第2章 靜力學公理與物體受力分析

2.1 靜力學公理

在靜力學中，力系的簡化規則、最基本的平衡條件、力系效果的等價原理、物體之間的相互作用力關系、剛體和剛體系的平衡條件及變形體的平衡條件，經人們長期實踐與反復驗證，總結為下列五條公理，稱為靜力學公理（axiom of statics）。這些公理所揭示的規律不能由其他方法（如邏輯推理的方法）而得到，是人們在生活和生產實踐中長期積累的經驗總結，又經過實踐反復檢驗，被確認是符合客觀實際的最普遍、最一般的規律。

公理1：力的平行四邊形法則（parallelogram law） 作用于剛體上同一點的兩個力可以用一個力等效，這個力稱為合力（resultant of forces）。這個合力仍作用于該點，其合力矢等于這兩個力矢的矢量和。

公理1即力的合成與分解的運算規則，它說明力的合成與分解服從矢量加減的平行四邊形法則，如圖2-1(a)所示，F1+F2=F。將F2平移后，得到力三角形，如圖2-1(b)所示，這是求合力矢的三角形法則（trianglerule）。由此也可求兩力之差，即F1-F2=F1+(-F2)=F′，如圖2-1(c)所示。

若求圖2-2(a)中所示n個共點力之和，即

可由矢量求和的多邊形法則，得力多邊形（polygon of forces），如圖2-2(b)所示，其中，FR為合力矢，O為合力作用點。公理1給出了力系最基本的簡化規則。

注意：利用力多邊形法求合力，僅適用于力的作用線交于一點的幾個力，且合力作用點仍在原力系作用線的匯交點。

公理2：二力平衡條件 作用在同一剛體上的兩個力，使這個剛體平衡的必要且充分的條件是，此二力等值、反向、共線。

注意：一對平衡力的作用點可以是同一個點、也可以是不同的兩個點。

這個公理表明了作用于剛體上的最簡單的力系平衡時所必須滿足的條件。應用該公理，可確定某些未知力的方向或作用線的方位。如圖2-3(a)所示，直桿AD和折桿BC相接觸，在力F作用下處于靜止，若不計自重，則BC構件僅在B，C兩點處受力而平衡，故此二力等值、反向、共線，必沿BC連線方位，如圖2-3(b)所示。這種僅受二力作用而處于平衡的構件稱為二力構件或二力桿（two-force rod）。

公理3：加減平衡力系原理在已知力系上加上或減去任意一個平衡力系（balance force system），并不改變原力系對剛體的作用效果。

它是力系替換與簡化的等效原理（principle of equivalence）。

注意：在物體上加減一個平衡力系，必然引起力對物體內效應的改變，因此，在涉及內力和變形的問題中，公理3不適用。例如，若在圖2-3(a)中加一對平衡力F1和，如圖2-4(a)所示，則整體仍處于平衡狀態，但卻改變了B處的內力（即桿AD與桿BC的相互作用力），也改變了點C和點A處的作用力，因為顯然此時BC不再是二力桿。

又如在圖2-4(b)中，桿先在B處受力F，然后在B、C兩處加一對平衡力F1和，則A端所受外力不變，AB段內力（即將AB段沿橫截面截開后，左右兩邊的相互作用力）不變，但BC段的內力與變形均有改變。

由公理3，可以得到如下兩個推論。

推論1：力的可傳性（transmissibility of forces） 作用在剛體上某點的力，可以沿著它的作用線滑移到剛體內任意點，并不改變該力對剛體的作用效果。

證明：如圖2-5(a)所示的剛體，在點A承受力F，若先在點B處加一對平衡力(F1,F2)，其中F1=F2=F，然后減去一對平衡力(F,F1)，如圖2-5(b)所示，可得到如圖2-5(c)所示的結果。即力F可由點A沿作用線移至點B。

可見，對剛體來說，力是滑移矢量（sliding vector）。所以，對剛體來說，力的三要素為力的大小、方向和作用線，而不必再提力的作用點。

需要指出的是，力的可傳性與公理3同樣，只限于研究力的外效應。當研究外力對物體的內效應時，力不具有可傳性。例如，對于圖2-3(a)所示的結構，若研究點B處的作用力，則對構件AD和構件BC組成的整個系統來說，點B處的作用力是內力，是外力對整個系統的內效應，所以，不可將力F滑移到桿BC上。顯然，若將力F滑移到桿BC上，點B處作用力將發生改變。再如圖2-4(b)所示，若將桿C端力移至點B處，則BC段的內力與變形也會隨之消失。又如圖2-6所示，當研究用繩拉住的桿AB受力時，重力G不能直接移到桿AB上。

推論2：三力平衡匯交定理（principle of three force balance） 若剛體受三力作用而平衡，且其中兩力線相交，則此三力共面且匯交于一點。

證明：如圖2-7所示的剛體受力F1,F2,F3作用而處于平衡。先將力F1,F2滑移至交點O，并合成為力F，則F3與F二力平衡，根據公理2，F3與F共線，故F3與F1,F2共面，且交于同一點O。

該定理說明了三個不相互平行的力平衡時的必要條件，容易推廣到更一般的情形：剛體受n個力作用而平衡，若其中n-1個力交于同一點，則第n個力的作用線必過此點，但這幾個力不一定共面（請讀者自己證明）。

公理4：作用與反作用定律（principle of action and reaction）兩個物體間的相互作用力總是成對出現的，且等值、反向、共線，分別稱為作用力與反作用力。

特別要注意的是，作用力與反作用力雖等值、反向、共線，但這兩個力分別作用在兩個不同的物體上，所以并不構成平衡力系，或者說不存在作用力與反作用力是否平衡一說。這是與二力平衡公理的本質區別。

公理4是研究兩個或兩個以上物體系統平衡的基礎。

在圖2-3中，畫出了構件BC的受力圖后，當再畫桿AB受力圖時，點B處的反作用力必須與FB等值、反向、共線，而FA可由三力匯交確定方向或作用線方位，如圖2-8所示。

公理5：剛化原理（stiffening principle）若一個“物體”在某一力系作用下處于平衡狀態，則將此物體“剛化”后，看成剛體，在同一力系作用下，其平衡狀態不變。

這里的“物體”是一個廣泛的概念，它可以是不可變形的物體，如剛體這種理想化的物體；也可以是可變形的物體，如彈簧、水、空氣等。這里的“物體”可以是一個物體、也可以是多個物體組成的物體系，如房屋、橋梁、機車等?！皠偦笔侵?，在保持這個“物體”的幾何形狀和空間位置不變的前提下，將這個“物體”看成整個一塊剛體。

剛化原理建立了剛體平衡條件與變形體平衡的聯系，提供了用剛體模型研究變形體平衡的依據。但需注意：剛體平衡條件對變形體來說必要而非充分。如圖2-9所示的剛體受壓平衡，相應的變形體（軟繩）受同樣壓力卻不平衡。

還應指出，對于鋼材、混凝土等材料，在正常承載的情況下變形都很小，對于這些變形很小的物體，均在未變形狀態下對變形體進行“剛化”，分析其受力平衡。這樣做，既簡化了計算，也符合工程精度的要求，是非常實用的處理辦法。如圖2-10所示，求力FB的大小時，將直桿AB剛化，不計水平微小位移Δ以及 1Δ,Δ2的影響。

以上五個公理奠定了靜力學的全部理論基礎。