第3章 空間力系與重心

【內(nèi)容提要】

本章主要是介紹空間力系的合成與平衡問(wèn)題；力沿空間直角坐標(biāo)軸的分解和投影，力對(duì)軸之矩，常見(jiàn)空間約束類型及約束反力；空間匯交力系、空間平行力系和空間任意力系；建立空間力系的平衡條件和平衡方程式；輪軸類部件的空間力系轉(zhuǎn)化為平面力系平衡問(wèn)題的解法；物體重心的概念及確定重心位置的方法。

前面討論了平面力系，即力系中各力的作用線都在同一平面內(nèi)。若各力的作用線不在同一平面內(nèi)，則這種力系稱為空間力系。顯然，平面力系是空間力系的特殊情況。與平面力系相類似，空間力系也可分為空間匯交力系、空間平行力系和空間任意力系。本章重點(diǎn)討論工程中應(yīng)用較廣的空間任意力系的平衡問(wèn)題。

3.1 力在空間直角坐標(biāo)軸上的投影

3.1.1 一次投影法

若已知力F及其與三個(gè)坐標(biāo)軸x，y，z所夾的銳角α，β，γ，如圖3-1所示，則可做出以力F為對(duì)角線、各棱邊與坐標(biāo)軸平行的直角平行六面體。由圖可知，力F在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影分別為Oa，Ob，Oc，如分別以Fx，Fy，Fz表示，與平面匯交力系中力的投影相同，考慮正、負(fù)號(hào)后便有

3.1.2 二次投影法

當(dāng)已知包含力F和z軸組成的平面與x軸所夾的銳角φ，以及力F與z軸所夾的銳角γ，如圖3-2所示，則可采用二次投影法求力F在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影。即先將力F投影到坐標(biāo)平面Oxy上，得F′（力在平面上的投影是矢量，因?yàn)樗姆较虿荒芟窳υ谧鴺?biāo)軸上的投影那樣只需用正、負(fù)號(hào)來(lái)表示）。由圖可知F′=F·sinγ然后再將F′投影到x，y坐標(biāo)軸上。考慮到正、負(fù)號(hào)后，力F在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影分別為

如果將力F沿坐標(biāo)軸x，y，z分解為三個(gè)分力Fx，Fy，Fz（見(jiàn)圖3-3），則此三分力的大小分別等于相應(yīng)的投影值。

3.2 力對(duì)軸之矩合力矩定理

在平面力系中已討論了力對(duì)點(diǎn)之矩，對(duì)于空間力系，需要討論力對(duì)軸之矩。

現(xiàn)以開(kāi)門為例（見(jiàn)圖3-4），門可繞通過(guò)鉸鏈中心的z軸轉(zhuǎn)動(dòng)。設(shè)在門上A點(diǎn)作用一力F。為研究力F使門繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)的效果，通過(guò)A點(diǎn)做一垂直于z軸的平面S，將力F分解為兩個(gè)相互垂直的分力F1和F2，其中F2與z軸平行，F1在平面S內(nèi)。由經(jīng)驗(yàn)可知，F2不能使門繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)，所以力F對(duì)z軸之矩，等于分力F1對(duì)z軸之矩，若以mz（F），mz（F1）分別表示力F和分力F1對(duì)z軸之矩，則mz（F）=mz（F1）。由圖可知，力Fl也就是力F在平面S上的投影。

分力F1對(duì)z軸之矩mz（F1），實(shí)際上就是F1對(duì)z軸與平面S的交點(diǎn)O之矩。若O點(diǎn)到力Fl作用線的垂直距離為d，則mz（F1）=±F1d，因此，力F對(duì)z軸之矩為

由此可得：力F對(duì)z軸之矩，等于力F在垂直于z軸的平面S上的投影對(duì)z軸與平面S的交點(diǎn)之矩。

式（3-3）中的正、負(fù)號(hào)表示力對(duì)軸之矩的轉(zhuǎn)向，通常規(guī)定：迎著z軸的正向看去，力使物體繞z軸做逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)取正號(hào)，反之取負(fù)號(hào)。

空間力系對(duì)軸之矩也存在著合力矩定理（這里不做證明）：空間力系的合力R對(duì)某一軸之矩，等于各分力F1，F2，…，Fn對(duì)同一軸之矩的代數(shù)和，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

3.3 空間力系的平衡

在工程實(shí)際中，有許多物體在空間力系作用下處于平衡狀態(tài)。例如，裝有帶輪和齒輪的輪軸（見(jiàn)圖3-5）作用在膠帶上的拉力F1和F2，齒輪上的圓周力Ft、徑向力Fr，以及兩支座上的約束反力RAx，RAz，RBx，RBz構(gòu)成一空間力系，輪軸在此空間力系作用下勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，即處于平衡狀態(tài)。

3.3.1 空間任意力系的平衡方程

物體在空間任意力系作用下平衡的必要與充分條件是：力系對(duì)物體無(wú)任何方向的平動(dòng)作用，即無(wú)移動(dòng)效應(yīng)；也無(wú)繞任何軸的轉(zhuǎn)動(dòng)作用，即無(wú)轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)（這里不做推導(dǎo)）。

式（3-5）表示，空間任意力系中各力在三個(gè)坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和分別等于零；同時(shí)各力對(duì)三個(gè)坐標(biāo)軸之矩的代數(shù)和也分別等于零。

式（3-5）有六個(gè)獨(dú)立的平衡方程，可以求解六個(gè)未知量。因此，物體在空間任意力系作用下處于平衡時(shí)，如果未知量的數(shù)目超過(guò)六個(gè)，則是靜不定問(wèn)題。

對(duì)于輪軸等物體在空間任意力系作用下的平衡問(wèn)題，可以直接運(yùn)用式（3-5）來(lái)求解，也可將各力分別投影到三個(gè)坐標(biāo)平面上，轉(zhuǎn)化為平面力系來(lái)求解。

3.3.2 空間匯交力系的平衡方程

各力的作用線不在同一平面內(nèi)，但匯交于一點(diǎn)的力系，稱為空間匯交力系。設(shè)一剛體在空間匯交力系F1，F2，…，Fn作用下處于平衡狀態(tài)，如圖3-6所示（為了簡(jiǎn)明起見(jiàn)，圖中未畫(huà)出剛體），空間匯交力系的平衡問(wèn)題可以看做空間一般力系平衡問(wèn)題的特殊情況。若選取如圖3-6所示的空間直角坐標(biāo)系，使坐標(biāo)原點(diǎn)與各力作用線的匯交點(diǎn)重合，這樣，力系中各力對(duì)坐標(biāo)軸x，y，z的力矩都等于零，所以空間匯交力系的平衡方程為

3.3.3 空間平行力系的平衡方程

各力的作用線不在同一平面內(nèi)但相互平行的力系，稱為空間平行力系。設(shè)一剛體在空間平行力系F1，F2，…，Fn作用下處于平衡狀態(tài)，如圖3-7所示（圖中未畫(huà)出剛體），空間平行力系的平衡問(wèn)題也可看做空間任意力系平衡問(wèn)題的特殊情況。若選取如圖3-7所示的空間直角坐標(biāo)系，使某一軸（如z軸）與各力的作用線相平行，這樣，式（3-5）中的∑Fx=0，∑Fy=0，∑mz（F）=0三個(gè)方程恒等于零，故空間平行力系的平衡方程為

【例3-1】 直桿OA，OB，OC用光滑的球形鉸鏈連接成支架，如圖3-8（a）所示。平面ABC和平面OCD都是鉛垂的，且相互垂直。在位于O點(diǎn)處的鉸鏈上掛有重G=5kN的物體。桿重略去不計(jì)，試求三根直桿所受力的大小，并說(shuō)明是受拉還是受壓（圖中尺寸的單位為mm）。

解：（1）選取球形鉸鏈連同所吊重物為研究對(duì)象，桿OA，OB，OC均為雙球鉸剛桿，它們對(duì)球形鉸鏈的反力分別沿著連線OA，OB，OC的方向，其受力圖和所取的坐標(biāo)系如圖3-8（b）所示，這是一個(gè)空間匯交力系的平衡問(wèn)題。

（2）為了求解各桿所受的力，先求出角度α，β，γ，由圖上可得

（3）運(yùn)用式（3-6）求解約束反力

∑Fz=0，SCcosγ-G=0

得

得

將式SC和SA代入式∑Fy=0可解得

將SB值代入式（3-8）得

根據(jù)作用與反作用定律可知，桿OC受壓，桿OA，OB受拉。

【例3-2】 三輪小車停放于光滑水平面上，如圖3-9所示，AD=BD=0.5m，CD=1.5m。若在車上E點(diǎn)作用一鉛垂載荷P=1.5kN，EF=DG=0.5m，DF=GE=0.1m。試求地面作用于A，B，C三點(diǎn)處的輪子的反力。

解：（1）取小車為研究對(duì)象，作用于其上的力有載荷P和地面對(duì)輪子的反力NA，NB，NC，這是一個(gè)空間平行力系的平衡問(wèn)題。

（2）取如圖3-9所示的坐標(biāo)系Axyz，運(yùn)用式（3-7）求解約束反力。

∑mx（F）=0，NC·CD-P·EF=0

得

得

得

NA=P-NB-NC=1.5-0.35-0.5=0.65（kN）

3.4 空間力系問(wèn)題的平面解法

在機(jī)械工程中，常把空間的受力圖投影到三個(gè)坐標(biāo)平面，畫(huà)出主視、俯視、側(cè)視三個(gè)視圖。分別列出它們的平衡方程，同樣可解出所求的未知量。這種將空間問(wèn)題分散轉(zhuǎn)化為三個(gè)平面問(wèn)題的討論方法，稱為空間問(wèn)題的平面解法。這種方法特別適合于解決輪軸類構(gòu)件的空間受力平衡問(wèn)題。

【例3-3】 起重機(jī)鉸車的鼓輪軸如圖3-10（a）所示。已知G=10kN，手柄半徑R=20cm，E點(diǎn)有水平力P作用，鼓輪半徑r=10cm，A，B處為向心軸承，其余尺寸如圖3-10所示，單位均為cm。試求手柄上的作用力P及A，B兩處的徑向反力。

解：（1）取輪軸為研究對(duì)象，畫(huà)出它的分離體在三個(gè)坐標(biāo)平面上的受力投影圖（圖3-10（b））。

（2）對(duì)符合可解條件的先行求解。先從xz平面解起。

xz面：

yz面：

yz面：

xy面：

xy面：

【例3-4】 一軸上裝有一個(gè)齒輪和一個(gè)帶輪，如圖3-11（a）所示。齒輪的分度圓直徑d=94.5mm，帶輪直徑D=320mm，工作時(shí)膠帶的拉力F1=800N，F2=300N，試求齒輪上的圓周力Ft，徑向力Fr和支座A，B兩處的約束反力的大小。圖中尺寸的單位為mm。

解：（1）選取齒輪、帶輪和軸為研究對(duì)象，畫(huà)出受力圖，如圖3-11（a）所示。

（2）將空間的受力圖投影到三個(gè)坐標(biāo)平面上，運(yùn)用平面一般力系的平衡方程求解未知量。

在Axz平面內(nèi)（見(jiàn)圖3-11（d））：

得

徑向力Fr與圓周力Ft有關(guān)，由齒輪的壓力角α決定，（通常α=20°），即

Fr=Fttanα=1693tan20°=616.2（N）

在Ayz平面內(nèi)（見(jiàn)圖3-11（b））：

∑mA（F）=0，Fr·120+F2sin30°×530-RBz（530+90）=0

得

得

RAz=Fr+RBz-F2sin30°=616.2+247.5-300sin30°=713.7（N）

在Axy平面內(nèi)（見(jiàn)圖3-1l（c））：

∑mA（F）=0，

RBx（530+90）-（Fl+F2cos30°）×530-Ft×120=0

得

得

RAx=RBx+Ft-F1-F2cos30°=1234+1693-800-300cos30°=1867（N）

3.5 重心

3.5.1 重心的概念及其坐標(biāo)公式

地球上或地球表面附近的物體，都受到地球?qū)λ奈Γ粗亓Φ淖饔谩ＴO(shè)物體由無(wú)數(shù)個(gè)微小部分組成，可以把物體各部分的重力看成是鉛垂向下相互平行的空間力系，這個(gè)空間平行力系的合力為物體的重力，重力的大小等于物體所有各部分重力大小的總和，稱為物體的重量，合力作用點(diǎn)稱為物體的重心。

重心在工程實(shí)際中具有重要意義，重心的位置會(huì)影響物體的平衡與穩(wěn)定，因此確定物體重心的位置尤為重要。例如，起吊重物時(shí)，吊鉤必須位于被吊物體重心的正上方，以保持起吊后物體的平衡；汽車、飛機(jī)、船舶等重心的位置，對(duì)其行駛或飛行的穩(wěn)定性有直接影響；機(jī)械中的轉(zhuǎn)子、飛輪等都要求設(shè)計(jì)、制造、安裝時(shí)使其重心位于轉(zhuǎn)軸軸線上，以免引起強(qiáng)烈振動(dòng)，甚至引發(fā)事故等。

分布于物體的重力系可足夠精確地認(rèn)為是一個(gè)空間平行力系，我們應(yīng)用合力矩定理確定重心位置。設(shè)物體微小部分所受的重力為ΔWi，則整個(gè)物體的重量W為

W=∑ΔWi

取直角坐標(biāo)系Oxyz如圖3-12所示，設(shè)任一微小部分的坐標(biāo)為xi，yi，zi，重心C的坐標(biāo)為xc，yc，zc。根據(jù)合力矩定理，對(duì)x軸取矩，有

W·yc=ΔW1·y1+ΔW2·y2+…+ΔWi·yi=∑ΔWi·yi

再對(duì)y軸取矩，有

W·xc=ΔW1·x1+ΔW2·x2+…+ΔWi·xi=∑ΔWi·xi

同理可得

W·zc=ΔW1·z1+ΔW2·z2+…+ΔWi·zi=∑ΔWi·zi

由以上三式可得計(jì)算重心坐標(biāo)的公式，即

若物體是均質(zhì)的，則各小部分的重力ΔWi與其體積ΔVi成正比，物體的重量W也必按相同的比例與物體的總體積V=∑ΔVi成正比。于是式（3-8）化為

可見(jiàn)均質(zhì)物體的重心與物體的重量無(wú)關(guān)，重心的位置僅決定于物體的幾何形狀。由式（3-9）確定的幾何點(diǎn)稱為物體的形心。

如果物體是均質(zhì)薄板，則不考慮zc。以A表示其面積，ΔAi表示各微小部分的面積，則其重心（形心）的坐標(biāo)公式為

3.5.2 確定物體重心的方法

1.對(duì)稱法

如果均質(zhì)物體具有對(duì)稱面、對(duì)稱軸或?qū)ΨQ中心，則物體的重心（形心）一定在其對(duì)稱面、對(duì)稱軸或?qū)ΨQ中心上。如圖3-13所示，工程實(shí)際中常用的幾種型鋼的截面形狀，其重心都在它們的對(duì)稱軸上。又如圓球的球心是對(duì)稱中心，則它也是圓球的重心。

常用的簡(jiǎn)單形狀均質(zhì)物體的重心列于表3-1中。

2.組合法

若物體由若干個(gè)較簡(jiǎn)單的形體組成，其中每一個(gè)形體的重心又易于確定，則此均質(zhì)物體的重心（形心）位置分別由式（3-9）和式（3-10）確定。

（1）分割法。將物體分割成幾個(gè)簡(jiǎn)單形狀的形體，則整個(gè)物體的重心即可確定。

【例3-5】 試求Z形截面重心的位置。其尺寸如圖3-14所示。

解：將Z形截面看做由Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三個(gè)矩形面積組合而成，每個(gè)矩形的面積和重心位置可方便求出。取坐標(biāo)軸如圖3-14所示。

Ⅰ：A1=300mm2，x1=15mm，y1=45mm

Ⅱ：A2=400mm2，x2=35mm，y2=30mm

Ⅲ：A3=300mm2，x3=45mm，y3=5mm

按式（3-10）求得該截面重心的坐標(biāo)xc、yc為

（2）負(fù)面積法。若物體內(nèi)切去一部分，則其重心仍可應(yīng)用式（3-10）和式（3-11）確定，只是切去部分的體積或面積應(yīng)取負(fù)值。

【例3-6】 求圖3-15所示圖形的形心。已知大圓的半徑為R，小圓的半徑為r，兩圓的中心距為a。

解：取坐標(biāo)系如圖所示，因圖形對(duì)稱于x軸，其形心在x軸上，故yc=0。

圖形可看做由兩部分組成，挖去的面積以負(fù)值代入，兩部分圖形的面積和形心坐標(biāo)為

A1=πR2，x1=y1=0

A2=-πr2，x2=a，y2=0

由公式（3-10）可得

3.實(shí)驗(yàn)法

對(duì)于形狀復(fù)雜或質(zhì)量分布不均勻的物體，當(dāng)用計(jì)算的方法求重心位置較為困難時(shí)，工程中常采用實(shí)驗(yàn)的方法測(cè)定其重心的位置。

（1）懸掛法。設(shè)求某零件截面的形心，可用紙板按一定比例做成該截面的形狀，先將該紙板懸掛于任意一點(diǎn)A，根據(jù)二力平衡公理，重心必在通過(guò)懸掛點(diǎn)A的鉛垂線上，標(biāo)出此直線AB，如圖3-16（a）所示；然后再將紙板懸掛于任意點(diǎn)D，同樣標(biāo)出另一直線DE，則AB與DE的交點(diǎn)C即為零件截面的形心，如圖3-16（b）所示。有時(shí)也可以懸掛二次以上，以提高精度。

（2）稱重法。有些形狀復(fù)雜、體積龐大的物體可用稱重法求其重心。例如，內(nèi)燃機(jī)的連桿，因它具有對(duì)稱軸，故只需確定重心在此軸線上的位置xc。將連桿B端放在臺(tái)秤上，A端擱在水平面上，使中心線AB處于水平位置，如圖3-17所示。設(shè)連桿的質(zhì)量為W，用臺(tái)秤稱得B端的反力FB的大小，由∑MA（F）=0，得

FB×l-W×xc=0

故

本章小結(jié)

1．力在空間直角坐標(biāo)系上的投影計(jì)算與力對(duì)軸之矩的計(jì)算是解空間力系平衡問(wèn)題的基本運(yùn)算。力的投影計(jì)算分為一次投影法與二次投影法。一次投影法計(jì)算力在平面與坐標(biāo)軸上的投影為力和力與平面或坐標(biāo)軸之間夾角余弦的乘積。二次投影法是先將力向坐標(biāo)平面上投影，再向坐標(biāo)軸投影，其中每一次投影的做法都與一次投影法相同。

2．空間力系的平衡方程式：∑Fx=0，∑Fy=0，∑Fz=0，∑mx（F）=0，∑my（F）=0，∑mz（F）=0，六個(gè)平衡方程式。

3．空間力系平衡問(wèn)題的解法亦有兩種：一種是直接利用空間力系的六個(gè)平衡方程式，進(jìn)行計(jì)算，當(dāng)然可分成空間匯交力系、空間平行力系和空間一般力系；另一種則是將物體連同物體上的作用力一起向坐標(biāo)面做投影，將一個(gè)空間力系問(wèn)題轉(zhuǎn)化成三個(gè)平面力系問(wèn)題來(lái)考慮，這就是空間力系問(wèn)題的平面解法。

4．重心是物體重力合力的作用點(diǎn)，相對(duì)于物體具有確定不變的位置。均質(zhì)物體的重心與其形心相重合。解題時(shí)，可根據(jù)物體的具體情況，選用相應(yīng)公式確定物體的重心位置。

思考題和習(xí)題3

3-1 直桿OA，OB，OC用光滑的球形鉸鏈連接成支架，如圖3-18所示。平面ABC和平面OCD都是鉛垂的，且相互垂直。在鉸鏈O上掛有重G=5kN的物體。桿重可略去不計(jì)，試求三根直桿所受力的大小，并說(shuō)明是受拉還是受壓。圖中尺寸的單位為mm。

3-2 重G=600N的三腳圓臺(tái)放置于光滑水平面上，如圖3-19所示。圓臺(tái)的半徑R=50cm，三個(gè)腳的頂端A，B，C形成一等邊三角形。今在中線BO的延長(zhǎng)線上的D點(diǎn)作用一鉛垂力P=1500N。試求：

（1）當(dāng)OD=a=30cm時(shí)，三個(gè)腳所受的力；（2）欲使圓臺(tái)不致翻倒時(shí)的距離a的最大值。

3-3 軸上裝有兩個(gè)齒輪，如圖3-20所示。兩齒輪的分度圓直徑分別為dl=250mm，d2=120mm。若齒輪1上受到的圓周力Ft1=500N，徑向力Fr1=182N，圖中尺寸的單位為mm，試求齒輪2上的圓周力Ft2和徑向力Fr2（Fr2=Ft2tan20°），以及軸承A，B兩處的約束反力。

3-4 斜齒圓柱齒輪的受力情況如圖3-21所示。已知圓周力Ft=1380N、徑向力Fr=520N、軸向力Fa=370N，分度圓直徑d=290mm。試求軸端輸入的力偶矩m，以及軸承A，B兩處的約束反力。

3-5 求對(duì)稱工字形鋼截面的形心，尺寸如圖3-22所示。

3-6 確定圖3-23所示均質(zhì)板重心位置。