第2章 平面力系

【內容提要】

本章主要是介紹平面力系的合成與平衡問題。分析研究作用于物體上各力作用線位于同一平面內，但根據作用線分布可分成：平面匯交力系、平面力偶系、平面平行力系和平面任意力系。建立平面力系的平衡條件和平衡方程式，求解平面力系。并簡單介紹物體系統的靜定與靜不定問題，考慮摩擦時的平衡問題。

2.1 平面匯交力系

2.1.1 平面匯交力系及其實例

各力的作用線在同一平面內并且相交于一點的力系，稱為平面匯交力系。起重機勻速起吊鋼管時的受力情況如圖2-1（a）所示。當以鋼管為研究對象分析其受力時，其上除作用有重力G以外，還受到兩端繩索的拉力T1與T2的作用，如圖2-1（b）所示。這三個力的作用線位于同一平面內，且匯交于A點。

2.1.2 平面匯交力系合成與平衡的解析法

1.力在坐標軸上的投影

設力F如圖2-2所示，在力F的作用平面內選取直角坐標系Oxy。過力F的起點A與終點B分別向x，y軸做垂線，得垂足a1，b1和a2，b2，則線段a1b1稱為力F在x軸上的投影，以Fx表示；線段a2b2稱為力F在y軸上的投影，以Fy表示。

力在坐標軸上的投影是代數量，其正、負號規定如下：當力F的投影指向（即從a1到b1，或從a2到b2的指向）與坐標軸的正向一致時，力的投影為正值，反之為負值。

設力F與x軸所夾的銳角為α，則力的投影一般可寫為

當力與坐標軸垂直時，力在該軸上的投影為零；力與坐標軸平行時，其投影的絕對值就等于力的大小。

【例2-1】 已知F=100N，P=200N，Q=250N，S=150N，各力方向如圖2-3所示，其中P的方向平行于y軸，試求上述四力在x，y軸上的投影。

解：F方面Fx=-Fcos30°=-100cos30°=-86.6（N）

Fy=-Fsin30°=-100sin30°=-50（N）

P方面Px=0

Py=-P=-200（N）

Q方面Qx=Qcos45°=250cos45°=176.8（N）

Qy=Qsin45°=250sin45°=176.8（N）

S方面Sx=Ssin30°=150sin30°=75（N）

Sy=-Scos30°=-150cos30°=-129.9（N）

2.合力投影定理

設剛體受一平面匯交力系F1，F2，F3作用，如圖2-4（a）所示，其合力R可用力多邊形法則各力首尾相接求出，如圖2-4（b）所示。在力多邊形所在的平面內取直角坐標系Oxy，將力系的合力R及F1，F2，F3各力向x軸投影得

Rx=ad，F1x=ab，F2x=bc，F3x=-cd

由圖2-4（b）可見

ad=ab+bc-cd

故

Rx=F1x+F2x-F3x

同理可得

Ry=-F1y+F2y+F3y

推廣到三個以上匯交力，上述合力投影與分力投影的關系仍然適用。再將分力寫成和的形式，于是有

即合力在任一軸上的投影，等于各分力在同一軸上投影的代數和，這就是合力投影定理。

3.平面匯交力系合成的解析法

用解析法求平面匯交力系的合力時，可先分別求出各力在兩坐標軸上的投影并求其代數和∑Fx和∑Fy，這就是合力R在兩坐標軸上的投影Rx和Ry，然后求出合力R的大小和方向α，如圖2-5所示。

式中，α為合力R與x軸所夾的銳角，合力R的指向由Rx和Ry的正、負號判定。

【例2-2】 組合機床在加工某工件時，同時鉆削四個徑向孔。鉆頭對工件的壓力分別為F1=1.2kN，F2=1kN，F3=1.5kN，F4=3kN，各力的方向如圖2-6所示。試求此四力的合力。

解：（1）取如圖2-6所示的直角坐標系Oxy，應用合力投影定理，可得R在x，y軸上的投影分別為

Rx=∑Fx=-F2cos45°-F3+F4cos30°

=-1·cos45°-1.5+3cos30°=0.391（kN）

Ry=∑Fy=-F1-F2sin45°+F4sin30°

=-1.2-1·sin45°+3sin30°=-0.407（kN）

（2）再根據式（2-3），求出合力R的大小和方向為

由于Rx為正值，Ry為負值，所以R的指向應在第四象限。

4.平面匯交力系平衡的解析條件

平面匯交力系平衡的必要與充分條件是合力等于零，即

欲使上式成立，必須同時滿足

由此可得平面匯交力系平衡的解析條件是：力系中所有各力在兩個坐標軸上投影的代數和分別都等于零。式（2-4）稱為平面匯交力系的平衡方程。

式（2-4）含兩個獨立的平衡方程，因而一個剛體受平面匯交力系作用而處于平衡時，可求解兩個未知量。下面舉例說明平衡方程的應用。

【例2-3】 繩索由位于D點的鉸車拖動并跨過位于A點的滑輪勻速地起吊重G=15kN的重物，如圖2-7（a）所示。不計桿重及滑輪處的摩擦，并忽略滑輪的尺寸，試求桿AB和AC所受的力。

解：（1）取滑輪為研究對象，其受力情況如圖2-7（b）所示。由于不計滑輪處的摩擦，故繩索中拉力為

T=G=15kN

又AB，AC桿均為二力桿，假設AB桿受拉，AC桿受壓，則兩桿作用于A的約束反力SAB與SAC的方向應如圖2-7（b）所示。因為不計滑輪尺寸，所以G，T，SAB，SAC四力可看做一平面匯交力系。

（2）為方便解題，一般可取坐標軸與一未知力垂直。現取如圖2-7（b）所示的直角坐標系Axy，使y軸與SAB垂直。運用平衡方程求解未知量，即

∑Fx=0，則有Gsin30°-Tsin45°-SAB=0

所以

SAB=Gsin30°-Tsin45°=-3.11（kN）

∑Fy=0，則有-Gcos30°-Tcos45°+SAC=0

故

SAC=Gcos30°+Tcos45°=23.6（kN）

計算結果SAB的值為負值，說明其實際方向與假設方向相反，亦即AB桿實際受壓，其所受壓力的大小等于3.11kN。AC桿所受壓力的大小為23.6kN。

2.2 平面力偶系的合成與平衡

2.2.1 力對點之矩

在生產實踐中，用扳手擰緊螺母時（見圖2-8所示），其擰緊的程度不僅與力F的大小有關，而且還與螺母中心O到力F作用線間的垂直距離d有關。顯然，力F的值越大，螺母擰得越緊；距離d增大時，螺母也將擰得越緊。此外，如果力F的作用方向與如圖2-9所示的相反時，則扳手將使螺母松開。因此，工程中以乘積F·d并加以適當的正、負號作為力F使物體繞O點轉動效應的度量，稱為力F對O點之矩，簡稱力矩，以符號mo（F）表示，即

式中，O點稱為力矩中心，簡稱矩心。

O點到力F作用線間的垂直距離d稱為力臂。通常規定：力使物體繞矩心做逆時針方向轉動時，力矩為正；反之為負。

由式（2-5）可知，力對點之矩取決于力的大小和矩心位置。通常矩心的位置不同，力矩亦不相同。只有當力的作用點沿其作用線移動時，該力對矩心的力矩才不變。如果力F的作用線通過矩心（d=0），則力矩等于零，這時力不能對物體產生轉動效應。力矩的單位為牛頓·米（N·m）。

【例2-4】 汽車操縱系統的踏板裝置如圖2-9所示。已知工作阻力R=1700N，駕駛員腳的蹬力F=193.7N，尺寸a=380mm，b=50mm，α=60°。試求工作阻力R和蹬力F對O點之矩。

解：根據式（2-5）可求得工作阻力R和蹬力F對O點的力矩分別為

mo（R）=Rbsinα=1700×0.05sin60°=73.6（N·m）

mo（F）=-Fa=-193.7×0.38=-73.6（N·m）

2.2.2 合力矩定理

下面討論平面匯交力系的合力對平面內某一點的力矩與各分力對同一點的力矩之間的關系。

以彎柄扳手為例，如圖2-10所示，設在扳手上A點處作用一力R，以螺母中心O為矩心，其力臂為d。根據式（2-5），可求得力R對O點的力矩為

現將力R分解為互相垂直的兩個分力F1和F2，它們的力臂分別為d1和d2。由圖2-10可得

F1=Rcosα，F2=Rsinα

d1=dcosα，d2=dsinα

兩分力F1和F2對O點之矩的代數和為

由式（2-6）和式（2-7）可得

mo（R）=mo（F1）+mo（F2）

上式說明合力R對O點的力矩等于其分力F1和F2對O點力矩的代數和。這一結論雖然是從一特例中推導出來的，但是它具有普遍意義，推廣后有合力矩定理：平面匯交力系的合力對平面內任一點之矩，等于各分力對同一點之矩的代數和。用數學式表示為

2.2.3 力偶與力偶矩

1.力偶與力偶矩

生產實踐中，常會遇到物體上同時受到兩個大小相等、方向相反、作用線不重合的平行力的作用。例如汽車駕駛員用雙手轉動方向盤時，作用于方向盤上的兩個力，見圖2-11所示；工人攻螺紋時作用于絲錐手柄上的兩個力，見圖2-12所示。在這樣兩個力的作用下，物體產生轉動。將大小相等、方向相反、作用線不重合的兩個平行力所組成的力系視為一個基本力學量，稱為力偶，以符號（F，F′）表示。力偶中兩力所在的平面稱為力偶作用面，兩力作用線之間的垂直距離d稱為力偶臂。

由經驗知道，物體受力偶作用產生的轉動效果，不僅與力偶中力F大小成正比；而且與力偶臂d的大小成正比。力F與力偶臂d的值越大，轉動效果越顯著。因此，與力矩類似，工程中以乘積F·d并加以適當的正、負號作為力偶對物體轉動效應的度量，并稱之為力偶矩，以符號m表示，即

式（2-9）中的正、負號表示力偶的旋轉方向。通常規定：力偶使物體做逆時針方向轉動時，力偶矩為正；反之為負。

力偶矩的單位與力矩單位相同。

由力偶的定義可知，組成力偶的一對平行力構成了一個特殊力系，它們在其作用面內任一坐標軸上的投影的代數和等于零（圖2-13）。根據合力投影定理可以得出：力偶沒有合力。所以，力偶不能用一個力來代替，也不能用一個力來平衡，力偶只能用力偶來平衡。

2.力偶的等效

設有一力偶（F，F′），其力偶矩m=Fd，如圖2-14所示。在力偶的作用面內任取一點O為矩心，顯然，力偶使物體繞O點轉動的效應可用力偶中兩個力F，F′對O點之矩的代數和來度量。設O點到力F′作用線間的垂直距離為x，則力偶中兩個力F和F′對O點之矩的代數和為

mo（F）+mo（F′）=F（x+d）-F′x=Fd=m

這說明，力偶中兩力對其作用面內任一點的力矩的代數和為一常數，并等于力偶矩。也就是說，力偶對物體的轉動效應完全決定于力偶矩的大小與轉向，而與矩心的位置無關。因此，如果兩個力偶的力偶矩大小相等而且轉向相同，則這兩個力偶對物體就有相同的轉動效應，并稱它們為等效力偶。由此還可得出下面兩個推論：

（1）力偶可以在其作用面內任意轉移，而不會改變該力偶對物體的作用效果；

（2）在保持力偶矩的大小和轉向不變的條件下，可以任意改變力偶中的兩個力和力偶臂的大小，而不會改變力偶對物體的作用效果。

以上推論很容易在實踐中得到驗證。例如汽車駕駛員轉動方向盤時，無論兩手作用于A，B兩處，還是作用于C，D兩處（見圖2-15），只要作用在方向盤上的力偶矩不變，其轉動效果總是相同的。同樣道理，用絲錐攻螺紋時，無論兩手作用于A，B兩處，還是作用于C，D兩處（見圖2-16），只要兩手作用在絲錐手柄上的力偶矩不變，即F1d1=F2d2，絲錐的轉動效果也是相同的。

由于力偶對物體的作用完全決定于力偶矩的大小和轉向，因此，力偶也可用一帶有箭頭的弧線來表示。如圖2-17所示的就是同一個力偶的三種不同表示法。

2.2.4 平面力偶系的合成與平衡

1.平面力偶系的合成

作用于同一平面內的兩個或兩個以上的力偶稱為平面力偶系。

設有兩個力偶（F1，）和（F2，）組成一平面力偶系，它們的力偶矩分別為m1=F1d1和m2=F2d2，如圖2-18（a）所示，現求其合成的結果。

首先，在力偶的作用面內任取一線段AB=d，然后，在保持力偶矩不變的條件下，調節這兩個力偶，并將兩力偶的力偶臂都定為d，且與AB重合，如圖2-18（b）所示，得到兩個等效力偶（P1，和（P2，），其中P1，P2的大小分別為

將作用于A點的力P1，P2及B點的力分別合成為R及R′，如圖2-18（c）所示，其大小分別為

R=P1+P2，R′=P1′+P2′

因R與R′大小相等、方向相反，且不共線，因此組成了一個新的力偶（R，R′），這就是原力偶（F1，）和（F2，）的合力偶，其力偶矩為

對于由更多個力偶組成的平面力偶系，仍可用同樣的方法進行合成。因此可得如下結論：平面力偶系合成的結果為一合力偶，其合力偶矩等于各分力偶矩的代數和。用數學式表示為

2.平面力偶系的平衡

平面力偶系合成的結果為一合力偶，顯然，若要力偶系平衡，必須并且只需合力偶矩等于零，即M=0。所以平面力偶系平衡的必要和充分條件是：力偶系中所有力偶的力偶矩的代數和等于零。用數學式表示為

【例2-5】 用多軸鉆同時鉆削工件上四個直徑相同的孔，如圖2-19所示。已知鉆一個孔的切削力偶矩m=15N·m，問加工時工件受到總的切削力偶矩多大？若A和B兩處的固定螺栓之間的距離L=0.4m，試求工件在切削時A，B處所產生的約束反力。

解：工件受到總的切削力偶矩M等于每個孔所受的切削力偶矩m的代數和，即

M=∑m=-4m=-4×15=-60（N·m）

因工件僅受力偶作用，故兩螺栓處的約束反力NA，NB必定也組成一個力偶，與切削力偶相平衡，如圖2-19所示。由平面力偶系的平衡條件，可得

2.3 平面任意力系

2.3.1 平面任意力系的概念

在工程實際中，經常遇到作用于物體上的各力的作用線在同一平面內，但它們既不匯交于一點，亦不平行。如圖2-20（a）所示的簡易吊車，其橫梁在考慮自重時的受力情況（見圖2-20（b）所示）就屬于這種例子。這種作用線位于同一平面內，既不相交，亦不平行的力系稱為平面任意力系，簡稱平面力系。前面討論了平面匯交力系和平面力偶系，而平面匯交力系和平面力偶系則是平面任意力系的兩個特例。所以平面任意力系才是在工程上最常見的普通力系。

2.3.2 平面任意力系的平衡方程及其應用

既然平面匯交力系和平面力偶系是平面任意力系的兩個特例，則平面任意力系的平衡條件也就是上兩個力系的綜合。因此，平面任意力系平衡的必要和充分條件是：力系中所有各力在兩個坐標軸上投影的代數和分別等于零；所有各力對其作用面內任一點力矩的代數和為零，即

式（2-12）稱為平面任意力系的平衡方程。它是平衡方程的基本形式。力系中各力在任何方向的坐標軸上投影的代數和等于零，說明力系對物體無任何方向的平動，稱為投影方程；各力對平面內任意點之矩的代數和等于零，說明力系對物體無轉動作用，稱為力矩方程。這三個獨立的方程可以求解三個未知量。

在應用平衡方程解題時，式（2-12）中三個方程可根據解題的方便而首先選用其中的任一個方程。坐標系的選取一般使坐標軸與該力系中多數力的作用線平行或垂直，而矩心則通常選在兩個未知力的交點上。

【例2-6】 某電視塔塔架采用桅桿式起重機吊裝，如圖2-21所示。吊裝時，用卷揚機絞動鋼索BC，使整個塔架繞A點轉動。已知塔架自重G=3800kN，鋼索與桅桿間的夾角α=60°，有關尺寸如圖2-21所示。試求在圖示位置扳起塔架時，鋼索BC的拉力及鉸鏈支座在A點的反力。桅桿AB和鋼索的重量略去不計。

解：（1）取塔架和桅桿整體為研究對象，畫出受力圖如圖2-21所示。

（2）取如圖2-21所示坐標系Axy。若先列投影方程，則方程內將有兩個未知量，故先列力矩方程，并選取A點為矩心，由

得

再列投影方程

∑Fx=0，RAx-Tsinα=0

得

RAx=Tsin60°=4140sin60°=3590（kN）

∑Fy=0，RAy-Tcosα-G=0

得

RAy=Tcos60°+G=4140cos60°+3800=5870（kN）

【例2-7】 簡易吊車如圖2-22（a）所示。橫梁AB采用No.22a工字鋼，長3m，重G=0.99kN，作用于梁的中點C，α=20°，最大載荷（電動葫蘆和起吊工件的總重）P=10kN。試計算圖示位置時拉桿DE所受的拉力及位于A點處的銷釘的約束反力。

解：（1）取橫梁AB為研究對象，畫受力圖如圖2-22（b）所示。

（2）取如圖2-22（b）所示坐標系Axy，并取A點為矩心，列出力矩方程

∑mA（F）=0，T·ADsinα-G·AC-P·AF=0

得

再由

∑Fx=0，RAx-Tcosα=0

得

RAx=Tcosα=38.7cos20°=36.4（kN）

∑Fy=0，RAy+Tsina-G-P=0

得

RAy=G+P-Tsina=0.99+10-38.7sin20°=-2.25（kN）

負號說明RAy的實際指向與圖示假設的指向相反。

上述例題中，由于矩心是可以任意選擇的，因此，例2-7中也可選擇RAx和T兩力作用線的交點D為矩心，由力矩方程∑mD（F）=0直接解出RAy；再選擇RAy和T兩力作用線的交點E為矩心，由力矩方程∑mE（F）=0直接解出RAx。所以平面任意力系的平衡方程除了式（2-12）這種基本形式外，還有二力矩形式的平衡方程

注意，式中所選A，B兩點的連線不能與x軸垂直。

由于物體處于平衡狀態，則對任意點的力矩平衡方程式均成立，可得三力矩平衡方程

式中，所選的A，B，C三點不能位于同一直線上。

對所選矩心只要滿足上述條件，都將得到三個獨立的平衡方程式。

需要指出的是，對于平面力系問題，雖然可以寫出三組不同形式的平衡方程式，但其中獨立的平衡方程只有三個，即只能求解出三個未知量。

2.3.3 固定端的約束及其應用

在工程實際中，約束的形式除了前面已經提到的幾種類型外，還有一種稱為固定端的約束。例如，建筑物中的陽臺、跳水比賽中的跳板、夾緊在刀架上的車刀（見圖2-23（a）所示）、被卡盤夾緊的工件（見圖2-23（b）所示）等的約束都是這種約束。圖2-23（c）所示為固定端約束的簡化表示法，而這一類物體在工程上稱為梁。

如圖2-23（d）所示梁在主動力P作用下，其插入部分受到墻的約束，梁上每個與墻接觸的點所受到的約束反力的大小和方向都不一樣，這樣雜亂分布的約束反力組成了一個平面任意力系。由于固定端約束既能限制物體在平面內沿任何方向的移動，也能限制物體的轉動，所以在平面任意力系問題中，這種約束可以產生一個反力和一個反力偶，而反力和反力偶的方向則由物體所受的主動力來決定，其中反力通常用兩個互相垂直的分力Rx和Ry表示，如圖2-23（d）所示。

【例2-8】 車刀割槽時刀具的受力和約束情況可簡化為如圖2-24（a）所示的情況。設切削力Fx，Fy及尺寸L均已知，試計算固定端A點的約束反力。

解：（1）取車刀為研究對象，其受力如圖2-24（b）所示。因車刀在B處受到水平方向和垂直方向的主動力Fx，Fy作用，所以固定端的約束反力有約束力RAx，RAy和約束力偶mA。

（2）應用平衡方程可得

∑Fx=0，RAx-Fx=0，RAx=Fx

∑Fy=0，RAy-Fy=0，RAy=Fy

∑mA（F）=0，mA-Fy·L=0，mA=Fy·L

2.4 物體系統的平衡 靜定與靜不定問題

2.4.1 物體系統的平衡

前面幾節討論了單個物體的平衡問題，而在工程中的機械或結構一般總是由若干個零部件通過一定的約束聯系在一起而組成的，這種組合體稱為物體系統，簡稱物系。

在研究物體系統平衡問題時，不僅需要求出外界作用于系統的外力，有時還需要求出系統內各物體之間相互作用的內力，內力與外力的概念是相對的。在研究整個系統平衡時，由于各物體之間相互制約的內力總是成對出現，互為作用力與反作用力，因此這些內力是不必考慮的；當研究系統中某一物體或部分物體的平衡時，系統中其它物體對它們的作用力就成為外力，必須予以考慮。所謂外力與內力應視物體系統所取研究對象的邊界而定。例如圖2-25（a）為三鉸拱的示意圖。所謂三鉸拱，就是由AC、BC兩半拱用中間鉸鏈C連接，并由鉸鏈A與B固定于支座上的建筑物，如拱門、拱橋等。設三鉸拱自身重量不計，拱上有力F1和F2作用如圖所示，若將三鉸拱視為一個整體，則整個系統處于平衡狀態。AC、BC兩半拱鉸鏈連接處C的作用力為內力，可不考慮。若要求得中間鉸鏈C處的約束反力，則必須將AC、BC兩半拱分別作為研究對象，如圖2-25（b）、（c）所示，則右半拱通過中間鉸鏈C作用于左半拱的約束力Fcx、Fcy即為外力。同理左半拱作用于右半拱的約束力Fc′x、Fc′y也為外力。它們互為作用力與反作用力。

2.4.2 靜定與靜不定問題

在前面討論的平衡問題中，無論是單個物體還是物體系統的平衡問題，若未知量的數目少于或等于獨立平衡方程式的數目，則所有未知量可全部求出。系統的所有未知量都能由靜力平衡方程確定的問題稱為靜定問題。在工程中為了提高結構的安全可靠性，往往在結構中增加某些約束，這樣未知量的數目便超過了獨立平衡方程式數目，因此單靠平衡方程無法求出全部未知數。靜力平衡方程不足以確定系統的所有未知量的問題稱為靜不定問題。例如，圖2-26（a）、（b）所示為靜定結構，圖2-27（a）、（b）所示為靜不定結構。

靜力學中研究的是剛體的靜定平衡問題，至于靜不定問題，需要考慮物體受力后的變形，并建立相應的補充方程才能求解。

2.5 考慮摩擦時的平衡問題

前面各章討論物體的平衡問題時，都假定物體的接觸表面是絕對光滑的，忽略了物體之間的摩擦。這樣做，在摩擦對所研究的問題影響不大時是完全允許的，它可以使問題得到簡化。但是由于摩擦現象在自然界是普遍存在的，而且在有些問題中，摩擦成為主要因素，例如，工程中常見的帶傳動、摩擦制動、斜契夾緊裝置等，都是依靠摩擦力來工作的。當然，摩擦也有其有害的一面：摩擦要消耗能量并使機器磨損，降低了機器的精度和縮短了使用壽命。目前在能源的使用中，估計有一半以上的能源是用于克服各類摩擦。機械零件因磨損而導致失效的約占全部報廢零件總數的80%左右，這時摩擦對所研究的問題起著重要的作用，因此就不能再將其忽略而必須加以考慮。學習本節的目的，在于掌握摩擦現象的客觀規律，利用其有利的一面，限制它有害的一面。

2.5.1 摩擦力

互相接觸的兩個物體，當它們發生相對滑動或有滑動趨勢時，在兩個物體的接觸面上就會出現阻礙彼此滑動的力，稱為滑動摩擦力。滑動摩擦力的方向與物體相對運動（或相對運動趨勢）的方向相反，它產生的主要原因是物體接觸表面的凹凸不平和表面間分子的相互吸引。當兩物體尚未發生滑動而僅有滑動趨勢時，兩物體間的摩擦力稱為靜滑動摩擦力（簡稱靜摩擦力）；當兩物體已經滑動時，兩物體間的摩擦力稱為動滑動摩擦力（簡稱動摩擦力）。

以圖2-28所示的實驗為例，來觀察摩擦現象。

放在桌面上的物體受水平拉力T的作用，拉力的大小由砝碼的重量決定，拉力有使物體向右滑動的趨勢，而桌面對物體的摩擦力F阻礙它向右滑動。當拉力不大時，物體處于平衡，因此摩擦力與拉力大小相等，即F=T。

若拉力逐漸增大，滑動的趨勢增大，靜摩擦力F也相應地增大，當拉力增至某一值Tk時，物體處于將動未動的狀態，稱為臨界平衡狀態或臨界狀態，顯然這時的摩擦力是所有靜摩擦力中的最大值，即

Fmax=Tk

式中，Fmax是物體處于臨界平衡狀態時的摩擦力，稱為最大靜滑動摩擦力（簡稱最大靜摩擦

力）。

由上面的實驗可知，靜摩擦力隨外力的增大而增大，但它最多等于最大靜摩擦力，即

這就是說，如果水平力T的值不超過Fmax，則由于摩擦力的存在，物體總能保持平衡（相對靜止）。

大量實驗證明：最大靜摩擦力的方向與相對滑動趨勢的方向相反，最大靜摩擦力的大小與兩物體間的正壓力（即法向反力）成正比，即

這就是靜滑動摩擦定律。式中的比例常數f稱為靜滑動摩擦因數（簡稱靜摩擦因數），其值可通過實驗測定。它與接觸物體的材料、表面粗糙度、溫度、濕度等情況有關，而與接觸面積的大小無關。靜摩擦因數的數值可從有關工程手冊中查到。表2-1列出了一部分常用材料的摩擦因數。

對于動摩擦力，通過實驗也可得出與靜滑動摩擦定律相似的動滑動摩擦定律，即

式中，f′稱為動滑動摩擦因數（簡稱動摩擦因數），它與接觸物體的材料和表面情況有關。

動摩擦因數一般小于靜摩擦因數，即f′＜f。在大多數情況下，動摩擦因數隨相對滑動速度的增大而稍減小。當相對滑動速度不大時，動摩擦因數可近似認為是個常數，參看表2-1。

綜上所述可知，當考慮摩擦問題時，首先要分清物體是處于靜止、臨界狀態或相對滑動三種情況中的哪一種，然后選用相應的方法來計算摩擦力。

2.5.2 考慮摩擦的平衡問題

考慮摩擦時的平衡問題，其解題方法、步驟與不考慮摩擦時基本相同。只是應該注意：

（1）在分析物體受力時，除了一般約束反力外，還必須考慮摩擦力，其方向與滑動的趨勢方向相反。

（2）需分清物體是處于一般平衡狀態還是臨界狀態。在一般平衡狀態下，靜摩擦力的大小由平衡條件確定，并滿足F≤Fmax關系式；在臨界狀態下，靜摩擦力是一個定值，滿足F=Fmax=fN關系式。

（3）由于靜摩擦力可在零與Fmax之間變化，所以物體平衡時的解也有一個變化范圍。為了避免求解不等式，一般先假設物體處于臨界狀態，求得結果后再討論解的范圍。

【例2-9】 絞車的制動裝置如圖2-29（a）所示，制動輪半徑R=25cm，鼓輪半徑r=15cm，鼓輪上懸吊重W=1kN的重物，尺寸a=100cm，b=40cm，c=50cm，制動輪與制動塊間的摩擦因數f=0.6。試問要使重物不致落下，加在制動桿上的力P至少應為多大？

解：按臨界平衡狀態考慮，此時所需力P為最小。

（1）先取鼓輪為研究對象，作受力圖（見圖2-29（b））。列出平衡方程

∑mo1=0，W·r-Fmax·R=0

可得

由于

Fmax=f·N

所以

（2）再取制動桿為研究對象，作受力圖（圖2-29（c））。列出平衡方程

∑mo=0，F′max·c÷Pmin·a-N′·b=0

將

即得

由此可解出

即：要使物體不致落下，則P≥Pmin=10（N）。

本章小結

1．平面匯交力系概念：力系中各力的作用線位于同一平面內并匯交于一點。平面匯交力系的合成與分解，力在坐標軸上的投影。平面匯交力系平衡的必要與充分條件是：力系中各力在任一坐標軸上投影的代數和均為零，即∑Fx=0，∑Fy=0。

2．力偶的概念：力偶由兩個等值、反向、作用線不重合的平行力組成。它對物體的作用效應是使物體產生旋轉運動的變化。力偶的三要素：力偶矩的大小、力偶的轉向和力偶作用面的方位。力偶的等效條件：凡兩力偶的三要素相同，此兩力偶等效。力偶的運算特性：力偶無合力，它在任何方向的坐標軸上力的投影為零。力偶的合成與平衡：平面力偶系可合成一合力偶，合力偶矩為各力偶矩的代數和，即 M=∑m。其平衡條件為∑m=0。

3．平面任意力系概念：力系中各力的作用線位于同一平面，但在平面上呈任意分布的。平面任意力系的平衡方程式為：

（1）∑Fx=0，∑Fy=0，∑mo（F）=0。

（2）∑Fx=0，（或∑Fy=0），∑mA（F）=0，∑mB（F）=0，附加條件為x（或y軸）軸不垂直于AB。

（3）∑mA（F）=0，∑mB（F）=0，∑mC（F）=0，附加條件為A，B，C不共線。

4．平面力系問題的解題步驟：

（1）取研究對象，應選取有已知和未知力作用的物體為考慮平衡問題的對象。

（2）畫分離體的受力圖。

（3）選取坐標軸和矩心，列出平衡方程。根據未知力之間的幾何關系選定坐標軸和矩心。

（4）討論與校核。對解的力學含義進行討論，并可探討一些參量變化時對解的影響。通過另外選取一個不獨立的平衡方程，對某一個解答做重復運算，以校核解的正確性。

5．靜定問題：系統的所有未知量都能由靜力平衡方程確定的問題。

靜不定問題：靜力平衡方程不足以確定系統的所有未知量的問題。

6．滑動摩擦力是指當有相對滑動或相對滑動趨勢時，在物體接觸面間產生的阻礙相對滑動的切向阻力。它作用于物體相互接觸處，方向與相對滑動或相對滑動趨勢方向相反，其大小根據主動力作用的情況而定。

思考題和習題2

2-1 圓環左端固定，右端受三根繩索的拉力作用。已知繩索的拉力分別為F1=0.5kN，F2=1kN，F3=2kN，方向如圖2-30所示。試求這三根繩索作用于環上的合力R。

2-2 蝸輪機機殼重G=20kN，起吊時機殼在如圖2-31所示的水平位置處保持平衡，此時拉桿AB和AC與鉛垂線間的夾角分別為α=20°，β=30°。求拉桿AB和AC所受的拉力TAB和TAC。

2-3 簡易吊車如圖2-32所示。設吊車連同載荷共重P=10kN，作用于AB梁的中點，梁的自重不計。試求拉桿BC的拉力TBC和固定鉸鏈支座A處的反力RA。

2-4 簡易吊車由臂BC和繩索AB所構成。臂的一端以鉸鏈固定于立柱的C點，另一端用繩索懸掛重G=5kN的物體，如圖2-33所示。不計臂重，試求繩索AB的拉力T和臂BC所受的壓力S的大小。

2-5 試求圖2-34中各力F對固定端B的力矩。

2-6 鍛錘工件時，由于工件對錘頭的作用力有偏心，使錘頭發生偏斜。已知鍛打時作用力F=1000kN，偏心距e=20mm，錘頭高度h=200mm，如圖2-35所示。試求錘頭加給兩側導軌的壓力N。

2-7 用銑刀加工齒輪如圖2-37所示。已知切削力F1=2kN，F2=0.5kN。設軸向力F1由軸承B承受，試求A，B兩軸承處的反力RAy、RBx、RBy。

2-8 高爐加料的料斗車，沿θ=70°的傾斜軌道勻速上升。已知料斗車和爐料共重G=10kN，重心在C點，尺寸a=0.4m，b=0.5m，e=0.2m，h=0.3m，如圖2-37所示。試求鋼索拉力T和軌道對A，B輪的反力。

2-9 試求如圖2-38（a）、（b）中所示梁的支座反力。已知：F1=300N，F2=600N，m=450N·m，q=2N/cm，a=50cm，b=100cm。

2-10 梯子的兩部分AB和AC，長度均為l，在A點以鉸鏈連接，并在D，E兩點用水平繩索相連。在梯子的一邊作用鉛垂力P，尺寸如圖2-39所示，不計梯子自重與接觸面間的摩擦，試求繩索的張力T。