第1篇 靜力學

在日常生活和生產實踐中，人們最常見的一種運動是機械運動。所謂機械運動，是指物體在空間的位置隨時間的變化。靜力學是研究物體在力系作用下平衡規律的科學，是研究物體機械運動的特殊情形——平衡問題。

靜力學中的平衡，是指物體相對于地面保持靜止或做勻速直線運動的狀態。物體的平衡總是暫時的、相對的。例如，在直線軌道上運動的列車，當牽引力和摩擦力相等時做勻速直線運動，因這種受力關系很難時刻維持，所以平衡是暫時的。又如，地面上的建筑物看來是靜止的，但它隨著地球的自轉和公轉卻又不斷地運動著，所以平衡是相對的。

在工程實踐中，經常遇到物體處于平衡狀態下的受力分析問題。像許多機器的零件和結構構件，如機床的主軸、絲杠、起重機的起重臂等，它們在工作時處于平衡狀態或可近似地看做處于平衡狀態。為了合理地設計這些零件和構件的形狀、尺寸，選用恰當的材料，往往需要對它們進行強度、剛度或穩定性的分析計算。為此，必須首先運用靜力學知識，對零件和構件進行受力分析，并根據平衡條件求出這些力。例如圖I-1所示的簡易吊車，為了保證它能正常工作，需要合理地確定各構件的尺寸，為此必須首先分析和計算各構件所受的力；又如圖I-2所示的斜楔夾緊機構，為了保證斜楔在夾緊后不致松脫，就必須分析斜楔的受力情況，從而找出α應滿足的條件。學習靜力學，主要研究力系的簡化及物體在力系作用下的平衡問題，為解決這類問題提供必要的基礎知識。

第1章 靜力學基礎

【內容提要】

靜力學是研究物體平衡的普遍規律，即研究物體平衡時作用于物體上的力所應滿足的條件。所謂物體的平衡，就是指物體的運動狀態不變，包括靜止或做勻速直線運動兩種情況。在靜力學中，都是相對于地球而說的。靜力學基礎主要闡述：力的概念與剛體的概念，靜力學理論的四大公理和物體的受力分析。

1.1 靜力學的基本概念

1.1.1 力的概念

自古以來，人們從生產勞動和日常生活中，通過推、拉、提、擲等活動，由于肌肉的緊張收縮，感到人對物體施加了力，因而使物體的運動狀態發生變化。如用手推小車，小車受到了力的作用由靜止開始運動；物體受地球引力作用而自由下落時，速度將越來越快；用汽錘鍛打工件，工件在鍛錘打擊力作用下會發生變形，等等。人們就從這樣大量的實踐中，由感性認識上升到理性認識，形成了力的科學概念：力是物體間相互的機械作用，這種作用使物體的運動狀態發生變化，同時使物體發生變形。因此，力不能脫離實際物體而存在。

力使物體運動狀態發生改變的效應稱為力的外效應，而力使物體產生變形的效應稱為力的內效應。靜力學主要研究力的外效應，材料力學研究力的內效應。

實踐表明，力對物體的效應決定于三個要素：（1）力的大小；（2）力的方向；（3）力的作用點。三個要素中有任何一個改變時，力的作用效應也隨之改變。

在國際單位制中，力的單位為牛頓或千牛頓，簡寫為牛（N）或千牛（kN）。目前工程中，有的仍沿用工程單位制，以公斤力（kgf）作為力的單位。牛頓和公斤力的換算關系為

1公斤力（kgf）=9.8牛頓（N）

力對物體的效應不僅決定于它的大小，而且還決定于它的方向，所以力是矢量。

力可用一有向線段來表示，如圖1-1所示。線段的長度按一定的比例表示力的大小（圖中F的大小為40N）；線段的方位和箭頭的指向表示力的方向；線段的起點（或終點）表示力的作用點。過力的作用點沿力的方向引出的直線稱為力的作用線。

力矢量通常用黑體字母（如F）或帶箭頭的字母（如）來表示，其大小則用不帶箭頭的字母（如F）來表示。

1.1.2 剛體的概念

力對物體的效應，除了使物體的運動狀態發生變化外，還使物體發生變形。在正常情況下，工程上的機械零件和結構構件在力的作用下發生的變形是很微小的，這種微小的變形對研究力的外效應影響很小，可以忽略不計。這樣物體就被看成是不變形的，從而使問題的研究得到簡化。這種受力后大小和形狀都保持不變的物體稱為剛體。

如果研究的問題中物體的變形成為主要因素時，例如在材料力學中，就不能再將物體看做剛體。

1.1.3 平衡的概念

前面已經提到，在工程上物體相對于地球處于靜止或做勻速直線運動的狀態稱為平衡。平衡只是物體機械運動的特殊形式。必須注意，運動是絕對的，而平衡、靜止則是相對的。所謂相對，就是暫時的，有條件的。如果作用于物體上的力系滿足一定條件，物體可以處于平衡狀態，一旦物體所受的力發生變化，平衡的條件被破壞，物體就由平衡狀態轉化為不平衡狀態。如果物體在力系作用下處于平衡狀態，這種力系稱為平衡力系。力系平衡所滿足的條件稱為平衡條件。

1.2 靜力學公理

靜力學公理闡述了有關力的一些基本性質。這些性質是人們在長期的生活和生產實踐中，通過對力學現象的觀察和實驗再加以概括和總結而提出的。公理的正確性，又為大量的實踐所證實，它是靜力學理論的基礎。

公理1 二力平衡公理：欲使受兩力作用的剛體保持平衡，其必要和充分條件是：該兩力大小相等、方向相反并作用于同一直線上。如圖1-2所示。

只受兩力作用而處于平衡的構件稱為二力構件，簡稱二力桿。二力桿的受力特點是：所受的兩力必定沿作用點的連線。工程上常根據這一特點來確定二力構件所受力的方向。

必須注意，對于非剛體來說，二力平衡條件只是必要條件而非充分條件。例如繩索的兩端受到等值、反向、共線的兩個拉力時處于平衡，但如受到等值、反向、共線的兩個壓力，就不能平衡了。所以對于像繩索一類的柔性體，只有在受拉的情況下，才能應用二力平衡公理。例如圖1-3（a）所示的棘輪機構中的棘爪AB，當不計其自重時就是二力桿。FA和FB兩力必定沿A與B兩點的連線，見圖1-3（b）所示。

公理2 加減平衡力系公理：在作用于剛體上的任一力系中，加上或減去任一平衡力系，并不改變原力系對剛體的作用效應。

力系：作用于物體上的一群力稱為力系。

平衡力系：如果物體在力系作用下處于平衡狀態，這樣的力系就稱為平衡力系。

這是由于平衡力系中各力對剛體作用的外效應彼此抵消。

應用二力平衡公理和加減平衡力系公理，可得如下的推論。

推論1 力的可傳性原理：作用于剛體上的力可沿其作用線移至剛體上的任一點，而不改變此力對剛體的作用效應。

此原理證明如下所述。

（1）設力F作用于剛體上A點，見圖1-4（a）所示。

（2）在力F的作用線上任選一個B點，并在B點加一組沿AB線的平衡力F1和F2，且使F2=F=-F1，見圖1-4（b）所示。

（3）除去F與F1所組成的一對平衡力，剛體上只剩下F2，且F2=F（見圖1-4（c）所示）。F2與F的作用效果是相等的。

由力的可傳性原理可知，力對剛體的作用取決于力的大小、方向和作用點三個要素。

必須指出，力的可傳性原理僅適用于剛體。對于需要考慮變形的物體，力不能沿其作用線移動，因為移動后將改變物體內部的受力和變形情況。例如圖1-5所示的AB桿，原來受兩拉力作用而產生拉伸變形（見圖1-5（a）所示）；若將兩力沿著作用線分別移至桿的另一端（見圖1-5（b）所示），桿將受壓而產生壓縮變形。

公理3 力的平行四邊形法則：作用于物體上同一點的兩個力，可以合成為一個合力。

合力也作用于同一點，其大小和方向由以該兩力為鄰邊所構成的平行四邊形的對角線來表示，見圖1-6（a）所示，圖中F1和F2兩力稱為合力R的分力。

上述法則說明，兩個相交力的合成不能簡單地將其數值大小相加，而必須按平行四邊形法則相加。

這種力合成的方法稱為矢量加法。合力等于兩分力的矢量和。可用矢量式表示為

R=F1+F2

顯然，上述矢量等式不能與代數等式R=F1+F2相混，因為兩者的含義不同。

求合力R時，也可以只做出力的平行四邊形的一半（見圖1-6（b）所示），即從力F1的終點b做力F2，再連接a，c兩點成矢量，即得合力R。由此而構成的三角形abc稱為力三角形。合力與分力所遵循的這種力三角形關系稱為力三角形法則。

應用力的平行四邊形法則或力三角形法則，也可以將一個力分解為兩個力，但這是有條件的。一般是沿著兩個已知方向分解為兩個分力。

應用上述幾條靜力學的基本公理和法則又可得如下的推論。

推論2 三力平衡匯交定理：剛體受不平行的三個力作用而平衡時，這三個力的作用線必匯交于一點。

下面來證明這一推論。

現有不平行的三個力F1，F2，F3作用于剛體上（見圖1-7（a）所示）而剛體平衡，這是因為F1和F2的作用線必相交于某點O，將F1和F2分別沿作用線移到O點，求出它們的合力R（見圖1-7（b）所示），R應與F3相平衡，根據二力平衡條件R與F3必須共線，亦即F3的作用線必通過O點。這就證明了三力平衡匯交定理。它是不平行三力平衡的必要條件，而非充分條件。當剛體受不平行三力而處于平衡時，利用這個定理可以確定未知力的方向。

公理4 作用與反作用定律：兩物體間相互作用的力，總是大小相等、方向相反、沿同一作用線，并分別作用于兩個物體上。

這個定律表明，力總是成對出現的。有作用力，必定有反作用力。兩者同時存在，同時消失。

要強調指出的是：作用力與反作用力雖然等值、共線、反向，但并不作用于同一物體上。因此，不能誤認為這兩個力互成平衡。這與二力平衡公理有本質的區別。

1.3 約束、約束反力與受力圖

1.3.1 研究對象與受力圖的概念

研究物體的平衡問題時，首先必須分析物體受到哪些力的作用。為了清楚地表示物體的受力情況，需要將研究的物體從與之相聯系的周圍物體中分離出來，單獨畫出該物體的圖形并表示出它受到的全部作用力。這種圖稱為受力圖。所研究的這一物體稱為研究對象。正確地選取研究對象并做出它的受力圖，是進行力學計算的關鍵。

1.3.2 約束與約束反力

約束：對物體運動的限制。

約束體：構成約束的周圍物體。

約束反力：約束體作用于研究對象上的力，簡稱反力。

約束反力的方向總是與約束體所能限制的運動方向相反。這是確定約束反力方向的一個原則。

凡能主動引起物體運動或使物體有運動趨勢的力，稱為主動力（如重力、切削力、電磁力）。物體所受的主動力往往是給定的或可測定的，而約束反力則由主動力所引起，是屬于被動性質的一種力。約束反力的方向，一般可根據約束的類型予以確定；至于約束反力的大小，在靜力學中需要通過平衡條件求出。

1.3.3 工程上常見的幾種約束類型及其反力方向的確定

1.柔性體約束（簡稱柔索）

由柔軟的繩索、膠帶、鏈條等構成的約束稱為柔性體約束，由于柔性體約束只能限制研究對象沿著柔性體中心線拉直的方向運動，因此，柔性體給被約束物體的力，方向一定沿著柔性體，并且只能是拉力。常用字母T，S表示。

例如用鐵鏈吊起一減速箱蓋，見圖1-8（a）所示，G是箱蓋的重力，根據柔性體反力的特點，可以確定鐵鏈給鐵環的力一定是拉力（T，TB，TC），鐵鏈給箱蓋的力也是拉力（SB，SC）。同理，可以確定在皮帶傳動中皮帶給兩個皮帶輪的力都是拉力，見圖1-8（b）所示。

2.光滑接觸面（線）約束

物體與光滑支承面接觸時（見圖1-9所示），由于不計摩擦，因而支承面并不能限制物體沿其切線方向移動，而僅能阻止物體沿接觸面的法線方向向下運動。因此，光滑接觸面給被約束物體的力，方向必沿接觸面的公法線，并且只能是指向被約束物體，常用字母N表示。

圓柱形工件擱置于V形鐵上所受到的約束，見圖1-10所示，桿件擱置于凹槽中所受到的約束（見圖1-11所示），均屬于此類約束。

3.光滑圓柱鉸鏈約束

工程上常用鉸鏈將橋梁、起重機起重臂等結構同支承面或機架等連接起來，這就構成了鉸鏈支座。這類約束在工程上有下列幾種主要形式。

（1）固定鉸鏈支座。固定鉸鏈支座由底座、被連接構件和銷釘三個主要部分構成，見圖1-12（a）所示。這種支座的連接情況是將銷釘插入被連接構件和底座上相應的銷孔內，再用螺釘將底座固定于其他基礎或機架上。于是，在垂直于銷釘軸線的平面內，被連接構件只能繞銷釘的軸線轉動而不能任意移動，見圖1-12（b）所示。當被連接構件作為研究對象并受有一定的載荷時，其上的銷孔壁便緊壓于銷釘的某處，于是銷釘便通過接觸點給予研究對象一個反作用力R，見圖1-12（c）所示。根據光滑接觸面約束的特點可知，這個約束反力應沿著圓柱面接觸點的公法線，通過銷釘中心。隨著研究對象所受載荷的不同，銷孔與銷釘接觸點的位置也有所改變，以致反力的方向也隨著變化。因而固定鉸鏈支座的約束反力的作用線必定通過銷釘中心，但方向需要根據研究對象的受載情況來確定。

工程上，固定鉸鏈支座常用圖1-13（a）所示的簡圖來表示。通過銷釘中心而方向待定的約束反力，常用兩個相互垂直的分力Rx，Ry來表示，見圖1-13（b）所示。兩分力的指向可以假定，通過計算將能判定其正確性。

用圓柱銷釘將兩個構件連接在一起而構成的銷釘連接，見圖1-14（a）所示，工程上稱為中間鉸鏈，中間鉸鏈常用如圖1-14（b）所示的圖形表示。兩構件通過中間鉸鏈而互為約束，其約束反力的分析與固定鉸鏈支座相同。

（2）活動鉸鏈支座。如果固定鉸鏈支座中的底座不用螺釘而改用輥軸與支承面接觸（見圖1-15（a）），便形成了活動鉸鏈支座。這種支座常在橋梁、屋架等結構中采用，以保證溫度變化時結構可做微量的伸縮。活動鉸鏈支座常用如圖1-15（b）所示的簡圖表示。這種支座能夠限制被連接構件沿著支承面的法線方向運動，因而在不計摩擦的情況下，活動鉸鏈支座的約束反力的作用線必通過銷釘的中心且垂直于支承面，并指向研究對象，如圖1-15（c）所示。

兩種鉸鏈支座的約束反力均可用字母R來表示，其中活動鉸鏈支座的約束反力也可用字母N來表示。

工程上某些構件的支承，常可簡化成一端為固定鉸鏈支座、另一端為活動鉸鏈支座約束，見圖1-16（a）所示。根據構件所受的載荷，可畫出其受力圖，見圖1-16（b）所示。

4.二力桿約束

如圖1-17（a）所示的簡易起重裝置，當取AB桿為研究對象分析時，CD桿對它構成了約束。為分析C處的約束反力，需要分析CD桿的受力情況：由于CD桿自重不計時為兩端受力，根據二力平衡定理，作用于其上的兩力SC，SD必沿著C，D兩點的連線（見圖1-17（b）所示），因而CD桿對于AB桿的約束反力SC′也必沿此直線并背離AB（拉住AB），如圖1-17（c）所示。因此，二力桿的約束反力必沿兩鉸鏈中心的連線，背離或指向研究對象，常用字母S表示。

下面再舉例說明物體受力圖的畫法。

【例1-1】 兩只油桶堆放在槽中，如圖1-18（a）所示，桶重分別為P1、P2，試分析每個桶的受力情況。

解：先分析桶Ⅰ的受力情況。取桶Ⅰ為研究對象畫出分離體；桶Ⅰ上的主動力只有自重P1：桶Ⅰ在A和B兩處都受到光滑面約束，其約束反力NA、NB都通過桶Ⅰ的中心。桶Ⅰ的受力圖如圖1-18（b）所示。

再分析桶Ⅱ的受力情況。取桶Ⅱ為研究對象畫出分離體；桶Ⅱ上的主動力除自重P2外，還有上面桶Ⅰ傳來的壓力，注意到與NB互為作用力與反作用力關系，必通過桶Ⅱ的中心，且有=-NB，桶Ⅱ在C、D處受有光滑面約束，其約束反力NC、ND都指向桶Ⅱ且通過其中心。桶Ⅱ的受力圖如圖1-18（c）所示。

【例1-2】 三角架由AB，BC兩桿連接而成。銷B處懸掛重G的物體，A，C兩處用鉸鏈與墻固連，如圖1-19（a）所示。不計桿的自重，試畫B點處的受力圖。

解：以B點為研究對象。將B點從整個結構中分離出來，以便畫它的受力圖。

B點除受主動力G作用外，還受到桿AB和BC的約束反力作用。由于兩桿都是兩端鉸接而自重不計的二力桿，所以它們的反力SAB，SBC分別沿著兩鉸鏈中心的連線。又根據兩桿對B所起的拉、撐作用，即可定出反力SAB，SBC的指向，如圖1-19（b）所示。

【例1-3】 梯子的AB，AC兩部分在A處以鉸鏈連接，并在D，E兩處用水平繩索相連。在梯子的一邊作用一垂直方向的載荷P，如圖1-20（a）所示。不計梯子的自重與接觸面間的摩擦，試畫AB，AC的受力圖。

解：先取AB為研究對象（見圖1-20（b））作用于其上的主動力為P，所受的約束反力可根據約束類型分析如下：B處為光滑接觸面約束，反力NB垂直于支承面并指向AB；D處為繩索約束，反力T1沿繩索背離AB；A處為銷釘連接，其反力以兩分力RAx，RAy表示，并假設RAx向右，RAy向上。

再取AC為研究對象（見圖1-20（c））。由AB通過A傳給AC的力為，它們與RAx，RAy是作用力與反作用力關系，故兩者的指向應相反；C，E兩處的約束反力的分析方法同上。

本章小結

1．靜力學主要研究力系的簡化及物體在力系作用下的平衡問題。

2．力是物體間的相互作用，力的外效應是使物體的機械運動狀態發生改變。力的三要素是大小、方向和作用點。

3．靜力學基本公理揭示了力的基本性質，它是整個靜力學的理論基礎。二力平衡公理是靜力學最基本的平衡條件，利用二力構件的平衡條件可作為判斷某些約束反力方向的方法；加減平衡力系公理是力系等效代換和轉化的理論基礎；力的平行四邊形公理說明力的運算符合矢量運算法則，是力系簡化的理論基礎。作用與反作用公理說明力是物體間的相互作用，闡述自然界力的存在形式以及力在物系內部的轉移過程。

4．限制物體運動的物體稱為約束。約束阻礙物體運動趨向的力稱為約束力，約束反力的方向與約束限制物體運動趨向方向相反。

5．在分離體上畫出構件所受的全部外力的圖形稱為受力圖。在受力圖上只畫外力，不畫內力，要解除約束后才能畫上約束反力作為外力。

思考題和習題1

1-1 畫出如圖1-21所示各指定物體的受力圖。假定所有接觸面都是光滑的，其中未畫上重力的物體均不考慮自重。

1-2 畫出如圖1-22所示各指定物體的受力圖。假定各接觸面都是光滑的，其中未畫上重力的物體均不考慮自重。

1-3 液壓機械手如圖1-23所示，已知壓力油作用于活塞上的總壓力為P。該機械手通過活塞桿、連接桿帶動卡爪而壓緊工件。不計各桿件自重和各接觸面間的摩擦，試分別畫出活塞桿、連接桿和卡爪的受力圖。

1-4 已知直圓筒重為P，圓球體重為G，試比較圖1-24（a）、（b）中所示圓球體及直圓筒受力的差別。圖（a）所示直圓筒是無底無蓋，圖（b）所示直圓筒是有底無蓋。