第3章 空間力系與重心

【內容提要】

本章主要是介紹空間力系的合成與平衡問題；力沿空間直角坐標軸的分解和投影，力對軸之矩，常見空間約束類型及約束反力；空間匯交力系、空間平行力系和空間任意力系；建立空間力系的平衡條件和平衡方程式；輪軸類部件的空間力系轉化為平面力系平衡問題的解法；物體重心的概念及確定重心位置的方法。

前面討論了平面力系，即力系中各力的作用線都在同一平面內。若各力的作用線不在同一平面內，則這種力系稱為空間力系。顯然，平面力系是空間力系的特殊情況。與平面力系相類似，空間力系也可分為空間匯交力系、空間平行力系和空間任意力系。本章重點討論工程中應用較廣的空間任意力系的平衡問題。

3.1 力在空間直角坐標軸上的投影

3.1.1 一次投影法

若已知力F及其與三個坐標軸x，y，z所夾的銳角α，β，γ，如圖3-1所示，則可做出以力F為對角線、各棱邊與坐標軸平行的直角平行六面體。由圖可知，力F在三個坐標軸上的投影分別為Oa，Ob，Oc，如分別以Fx，Fy，Fz表示，與平面匯交力系中力的投影相同，考慮正、負號后便有

3.1.2 二次投影法

當已知包含力F和z軸組成的平面與x軸所夾的銳角φ，以及力F與z軸所夾的銳角γ，如圖3-2所示，則可采用二次投影法求力F在三個坐標軸上的投影。即先將力F投影到坐標平面Oxy上，得F′（力在平面上的投影是矢量，因為它的方向不能像力在坐標軸上的投影那樣只需用正、負號來表示）。由圖可知F′=F·sinγ然后再將F′投影到x，y坐標軸上。考慮到正、負號后，力F在三個坐標軸上的投影分別為

如果將力F沿坐標軸x，y，z分解為三個分力Fx，Fy，Fz（見圖3-3），則此三分力的大小分別等于相應的投影值。

3.2 力對軸之矩合力矩定理

在平面力系中已討論了力對點之矩，對于空間力系，需要討論力對軸之矩。

現以開門為例（見圖3-4），門可繞通過鉸鏈中心的z軸轉動。設在門上A點作用一力F。為研究力F使門繞z軸轉動的效果，通過A點做一垂直于z軸的平面S，將力F分解為兩個相互垂直的分力F1和F2，其中F2與z軸平行，F1在平面S內。由經驗可知，F2不能使門繞z軸轉動，所以力F對z軸之矩，等于分力F1對z軸之矩，若以mz（F），mz（F1）分別表示力F和分力F1對z軸之矩，則mz（F）=mz（F1）。由圖可知，力Fl也就是力F在平面S上的投影。

分力F1對z軸之矩mz（F1），實際上就是F1對z軸與平面S的交點O之矩。若O點到力Fl作用線的垂直距離為d，則mz（F1）=±F1d，因此，力F對z軸之矩為

由此可得：力F對z軸之矩，等于力F在垂直于z軸的平面S上的投影對z軸與平面S的交點之矩。

式（3-3）中的正、負號表示力對軸之矩的轉向，通常規定：迎著z軸的正向看去，力使物體繞z軸做逆時針轉動時取正號，反之取負號。

空間力系對軸之矩也存在著合力矩定理（這里不做證明）：空間力系的合力R對某一軸之矩，等于各分力F1，F2，…，Fn對同一軸之矩的代數和，其數學表達式為

3.3 空間力系的平衡

在工程實際中，有許多物體在空間力系作用下處于平衡狀態。例如，裝有帶輪和齒輪的輪軸（見圖3-5）作用在膠帶上的拉力F1和F2，齒輪上的圓周力Ft、徑向力Fr，以及兩支座上的約束反力RAx，RAz，RBx，RBz構成一空間力系，輪軸在此空間力系作用下勻速轉動，即處于平衡狀態。

3.3.1 空間任意力系的平衡方程

物體在空間任意力系作用下平衡的必要與充分條件是：力系對物體無任何方向的平動作用，即無移動效應；也無繞任何軸的轉動作用，即無轉動效應（這里不做推導）。

式（3-5）表示，空間任意力系中各力在三個坐標軸上投影的代數和分別等于零；同時各力對三個坐標軸之矩的代數和也分別等于零。

式（3-5）有六個獨立的平衡方程，可以求解六個未知量。因此，物體在空間任意力系作用下處于平衡時，如果未知量的數目超過六個，則是靜不定問題。

對于輪軸等物體在空間任意力系作用下的平衡問題，可以直接運用式（3-5）來求解，也可將各力分別投影到三個坐標平面上，轉化為平面力系來求解。

3.3.2 空間匯交力系的平衡方程

各力的作用線不在同一平面內，但匯交于一點的力系，稱為空間匯交力系。設一剛體在空間匯交力系F1，F2，…，Fn作用下處于平衡狀態，如圖3-6所示（為了簡明起見，圖中未畫出剛體），空間匯交力系的平衡問題可以看做空間一般力系平衡問題的特殊情況。若選取如圖3-6所示的空間直角坐標系，使坐標原點與各力作用線的匯交點重合，這樣，力系中各力對坐標軸x，y，z的力矩都等于零，所以空間匯交力系的平衡方程為

3.3.3 空間平行力系的平衡方程

各力的作用線不在同一平面內但相互平行的力系，稱為空間平行力系。設一剛體在空間平行力系F1，F2，…，Fn作用下處于平衡狀態，如圖3-7所示（圖中未畫出剛體），空間平行力系的平衡問題也可看做空間任意力系平衡問題的特殊情況。若選取如圖3-7所示的空間直角坐標系，使某一軸（如z軸）與各力的作用線相平行，這樣，式（3-5）中的∑Fx=0，∑Fy=0，∑mz（F）=0三個方程恒等于零，故空間平行力系的平衡方程為

【例3-1】 直桿OA，OB，OC用光滑的球形鉸鏈連接成支架，如圖3-8（a）所示。平面ABC和平面OCD都是鉛垂的，且相互垂直。在位于O點處的鉸鏈上掛有重G=5kN的物體。桿重略去不計，試求三根直桿所受力的大小，并說明是受拉還是受壓（圖中尺寸的單位為mm）。

解：（1）選取球形鉸鏈連同所吊重物為研究對象，桿OA，OB，OC均為雙球鉸剛桿，它們對球形鉸鏈的反力分別沿著連線OA，OB，OC的方向，其受力圖和所取的坐標系如圖3-8（b）所示，這是一個空間匯交力系的平衡問題。

（2）為了求解各桿所受的力，先求出角度α，β，γ，由圖上可得

（3）運用式（3-6）求解約束反力

∑Fz=0，SCcosγ-G=0

得

得

將式SC和SA代入式∑Fy=0可解得

將SB值代入式（3-8）得

根據作用與反作用定律可知，桿OC受壓，桿OA，OB受拉。

【例3-2】 三輪小車停放于光滑水平面上，如圖3-9所示，AD=BD=0.5m，CD=1.5m。若在車上E點作用一鉛垂載荷P=1.5kN，EF=DG=0.5m，DF=GE=0.1m。試求地面作用于A，B，C三點處的輪子的反力。

解：（1）取小車為研究對象，作用于其上的力有載荷P和地面對輪子的反力NA，NB，NC，這是一個空間平行力系的平衡問題。

（2）取如圖3-9所示的坐標系Axyz，運用式（3-7）求解約束反力。

∑mx（F）=0，NC·CD-P·EF=0

得

得

得

NA=P-NB-NC=1.5-0.35-0.5=0.65（kN）

3.4 空間力系問題的平面解法

在機械工程中，常把空間的受力圖投影到三個坐標平面，畫出主視、俯視、側視三個視圖。分別列出它們的平衡方程，同樣可解出所求的未知量。這種將空間問題分散轉化為三個平面問題的討論方法，稱為空間問題的平面解法。這種方法特別適合于解決輪軸類構件的空間受力平衡問題。

【例3-3】 起重機鉸車的鼓輪軸如圖3-10（a）所示。已知G=10kN，手柄半徑R=20cm，E點有水平力P作用，鼓輪半徑r=10cm，A，B處為向心軸承，其余尺寸如圖3-10所示，單位均為cm。試求手柄上的作用力P及A，B兩處的徑向反力。

解：（1）取輪軸為研究對象，畫出它的分離體在三個坐標平面上的受力投影圖（圖3-10（b））。

（2）對符合可解條件的先行求解。先從xz平面解起。

xz面：

yz面：

yz面：

xy面：

xy面：

【例3-4】 一軸上裝有一個齒輪和一個帶輪，如圖3-11（a）所示。齒輪的分度圓直徑d=94.5mm，帶輪直徑D=320mm，工作時膠帶的拉力F1=800N，F2=300N，試求齒輪上的圓周力Ft，徑向力Fr和支座A，B兩處的約束反力的大小。圖中尺寸的單位為mm。

解：（1）選取齒輪、帶輪和軸為研究對象，畫出受力圖，如圖3-11（a）所示。

（2）將空間的受力圖投影到三個坐標平面上，運用平面一般力系的平衡方程求解未知量。

在Axz平面內（見圖3-11（d））：

得

徑向力Fr與圓周力Ft有關，由齒輪的壓力角α決定，（通常α=20°），即

Fr=Fttanα=1693tan20°=616.2（N）

在Ayz平面內（見圖3-11（b））：

∑mA（F）=0，Fr·120+F2sin30°×530-RBz（530+90）=0

得

得

RAz=Fr+RBz-F2sin30°=616.2+247.5-300sin30°=713.7（N）

在Axy平面內（見圖3-1l（c））：

∑mA（F）=0，

RBx（530+90）-（Fl+F2cos30°）×530-Ft×120=0

得

得

RAx=RBx+Ft-F1-F2cos30°=1234+1693-800-300cos30°=1867（N）

3.5 重心

3.5.1 重心的概念及其坐標公式

地球上或地球表面附近的物體，都受到地球對它的吸引力，即重力的作用。設物體由無數個微小部分組成，可以把物體各部分的重力看成是鉛垂向下相互平行的空間力系，這個空間平行力系的合力為物體的重力，重力的大小等于物體所有各部分重力大小的總和，稱為物體的重量，合力作用點稱為物體的重心。

重心在工程實際中具有重要意義，重心的位置會影響物體的平衡與穩定，因此確定物體重心的位置尤為重要。例如，起吊重物時，吊鉤必須位于被吊物體重心的正上方，以保持起吊后物體的平衡；汽車、飛機、船舶等重心的位置，對其行駛或飛行的穩定性有直接影響；機械中的轉子、飛輪等都要求設計、制造、安裝時使其重心位于轉軸軸線上，以免引起強烈振動，甚至引發事故等。

分布于物體的重力系可足夠精確地認為是一個空間平行力系，我們應用合力矩定理確定重心位置。設物體微小部分所受的重力為ΔWi，則整個物體的重量W為

W=∑ΔWi

取直角坐標系Oxyz如圖3-12所示，設任一微小部分的坐標為xi，yi，zi，重心C的坐標為xc，yc，zc。根據合力矩定理，對x軸取矩，有

W·yc=ΔW1·y1+ΔW2·y2+…+ΔWi·yi=∑ΔWi·yi

再對y軸取矩，有

W·xc=ΔW1·x1+ΔW2·x2+…+ΔWi·xi=∑ΔWi·xi

同理可得

W·zc=ΔW1·z1+ΔW2·z2+…+ΔWi·zi=∑ΔWi·zi

由以上三式可得計算重心坐標的公式，即

若物體是均質的，則各小部分的重力ΔWi與其體積ΔVi成正比，物體的重量W也必按相同的比例與物體的總體積V=∑ΔVi成正比。于是式（3-8）化為

可見均質物體的重心與物體的重量無關，重心的位置僅決定于物體的幾何形狀。由式（3-9）確定的幾何點稱為物體的形心。

如果物體是均質薄板，則不考慮zc。以A表示其面積，ΔAi表示各微小部分的面積，則其重心（形心）的坐標公式為

3.5.2 確定物體重心的方法

1.對稱法

如果均質物體具有對稱面、對稱軸或對稱中心，則物體的重心（形心）一定在其對稱面、對稱軸或對稱中心上。如圖3-13所示，工程實際中常用的幾種型鋼的截面形狀，其重心都在它們的對稱軸上。又如圓球的球心是對稱中心，則它也是圓球的重心。

常用的簡單形狀均質物體的重心列于表3-1中。

2.組合法

若物體由若干個較簡單的形體組成，其中每一個形體的重心又易于確定，則此均質物體的重心（形心）位置分別由式（3-9）和式（3-10）確定。

（1）分割法。將物體分割成幾個簡單形狀的形體，則整個物體的重心即可確定。

【例3-5】 試求Z形截面重心的位置。其尺寸如圖3-14所示。

解：將Z形截面看做由Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三個矩形面積組合而成，每個矩形的面積和重心位置可方便求出。取坐標軸如圖3-14所示。

Ⅰ：A1=300mm2，x1=15mm，y1=45mm

Ⅱ：A2=400mm2，x2=35mm，y2=30mm

Ⅲ：A3=300mm2，x3=45mm，y3=5mm

按式（3-10）求得該截面重心的坐標xc、yc為

（2）負面積法。若物體內切去一部分，則其重心仍可應用式（3-10）和式（3-11）確定，只是切去部分的體積或面積應取負值。

【例3-6】 求圖3-15所示圖形的形心。已知大圓的半徑為R，小圓的半徑為r，兩圓的中心距為a。

解：取坐標系如圖所示，因圖形對稱于x軸，其形心在x軸上，故yc=0。

圖形可看做由兩部分組成，挖去的面積以負值代入，兩部分圖形的面積和形心坐標為

A1=πR2，x1=y1=0

A2=-πr2，x2=a，y2=0

由公式（3-10）可得

3.實驗法

對于形狀復雜或質量分布不均勻的物體，當用計算的方法求重心位置較為困難時，工程中常采用實驗的方法測定其重心的位置。

（1）懸掛法。設求某零件截面的形心，可用紙板按一定比例做成該截面的形狀，先將該紙板懸掛于任意一點A，根據二力平衡公理，重心必在通過懸掛點A的鉛垂線上，標出此直線AB，如圖3-16（a）所示；然后再將紙板懸掛于任意點D，同樣標出另一直線DE，則AB與DE的交點C即為零件截面的形心，如圖3-16（b）所示。有時也可以懸掛二次以上，以提高精度。

（2）稱重法。有些形狀復雜、體積龐大的物體可用稱重法求其重心。例如，內燃機的連桿，因它具有對稱軸，故只需確定重心在此軸線上的位置xc。將連桿B端放在臺秤上，A端擱在水平面上，使中心線AB處于水平位置，如圖3-17所示。設連桿的質量為W，用臺秤稱得B端的反力FB的大小，由∑MA（F）=0，得

FB×l-W×xc=0

故

本章小結

1．力在空間直角坐標系上的投影計算與力對軸之矩的計算是解空間力系平衡問題的基本運算。力的投影計算分為一次投影法與二次投影法。一次投影法計算力在平面與坐標軸上的投影為力和力與平面或坐標軸之間夾角余弦的乘積。二次投影法是先將力向坐標平面上投影，再向坐標軸投影，其中每一次投影的做法都與一次投影法相同。

2．空間力系的平衡方程式：∑Fx=0，∑Fy=0，∑Fz=0，∑mx（F）=0，∑my（F）=0，∑mz（F）=0，六個平衡方程式。

3．空間力系平衡問題的解法亦有兩種：一種是直接利用空間力系的六個平衡方程式，進行計算，當然可分成空間匯交力系、空間平行力系和空間一般力系；另一種則是將物體連同物體上的作用力一起向坐標面做投影，將一個空間力系問題轉化成三個平面力系問題來考慮，這就是空間力系問題的平面解法。

4．重心是物體重力合力的作用點，相對于物體具有確定不變的位置。均質物體的重心與其形心相重合。解題時，可根據物體的具體情況，選用相應公式確定物體的重心位置。

思考題和習題3

3-1 直桿OA，OB，OC用光滑的球形鉸鏈連接成支架，如圖3-18所示。平面ABC和平面OCD都是鉛垂的，且相互垂直。在鉸鏈O上掛有重G=5kN的物體。桿重可略去不計，試求三根直桿所受力的大小，并說明是受拉還是受壓。圖中尺寸的單位為mm。

3-2 重G=600N的三腳圓臺放置于光滑水平面上，如圖3-19所示。圓臺的半徑R=50cm，三個腳的頂端A，B，C形成一等邊三角形。今在中線BO的延長線上的D點作用一鉛垂力P=1500N。試求：

（1）當OD=a=30cm時，三個腳所受的力；（2）欲使圓臺不致翻倒時的距離a的最大值。

3-3 軸上裝有兩個齒輪，如圖3-20所示。兩齒輪的分度圓直徑分別為dl=250mm，d2=120mm。若齒輪1上受到的圓周力Ft1=500N，徑向力Fr1=182N，圖中尺寸的單位為mm，試求齒輪2上的圓周力Ft2和徑向力Fr2（Fr2=Ft2tan20°），以及軸承A，B兩處的約束反力。

3-4 斜齒圓柱齒輪的受力情況如圖3-21所示。已知圓周力Ft=1380N、徑向力Fr=520N、軸向力Fa=370N，分度圓直徑d=290mm。試求軸端輸入的力偶矩m，以及軸承A，B兩處的約束反力。

3-5 求對稱工字形鋼截面的形心，尺寸如圖3-22所示。

3-6 確定圖3-23所示均質板重心位置。