第2章 平面力系

【內(nèi)容提要】

本章主要是介紹平面力系的合成與平衡問題。分析研究作用于物體上各力作用線位于同一平面內(nèi)，但根據(jù)作用線分布可分成：平面匯交力系、平面力偶系、平面平行力系和平面任意力系。建立平面力系的平衡條件和平衡方程式，求解平面力系。并簡(jiǎn)單介紹物體系統(tǒng)的靜定與靜不定問題，考慮摩擦?xí)r的平衡問題。

2.1 平面匯交力系

2.1.1 平面匯交力系及其實(shí)例

各力的作用線在同一平面內(nèi)并且相交于一點(diǎn)的力系，稱為平面匯交力系。起重機(jī)勻速起吊鋼管時(shí)的受力情況如圖2-1（a）所示。當(dāng)以鋼管為研究對(duì)象分析其受力時(shí)，其上除作用有重力G以外，還受到兩端繩索的拉力T1與T2的作用，如圖2-1（b）所示。這三個(gè)力的作用線位于同一平面內(nèi)，且匯交于A點(diǎn)。

2.1.2 平面匯交力系合成與平衡的解析法

1.力在坐標(biāo)軸上的投影

設(shè)力F如圖2-2所示，在力F的作用平面內(nèi)選取直角坐標(biāo)系Oxy。過力F的起點(diǎn)A與終點(diǎn)B分別向x，y軸做垂線，得垂足a1，b1和a2，b2，則線段a1b1稱為力F在x軸上的投影，以Fx表示；線段a2b2稱為力F在y軸上的投影，以Fy表示。

力在坐標(biāo)軸上的投影是代數(shù)量，其正、負(fù)號(hào)規(guī)定如下：當(dāng)力F的投影指向（即從a1到b1，或從a2到b2的指向）與坐標(biāo)軸的正向一致時(shí)，力的投影為正值，反之為負(fù)值。

設(shè)力F與x軸所夾的銳角為α，則力的投影一般可寫為

當(dāng)力與坐標(biāo)軸垂直時(shí)，力在該軸上的投影為零；力與坐標(biāo)軸平行時(shí)，其投影的絕對(duì)值就等于力的大小。

【例2-1】 已知F=100N，P=200N，Q=250N，S=150N，各力方向如圖2-3所示，其中P的方向平行于y軸，試求上述四力在x，y軸上的投影。

解：F方面Fx=-Fcos30°=-100cos30°=-86.6（N）

Fy=-Fsin30°=-100sin30°=-50（N）

P方面Px=0

Py=-P=-200（N）

Q方面Qx=Qcos45°=250cos45°=176.8（N）

Qy=Qsin45°=250sin45°=176.8（N）

S方面Sx=Ssin30°=150sin30°=75（N）

Sy=-Scos30°=-150cos30°=-129.9（N）

2.合力投影定理

設(shè)剛體受一平面匯交力系F1，F2，F3作用，如圖2-4（a）所示，其合力R可用力多邊形法則各力首尾相接求出，如圖2-4（b）所示。在力多邊形所在的平面內(nèi)取直角坐標(biāo)系Oxy，將力系的合力R及F1，F2，F3各力向x軸投影得

Rx=ad，F(xiàn)1x=ab，F(xiàn)2x=bc，F(xiàn)3x=-cd

由圖2-4（b）可見

ad=ab+bc-cd

故

Rx=F1x+F2x-F3x

同理可得

Ry=-F1y+F2y+F3y

推廣到三個(gè)以上匯交力，上述合力投影與分力投影的關(guān)系仍然適用。再將分力寫成和的形式，于是有

即合力在任一軸上的投影，等于各分力在同一軸上投影的代數(shù)和，這就是合力投影定理。

3.平面匯交力系合成的解析法

用解析法求平面匯交力系的合力時(shí)，可先分別求出各力在兩坐標(biāo)軸上的投影并求其代數(shù)和∑Fx和∑Fy，這就是合力R在兩坐標(biāo)軸上的投影Rx和Ry，然后求出合力R的大小和方向α，如圖2-5所示。

式中，α為合力R與x軸所夾的銳角，合力R的指向由Rx和Ry的正、負(fù)號(hào)判定。

【例2-2】 組合機(jī)床在加工某工件時(shí)，同時(shí)鉆削四個(gè)徑向孔。鉆頭對(duì)工件的壓力分別為F1=1.2kN，F2=1kN，F3=1.5kN，F4=3kN，各力的方向如圖2-6所示。試求此四力的合力。

解：（1）取如圖2-6所示的直角坐標(biāo)系Oxy，應(yīng)用合力投影定理，可得R在x，y軸上的投影分別為

Rx=∑Fx=-F2cos45°-F3+F4cos30°

=-1·cos45°-1.5+3cos30°=0.391（kN）

Ry=∑Fy=-F1-F2sin45°+F4sin30°

=-1.2-1·sin45°+3sin30°=-0.407（kN）

（2）再根據(jù)式（2-3），求出合力R的大小和方向?yàn)?/p>

由于Rx為正值，Ry為負(fù)值，所以R的指向應(yīng)在第四象限。

4.平面匯交力系平衡的解析條件

平面匯交力系平衡的必要與充分條件是合力等于零，即

欲使上式成立，必須同時(shí)滿足

由此可得平面匯交力系平衡的解析條件是：力系中所有各力在兩個(gè)坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和分別都等于零。式（2-4）稱為平面匯交力系的平衡方程。

式（2-4）含兩個(gè)獨(dú)立的平衡方程，因而一個(gè)剛體受平面匯交力系作用而處于平衡時(shí)，可求解兩個(gè)未知量。下面舉例說明平衡方程的應(yīng)用。

【例2-3】 繩索由位于D點(diǎn)的鉸車拖動(dòng)并跨過位于A點(diǎn)的滑輪勻速地起吊重G=15kN的重物，如圖2-7（a）所示。不計(jì)桿重及滑輪處的摩擦，并忽略滑輪的尺寸，試求桿AB和AC所受的力。

解：（1）取滑輪為研究對(duì)象，其受力情況如圖2-7（b）所示。由于不計(jì)滑輪處的摩擦，故繩索中拉力為

T=G=15kN

又AB，AC桿均為二力桿，假設(shè)AB桿受拉，AC桿受壓，則兩桿作用于A的約束反力SAB與SAC的方向應(yīng)如圖2-7（b）所示。因?yàn)椴挥?jì)滑輪尺寸，所以G，T，SAB，SAC四力可看做一平面匯交力系。

（2）為方便解題，一般可取坐標(biāo)軸與一未知力垂直。現(xiàn)取如圖2-7（b）所示的直角坐標(biāo)系Axy，使y軸與SAB垂直。運(yùn)用平衡方程求解未知量，即

∑Fx=0，則有Gsin30°-Tsin45°-SAB=0

所以

SAB=Gsin30°-Tsin45°=-3.11（kN）

∑Fy=0，則有-Gcos30°-Tcos45°+SAC=0

故

SAC=Gcos30°+Tcos45°=23.6（kN）

計(jì)算結(jié)果SAB的值為負(fù)值，說明其實(shí)際方向與假設(shè)方向相反，亦即AB桿實(shí)際受壓，其所受壓力的大小等于3.11kN。AC桿所受壓力的大小為23.6kN。

2.2 平面力偶系的合成與平衡

2.2.1 力對(duì)點(diǎn)之矩

在生產(chǎn)實(shí)踐中，用扳手?jǐn)Q緊螺母時(shí)（見圖2-8所示），其擰緊的程度不僅與力F的大小有關(guān)，而且還與螺母中心O到力F作用線間的垂直距離d有關(guān)。顯然，力F的值越大，螺母擰得越緊；距離d增大時(shí)，螺母也將擰得越緊。此外，如果力F的作用方向與如圖2-9所示的相反時(shí)，則扳手將使螺母松開。因此，工程中以乘積F·d并加以適當(dāng)?shù)恼⒇?fù)號(hào)作為力F使物體繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的度量，稱為力F對(duì)O點(diǎn)之矩，簡(jiǎn)稱力矩，以符號(hào)mo（F）表示，即

式中，O點(diǎn)稱為力矩中心，簡(jiǎn)稱矩心。

O點(diǎn)到力F作用線間的垂直距離d稱為力臂。通常規(guī)定：力使物體繞矩心做逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，力矩為正；反之為負(fù)。

由式（2-5）可知，力對(duì)點(diǎn)之矩取決于力的大小和矩心位置。通常矩心的位置不同，力矩亦不相同。只有當(dāng)力的作用點(diǎn)沿其作用線移動(dòng)時(shí)，該力對(duì)矩心的力矩才不變。如果力F的作用線通過矩心（d=0），則力矩等于零，這時(shí)力不能對(duì)物體產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)。力矩的單位為牛頓·米（N·m）。

【例2-4】 汽車操縱系統(tǒng)的踏板裝置如圖2-9所示。已知工作阻力R=1700N，駕駛員腳的蹬力F=193.7N，尺寸a=380mm，b=50mm，α=60°。試求工作阻力R和蹬力F對(duì)O點(diǎn)之矩。

解：根據(jù)式（2-5）可求得工作阻力R和蹬力F對(duì)O點(diǎn)的力矩分別為

mo（R）=Rbsinα=1700×0.05sin60°=73.6（N·m）

mo（F）=-Fa=-193.7×0.38=-73.6（N·m）

2.2.2 合力矩定理

下面討論平面匯交力系的合力對(duì)平面內(nèi)某一點(diǎn)的力矩與各分力對(duì)同一點(diǎn)的力矩之間的關(guān)系。

以彎柄扳手為例，如圖2-10所示，設(shè)在扳手上A點(diǎn)處作用一力R，以螺母中心O為矩心，其力臂為d。根據(jù)式（2-5），可求得力R對(duì)O點(diǎn)的力矩為

現(xiàn)將力R分解為互相垂直的兩個(gè)分力F1和F2，它們的力臂分別為d1和d2。由圖2-10可得

F1=Rcosα，F2=Rsinα

d1=dcosα，d2=dsinα

兩分力F1和F2對(duì)O點(diǎn)之矩的代數(shù)和為

由式（2-6）和式（2-7）可得

mo（R）=mo（F1）+mo（F2）

上式說明合力R對(duì)O點(diǎn)的力矩等于其分力F1和F2對(duì)O點(diǎn)力矩的代數(shù)和。這一結(jié)論雖然是從一特例中推導(dǎo)出來的，但是它具有普遍意義，推廣后有合力矩定理：平面匯交力系的合力對(duì)平面內(nèi)任一點(diǎn)之矩，等于各分力對(duì)同一點(diǎn)之矩的代數(shù)和。用數(shù)學(xué)式表示為

2.2.3 力偶與力偶矩

1.力偶與力偶矩

生產(chǎn)實(shí)踐中，常會(huì)遇到物體上同時(shí)受到兩個(gè)大小相等、方向相反、作用線不重合的平行力的作用。例如汽車駕駛員用雙手轉(zhuǎn)動(dòng)方向盤時(shí)，作用于方向盤上的兩個(gè)力，見圖2-11所示；工人攻螺紋時(shí)作用于絲錐手柄上的兩個(gè)力，見圖2-12所示。在這樣兩個(gè)力的作用下，物體產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)。將大小相等、方向相反、作用線不重合的兩個(gè)平行力所組成的力系視為一個(gè)基本力學(xué)量，稱為力偶，以符號(hào)（F，F(xiàn)′）表示。力偶中兩力所在的平面稱為力偶作用面，兩力作用線之間的垂直距離d稱為力偶臂。

由經(jīng)驗(yàn)知道，物體受力偶作用產(chǎn)生的轉(zhuǎn)動(dòng)效果，不僅與力偶中力F大小成正比；而且與力偶臂d的大小成正比。力F與力偶臂d的值越大，轉(zhuǎn)動(dòng)效果越顯著。因此，與力矩類似，工程中以乘積F·d并加以適當(dāng)?shù)恼⒇?fù)號(hào)作為力偶對(duì)物體轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的度量，并稱之為力偶矩，以符號(hào)m表示，即

式（2-9）中的正、負(fù)號(hào)表示力偶的旋轉(zhuǎn)方向。通常規(guī)定：力偶使物體做逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，力偶矩為正；反之為負(fù)。

力偶矩的單位與力矩單位相同。

由力偶的定義可知，組成力偶的一對(duì)平行力構(gòu)成了一個(gè)特殊力系，它們?cè)谄渥饔妹鎯?nèi)任一坐標(biāo)軸上的投影的代數(shù)和等于零（圖2-13）。根據(jù)合力投影定理可以得出：力偶沒有合力。所以，力偶不能用一個(gè)力來代替，也不能用一個(gè)力來平衡，力偶只能用力偶來平衡。

2.力偶的等效

設(shè)有一力偶（F，F(xiàn)′），其力偶矩m=Fd，如圖2-14所示。在力偶的作用面內(nèi)任取一點(diǎn)O為矩心，顯然，力偶使物體繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的效應(yīng)可用力偶中兩個(gè)力F，F(xiàn)′對(duì)O點(diǎn)之矩的代數(shù)和來度量。設(shè)O點(diǎn)到力F′作用線間的垂直距離為x，則力偶中兩個(gè)力F和F′對(duì)O點(diǎn)之矩的代數(shù)和為

mo（F）+mo（F′）=F（x+d）-F′x=Fd=m

這說明，力偶中兩力對(duì)其作用面內(nèi)任一點(diǎn)的力矩的代數(shù)和為一常數(shù)，并等于力偶矩。也就是說，力偶對(duì)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)完全決定于力偶矩的大小與轉(zhuǎn)向，而與矩心的位置無關(guān)。因此，如果兩個(gè)力偶的力偶矩大小相等而且轉(zhuǎn)向相同，則這兩個(gè)力偶對(duì)物體就有相同的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)，并稱它們?yōu)榈刃Яε肌Ｓ纱诉€可得出下面兩個(gè)推論：

（1）力偶可以在其作用面內(nèi)任意轉(zhuǎn)移，而不會(huì)改變?cè)摿ε紝?duì)物體的作用效果；

（2）在保持力偶矩的大小和轉(zhuǎn)向不變的條件下，可以任意改變力偶中的兩個(gè)力和力偶臂的大小，而不會(huì)改變力偶對(duì)物體的作用效果。

以上推論很容易在實(shí)踐中得到驗(yàn)證。例如汽車駕駛員轉(zhuǎn)動(dòng)方向盤時(shí)，無論兩手作用于A，B兩處，還是作用于C，D兩處（見圖2-15），只要作用在方向盤上的力偶矩不變，其轉(zhuǎn)動(dòng)效果總是相同的。同樣道理，用絲錐攻螺紋時(shí)，無論兩手作用于A，B兩處，還是作用于C，D兩處（見圖2-16），只要兩手作用在絲錐手柄上的力偶矩不變，即F1d1=F2d2，絲錐的轉(zhuǎn)動(dòng)效果也是相同的。

由于力偶對(duì)物體的作用完全決定于力偶矩的大小和轉(zhuǎn)向，因此，力偶也可用一帶有箭頭的弧線來表示。如圖2-17所示的就是同一個(gè)力偶的三種不同表示法。

2.2.4 平面力偶系的合成與平衡

1.平面力偶系的合成

作用于同一平面內(nèi)的兩個(gè)或兩個(gè)以上的力偶稱為平面力偶系。

設(shè)有兩個(gè)力偶（F1，）和（F2，）組成一平面力偶系，它們的力偶矩分別為m1=F1d1和m2=F2d2，如圖2-18（a）所示，現(xiàn)求其合成的結(jié)果。

首先，在力偶的作用面內(nèi)任取一線段AB=d，然后，在保持力偶矩不變的條件下，調(diào)節(jié)這兩個(gè)力偶，并將兩力偶的力偶臂都定為d，且與AB重合，如圖2-18（b）所示，得到兩個(gè)等效力偶（P1，和（P2，），其中P1，P2的大小分別為

將作用于A點(diǎn)的力P1，P2及B點(diǎn)的力分別合成為R及R′，如圖2-18（c）所示，其大小分別為

R=P1+P2，R′=P1′+P2′

因R與R′大小相等、方向相反，且不共線，因此組成了一個(gè)新的力偶（R，R′），這就是原力偶（F1，）和（F2，）的合力偶，其力偶矩為

對(duì)于由更多個(gè)力偶組成的平面力偶系，仍可用同樣的方法進(jìn)行合成。因此可得如下結(jié)論：平面力偶系合成的結(jié)果為一合力偶，其合力偶矩等于各分力偶矩的代數(shù)和。用數(shù)學(xué)式表示為

2.平面力偶系的平衡

平面力偶系合成的結(jié)果為一合力偶，顯然，若要力偶系平衡，必須并且只需合力偶矩等于零，即M=0。所以平面力偶系平衡的必要和充分條件是：力偶系中所有力偶的力偶矩的代數(shù)和等于零。用數(shù)學(xué)式表示為

【例2-5】 用多軸鉆同時(shí)鉆削工件上四個(gè)直徑相同的孔，如圖2-19所示。已知鉆一個(gè)孔的切削力偶矩m=15N·m，問加工時(shí)工件受到總的切削力偶矩多大？若A和B兩處的固定螺栓之間的距離L=0.4m，試求工件在切削時(shí)A，B處所產(chǎn)生的約束反力。

解：工件受到總的切削力偶矩M等于每個(gè)孔所受的切削力偶矩m的代數(shù)和，即

M=∑m=-4m=-4×15=-60（N·m）

因工件僅受力偶作用，故兩螺栓處的約束反力NA，NB必定也組成一個(gè)力偶，與切削力偶相平衡，如圖2-19所示。由平面力偶系的平衡條件，可得

2.3 平面任意力系

2.3.1 平面任意力系的概念

在工程實(shí)際中，經(jīng)常遇到作用于物體上的各力的作用線在同一平面內(nèi)，但它們既不匯交于一點(diǎn)，亦不平行。如圖2-20（a）所示的簡(jiǎn)易吊車，其橫梁在考慮自重時(shí)的受力情況（見圖2-20（b）所示）就屬于這種例子。這種作用線位于同一平面內(nèi)，既不相交，亦不平行的力系稱為平面任意力系，簡(jiǎn)稱平面力系。前面討論了平面匯交力系和平面力偶系，而平面匯交力系和平面力偶系則是平面任意力系的兩個(gè)特例。所以平面任意力系才是在工程上最常見的普通力系。

2.3.2 平面任意力系的平衡方程及其應(yīng)用

既然平面匯交力系和平面力偶系是平面任意力系的兩個(gè)特例，則平面任意力系的平衡條件也就是上兩個(gè)力系的綜合。因此，平面任意力系平衡的必要和充分條件是：力系中所有各力在兩個(gè)坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和分別等于零；所有各力對(duì)其作用面內(nèi)任一點(diǎn)力矩的代數(shù)和為零，即

式（2-12）稱為平面任意力系的平衡方程。它是平衡方程的基本形式。力系中各力在任何方向的坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和等于零，說明力系對(duì)物體無任何方向的平動(dòng)，稱為投影方程；各力對(duì)平面內(nèi)任意點(diǎn)之矩的代數(shù)和等于零，說明力系對(duì)物體無轉(zhuǎn)動(dòng)作用，稱為力矩方程。這三個(gè)獨(dú)立的方程可以求解三個(gè)未知量。

在應(yīng)用平衡方程解題時(shí)，式（2-12）中三個(gè)方程可根據(jù)解題的方便而首先選用其中的任一個(gè)方程。坐標(biāo)系的選取一般使坐標(biāo)軸與該力系中多數(shù)力的作用線平行或垂直，而矩心則通常選在兩個(gè)未知力的交點(diǎn)上。

【例2-6】 某電視塔塔架采用桅桿式起重機(jī)吊裝，如圖2-21所示。吊裝時(shí)，用卷揚(yáng)機(jī)絞動(dòng)鋼索BC，使整個(gè)塔架繞A點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)。已知塔架自重G=3800kN，鋼索與桅桿間的夾角α=60°，有關(guān)尺寸如圖2-21所示。試求在圖示位置扳起塔架時(shí)，鋼索BC的拉力及鉸鏈支座在A點(diǎn)的反力。桅桿AB和鋼索的重量略去不計(jì)。

解：（1）取塔架和桅桿整體為研究對(duì)象，畫出受力圖如圖2-21所示。

（2）取如圖2-21所示坐標(biāo)系Axy。若先列投影方程，則方程內(nèi)將有兩個(gè)未知量，故先列力矩方程，并選取A點(diǎn)為矩心，由

得

再列投影方程

∑Fx=0，RAx-Tsinα=0

得

RAx=Tsin60°=4140sin60°=3590（kN）

∑Fy=0，RAy-Tcosα-G=0

得

RAy=Tcos60°+G=4140cos60°+3800=5870（kN）

【例2-7】 簡(jiǎn)易吊車如圖2-22（a）所示。橫梁AB采用No.22a工字鋼，長(zhǎng)3m，重G=0.99kN，作用于梁的中點(diǎn)C，α=20°，最大載荷（電動(dòng)葫蘆和起吊工件的總重）P=10kN。試計(jì)算圖示位置時(shí)拉桿DE所受的拉力及位于A點(diǎn)處的銷釘?shù)募s束反力。

解：（1）取橫梁AB為研究對(duì)象，畫受力圖如圖2-22（b）所示。

（2）取如圖2-22（b）所示坐標(biāo)系Axy，并取A點(diǎn)為矩心，列出力矩方程

∑mA（F）=0，T·ADsinα-G·AC-P·AF=0

得

再由

∑Fx=0，RAx-Tcosα=0

得

RAx=Tcosα=38.7cos20°=36.4（kN）

∑Fy=0，RAy+Tsina-G-P=0

得

RAy=G+P-Tsina=0.99+10-38.7sin20°=-2.25（kN）

負(fù)號(hào)說明RAy的實(shí)際指向與圖示假設(shè)的指向相反。

上述例題中，由于矩心是可以任意選擇的，因此，例2-7中也可選擇RAx和T兩力作用線的交點(diǎn)D為矩心，由力矩方程∑mD（F）=0直接解出RAy；再選擇RAy和T兩力作用線的交點(diǎn)E為矩心，由力矩方程∑mE（F）=0直接解出RAx。所以平面任意力系的平衡方程除了式（2-12）這種基本形式外，還有二力矩形式的平衡方程

注意，式中所選A，B兩點(diǎn)的連線不能與x軸垂直。

由于物體處于平衡狀態(tài)，則對(duì)任意點(diǎn)的力矩平衡方程式均成立，可得三力矩平衡方程

式中，所選的A，B，C三點(diǎn)不能位于同一直線上。

對(duì)所選矩心只要滿足上述條件，都將得到三個(gè)獨(dú)立的平衡方程式。

需要指出的是，對(duì)于平面力系問題，雖然可以寫出三組不同形式的平衡方程式，但其中獨(dú)立的平衡方程只有三個(gè)，即只能求解出三個(gè)未知量。

2.3.3 固定端的約束及其應(yīng)用

在工程實(shí)際中，約束的形式除了前面已經(jīng)提到的幾種類型外，還有一種稱為固定端的約束。例如，建筑物中的陽臺(tái)、跳水比賽中的跳板、夾緊在刀架上的車刀（見圖2-23（a）所示）、被卡盤夾緊的工件（見圖2-23（b）所示）等的約束都是這種約束。圖2-23（c）所示為固定端約束的簡(jiǎn)化表示法，而這一類物體在工程上稱為梁。

如圖2-23（d）所示梁在主動(dòng)力P作用下，其插入部分受到墻的約束，梁上每個(gè)與墻接觸的點(diǎn)所受到的約束反力的大小和方向都不一樣，這樣雜亂分布的約束反力組成了一個(gè)平面任意力系。由于固定端約束既能限制物體在平面內(nèi)沿任何方向的移動(dòng)，也能限制物體的轉(zhuǎn)動(dòng)，所以在平面任意力系問題中，這種約束可以產(chǎn)生一個(gè)反力和一個(gè)反力偶，而反力和反力偶的方向則由物體所受的主動(dòng)力來決定，其中反力通常用兩個(gè)互相垂直的分力Rx和Ry表示，如圖2-23（d）所示。

【例2-8】 車刀割槽時(shí)刀具的受力和約束情況可簡(jiǎn)化為如圖2-24（a）所示的情況。設(shè)切削力Fx，Fy及尺寸L均已知，試計(jì)算固定端A點(diǎn)的約束反力。

解：（1）取車刀為研究對(duì)象，其受力如圖2-24（b）所示。因車刀在B處受到水平方向和垂直方向的主動(dòng)力Fx，Fy作用，所以固定端的約束反力有約束力RAx，RAy和約束力偶mA。

（2）應(yīng)用平衡方程可得

∑Fx=0，RAx-Fx=0，RAx=Fx

∑Fy=0，RAy-Fy=0，RAy=Fy

∑mA（F）=0，mA-Fy·L=0，mA=Fy·L

2.4 物體系統(tǒng)的平衡 靜定與靜不定問題

2.4.1 物體系統(tǒng)的平衡

前面幾節(jié)討論了單個(gè)物體的平衡問題，而在工程中的機(jī)械或結(jié)構(gòu)一般總是由若干個(gè)零部件通過一定的約束聯(lián)系在一起而組成的，這種組合體稱為物體系統(tǒng)，簡(jiǎn)稱物系。

在研究物體系統(tǒng)平衡問題時(shí)，不僅需要求出外界作用于系統(tǒng)的外力，有時(shí)還需要求出系統(tǒng)內(nèi)各物體之間相互作用的內(nèi)力，內(nèi)力與外力的概念是相對(duì)的。在研究整個(gè)系統(tǒng)平衡時(shí)，由于各物體之間相互制約的內(nèi)力總是成對(duì)出現(xiàn)，互為作用力與反作用力，因此這些內(nèi)力是不必考慮的；當(dāng)研究系統(tǒng)中某一物體或部分物體的平衡時(shí)，系統(tǒng)中其它物體對(duì)它們的作用力就成為外力，必須予以考慮。所謂外力與內(nèi)力應(yīng)視物體系統(tǒng)所取研究對(duì)象的邊界而定。例如圖2-25（a）為三鉸拱的示意圖。所謂三鉸拱，就是由AC、BC兩半拱用中間鉸鏈C連接，并由鉸鏈A與B固定于支座上的建筑物，如拱門、拱橋等。設(shè)三鉸拱自身重量不計(jì)，拱上有力F1和F2作用如圖所示，若將三鉸拱視為一個(gè)整體，則整個(gè)系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)。AC、BC兩半拱鉸鏈連接處C的作用力為內(nèi)力，可不考慮。若要求得中間鉸鏈C處的約束反力，則必須將AC、BC兩半拱分別作為研究對(duì)象，如圖2-25（b）、（c）所示，則右半拱通過中間鉸鏈C作用于左半拱的約束力Fcx、Fcy即為外力。同理左半拱作用于右半拱的約束力Fc′x、Fc′y也為外力。它們互為作用力與反作用力。

2.4.2 靜定與靜不定問題

在前面討論的平衡問題中，無論是單個(gè)物體還是物體系統(tǒng)的平衡問題，若未知量的數(shù)目少于或等于獨(dú)立平衡方程式的數(shù)目，則所有未知量可全部求出。系統(tǒng)的所有未知量都能由靜力平衡方程確定的問題稱為靜定問題。在工程中為了提高結(jié)構(gòu)的安全可靠性，往往在結(jié)構(gòu)中增加某些約束，這樣未知量的數(shù)目便超過了獨(dú)立平衡方程式數(shù)目，因此單靠平衡方程無法求出全部未知數(shù)。靜力平衡方程不足以確定系統(tǒng)的所有未知量的問題稱為靜不定問題。例如，圖2-26（a）、（b）所示為靜定結(jié)構(gòu)，圖2-27（a）、（b）所示為靜不定結(jié)構(gòu)。

靜力學(xué)中研究的是剛體的靜定平衡問題，至于靜不定問題，需要考慮物體受力后的變形，并建立相應(yīng)的補(bǔ)充方程才能求解。

2.5 考慮摩擦?xí)r的平衡問題

前面各章討論物體的平衡問題時(shí)，都假定物體的接觸表面是絕對(duì)光滑的，忽略了物體之間的摩擦。這樣做，在摩擦對(duì)所研究的問題影響不大時(shí)是完全允許的，它可以使問題得到簡(jiǎn)化。但是由于摩擦現(xiàn)象在自然界是普遍存在的，而且在有些問題中，摩擦成為主要因素，例如，工程中常見的帶傳動(dòng)、摩擦制動(dòng)、斜契夾緊裝置等，都是依靠摩擦力來工作的。當(dāng)然，摩擦也有其有害的一面：摩擦要消耗能量并使機(jī)器磨損，降低了機(jī)器的精度和縮短了使用壽命。目前在能源的使用中，估計(jì)有一半以上的能源是用于克服各類摩擦。機(jī)械零件因磨損而導(dǎo)致失效的約占全部報(bào)廢零件總數(shù)的80%左右，這時(shí)摩擦對(duì)所研究的問題起著重要的作用，因此就不能再將其忽略而必須加以考慮。學(xué)習(xí)本節(jié)的目的，在于掌握摩擦現(xiàn)象的客觀規(guī)律，利用其有利的一面，限制它有害的一面。

2.5.1 摩擦力

互相接觸的兩個(gè)物體，當(dāng)它們發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)或有滑動(dòng)趨勢(shì)時(shí)，在兩個(gè)物體的接觸面上就會(huì)出現(xiàn)阻礙彼此滑動(dòng)的力，稱為滑動(dòng)摩擦力。滑動(dòng)摩擦力的方向與物體相對(duì)運(yùn)動(dòng)（或相對(duì)運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)）的方向相反，它產(chǎn)生的主要原因是物體接觸表面的凹凸不平和表面間分子的相互吸引。當(dāng)兩物體尚未發(fā)生滑動(dòng)而僅有滑動(dòng)趨勢(shì)時(shí)，兩物體間的摩擦力稱為靜滑動(dòng)摩擦力（簡(jiǎn)稱靜摩擦力）；當(dāng)兩物體已經(jīng)滑動(dòng)時(shí)，兩物體間的摩擦力稱為動(dòng)滑動(dòng)摩擦力（簡(jiǎn)稱動(dòng)摩擦力）。

以圖2-28所示的實(shí)驗(yàn)為例，來觀察摩擦現(xiàn)象。

放在桌面上的物體受水平拉力T的作用，拉力的大小由砝碼的重量決定，拉力有使物體向右滑動(dòng)的趨勢(shì)，而桌面對(duì)物體的摩擦力F阻礙它向右滑動(dòng)。當(dāng)拉力不大時(shí)，物體處于平衡，因此摩擦力與拉力大小相等，即F=T。

若拉力逐漸增大，滑動(dòng)的趨勢(shì)增大，靜摩擦力F也相應(yīng)地增大，當(dāng)拉力增至某一值Tk時(shí)，物體處于將動(dòng)未動(dòng)的狀態(tài)，稱為臨界平衡狀態(tài)或臨界狀態(tài)，顯然這時(shí)的摩擦力是所有靜摩擦力中的最大值，即

Fmax=Tk

式中，Fmax是物體處于臨界平衡狀態(tài)時(shí)的摩擦力，稱為最大靜滑動(dòng)摩擦力（簡(jiǎn)稱最大靜摩擦

力）。

由上面的實(shí)驗(yàn)可知，靜摩擦力隨外力的增大而增大，但它最多等于最大靜摩擦力，即

這就是說，如果水平力T的值不超過Fmax，則由于摩擦力的存在，物體總能保持平衡（相對(duì)靜止）。

大量實(shí)驗(yàn)證明：最大靜摩擦力的方向與相對(duì)滑動(dòng)趨勢(shì)的方向相反，最大靜摩擦力的大小與兩物體間的正壓力（即法向反力）成正比，即

這就是靜滑動(dòng)摩擦定律。式中的比例常數(shù)f稱為靜滑動(dòng)摩擦因數(shù)（簡(jiǎn)稱靜摩擦因數(shù)），其值可通過實(shí)驗(yàn)測(cè)定。它與接觸物體的材料、表面粗糙度、溫度、濕度等情況有關(guān)，而與接觸面積的大小無關(guān)。靜摩擦因數(shù)的數(shù)值可從有關(guān)工程手冊(cè)中查到。表2-1列出了一部分常用材料的摩擦因數(shù)。

對(duì)于動(dòng)摩擦力，通過實(shí)驗(yàn)也可得出與靜滑動(dòng)摩擦定律相似的動(dòng)滑動(dòng)摩擦定律，即

式中，f′稱為動(dòng)滑動(dòng)摩擦因數(shù)（簡(jiǎn)稱動(dòng)摩擦因數(shù)），它與接觸物體的材料和表面情況有關(guān)。

動(dòng)摩擦因數(shù)一般小于靜摩擦因數(shù)，即f′＜f。在大多數(shù)情況下，動(dòng)摩擦因數(shù)隨相對(duì)滑動(dòng)速度的增大而稍減小。當(dāng)相對(duì)滑動(dòng)速度不大時(shí)，動(dòng)摩擦因數(shù)可近似認(rèn)為是個(gè)常數(shù)，參看表2-1。

綜上所述可知，當(dāng)考慮摩擦問題時(shí)，首先要分清物體是處于靜止、臨界狀態(tài)或相對(duì)滑動(dòng)三種情況中的哪一種，然后選用相應(yīng)的方法來計(jì)算摩擦力。

2.5.2 考慮摩擦的平衡問題

考慮摩擦?xí)r的平衡問題，其解題方法、步驟與不考慮摩擦?xí)r基本相同。只是應(yīng)該注意：

（1）在分析物體受力時(shí)，除了一般約束反力外，還必須考慮摩擦力，其方向與滑動(dòng)的趨勢(shì)方向相反。

（2）需分清物體是處于一般平衡狀態(tài)還是臨界狀態(tài)。在一般平衡狀態(tài)下，靜摩擦力的大小由平衡條件確定，并滿足F≤Fmax關(guān)系式；在臨界狀態(tài)下，靜摩擦力是一個(gè)定值，滿足F=Fmax=fN關(guān)系式。

（3）由于靜摩擦力可在零與Fmax之間變化，所以物體平衡時(shí)的解也有一個(gè)變化范圍。為了避免求解不等式，一般先假設(shè)物體處于臨界狀態(tài)，求得結(jié)果后再討論解的范圍。

【例2-9】 絞車的制動(dòng)裝置如圖2-29（a）所示，制動(dòng)輪半徑R=25cm，鼓輪半徑r=15cm，鼓輪上懸吊重W=1kN的重物，尺寸a=100cm，b=40cm，c=50cm，制動(dòng)輪與制動(dòng)塊間的摩擦因數(shù)f=0.6。試問要使重物不致落下，加在制動(dòng)桿上的力P至少應(yīng)為多大？

解：按臨界平衡狀態(tài)考慮，此時(shí)所需力P為最小。

（1）先取鼓輪為研究對(duì)象，作受力圖（見圖2-29（b））。列出平衡方程

∑mo1=0，W·r-Fmax·R=0

可得

由于

Fmax=f·N

所以

（2）再取制動(dòng)桿為研究對(duì)象，作受力圖（圖2-29（c））。列出平衡方程

∑mo=0，F(xiàn)′max·c÷Pmin·a-N′·b=0

將

即得

由此可解出

即：要使物體不致落下，則P≥Pmin=10（N）。

本章小結(jié)

1．平面匯交力系概念：力系中各力的作用線位于同一平面內(nèi)并匯交于一點(diǎn)。平面匯交力系的合成與分解，力在坐標(biāo)軸上的投影。平面匯交力系平衡的必要與充分條件是：力系中各力在任一坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和均為零，即∑Fx=0，∑Fy=0。

2．力偶的概念：力偶由兩個(gè)等值、反向、作用線不重合的平行力組成。它對(duì)物體的作用效應(yīng)是使物體產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的變化。力偶的三要素：力偶矩的大小、力偶的轉(zhuǎn)向和力偶作用面的方位。力偶的等效條件：凡兩力偶的三要素相同，此兩力偶等效。力偶的運(yùn)算特性：力偶無合力，它在任何方向的坐標(biāo)軸上力的投影為零。力偶的合成與平衡：平面力偶系可合成一合力偶，合力偶矩為各力偶矩的代數(shù)和，即 M=∑m。其平衡條件為∑m=0。

3．平面任意力系概念：力系中各力的作用線位于同一平面，但在平面上呈任意分布的。平面任意力系的平衡方程式為：

（1）∑Fx=0，∑Fy=0，∑mo（F）=0。

（2）∑Fx=0，（或∑Fy=0），∑mA（F）=0，∑mB（F）=0，附加條件為x（或y軸）軸不垂直于AB。

（3）∑mA（F）=0，∑mB（F）=0，∑mC（F）=0，附加條件為A，B，C不共線。

4．平面力系問題的解題步驟：

（1）取研究對(duì)象，應(yīng)選取有已知和未知力作用的物體為考慮平衡問題的對(duì)象。

（2）畫分離體的受力圖。

（3）選取坐標(biāo)軸和矩心，列出平衡方程。根據(jù)未知力之間的幾何關(guān)系選定坐標(biāo)軸和矩心。

（4）討論與校核。對(duì)解的力學(xué)含義進(jìn)行討論，并可探討一些參量變化時(shí)對(duì)解的影響。通過另外選取一個(gè)不獨(dú)立的平衡方程，對(duì)某一個(gè)解答做重復(fù)運(yùn)算，以校核解的正確性。

5．靜定問題：系統(tǒng)的所有未知量都能由靜力平衡方程確定的問題。

靜不定問題：靜力平衡方程不足以確定系統(tǒng)的所有未知量的問題。

6．滑動(dòng)摩擦力是指當(dāng)有相對(duì)滑動(dòng)或相對(duì)滑動(dòng)趨勢(shì)時(shí)，在物體接觸面間產(chǎn)生的阻礙相對(duì)滑動(dòng)的切向阻力。它作用于物體相互接觸處，方向與相對(duì)滑動(dòng)或相對(duì)滑動(dòng)趨勢(shì)方向相反，其大小根據(jù)主動(dòng)力作用的情況而定。

思考題和習(xí)題2

2-1 圓環(huán)左端固定，右端受三根繩索的拉力作用。已知繩索的拉力分別為F1=0.5kN，F(xiàn)2=1kN，F(xiàn)3=2kN，方向如圖2-30所示。試求這三根繩索作用于環(huán)上的合力R。

2-2 蝸輪機(jī)機(jī)殼重G=20kN，起吊時(shí)機(jī)殼在如圖2-31所示的水平位置處保持平衡，此時(shí)拉桿AB和AC與鉛垂線間的夾角分別為α=20°，β=30°。求拉桿AB和AC所受的拉力TAB和TAC。

2-3 簡(jiǎn)易吊車如圖2-32所示。設(shè)吊車連同載荷共重P=10kN，作用于AB梁的中點(diǎn)，梁的自重不計(jì)。試求拉桿BC的拉力TBC和固定鉸鏈支座A處的反力RA。

2-4 簡(jiǎn)易吊車由臂BC和繩索AB所構(gòu)成。臂的一端以鉸鏈固定于立柱的C點(diǎn)，另一端用繩索懸掛重G=5kN的物體，如圖2-33所示。不計(jì)臂重，試求繩索AB的拉力T和臂BC所受的壓力S的大小。

2-5 試求圖2-34中各力F對(duì)固定端B的力矩。

2-6 鍛錘工件時(shí)，由于工件對(duì)錘頭的作用力有偏心，使錘頭發(fā)生偏斜。已知鍛打時(shí)作用力F=1000kN，偏心距e=20mm，錘頭高度h=200mm，如圖2-35所示。試求錘頭加給兩側(cè)導(dǎo)軌的壓力N。

2-7 用銑刀加工齒輪如圖2-37所示。已知切削力F1=2kN，F(xiàn)2=0.5kN。設(shè)軸向力F1由軸承B承受，試求A，B兩軸承處的反力RAy、RBx、RBy。

2-8 高爐加料的料斗車，沿θ=70°的傾斜軌道勻速上升。已知料斗車和爐料共重G=10kN，重心在C點(diǎn)，尺寸a=0.4m，b=0.5m，e=0.2m，h=0.3m，如圖2-37所示。試求鋼索拉力T和軌道對(duì)A，B輪的反力。

2-9 試求如圖2-38（a）、（b）中所示梁的支座反力。已知：F1=300N，F(xiàn)2=600N，m=450N·m，q=2N/cm，a=50cm，b=100cm。

2-10 梯子的兩部分AB和AC，長(zhǎng)度均為l，在A點(diǎn)以鉸鏈連接，并在D，E兩點(diǎn)用水平繩索相連。在梯子的一邊作用鉛垂力P，尺寸如圖2-39所示，不計(jì)梯子自重與接觸面間的摩擦，試求繩索的張力T。