D.8

思路導(dǎo)學(xué)

第一步：根據(jù)題干條件，直接可以推算出外公和母親的年齡，從而算出孩子的年齡。

第二步：將選項(xiàng)代入驗(yàn)證。

[名師點(diǎn)評(píng)]由題干“外公年齡、母親年齡以及兩人的年齡之和都是平方數(shù)”可知，外公年齡為64歲，母親年齡為36歲。因此今年父親和孩子的年齡之和為149-64-36=49（歲）。由“父親7年前的年齡正好是孩子年齡的6倍”可知，孩子現(xiàn)在的年齡為（49-7×2）÷（6+1）+7=12（歲）。再將選項(xiàng)代入驗(yàn)證得，外公年齡上一次是孩子年齡的整數(shù)倍是在8年前。故答案為D項(xiàng)。

70分通關(guān)必做題

1. 某農(nóng)場(chǎng)有36臺(tái)收割機(jī)，要收割完所有的麥子需要14天時(shí)間。現(xiàn)收割了7天后增加4臺(tái)收割機(jī)，并通過技術(shù)改造使每臺(tái)機(jī)器的效率提升5%。問收割完所有的麥子還需要幾天？ （　）

A.3

B.4

C.5

D.6

2. 某單位有50人，男女性別比為3∶2，其中有15人未入黨。如從中任選1人，則此人為男性黨員的概率最大為多少？ （　）

A.

B.

C.

D.

3. 某技校安排本屆所有畢業(yè)生分別去甲、乙、丙3個(gè)不同的工廠實(shí)習(xí)。去甲廠實(shí)習(xí)的畢業(yè)生占畢業(yè)生總數(shù)的32%，去乙廠實(shí)習(xí)的畢業(yè)生比甲廠少6人，且占畢業(yè)生總數(shù)的24%。問去丙廠實(shí)習(xí)的人數(shù)比去甲廠實(shí)習(xí)的人數(shù)（　）。

A.少9人

B.多9人

C.少6人

D.多6人

4. 甲、乙、丙、丁四人共同投資一個(gè)項(xiàng)目，已知甲的投資額比乙、丙二人的投資額之和高20%，丙的投資額是丁的60%，總投資額比項(xiàng)目的資金需求高。后來丁因故臨時(shí)撤資，剩下三人的投資額之和比項(xiàng)目的資金需求低 ，則乙的投資額是項(xiàng)目資金需求的（　）。

A.

B.

C.

D.

5. 甲、乙、丙、丁四個(gè)人分別住在賓館1211、1213、1215、1217和1219這五間相鄰的客房中的四間里，而另外一間客房空著。已知甲和乙兩人的客房中間隔了其他兩間客房，乙和丙的客房號(hào)之和是四個(gè)人里任意二人的房號(hào)和中最大的，丁的客房與甲相鄰且不與乙、丙相鄰。則以下哪間客房可能是空著的？ （　）

A.1213

B.1211

C.1219

D.1217

6. 把12棵同樣的松樹和6棵同樣的柏樹種植在道路兩側(cè)，每側(cè)種植9棵，要求每側(cè)的柏樹數(shù)量相等且不相鄰，且道路起點(diǎn)和終點(diǎn)處兩側(cè)種植的都必須是松樹。問有多少種不同的種植方法？ （　）

A.36

B.50

C.100

D.400

7. 餐廳需要使用9升食用油，現(xiàn)在庫房里庫存有15桶5升裝的、3桶2升裝的、8桶1升裝的。問庫房有多少種發(fā)貨方式，能保證正好發(fā)出餐廳需要的9升食用油？ （　）

A.4

B.5

C.6

D.7

8. 小李的弟弟比小李小2歲，小王的哥哥比小王大2歲、比小李大5歲。1994年，小李的弟弟和小王的年齡之和為15。問2014年小李與小王的年齡分別為多少歲？ （　）

A.25、32

B.27、30

C.30、27

D.32、25

9. 現(xiàn)要在一塊長(zhǎng)25公里、寬8公里的長(zhǎng)方形區(qū)域內(nèi)設(shè)置哨塔，每個(gè)哨塔的監(jiān)視半徑為5公里，如果要求整個(gè)區(qū)域內(nèi)的每個(gè)角落都能被監(jiān)視到，則至少需要設(shè)置多少個(gè)哨塔？ （　）

A.7

B.6

C.5

D.4

10.甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員在400米的環(huán)形跑道上練習(xí)跑步，甲出發(fā)1分鐘后乙同向出發(fā)，乙出發(fā)2分鐘后第一次追上甲，又過了8分鐘，乙第二次追上甲，此時(shí)乙比甲多跑了250米，問兩人出發(fā)地相隔多少米？ （　）

A.200

B.150

C.100

D.50

11.30個(gè)人圍坐在一起輪流表演節(jié)目。他們按順序從1到3依次不重復(fù)地報(bào)數(shù)，數(shù)到3的人出來表演節(jié)目，并且表演過的人不再參加報(bào)數(shù)，那么在僅剩一個(gè)沒表演過節(jié)目的時(shí)候，共報(bào)數(shù)多少人次？ （　）

A.87

B.117

C.57

D.77

12.老王兩年前投資的一套藝術(shù)品市價(jià)上漲了50%，為盡快出手，老王將該藝術(shù)品按市價(jià)的八折出售，扣除成交價(jià)5%的交易費(fèi)用后，發(fā)現(xiàn)與買進(jìn)時(shí)相比賺了7萬元。問老王買進(jìn)該藝術(shù)品花了多少萬元？ （　）

A.84

B.42

C.100

D.50

13.搬運(yùn)工負(fù)重徒步上樓，剛開始保持勻速，用了30秒爬了兩層樓（中間不休息）；之后每多爬一層多花5秒，多休息10秒，那么他爬到七樓一共用了多少秒？ （　）

A.220

B.240

C.180

D.200

14.燒杯中裝了100克濃度為10%的鹽水。每次向該燒杯中加入不超過14克濃度為50%的鹽水，問最少加多少次之后，燒杯中的鹽水濃度能達(dá)到25%？ （假設(shè)燒杯中鹽水不會(huì)溢出）（　）

A.6

B.5

C.4

D.3

15.某連鎖企業(yè)在10個(gè)城市共有100家專賣店，每個(gè)城市的專賣店數(shù)量都不同。如果專賣店數(shù)量排名第5多的城市有12家專賣店，那么專賣店數(shù)量排名最后的城市，最多有幾家專賣店？ （　）

A.2

B.3

C.4

D.5

16.一些員工在某工廠車間工作，如果有4名女員工離開車間，在剩余的員工中，女員工人數(shù)占九分之五；如果有4名男員工離開車間，在剩余的員工中，男員工人數(shù)占三分之一。原來在車間工作的員工共有（　）名。

A.36

B.40

C.48

D.72

17.為豐富職工業(yè)余文化生活，某單位組織了合唱、象棋、羽毛球三項(xiàng)活動(dòng)。在該單位的所有職工中，參加合唱活動(dòng)的有189人，參加象棋活動(dòng)的有152人，參加羽毛球活動(dòng)的有135人，參加兩種活動(dòng)的有130人，參加三種活動(dòng)的有69人，不參加任何一種活動(dòng)的有44人。該單位的職工人數(shù)為（　）。

A.233

B.252

C.321

D.520

18.在環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽中，男選手的平均得分為80分，女選手的平均得分為65分，全部選手的平均得分為72分。已知全部選手人數(shù)在35到50之間，則全部選手人數(shù)為（　）。

A.48

B.45

C.43

D.40

19.一名顧客購買兩件均低于100元的商品，售貨員在收款時(shí)錯(cuò)將其中一件商品標(biāo)價(jià)的個(gè)位數(shù)和十位數(shù)弄反了，該顧客因此少付了27元。被弄錯(cuò)價(jià)格的這件商品的標(biāo)價(jià)不可能是（　）元。

A.42

B.63

C.85

D.96

20.某地民政部門對(duì)當(dāng)?shù)孛耖g組織進(jìn)行摸底調(diào)查，發(fā)現(xiàn)40%的民間組織有25人以上規(guī)模，20個(gè)民間組織有50人以上規(guī)模，80%的民間組織不足50人，人員規(guī)模在25人以上但不足50人的民間組織數(shù)量為（　）個(gè)。

A.20

B.40

C.60

D.80

21.在某公司年終晚會(huì)上，所有員工分組表演節(jié)目。如果按7男5女搭配分組，則只剩下8名男員工；如果按9男5女搭配分組，只剩下40名女員工。該公司員工總數(shù)為（　）。

A.446

B.488

C.508

D.576

22.小王和小劉手工制作一種工藝品，每件工藝品由一個(gè)甲部件和一個(gè)乙部件組成，小王每天可以制作150個(gè)甲部件，或者制作75個(gè)乙部件；小劉每天可以制作60個(gè)甲部件，或者制作24個(gè)乙部件。現(xiàn)兩人一起制作工藝品，10天時(shí)間最多可以制作該工藝品（　）件。

A.660

B.675

C.700

D.900

參考答案及解析

1. D [解析]方法一：比例法。由題意，原有收割機(jī)36臺(tái)，增加4臺(tái)后變?yōu)?0臺(tái)，同時(shí)提高效率5%后，每天的效率相當(dāng)于40×（1+5%）=42（臺(tái)）收割機(jī)的工作效率。前后效率比為36∶42=6∶7，前后工作量相等，故所用時(shí)間比為7∶6，還需6天即可完成。

方法二：賦值法。賦值原來每臺(tái)收割機(jī)每天的工作效率為1，則工作總量為36×14=504，故已完成工作量為252，剩余252，增加收割機(jī)且提高效率后收割機(jī)每天的效率和變?yōu)椋?6+4）×（1+5%）=42，故收割完所有麥子還需要252÷42=6（天）。

2. A [解析]結(jié)合最值考查概率問題。按照概率的定義計(jì)算：男性黨員人數(shù)最多為30人（即5 15名未入黨的恰好均為女性），故所求概率為30÷50=3（滿足要求的情況數(shù)÷總的情況數(shù)），答案選A。

3. B [解析]由題意可知，去甲廠實(shí)習(xí)的畢業(yè)生占總畢業(yè)生的32%，去乙廠實(shí)習(xí)的畢業(yè)生占總畢業(yè)生的24%，故去丙廠實(shí)習(xí)的畢業(yè)生人數(shù)占總畢業(yè)生的100%-32%-24%=44%，比去甲廠的多12%。又由于去乙廠實(shí)習(xí)人數(shù)比甲廠實(shí)習(xí)人數(shù)少6人，故丙比甲多6×（12%÷8%）=9（人）。

4. A [解析]賦值法。設(shè)項(xiàng)目資金需求為12，則甲、乙、丙、丁的總投資額為12×（1+ ）=16；甲、乙、丙三人的投資額為12×（1- ）=11，故丁的投資額為5，丙的投資額為5×60%=3；甲投資額與乙、丙投資額之和的比值為1∶（1+20%）=6∶5，故甲為6，乙為5-3=2，故乙的投資額所占比重為2÷12=16。

5. D [解析]代入排除驗(yàn)證即可。代入D項(xiàng)，若1217為空房，由甲、乙中間隔了2個(gè)房間可知，甲、乙房間號(hào)有兩種情況：①甲1213，乙1219；②甲1219，乙1213。但是通過條件“乙和丙的客房號(hào)是四個(gè)人中任意二人房號(hào)中最大的”可排除第②種情況，且繼而能推出丙1215，則丁的房間號(hào)是1211，滿足已知的剩余條件“丁的客房與甲相鄰且不與乙、丙相鄰”。其余選項(xiàng)代入后均不滿足要求。正確答案如下圖所示：

注意：1215客房空著也可以滿足題目要求，但不在選項(xiàng)中，所以不考慮。

6. C [解析]由題意，公路兩邊要各種6棵松樹、3棵柏樹，要求起點(diǎn)和終點(diǎn)必須是松樹，且柏樹不相鄰，則只需從中間松樹形成的5個(gè)空中選出3個(gè)空栽種柏樹即可。故每一側(cè)的種植方法有=10（種），題目要求兩側(cè)都種植，則總共的種植方法為10×10=100（種）。

7. C [解析]采用枚舉法求解。恰好要獲得9升油，一共有如下6種方式：

8. B [解析]由“小王的哥哥比小王大2歲、比小李大5歲”可知，小王比小李大3歲，又知小李弟弟比小李小2歲，則小王比小李的弟弟大5歲。根據(jù)1994年兩人的年齡和為15，可得小王1994年為10歲。故2014年小王30歲，小李27歲。因此，本題答案為B選項(xiàng)。

9. C [解析]幾何構(gòu)造類。如下圖所示，每個(gè)半徑為5的圓形（F為圓心）可覆蓋一個(gè)長(zhǎng)為8公里、寬為6公里的小長(zhǎng)方形。4個(gè)圓形不能完全覆蓋整個(gè)長(zhǎng)方形區(qū)域，故至少設(shè)立需要5個(gè)哨塔。

10.B [解析]方法一：設(shè)甲與乙的速度分別為v甲 和v乙，由題意，從乙第一次追上甲到第二次追上甲，二者的路程差為400米，可得400=（v乙-v甲）×8，解得兩人速度差為50米/分。由于甲一共跑了11分鐘，乙一共跑了10分鐘，在后10分鐘內(nèi)，乙比甲多跑了50×10=500（米）；由于乙全程比甲多跑250米，故甲最開始的1分鐘跑了250米；又根據(jù)乙2分鐘時(shí)第一次追上甲，可得在這3分鐘內(nèi)乙比甲多跑了為50×2=100（米）。故兩人最初相距250-100=150（米）。

方法二：直接分析，在兩人第一次相遇到第二次相遇的過程中，乙比甲多跑了400米，故在最開始的2分鐘內(nèi)甲比乙多跑400-250=150（米），即兩人出發(fā)時(shí)相距150米。

11.A [解析]僅剩余1個(gè)人沒有表演節(jié)目，即已經(jīng)有29人表演過節(jié)目，每3人次報(bào)數(shù)中有1人會(huì)表演節(jié)目，29人表演過節(jié)目需要報(bào)數(shù)29×3=87（人次）。答案選擇A。

12.D [解析]假定進(jìn)價(jià)是100份，則：

即最終的凈利潤(rùn)為14份，14份相當(dāng)于是7萬元，所以100份相當(dāng)于是50萬元。答案選擇D。

13.D [解析]分析題干可知，前兩層樓梯，每層所需時(shí)間為15秒，具體時(shí)間列表如下：

進(jìn)而可以得到總時(shí)間為200秒。答案選擇D。

14.B [解析]設(shè)最少加x次滿足題干要求，結(jié)合溶液混合基本公式可得：

100×10%+14x×50%≥（100+14x）×25%，解方程可得x≥ ，則x的最小值為5。答案選擇B。

15.C [解析]設(shè)排名最后的城市專賣店數(shù)量為x，若x要最大即其他要最小，列表如下：

進(jìn)而可以得到：16+15+14+13+12+（x+4）+（x+3）+（x+2）+（x+1）+x=100，解得x=4。答案選擇C。

16.B [解析]設(shè)原來在車間工作的女員工有x人，男員工有（n-x）人，總?cè)藬?shù)為n人。根據(jù)題意有，解得n=40。故本題正確答案為B。

17.B [解析]設(shè)該單位職工人數(shù)為P，根據(jù)題意有：189+152+135-（130+69×3）+69=P-44，解得P=252。故本題正確答案為B。

18.B [解析]利用十字交叉法，可知：

，因此男選手與女選手的人數(shù)比為7∶8，因此總?cè)藬?shù)應(yīng)該是15的倍數(shù)，又根據(jù)題意知總?cè)藬?shù)在35到50之間，所以總?cè)藬?shù)為45人。故本題正確答案為B。

19.A [解析]代入排除法。代入A項(xiàng)，42-24=18，可知少付18元，與題意不符。故本題正確答案為A。

20.A [解析]根據(jù)題意可知50人以上規(guī)模和不足50人為兩個(gè)相互排斥的集合，由此推知總的民間組織數(shù)為100個(gè)，則不足50人的民間組織為80個(gè)，25人以上的民間組織為40個(gè)，又因?yàn)?0人以上規(guī)模的民間組織有20個(gè)，故人員規(guī)模在25人以上但不足50人的民間組織數(shù)量為40-20=20（個(gè)）。故本題正確答案為A。

21.B [解析]根據(jù)題意有：?jiǎn)T工總數(shù)s=12n（n為7男5女搭配的分組組數(shù)）+8男；員工總數(shù)s=14m（m為9男5女搭配的分組組數(shù)）+40女，可知總數(shù)減8一定是12的倍數(shù)，同時(shí)總數(shù)減40一定是14的倍數(shù)，結(jié)合選項(xiàng)代入排除可知488符合題意。故本題正確答案為B。

22.C [解析]效率統(tǒng)籌問題。比較可知制作甲部件，王、劉效率比為5∶2，制作乙部件，王、劉效率比為25∶8，大于5∶2。所以若想在限定時(shí)間內(nèi)完成盡可能多的工藝品，則劉應(yīng)該盡可能多花時(shí)間做甲部件，即10天時(shí)間全部用來做甲，這樣小劉可制作甲部件60×10=600（個(gè)），而小王只需8天即可做出600個(gè)乙部件與之配套。剩下2天時(shí)間，小王可以根據(jù)自身效率再做出可以配套的甲乙部件，即用天時(shí)間做100個(gè)甲部件，剩余的天時(shí)間做100個(gè)乙部件。這樣兩人共完成700個(gè)工藝品，故本題答案為C項(xiàng)。

80分專項(xiàng)瘋狂練習(xí)