- MATLAB寶典
- 陳杰等編著
- 5443字
- 2019-03-01 22:12:20
第2章 數組
本章包括
◆ 創建數值數組
◆ 操作數值數組
數組是MATLAB的基礎內容，幾乎所有的數據都是用數組的形式進行儲存的，因此，MATLAB又被稱為矩陣實驗室。從MATLAB 5.x版本開始，基于面向對象的考慮，這些數組就成為MATLAB中的內建數據類型（BuiIt-in Data Type），而數組運算就是定義這些數據結構的方法。在本章中，將介紹關于數組類型和數組運算的內容。
2.1 創建數值數組
創建數組是所有MATLAB運算和操作的基礎，針對不同維度的數組，MATLAB提供了多種創建方法，分別可以創建不同要求的數組類型。在本節中，將分別根據數組維度以及方法的不同來介紹如何創建數組。
2.1.1 一維數組的創建方法
在MATLAB中，一維和二維數組都被認為是比較低維的數組。它們的創建方法比較簡單，同時，也是創建高維數組的基礎條件，下面將以簡單的例子來說明如何在MATLAB中創建各種不同的數組類型。
例2.1 在MATLAB中，使用不同的方法來創建一維數組。
step 1 在MATLAB的命令窗口中輸入下面的程序代碼：
>> data1=[pi;log(5);7+6;2^3];
>> data2=[pi log(5) 7+6 2^3];
>> data3=2:2:10;
>> data4=2:10;
>> data5=linspace(2,10,5);
>> data6=logspace(1,5,10);
step 2 查看程序結果。在命令窗口中輸入變量名稱，可以得到以下結果：
data1 =
3.1416
1.6094
13.0000
8.0000
data2 =
3.1416 1.6094 13.0000 8.0000
data3 =
2 4 6 8 10
data4 =
2 3 4 5 6 7 8 9 10
data5 =
2 4 6 8 10
data6 =
1.0e+005 ＊
0.0001 0.0003 0.0008 0.0022 0.0060 0.0167 0.0464
0.1292 0.3594 1.0000
上面的結果基本演示了在MATLAB中創建一維數組的方法。
◆ 直接輸入法：在上面的程序代碼中，data1和data2就是直接輸入法。其中data1在輸入數據的時候，使用了分號，創建了一維列數組；data2則在創建過程中使用了空格，因此創建了一維行數組。
◆ 步長生成法：在上面的程序代碼中，data3和data4的創建方法就是步長生成法，其通用方法是a:inc:b，其中a表示的是數組的第一個元素，inc是創建數組之間的間隔，也就是步長，b則是數組中的最后一個元素。其中inc可以省略，默認的數值為1。
◆ 定數線性采樣法：在上面的程序代碼中，data5的創建方法就是定數線性采樣方法，該方法在設定“總個數”的條件下，均勻采樣分布生成一維行數組，這種方法的調用格式為：x=Iinspace(a,b,n)，其中a和b分別是數組的第一個和最后一個元素，n表示的是采樣點數。
◆ 定數對數采樣法：在上面的程序代碼中，data6的創建方法就是定數對數采樣法。這種方法在設定“總個數”的條件下，經過“常用對數”采樣生成一維行數組。這種方法的調用格式為x=Iogspace(a,b,n)。
說明
在步長生成法中，步長參數inc的數值可以是正數，也可以是負數，當inc是正數的時候，必須滿足a<b；當inc是負數的時候，必須滿足a>b。
2.1.2 二維數組的創建方法
在本節中將介紹如何在MATLAB中創建二維數組。
例2.2 在MATLAB中創建二維數組。
step 1 在MATLAB的命令窗口中輸入下面的程序代碼：
>> Data1= [1 2 3
4 5 6
7 8 9];
>> Data2=[1,2,3;4,5,6;7,8,9];
step 2 查看程序結果。在命令窗口輸入變量名稱，可以得到下面的程序結果：
Data1 =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
Data2 =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
上面的例子基本演示了在MATLAB中創建二維數組的方法，Data1的創建方法比較直接，得到的結果就是輸入的結果；Data2的創建方法則是更加普遍的方法，關于該方法需要注意下面的內容：
◆ 整個輸入數組必須以方括號“[]”作為創建的首尾。
◆ 數組的行和行之間必須用分號“;”間隔。
◆ 數組的列和列之間必須用逗號“,”間隔。
提示
上面使用的創建方法適用的范圍比較窄，當數組的行或者列數比較大的時候，該創建方法就會顯得比較煩瑣，至于其他方法將在后面章節中加以介紹。
2.1.3 使用下標創建三維數組
在MATLAB中，習慣將二維數組的第一維稱為“行”，第二維稱為“列”，而對于三維數組，其第三維則習慣性地稱為“頁”。在MATLAB中，將三維或者三維以上的數組統稱為高維數組。由于高維數組的形象思維比較困難，在本節中將主要以三維為例來介紹如何創建高維數組。
例2.3 使用下標引用的方法創建三維數組。
step 1 在MATLAB的命令窗口中輸入下面的程序代碼：
A(2,2,2)=1;
>> for i=1:2
for j=1:2
for k=1:2
A(i,j,k)=i+j+k;
end
end
end
step 2 查看程序結果。在命令窗口中輸入變量名稱，可以得到下面的程序結果：
>> A(:,:,1)
3 4
4 5
>> A(:,:,2)
4 5
5 6
step 3 創建新的高維數組。在MATLAB的命令窗口中輸入下面的程序代碼：
>> B(3,4,:)=2:5;
step 4 查看程序結果。在命令窗口中輸入變量名稱，可以得到下面的程序結果：
>> B(:,:,1)
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 2
>> B(:,:,2)
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 3
>> B(:,:,3)
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 4
>> B(:,:,4)
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 5
說明
從結果中可以看出，當使用下標的方法創建高維數組的時候，需要使用各自對應的維度的數值，沒有指定的數值則在默認情況下為0。
2.1.4 使用低維數組創建三維數組
本節將介紹如何在MATLAB中使用低維數組創建三維數組。
例2.4 使用低維數組創建高維數組。
step 1 在MATLAB的命令窗口中輸入下面的程序代碼：
>> D2=[1,2,3;4,5,6;7,8,9];
>> D3(:,:,1)=D2;
>> D3(:,:,2)=2＊D2;
>> D3(:,:,3)=3＊D2;d
step 2 查看程序結果。在命令窗口中輸入變量名稱，可以得到以下結果：
>>D2
D2 =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
>> D3
D3(:,:,1) =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
D3(:,:,2) =
2 4 6
8 10 12
14 16 18
D3(:,:,3) =
3 6 9
12 15 18
21 24 27
提示
從結果中可以看出，由于三維數組中“包含”了二維數組，因此可以通過二維數組來創建各種三維數組。
2.1.5 使用創建函數創建三維數組
本節將介紹如何利用MATLAB的創建函數來創建三維數組。
例2.5 使用函數命令來創建高維數組。
step 1 使用cat命令來創建高維數組。在MATLAB的命令窗口中輸入下面的程序代碼：
>> D2=[1,2,3;4,5,6;7,8,9];
>> C=cat(3,D2,2＊D2,3＊D2);
step 2 查看程序結果。在命令窗口中輸入變量名稱，可以得到以下結果：
C(:,:,1) =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
C(:,:,2) =
2 4 6
8 10 12
14 16 18
C(:,:,3) =
3 6 9
12 15 18
21 24 27
說明
cat命令的功能是連接數組，其調用格式為C = cat(dim,A1,A2,A3,A4...)，其中，dim表示的是創建數組的維度，A1，A2，A3，A4表示的是各維度上的數組。
step 3 使用repmat命令來創建數組。在MATLAB的命令窗口中輸入下面的程序代碼：
>> D2=[1,2,3;4,5,6;7,8,9];
>> D3 = repmat(D2,2,3);
>> D4=repmat(D2,[1 2 3]);
step 4 查看程序結果。在命令窗口中輸入變量名稱，可以得到以下結果：
D2 =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
D3 =
1 2 3 1 2 3 1 2 3
4 5 6 4 5 6 4 5 6
7 8 9 7 8 9 7 8 9
1 2 3 1 2 3 1 2 3
4 5 6 4 5 6 4 5 6
7 8 9 7 8 9 7 8 9
D4(:,:,1) =
1 2 3 1 2 3
4 5 6 4 5 6
7 8 9 7 8 9
D4(:,:,2) =
1 2 3 1 2 3
4 5 6 4 5 6
7 8 9 7 8 9
D4(:,:,3) =
1 2 3 1 2 3
4 5 6 4 5 6
7 8 9 7 8 9
說明
repmat命令的功能在于復制并堆砌數組，其調用格式B = repmat(A,[m n p...])中，A表示的是復制的數組模塊，第二個輸入參數則表示該數組模塊在各個維度上的復制個數。
step 5 使用reshape命令來創建數組。在MATLAB的命令窗口中輸入以下代碼：
>> D2=[1,2,3,4;5,6,7,8;9,10,11,12];
>> D3=reshape(D2,2,2,3);
>> D4=reshape(D2,2,3,2);
>> D5=reshape(D2,3,2,2)
step 6 查看程序結果。在命令窗口中輸入變量名稱，可以得到如下結果：
>> D2
D2 =
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
>> D3
D3(:,:,1) =
1 9
5 2
D3(:,:,2) =
6 3
10 7
D3(:,:,3) =
11 8
4 12
>> D4
D4(:,:,1) =
1 9 6
5 2 10
D4(:,:,2) =
3 11 8
7 4 12
>> D5
D5(:,:,1) =
1 2
5 6
9 10
D5(:,:,2) =
3 4
7 8
11 12
說明
reshape命令的功能在于修改數組的大小，因此可以將二維數組通過該命令修改為三維數組，其調用格式為B = reshape(A,[m n p ...])，其中A就是待重組的矩陣，后面的輸入參數則表示數組各維的維度。
2.1.6 創建低維標準數組
除了前面介紹的方法，MATLAB還提供了多種函數來生成一些標準數組，用戶可以直接使用這些命令來創建一些特殊的數組，下面將使用一些簡單的例子來說明如何創建標準數組。
例2.6 使用標準數組命令創建低維數組。
step 1 在MATLAB的命令窗口中輸入以下代碼：
>> A=zeros(3,2);
>> B=ones(2,4);
>> C=eye(4);
>> D=magic(5);
>> randn('state',0);
>> E=randn(1,2);
>> F=gallery(5);
step 2 查看程序結果。在命令窗口中輸入變量名稱，可以得到如下結果：
A =
0 0
0 0
0 0
B =
1 1 1 1
1 1 1 1
C =
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
D =
17 24 1 8 15
23 5 7 14 16
4 6 13 20 22
10 12 19 21 3
11 18 25 2 9
E =
-0.4326 -1.6656
F =
-9 11 -21 63 -252
70 -69 141 -421 1684
-575 575 -1149 3451 -13801
3891 -3891 7782 -23345 93365
1024 -1024 2048 -6144 24572
提示
并不是所有的標準函數命令都可以創建多種矩陣，例如eye、magic等命令就不能創建高維數組。同時，對于每個標準函數，參數都有各自的要求，例如gallery命令中只能選擇3或者5。
2.1.7 創建高維標準數組
本節將介紹如何使用標準數組函數來創建高維標準數組。
例2.7 使用標準數組命令創建高維數組。
step 1 在MATLAB的命令窗口中輸入以下代碼：
%設置隨機數據器的初始條件
>> rand('state',1111);
>> D1=randn(2,3,5);
>> D2=ones(2,3,4);
step 2 查看程序結果。在命令窗口中輸入變量名稱，可以得到如下結果：
>> D1
D1(:,:,1) =
0.8156 1.2902 1.1908
0.7119 0.6686 -1.2025
D1(:,:,2) =
-0.0198 -1.6041 -1.0565
-0.1567 0.2573 1.4151
D1(:,:,3) =
-0.8051 0.2193 -2.1707
0.5287 -0.9219 -0.0592
D1(:,:,4) =
-1.0106 0.5077 0.5913
0.6145 1.6924 -0.6436
D1(:,:,5) =
0.3803 -0.0195 0.0000
-1.0091 -0.0482 -0.3179
>> D2
D2(:,:,1) =
1 1 1
1 1 1
D2(:,:,2) =
1 1 1
1 1 1
D2(:,:,3) =
1 1 1
1 1 1
D2(:,:,4) =
1 1 1
1 1 1
說明
限于篇幅，在這里就不詳細介紹各種命令的參數和使用方法了，有需要的讀者請自行閱讀相應的幫助文件。
2.2 操作數值數組
在MATLAB中，除了需要創建數組之外，還需要對數組進行各種操作，包括重組、元素變換、提取、旋轉等操作，MATLAB都提供了對應的函數命令，本節中將以簡單的實例來說明這些命令的使用方法。由于數組維度的不同將會帶來MATLAB不同的操作要求，因此，將按不同的數組維度來討論數組的操作。
2.2.1 選取低維數組的對角元素
低維數組的操作比高維數組的操作在運算或者使用上要簡單，因此在本節中將首先使用實例來介紹如何操作低維數組。
例2.8 使用diag命令來選取對角元素或者創建矩陣。
step 1 在MATLAB的命令窗口中輸入以下代碼：
>> Data=[1,2,3,4;5,6,7,8;9,10,11,12];
A1=diag(Data,1);A2=diag(Data);
A3=diag(Data,-1);
B1=diag(A2,1);
B2=diag(A3,1);
step 2 查看程序結果。在命令窗口中輸入變量名稱，可以得到如下結果：
Data =
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
A1 =
2
7
12
A2 =
1
6
11
A3 =
5
10
B1 =
0 1 0 0
0 0 6 0
0 0 0 11
0 0 0 0
B2 =
0 5 0
0 0 10
0 0 0
說明
從結果中可以看出，diag命令的功能可以是選取矩陣對角線的數組，也可以將某個數組創建矩陣，用戶可以很方便地利用該命令來處理矩陣對角線的數據。
對于diag命令中參數k的含義，可以用圖2.1來形象地說明。
圖2-1 diag命令中參數k的含義
2.2.2 低維數組的形式轉換
例2.9 對數組或者矩陣進行形式轉換：對稱變換和旋轉。
step 1 在MATLAB的命令窗口中輸入如下代碼：
>> Data=[1,2,3,4;5,6,7,8;9,10,11,12];
%矩陣的轉置
>> B=Data';
>> C=fliplr(Data);
>> D=flipud(Data);
%多次旋轉矩陣
>> E=rot90(Data);
>> F=rot90(E);
>> G=rot90(F);
>> H=rot90(G)；
step 2 查看程序結果。在命令窗口中輸入變量名稱，可以得到如下結果：
Data =
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
B =
1 5 9
2 6 10
3 7 11
4 8 12
C =
4 3 2 1
8 7 6 5
12 11 10 9
D =
9 10 11 12
5 6 7 8
1 2 3 4
E =
4 8 12
3 7 11
2 6 10
1 5 9
F =
12 11 10 9
8 7 6 5
4 3 2 1
G =
9 5 1
10 6 2
11 7 3
12 8 4
H =
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
這段代碼中演示了各種轉換命令，下面簡要介紹各種命令的含義。
◆ fIipIr：以數組的垂直中線為對稱軸，交換左右對稱位置上的數組元素。
◆ fIipud：以數組的水平中線為對稱軸，交換左右上下對稱位置上的數組元素。
◆ rot90：逆時針旋轉二維數組90°。
2.2.3 選取三角矩陣
例2.10 選取數組上三角或者下三角矩陣。
step 1 在MATLAB的命令窗口中輸入以下代碼：
>> Data=[1,2,3,4;5,6,7,8;9,10,11,12];
>> Al=tril(Data);
>> Bl=tril(Data,1);
>> Cl=tril(Data,2);
>> Dl=tril(Data,-1);
>> Dl=tril(Data,-2);
>> Au=triu(Data);
>>Bu=triu(Data,1);
>>Cu=triu(Data,2);
>>Du=triu(Data,-1);
>>Eu=triu(Data,-2);
step 2 查看程序結果。在命令窗口中輸入變量名稱，可以得到如下結果：
Data =
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
Al =
1 0 0 0
5 6 0 0
9 10 11 0
Bl =
1 2 0 0
5 6 7 0
9 10 11 12
Cl =
1 2 3 0
5 6 7 8
9 10 11 12
Dl =
0 0 0 0
5 0 0 0
9 10 0 0
El =
0 0 0 0
0 0 0 0
9 0 0 0
Au =
1 2 3 4
0 6 7 8
0 0 11 12
Bu =
0 2 3 4
0 0 7 8
0 0 0 12
Cu =
0 0 3 4
0 0 0 8
0 0 0 0
Du =
1 2 3 4
5 6 7 8
0 10 11 12
Eu =
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
說明
在上面的步驟中，tril命令的功能是提取矩陣的下三角矩陣，triu命令的功能在于提取矩陣的上三角矩陣，兩個命令中的參數k的含義和diag命令相同。
2.2.4 Kronecker乘法
例2.11 演示Kronecker乘法的不可交換性。
step 1 在MATLAB的命令窗口中輸入以下代碼：
>> X=[1,2;3,4];
>> I=eye(3);
>> A=kron(X,I);
>> B=kron(I,X);
step 2 查看程序結果。在命令窗口中輸入變量名稱，可以得到如下結果：
X =
1 2
3 4
I =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
A =
1 0 0 2 0 0
0 1 0 0 2 0
0 0 1 0 0 2
3 0 0 4 0 0
0 3 0 0 4 0
0 0 3 0 0 4
B =
1 2 0 0 0 0
3 4 0 0 0 0
0 0 1 2 0 0
0 0 3 4 0 0
0 0 0 0 1 2
0 0 0 0 3 4
說明
從結果中可以看出，對于相同的兩個矩陣，交換后的乘積是不同的結果，因此就證明了Kronecker乘法的不可交換性。關于Kronecker乘法，請讀者自行查閱相應的書籍。
2.2.5 高維數組的對稱交換
對于高維數組，由于在結構上多了維度，因此在操作方法上多了一些操作其他維度的命令，在本節中還是以簡單的實例來介紹這些函數的使用方法。
例2.12 對三維數組進行對稱交換。
step 1 在MATLAB的命令窗口中輸入以下代碼：
>> Data=[1,2,3,4;5,6,7,8;9,10,11,12];
>> A=reshape(Data,2,2,3);
>> B=flipdim(A,1);
>> C=flipdim(A,2);
>> D=flipdim(A,3);
step 2 查看程序結果。在命令窗口中輸入變量名稱，可以得到如下結果：
>> A
A(:,:,1) =
1 9
5 2
A(:,:,2) =
6 3
10 7
A(:,:,3) =
11 8
4 12
>> B
B(:,:,1) =
5 2
1 9
B(:,:,2) =
10 7
6 3
B(:,:,3) =
4 12
11 8
>> C
C(:,:,1) =
9 1
2 5
C(:,:,2) =
3 6
7 10
C(:,:,3) =
8 11
12 4
>> D
D(:,:,1) =
11 8
4 12
D(:,:,2) =
6 3
10 7
D(:,:,3) =
1 9
5 2
說明
在MATLAB中，flipdim(A,k)命令的第一個輸入變量A表示的是被操作的數組，第二個輸入變量k指定的是對稱面。1表示的是與數組行平行的平分面，2表示的是與數據列平行的平分面，3表示的是與數據頁平行的平分面。
2.2.6 高維數組的維序號移動
例2.13 對三維數組進行“維序號移動”。
step 1 在MATLAB的命令窗口中輸入以下代碼：
>> Data=[1,2,3,4;5,6,7,8;9,10,11,12];
>> A=reshape(Data,2,2,3);
>> Adim=shiftdim(A,1);
>> Adim2=shiftdim(A,2);
>> Adim3=shiftdim(A,3);
step 2 查看程序結果。在命令窗口中輸入變量名稱，可以得到如下結果：
>> A
A(:,:,1) =
1 9
5 2
A(:,:,2) =
6 3
10 7
A(:,:,3) =
11 8
4 12
>> Adim
Adim(:,:,1) =
1 6 11
9 3 8
Adim(:,:,2) =
5 10 4
2 7 12
>> Adim2
Adim2(:,:,1) =
1 5
6 10
11 4
Adim2(:,:,2) =
9 2
3 7
8 12
>> Adim3
Adim3(:,:,1) =
1 9
5 2
Adim3(:,:,2) =
6 3
10 7
Adim3(:,:,3) =
11 8
4 12
2.2.7 高維數組的廣義共軛轉置
例2.14 對三維數組進行廣義共軛轉置。
step 1 在MATLAB的命令窗口中輸入以下代碼：
>> A=reshape(Data,2,2,3);
>> Ap1=permute(A,[1,2,3]);
>> Ap2=permute(A,[2,3,1]);
>> Ap3=permute(A,[3,2,1]);
>> Ap4=permute(A,[3,1,2]);
step 2 查看程序結果。在命令窗口中輸入變量名稱，可以得到如下結果：
>> A
A(:,:,1) =
1 9
5 2
A(:,:,2) =
6 3
10 7
A(:,:,3) =
11 8
4 12
>> Ap1
Ap1(:,:,1) =
1 9
5 2
Ap1(:,:,2) =
6 3
10 7
Ap1(:,:,3) =
11 8
4 12
>> Ap2
Ap2(:,:,1) =
1 6 11
9 3 8
Ap2(:,:,2) =
5 10 4
2 7 12
>> Ap3
Ap3(:,:,1) =
1 9
6 3
11 8
Ap3(:,:,2) =
5 2
10 7
4 12
>> Ap4
Ap4(:,:,1) =
1 5
6 10
11 4
Ap4(:,:,2) =
9 2
3 7
8 12
說明
在MATLAB中，permute命令的第一個輸入變量是被轉置的數組，第二個變量表示的是轉置方式的行數組，該行數組中元素位置號代表的是新數組的維序號數值。
2.2.8 高維數組的降維操作
例2.15 使用squeeze命令來撤銷“孤維”，使高維數組降維。
step 1 在MATLAB的命令窗口中輸入以下代碼：
>> B=cat(4,A(:,:,1),A(:,:,2),A(:,:,3));
>> C=squeeze(B);
>> size_B=size(B);
>> size_C=size(C);
step 2 查看程序結果。在命令窗口中輸入變量名稱，可以得到如下結果：
>> B
B(:,:,1,1) =
1 9
5 2
B(:,:,1,2) =
6 3
10 7
B(:,:,1,3) =
11 8
4 12
>> C
C(:,:,1) =
1 9
5 2
C(:,:,2) =
6 3
10 7
C(:,:,3) =
11 8
4 12
>> size_B
size_B =
2 2 1 3
>> size_C
size_C =
2 2 3
2.3 小結
在本章中，依次介紹了如何在MATLAB中創建和操作數值數組，這些內容都是MATLAB的基礎知識，因此希望讀者能夠熟練掌握。其中數值數組是MATLAB所有操作的重要內容，在后面的章節中，將主要介紹如何使用MATLAB進行數值運算。
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